Chuyển động tròn và hấp dẫn: quỹ đạo là rơi mãi quanh một tâm
Tốc độ góc, gia tốc hướng tâm, lực hấp dẫn, vệ tinh và Kepler: một bức tranh cho mọi chuyển động tròn và quỹ đạo, từ đu quay đến Mặt Trăng.
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ VẬT LÍ 10
VẬT LÍ 10 · CHUYỂN ĐỘNG TRÒN VÀ VẠN VẬT HẤP DẪN
Chuyển động tròn và hấp dẫn: quỹ đạo là rơi mãi quanh một tâm
Không phải năm công thức rời nhau để ghép vào bài, mà một bức tranh: đi trên vòng tròn là vận tốc luôn quay hướng, nên luôn cần một hợp lực chỉ vào tâm; lực hấp dẫn là một nguồn của hợp lực ấy, và vệ tinh là một vật đang rơi mà không bao giờ chạm đất.
- a ht = v 2 /r · chỉ vào tâm
- F ht = m·a ht · là hợp lực
- F = G·M·m/r 2 · nghịch đảo bình phương
- T 2 tỉ lệ A 3 · quanh cùng một tâm
7,9 km/s
tốc độ quỹ đạo tròn sát mặt đất (v 1 )
84,4 phút
chu kì của quỹ đạo tròn sát mặt đất
89 %
trọng lực còn lại ở độ cao 400 km (88,5 %), nơi phi hành gia lơ lửng
9,9·10 -14
T 2 /r 3 (s 2 /m 3 ): một số chung cho mọi quỹ đạo tròn quanh Trái Đất
01
Bản chất · một định luật lực, một định luật chuyển động
Đi trên vòng tròn là luôn bị kéo vào tâm
Từ hai điều (gia tốc là độ thay đổi của vectơ vận tốc; lực hấp dẫn giảm theo bình phương khoảng cách) suy ra tốc độ vệ tinh, chu kì, định luật Kepler, cảm giác không trọng lượng và hình dạng mọi quỹ đạo.
GÓC Vị trí trên vòng là một góc: ang = w·t
TỐC ĐỘ DÀI v = w·r: cùng w, xa tâm thì nhanh
VẬN TỐC QUAY Tốc độ đều, hướng quay đều theo w
GIA TỐC HƯỚNG TÂM a ht = v 2 /r = w 2 ·r, chỉ vào tâm
HỢP LỰC F ht = m·a ht ; dây, ma sát, hấp dẫn cung cấp
HẤP DẪN F = G·M·m/r 2 ; g = G·M/r 2
RƠI MÃI Hấp dẫn làm lực hướng tâm: v = căn(G·M/r)
KEPLER Elip, diện tích quét đều, T 2 tỉ lệ A 3
Kí hiệu dùng trong cả bài
ang góc quét (rad); w tốc độ góc (rad/s, chữ Latin w); T chu kì; f tần số; v tốc độ dài; r khoảng cách tới tâm (bán kính quỹ đạo); a ht gia tốc hướng tâm; F ht lực hướng tâm; F hd lực hấp dẫn; G hằng số hấp dẫn; M khối lượng thiên thể ở tâm; m khối lượng vật; g cường độ trường hấp dẫn, cũng là gia tốc rơi tự do; R Đ , M Đ bán kính, khối lượng Trái Đất; h độ cao so với mặt đất, r = R Đ + h; bán trục lớn A của elip (chữ A chỉ mang nghĩa này); e tâm sai; v 1 , v 2 là tốc độ quỹ đạo tròn và tốc độ thoát sát mặt đất; ở khoảng cách r 0 bất kì viết v tròn (r 0 ) = căn(G·M/r 0 ) và v thoát (r 0 ) = căn(2)·v tròn (r 0 ); v vuông góc là thành phần vận tốc vuông góc với đoạn nối tâm và vật. Số pi viết bằng chữ; căn(...) là căn bậc hai; delta t là một khoảng thời gian, delta v là độ thay đổi của vectơ vận tốc trong khoảng ấy. Góc đo bằng rad hay "độ".
Mười khái niệm, nói cho chính xác
Đại lượng
Kí hiệu
Đơn vị
Nghĩa
Góc quét
ang
rad
cung chia bán kính; cả vòng 2·pi rad = 360 độ, 1 rad khoảng 57,3 độ
Tốc độ góc
rad/s
góc quét mỗi giây; đều thì ang = w·t
Chu kì
T = 2·pi/w
thời gian đi hết một vòng
Tần số
f = 1/T
vòng/s
số vòng mỗi giây; vòng/phút là 60·f
Tốc độ dài
v = w·r
m/s
độ lớn vận tốc, dọc theo cung
Gia tốc hướng tâm
a ht
m/s 2
độ thay đổi vận tốc mỗi giây do hướng quay; v 2 /r, chỉ vào tâm
Lực hướng tâm
F ht
tên của hợp lực hướng vào tâm, m·v 2 /r; không phải một loại lực mới
Lực hấp dẫn
F hd
hút giữa mọi cặp vật có khối lượng, G·M·m/r 2
Cường độ trường hấp dẫn
N/kg = m/s 2
lực hút lên mỗi kilôgam ở một điểm, G·M/r 2
Quỹ đạo
r, A, e
m; e không đơn vị
đường đi quanh tâm hút: tròn, elip, hay đường mở không quay lại
Hai mặt của một bức tranh. Phần đầu (mục 02) là động học: chỉ cần biết vật đi tròn đều là suy ra được gia tốc của nó, chưa cần biết lực nào. Phần sau (mục 03 trở đi) là động lực học: định luật II đòi một hợp lực đúng bằng m·a ht ; lực hấp dẫn cung cấp hợp lực ấy cho Mặt Trăng, vệ tinh, hành tinh, và mọi con số về quỹ đạo rút ra từ một phép so sánh: G·M·m/r 2 = m·v 2 /r.
02
Chuyển động tròn đều · vận tốc là vectơ
Tốc độ không đổi, vận tốc vẫn luôn đổi
Vật đi tròn đều không bao giờ "đứng yên về gia tốc": hướng vận tốc quay liên tục, và chính sự quay ấy là một gia tốc chỉ vào tâm.
Góc, tốc độ góc, chu kì: vị trí trên vòng là một góc
Trên một vòng bán kính r, vị trí của vật là góc ang mà bán kính tới nó đã quét. Đo bằng rad: ang = (cung)/r, nên cả vòng là 2·pi rad. Chuyển động tròn đều là góc tăng đều: ang = w·t. Một vòng mất T = 2·pi/w ; mỗi giây đi f = 1/T vòng. Trong T vật đi một chu vi 2·pi·r, nên v = 2·pi·r/T = w·r .
Một vật rắn quay (bánh xe, mâm quay, Trái Đất) có cùng w và cùng T cho mọi điểm , nhưng điểm xa trục đi một vòng dài hơn trong cùng thời gian: tốc độ dài tỉ lệ khoảng cách tới trục. Đầu kim phút đi nhanh hơn chỗ gần trục, dù cả kim cùng quay một vòng mỗi giờ.
Tam giác vận tốc: vì sao có gia tốc, và nó chỉ đi đâu
Vận tốc là vectơ, luôn tiếp tuyến với vòng, tức vuông góc với bán kính. Trong một khoảng delta t, bán kính quay góc w·delta t, nên vectơ vận tốc cũng quay đúng góc ấy. Đặt v(t) và v(t + delta t) chung một gốc: hai cạnh cùng dài v, kẹp góc w·delta t. Cạnh nối hai đầu là delta v , dài 2·v·sin(w·delta t/2) , và song song với bán kính tại thời điểm giữa khoảng, chỉ vào tâm (khi w·delta t chưa quá một vòng).
Chia cho delta t rồi cho delta t nhỏ dần: sin(x) gần bằng x khi x nhỏ, nên |delta v|/delta t tiến tới v·w. Thay v = w·r: a ht = v·w = v 2 /r = w 2 ·r , chỉ vào tâm. Vì luôn vuông góc với vận tốc, gia tốc này chỉ xoay hướng, không làm nhanh hay chậm. Với delta t lớn, |delta v|/delta t là gia tốc trung bình trên một cung, luôn nhỏ hơn hoặc bằng a ht vì |sin x| không vượt x.
Điều ít người để ý · đầu mũi tên vận tốc cũng chạy tròn
Vẽ mọi vectơ vận tốc chung một gốc: đầu mũi tên chạy trên một vòng bán kính v, mỗi vòng mất đúng T. Tốc độ của đầu mũi tên là 2·pi·v/T = w·v, và đó chính là a ht . Vận tốc "quay" quanh gốc của nó y như vị trí quay quanh tâm.
Lực hướng tâm: tên của một hợp lực, không phải một lực mới
Định luật II đòi hợp lực F ht = m·a ht = m·v 2 /r = m·w 2 ·r , chỉ vào tâm. "Lực hướng tâm" là tên gọi phần hợp lực ấy; nó luôn do các lực quen thuộc cung cấp: lực căng của dây khi quay viên đá; ma sát nghỉ giữa lốp và mặt đường khi xe vào cua; phản lực của thành lồng giặt lên quần áo; lực hấp dẫn của Trái Đất lên Mặt Trăng. Có khi là tổng của nhiều lực, như trọng lực và lực căng ở một vòng quay đứng. Thiếu hợp lực ấy, vật không đi tròn được.
Khi dây đứt , không còn gì xoay hướng vận tốc: vật đi thẳng theo tiếp tuyến với đúng tốc độ lúc đứt (định luật I), không bay ra theo bán kính. Nó vẫn xa dần tâm, nhưng chỉ vì đường thẳng tiếp tuyến rời xa vòng tròn.
Nói cho thật về "lực li tâm"
Trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất (hệ quán tính) không có lực nào đẩy vật ra ngoài. Người trên xe vào cua thấy mình "bị ép ra" vì thân người có quán tính muốn đi thẳng, còn xe rẽ vào trong và thành xe đẩy người vào. Nếu chọn hệ quy chiếu quay cùng vật, muốn giữ dạng định luật II phải thêm một lực quán tính li tâm hướng ra; đó là lực của cách chọn hệ, không có vật nào tác dụng. Bài này luôn dùng hệ quán tính.
Lab 1 · Chuyển động tròn đều: tốc độ không đổi, vận tốc luôn đổi TAM GIÁC VẬN TỐC · SỐ MINH HỌA
Tình huống mẫu
ht = w 2 ·r = v 2 /r|Trung bình chia a ht |Góc giữa delta v và hướng vào tâm (điểm giữa)|F ht = 0,5·a ht (vật 0,5 kg)|Khoảng cách tới tâm sau delta t">
Số minh họa, vật 0,5 kg, nhìn từ trên xuống, góc đo ngược chiều kim đồng hồ từ trục ngang. Mỗi trạng thái vẽ theo một thang đều (thanh 1 m ở góc dưới), nhưng thang đổi theo r để vòng nhỏ vẫn đọc được: bán kính vẽ không tỉ lệ thuận với r. Mũi tên trên vòng chỉ hướng, không theo tỉ lệ. Tam giác vận tốc bên phải dùng một thang chung cho v và delta v (mũi tên v luôn có cùng một độ dài cố định); delta v quá ngắn để thấy thì vẽ phóng to tới một độ dài tối thiểu và ghi "phóng to". Nét đứt tím: hướng vào tâm tại thời điểm giữa khoảng.
Vì sao tốc độ không đổi mà vẫn có gia tốc?
Thử Lab 1: kéo delta t nhỏ dần, nhìn tam giác vận tốc và tỉ số trung bình chia a ht .
Gợi ý 1 · vận tốc là vectơ
Gia tốc là độ thay đổi của vectơ vận tốc mỗi giây. Vectơ đổi khi độ dài đổi, và cả khi chỉ hướng đổi.
Gợi ý 2 · đầu mũi tên chạy tròn
Đặt các vectơ vận tốc chung gốc: độ dài giữ nguyên v, hướng quay theo w. Đầu mũi tên chạy trên một vòng, nên hiệu delta v giữa hai thời điểm không bằng 0.
Gợi ý 3 · delta v chỉ đi đâu
delta v nối hai đầu mũi tên, song song với bán kính tại thời điểm giữa và chỉ vào tâm; khi delta t nhỏ, nó vuông góc với vận tốc.
Kết luận
"Tốc độ không đổi" nói về độ dài mũi tên; "gia tốc" nói về cả mũi tên. Đi tròn đều có gia tốc v 2 /r chỉ vào tâm, vuông góc với vận tốc, nên nó xoay hướng mà không đổi tốc độ.
Ba phán đoán sau Lab 1
Hai đồng xu nằm yên trên một mâm quay cứng: một gần tâm, một sát mép. Đồng nào có tốc độ dài và gia tốc hướng tâm lớn hơn?
Giữ nguyên bán kính, tăng tốc độ góc lên gấp đôi. Gia tốc hướng tâm thay đổi thế nào?
Quay một quả bóng buộc dây trên mặt bàn nhẵn nằm ngang. Dây đứt đúng lúc bóng ở phía bắc của vòng, đang chạy về phía đông. Bóng đi theo hướng nào?
03
Vạn vật hấp dẫn · trọng lực, không trọng lượng, quỹ đạo tròn
Lực hấp dẫn làm lực hướng tâm: vệ tinh là vật đang rơi
Lực giữ Mặt Trăng và lực làm quả táo rơi là một. Nó với qua khoảng không, yếu dần theo bình phương khoảng cách, và tự nó đủ để giải thích mọi quỹ đạo.
Một định luật cho mọi cặp vật
Hai vật bất kì hút nhau theo đường nối chúng, với lực F hd = G·M·m/r 2 , G = 6,674·10 -11 N·m 2 /kg 2 . Hai lực là một cặp trực đối (định luật III): Trái Đất hút quả táo mạnh đúng bằng quả táo hút Trái Đất; hai lực cùng độ lớn ấy làm quả táo nhỏ tăng tốc rõ, còn Trái Đất thì gần như không. Nghịch đảo bình phương : khoảng cách gấp đôi, lực còn một phần tư. Với các khối cầu gồm những lớp đồng chất, r là khoảng cách giữa hai tâm.
g(r): vì sao mọi vật rơi như nhau
Chia lực cho khối lượng vật: g = F hd /m = G·M/r 2 , không chứa m. Đó là cường độ trường hấp dẫn ở khoảng cách r, cũng là gia tốc của mọi vật nhỏ thả ra ở đó: lực hút gấp đôi lên vật nặng gấp đôi, nhưng vật ấy cũng khó tăng tốc gấp đôi. Với M Đ = 5,972·10 24 kg và R Đ = 6371 km, mô hình khối cầu không quay cho g 0 = 9,82 m/s 2 ở mặt đất. Giá trị chuẩn 9,80665 m/s 2 là một quy ước; đo thật ở mực nước biển, g từ khoảng 9,78 m/s 2 ở xích đạo đến 9,83 m/s 2 ở hai cực, do Trái Đất quay và dẹt.
Trọng lực, trọng lượng, không trọng lượng
Trọng lực là lực hút của Trái Đất lên vật, m·g. Trọng lượng theo nghĩa đo được là lực vật ép lên giá đỡ, tức số chỉ của cân. Đứng yên trên cân, hai số bằng nhau. Trong thang máy đứt cáp, người và cân cùng rơi với gia tốc g: không có gì ép lên gì, cân chỉ 0 dù trọng lực vẫn nguyên. Đó là không trọng lượng : trạng thái của mọi vật rơi tự do.
Điều ít người để ý · ở 400 km trọng lực còn khoảng 89 %
g ở độ cao 400 km là 9,82·(6371/6771) 2 , khoảng 8,69 m/s 2 , tức 88,5 % giá trị ở mặt đất. Phi hành gia lơ lửng không phải vì hết trọng lực, mà vì người, ghế và sàn trạm cùng rơi với một gia tốc.
Pháo Newton: rơi mà không chạm đất
Bắn ngang từ đỉnh núi: viên đạn vừa bay ngang vừa rơi về tâm. Bắn nhanh hơn, nó chạm đất xa hơn, vì mặt đất cong xuống bên dưới đường bay. Gần mặt đất, trong 1 s vật rơi g 0 /2 = 4,91 m; còn mặt đất cong xuống R Đ - căn(R Đ 2 - d 2 ), với d = 7,91 km cũng là 4,91 m (làm tròn tới cm). Vậy nếu bay ngang 7,91 km mỗi giây (bỏ qua không khí), vật rơi bao nhiêu thì mặt đất lùi bấy nhiêu: độ cao giữ nguyên, vật rơi mãi . Đó là quỹ đạo.
Hình không cùng tỉ lệ: thang đứng phóng đại khoảng 500 lần so với thang ngang. Chấm: vị trí sau mỗi 0,25 s; đường rơi song song với mặt đất cong.
Quỹ đạo tròn trong hai dòng
Trên quỹ đạo tròn, lực hấp dẫn là hợp lực hướng tâm: G·M·m/r 2 = m·v 2 /r. Suy ra v = căn(G·M/r) và T = 2·pi·r/v = 2·pi·căn(r 3 /(G·M)) . Khối lượng vệ tinh m đã triệt tiêu. Càng xa tâm, v càng nhỏ và T càng dài; nhưng T 2 /r 3 = 4·pi 2 /(G·M) là một số chung, 9,9·10 -14 s 2 /m 3 cho mọi vệ tinh của Trái Đất. Sát mặt đất: v 1 = 7,9 km/s (vận tốc vũ trụ cấp 1), T 1 = 84,4 phút; thực tế không bay được ở đó vì không khí. v 2 = căn(2)·v 1 = 11,2 km/s là tốc độ thoát: với tốc độ ấy, động năng cộng thế năng hấp dẫn (lấy mốc 0 ở rất xa) bằng 0, vật vừa đủ ra xa mãi.
Một nghịch lí bề ngoài: muốn lên quỹ đạo tròn cao hơn, vệ tinh đốt động cơ tăng tốc một lần thì chỉ được một elip, đi lên tới điểm xa rồi quay về đúng chỗ đốt. Trên đường leo, động năng đổi dần thành thế năng và nó chậm lại; tới điểm xa phải đốt tăng tốc lần thứ hai mới thành quỹ đạo tròn ở đó. Tăng tốc hai lần, nhưng tốc độ trên quỹ đạo tròn mới vẫn nhỏ hơn tốc độ lúc đầu.
Điều ít người để ý · khối lượng vệ tinh không có mặt
m có ở cả hai vế: lực hút tỉ lệ m, và "độ khó đổi hướng" cũng tỉ lệ m. Trạm vũ trụ và con ốc vít tuột khỏi nó bay cùng một quỹ đạo, cùng tốc độ.