Mạch xoay chiều RLC: vectơ quay, tổng trở, cộng hưởng và công suất
Ba phần tử là ba cách so sánh điện áp với dòng điện. Vectơ quay, tổng trở, cộng hưởng, công suất và hệ số công suất: một bức tranh cho mọi mạch RLC.
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ VẬT LÍ 12
VẬT LÍ 12 · DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Mạch xoay chiều RLC: vectơ quay, tổng trở, cộng hưởng và công suất
Không phải một chồng công thức, mà một câu hỏi: trong mạch nối tiếp, cùng một dòng i(t) chạy qua mọi phần tử; điện áp của mỗi phần tử so với dòng ấy ra sao? Điện trở nhân, cuộn cảm lấy đạo hàm, tụ điện lấy tích phân. Mũi tên quay biến "dời một phần tư chu kì" thành "quay 90 độ", và mọi thứ còn lại tự chảy ra.
- u R = R·i · cùng pha
- Z L = w·L · sớm 90 độ
- Z C = 1/(w·C) · trễ 90 độ
- P = U·I·cos phi · chỉ R tiêu thụ
311,1 V
đỉnh của điện lưới 220 V hiệu dụng: 220·căn(2)
90 độ
cuộn cảm làm u sớm pha, tụ điện làm u trễ pha so với i
Z = căn(R 2 + X 2 )
X = Z L - Z C : hai điện áp ngược chiều nên trừ nhau
cos phi = R/Z
hệ số công suất: chỉ R tiêu thụ năng lượng
01
Bản chất · một dòng điện chung
Một dòng điện, ba cách so sánh điện áp
Trong mạch nối tiếp, dòng qua mọi phần tử là một. Hỏi mỗi phần tử một câu, "điện áp của bạn so với dòng này thế nào?", là dựng được cả lí thuyết RLC.
XOAY CHIỀU i = I 0 ·cos(w·t + phi i ), w = 2·pi·f
HIỆU DỤNG Cùng nhiệt như dòng một chiều: I = I 0 /căn(2)
BA PHÉP SO SÁNH R nhân; L lấy đạo hàm (sớm 90 độ); C lấy tích phân (trễ 90 độ)
VECTƠ QUAY Dời một phần tư chu kì = quay 90 độ; cộng tức thời = cộng mũi tên
TỔNG TRỞ Z = căn(R 2 + (Z L - Z C ) 2 ), tan phi = X/R
CỘNG HƯỞNG Z L = Z C : Z = R nhỏ nhất, I lớn nhất, U L = U C = Q·U
CÔNG SUẤT p dao động ở 2f; P = U·I·cos phi = I 2 ·R
NĂNG LƯỢNG L và C chỉ cất rồi trả; nguồn bù phần nhiệt ở R
Kí hiệu dùng trong cả bài
i, u tức thời; I 0 , U 0 cực đại; I, U hiệu dụng; w = 2·pi·f tần số góc (rad/s; chữ W chỉ là oát); phi = phi u - phi i : phi > 0 thì u sớm pha hơn i, phi < 0 thì u trễ pha hơn i; R (Ohm), L (H), C (F; 10 -6 F là microfara); Z L , Z C , X = Z L - Z C , Z (Ohm); P (W), S (VA), P x công suất phản kháng (var); Q chỉ là hệ số phẩm chất; f 0 , w 0 cộng hưởng. pi viết bằng chữ, căn(...) là căn bậc hai. Mạch R, L, C lí tưởng nối tiếp, nguồn hình sin, trạng thái ổn định.
Từ điện lưới đến các con số
Điện lưới gia đình ở Việt Nam là 220 V, 50 Hz . Con số 220 V là giá trị hiệu dụng danh định; điện áp thật dao động giữa +311,1 V và -311,1 V, vì U 0 = 220·căn(2) = 311,1 V. Tần số 50 Hz cho w = 100·pi, khoảng 314 rad/s, và T = 20 ms; mỗi chu kì dòng đổi chiều hai lần, nên 100 lần mỗi giây.
Mười bốn khái niệm, nói cho chính xác
Khái niệm
Kí hiệu
Đơn vị
Nghĩa
Dòng điện xoay chiều
i = I 0 ·cos(w·t + phi i )
đổi chiều tuần hoàn; ở đây là hình sin
Giá trị tức thời
i, u, p
A, V, W
giá trị ở một thời điểm
Giá trị cực đại
I 0 , U 0
A, V
biên độ của i hay u
Giá trị hiệu dụng
I, U
A, V
dòng một chiều tỏa cùng nhiệt; hình sin: cực đại chia căn(2)
Tần số góc
w = 2·pi·f
rad/s
góc pha quét mỗi giây
Độ lệch pha
phi = phi u - phi i
rad, độ
u đi trước i bao nhiêu, tính bằng góc
Cảm kháng
Z L = w·L
Ohm
U L /I
Dung kháng
Z C = 1/(w·C)
Ohm
U C /I
Điện kháng
X = Z L - Z C
Ohm
dấu cho biết mạch thiên về cảm hay dung
Tổng trở
Z = U/I
Ohm
U/I của cả mạch
Vectơ quay
(giản đồ)
(không)
mũi tên quay đều với w; hình chiếu là giá trị tức thời
Cộng hưởng
f 0 , w 0 = 1/căn(L·C)
Hz, rad/s
Z L = Z C : X = 0, i cùng pha u
Hệ số công suất
cos phi = R/Z
(không)
P/(U·I)
Công suất tức thời, trung bình
p = u·i; P
p ở từng lúc; P là trung bình một chu kì
02
Hiệu dụng · nhân, đạo hàm, tích phân
Điện trở nhân, cuộn cảm lấy đạo hàm, tụ điện lấy tích phân
Đo dòng đổi chiều bằng con số nào; rồi so điện áp từng phần tử với cùng dòng i = I 0 ·cos(w·t).
Giá trị hiệu dụng: định nghĩa bằng nhiệt
Trung bình của i bằng 0, nhưng điện trở vẫn nóng: i 2 ·R không bao giờ âm. I là dòng một chiều tỏa cùng nhiệt trên cùng điện trở. Vì cos 2 = (1 + cos 2w·t)/2, trung bình của i 2 ·R là I 0 2 ·R/2 = I 2 ·R, nên I = I 0 /căn(2) ; tương tự trung bình của u 2 /R là U 0 2 /(2R), nên U = U 0 /căn(2). Đồng hồ xoay chiều chỉ giá trị hiệu dụng.
i(t) có trung bình 0; i 2 (t) dao động ở tần số gấp đôi, trung bình I 0 2 /2. Hai khung có thang đứng riêng.
Điều ít người để ý · căn(2) đến từ nhiệt, không từ "trung bình"
Hiệu dụng là căn của trung bình bình phương: "nóng bằng dòng một chiều nào?". căn(2) chỉ đúng cho hình sin; sóng vuông đối xứng biên độ A có hiệu dụng A, sóng tam giác A/căn(3).
Một dòng điện, ba câu trả lời
Điện trở : u R = R·i. Phép nhân không dời thời điểm: cùng pha .
Cuộn cảm : u L = L·(tốc độ biến thiên của i). Độ dốc của hình sin là chính nó dời sớm một phần tư chu kì (lớn nhất khi i qua 0, bằng 0 khi i ở đỉnh), nhân thêm w: u L = w·L·I 0 ·cos(w·t + pi/2), sớm pha 90 độ . Cơ chế: dòng tăng thì từ thông tăng, suất điện động tự cảm chống lại; điện áp nguồn đặt lên cuộn cân bằng nó, càng lớn khi dòng đổi càng nhanh.
Tụ điện : i = C·(tốc độ biến thiên của u C ): điện áp đi theo điện tích tích lũy, tức tích phân của i. Tích phân dời trễ một phần tư chu kì và chia cho w: u C = (I 0 /(w·C))·cos(w·t - pi/2), trễ pha 90 độ . Cơ chế: tụ phải nạp rồi điện áp mới lên; lúc i đổi chiều, điện tích đang cao nhất. Tần số cao, nửa chu kì ngắn, tụ nạp được ít, điện áp nhỏ.
Điều ít người để ý · 90 độ không phải điều phải học thuộc
Đạo hàm của cos là cos dời sớm pi/2; tích phân của cos là cos dời trễ pi/2. Cuộn cảm lấy độ dốc nên sớm, tụ điện cộng dồn nên trễ.
Vậy Z L = w·L tăng theo f, Z C = 1/(w·C) giảm theo f. Dòng một chiều qua cuộn cảm như qua dây dẫn, còn tụ nạp xong thì chặn; tần số rất cao thì ngược lại.
Phần tử
Trở kháng
Gấp đôi f
Gần một chiều
Điện trở
không đổi
như cũ
Cuộn cảm
Z L = w·L
gấp đôi
gần 0: như dây dẫn
Tụ điện
Z C = 1/(w·C)
còn một nửa
rất lớn: như mạch hở
Trục tuyến tính; L = 0,20 H, C = 100·10 -6 F, R = 50 Ohm (số minh họa, như Lab 1). Z L = Z C = 44,7 Ohm tại f 0 = 35,6 Hz; dưới f 0 tụ cản mạnh hơn, trên f 0 cuộn cảm cản mạnh hơn.
Lab 1 · Một dòng điện, ba phép so sánh R · L · C · SỐ MINH HỌA
Phần tử
Tình huống mẫu
0 = I 0 ·Z; U = U 0 /căn(2)|Độ lệch pha phi = phi u - phi i |Chu kì T; thời điểm t|i và u lúc t|Công suất trung bình P|p lớn nhất; p nhỏ nhất|Z so với khi f = 50 Hz">
Số minh họa: i = I 0 ·cos(w·t), I 0 = 2,0 A. Trục gốc pha hướng lên, mũi tên quay ngược chiều kim đồng hồ; hình chiếu lên trục đứng là giá trị tức thời. u, i, p mỗi cái một thang (p: U 0 ·I 0 ứng với 52 đơn vị hình); đứt vàng là P. "Một nửa f" chỉ bật khi f/2 nằm trên lưới 5 Hz; với R, hai tình huống 10 Hz giống nhau vì R không phụ thuộc f.
Vì sao cuộn cảm làm điện áp sớm pha hơn dòng điện?
Lab 1: chọn cuộn cảm, xem lúc i lớn nhất và lúc i bằng 0.
Gợi ý 1 · độ dốc của hình sin
Độ dốc của cos(w·t) là -w·sin(w·t) = w·cos(w·t + pi/2): một hình sin đạt đỉnh sớm hơn một phần tư chu kì.
Gợi ý 2 · suất điện động tự cảm
Suất điện động tự cảm chống lại sự biến thiên của dòng; điện áp đặt lên cuộn bằng L nhân tốc độ biến thiên của i.
Gợi ý 3 · lúc i ở đỉnh
Lúc i lớn nhất, độ dốc bằng 0 nên u L = 0; u L đã đạt đỉnh trước đó, lúc i tăng nhanh nhất.
Kết luận
u L tỉ lệ độ dốc của i, mà độ dốc đi trước một phần tư chu kì: u L sớm pha 90 độ, biên độ nhân w: Z L = w·L.
Ba phán đoán sau Lab 1
Lab 1 với L = 0,20 H và C = 100·10 -6 F. Tăng tần số từ 50 Hz lên 100 Hz thì cảm kháng và dung kháng thế nào?
Dòng qua một cuộn cảm thuần đang đúng ở giá trị lớn nhất. Điện áp trên cuộn cảm lúc ấy bằng bao nhiêu?
So với cùng một dòng điện i, điện áp trên phần tử nào đạt đỉnh sớm hơn i một phần tư chu kì?
03
Vectơ quay · tổng trở · độ lệch pha
Cộng điện áp bằng cách cộng mũi tên
Ba điện áp lệch nhau từng phần tư chu kì không cộng như ba con số; mũi tên quay biến chúng thành phép cộng vectơ.
Mũi tên quay
Mũi tên dài A quay đều ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc w. Lúc t nó hợp với trục gốc pha góc (w·t + phi 0 ), nên hình chiếu lên trục là A·cos(w·t + phi 0 ) . Ở đây trục gốc hướng lên để hình chiếu nối sang đồ thị theo thời gian; đặt trục nằm ngang chỉ là xoay cả hình 90 độ.
Hai ý: dời một phần tư chu kì = quay 90 độ (mọi mũi tên cùng tốc độ quay, góc giữa chúng giữ nguyên); hình chiếu của tổng là tổng hình chiếu, nên cộng tức thời = cộng mũi tên . Chỉ đúng khi cùng tần số.
Mạch RLC nối tiếp
Lấy mũi tên I làm mốc. U R dọc I; U L sớm 90 độ; U C trễ 90 độ, ngược hẳn U L . Vì u = u R + u L + u C ở mọi lúc, U là tổng ba mũi tên: phần dọc I là U R , phần vuông góc là U L - U C , và theo Pitago:
U = căn(U R 2 + (U L - U C ) 2 ) . Chia mọi cạnh cho I: Z = căn(R 2 + (Z L - Z C ) 2 ) , tan phi = (Z L - Z C )/R , cos phi = R/Z , và I = U/Z . Với R > 0, phi nằm giữa -90 và +90 độ: Z L > Z C thì phi > 0, u sớm pha hơn i (cảm kháng); Z L < Z C thì phi < 0, u trễ pha hơn i (dung kháng).
Điều ít người để ý · cuộn cảm và tụ điện trừ nhau
u L = -U 0L ·sin(w·t) và u C = +U 0C ·sin(w·t): ở mọi thời điểm chúng ngược dấu. Vì thế X = Z L - Z C , và một cuộn cảm có thể triệt tiêu đúng một tụ điện ở một tần số.
Điều ít người để ý · định luật Ohm chỉ cho biên độ
U = I·Z và U 0 = I 0 ·Z; còn u/i đổi theo thời gian (khi i qua 0 mà u khác 0, tỉ số không xác định). u = Z·i chỉ đúng khi u cùng pha i.
Lab 2 · Mạch RLC nối tiếp: cộng các vectơ quay U = 100 V · SỐ MINH HỌA
Tình huống mẫu
-6 F)~20~200~10~100">
L ; Z C |Điện kháng X = Z L - Z C |Tổng trở Z|I = U/Z; I 0 |Độ lệch pha phi|U R ; U L ; U C |Cộng đại số U R + U L + U C (SAI)|cos phi; P = I 2 ·R|f 0 = 1/(2·pi·căn(L·C))|Lúc t: u và u R + u L + u C ">
Số minh họa, U = 100 V. Mũi tên theo giá trị hiệu dụng, điện áp chung một thang (U dài 100 đơn vị hình), I thang riêng; ngắn hơn 18 đơn vị thì không vẽ, dài hơn 125 thì cắt ở vòng tròn mờ. Đồ thị cùng thang giản đồ (nhân căn(2) ra giá trị tức thời); u L , u C cắt ở mép khung, quá 400 V thì không vẽ. Tam giác tổng trở đúng tỉ lệ. Nút Đúng cộng hưởng đặt f = f 0 (giá trị mô hình). Khi máy bật giảm chuyển động, nút Chạy chỉ bước T/8.
Vì sao không được cộng thẳng các điện áp hiệu dụng?
Lab 2: so ô "cộng đại số" với U = 100 V.
Gợi ý 1 · đỉnh không cùng lúc
u R đạt đỉnh cùng i, u L sớm, u C trễ một phần tư chu kì: không bao giờ cả ba cùng ở đỉnh.
Gợi ý 2 · mũi tên vuông góc
U L và U C ngược hướng nhau: trừ. Phần còn lại U L - U C vuông góc với U R .
Gợi ý 3 · Pitago
Hai cạnh vuông góc cộng theo cạnh huyền: U R = 30 V, U L - U C = 40 V cho U = 50 V, không phải 70 V.
Kết luận
Giá trị hiệu dụng không mang thông tin thời điểm. Tức thời thì cộng thẳng; hiệu dụng phải cộng như vectơ.
Một mạch RLC nối tiếp có U R = 30 V, U L = 80 V, U C = 40 V (hiệu dụng). Điện áp hiệu dụng của nguồn bằng bao nhiêu?
Ở cộng hưởng (Z L = Z C ), tổng trở và độ lệch pha của mạch là gì?
04
Công cụ tư duy
Tám bí quyết đọc mọi mạch RLC
Dòng "khi nào hỏng" quan trọng ngang quy tắc.
BÍ QUYẾT 1
Hiệu dụng = cực đại chia căn(2)
Quy tắc I = I 0 /căn(2), U = U 0 /căn(2); đồng hồ đo chỉ giá trị hiệu dụng.
Vì sao Nhiệt theo i 2 ; trung bình cos 2 là 1/2.
Khi nào hỏng Chỉ đúng cho hình sin: sóng vuông đối xứng có hiệu dụng bằng biên độ, sóng tam giác bằng biên độ chia căn(3).
BÍ QUYẾT 2
R cùng pha, L sớm 90 độ, C trễ 90 độ
Quy tắc phi = 0 với R, +90 độ với L, -90 độ với C.
Vì sao u L tỉ lệ độ dốc của i (dời sớm); u C tỉ lệ điện tích, tích phân của i (dời trễ).
Khi nào hỏng Cuộn dây thật có điện trở dây quấn, tụ thật có tổn hao: độ lệch gần nhưng không đúng 90 độ.
BÍ QUYẾT 3
Z L tỉ lệ f, Z C tỉ lệ 1/f
Quy tắc Z L = w·L, Z C = 1/(w·C); gấp đôi f thì Z L gấp đôi, Z C còn một nửa.
Vì sao Dòng đổi nhanh hơn, suất điện động tự cảm lớn hơn; nửa chu kì ngắn hơn, tụ tích ít điện tích hơn.
Khi nào hỏng Tần số rất cao: cuộn thật có điện dung giữa các vòng, tụ thật có độ tự cảm của chân nối.
BÍ QUYẾT 4
Cộng vectơ, không cộng số
Quy tắc U = căn(U R 2 + (U L - U C ) 2 ), không phải U R + U L + U C .
Vì sao Hình chiếu của tổng là tổng hình chiếu; U L , U C ngược hướng nên trừ.
Khi nào hỏng Chỉ cho đại lượng cùng tần số, ở trạng thái ổn định; không dùng lúc vừa đóng mạch.
BÍ QUYẾT 5
tan phi = (Z L - Z C )/R: dấu là tính chất
Quy tắc phi > 0: cảm kháng, u sớm hơn i; phi < 0: dung kháng, u trễ hơn i.
Vì sao Dấu của X quyết định U nghiêng về phía U L hay U C .
Khi nào hỏng arctan cho phi giữa -90 và 90 độ chỉ khi R > 0; R = 0 là giới hạn lí tưởng: phi đúng bằng +90 hay -90 độ, và Z = 0 khi Z L = Z C .
BÍ QUYẾT 6
Cộng hưởng: Z L = Z C
Quy tắc w 0 = 1/căn(L·C): Z = R nhỏ nhất, I, U R , P, cos phi lớn nhất.
Vì sao U L và U C bằng nhau, ngược hướng, triệt tiêu: nguồn chỉ còn "thấy" R.
Khi nào hỏng U C đạt đỉnh dưới w 0 , U L trên w 0 ; đổi C hay L thay vì f thì đỉnh lại khác; cần nguồn giữ U không đổi.