Vật kính nhúng dầu: điểm aplanat, điều kiện sin Abbe và giới hạn nhiễu xạ
Chuyên đề Vật lí nâng cao (Quang học): điểm aplanat của mặt cầu, điều kiện sin Abbe, giới hạn nhiễu xạ Airy và thiết kế vật kính hai thấu kính nhúng dầu; sáu…
LUKATO AI · VẬT LÍ NÂNG CAO · QUANG HỌC
ĐIỂM APLANAT · ĐIỀU KIỆN SIN ABBE · GIỚI HẠN NHIỄU XẠ
Vật kính nhúng dầu:
vì sao ảnh không méo
và vì sao độ phóng đại
có trần
Một giọt dầu nằm giữa tiêu bản và thấu kính đầu tiên của kính hiển vi. Giọt dầu ấy cho phép vật kính nhận một chùm sáng rất rộng từ một vật chỉ vài trăm nanomet, mà ảnh vẫn không bị nhòe và không bị méo thành «đuôi sao chổi». Chuyên đề này gỡ cả cơ chế ấy bằng đúng ba ý : mặt cầu có hai điểm mà tia sáng nào đi qua cũng hội tụ chính xác, hai điểm ấy buộc độ phóng đại phải tuân theo điều kiện sin, và nhiễu xạ đặt một cái trần lên độ phóng đại có ích. Từ ba ý ấy, em tự thiết kế được cả một vật kính hai thấu kính.
- 1. Hai điểm liên hợp của mặt cầu: x=\dfrac{n'}{n}R và x'=\dfrac{n}{n'}R
- 2. Điều kiện sin Abbe: n\,y\sin u=n'\,y'\sin u'
- 3. Trần độ phóng đại hữu ích: M\approx\dfrac{n_{1}\,s\,\theta_{E}}{0{,}61\,\lambda}
4 công cụ
nối thành một chuỗi từ hình học đến thiết kế
6 phòng lab
dò tia thật, kéo thanh trượt, đọc số trực tiếp
14 bài
giải đủ bốn ô, có phân tích đáp án sai
01
Bản đồ chuyên đề
Một vật kính, bốn công cụ, năm câu hỏi
Đề quang học nâng cao về vật kính hiển vi thường dài và nhiều ý, nhưng chỉ xoay quanh một câu chuyện: ánh sáng đi từ một điểm rất nhỏ, qua một mặt cầu, và ta muốn biết ảnh nằm ở đâu, lớn bao nhiêu, rõ đến mức nào . Phần lớn học sinh vấp ở chỗ dùng công thức thấu kính mỏng cho chùm tia rất rộng, trong khi công thức ấy chỉ đúng cho tia gần trục. Chuyên đề này thay nó bằng ba kết quả đúng với mọi tia.
Chuỗi bốn công cụ. Mỗi công cụ trả lời một câu hỏi, và câu trả lời của công cụ trước là dữ kiện đầu vào của công cụ sau.
Năm câu hỏi của đề và công cụ để trả lời
Câu hỏi đề đặt ra
Công cụ
Đáp số cốt lõi
Mục
Điểm vật nào trên trục cho ảnh sắc nét với mọi tia, và ảnh ở đâu?
Tam giác đồng dạng OPM\sim OMQ
x=\dfrac{n'}{n}R,\ x'=\dfrac{n}{n'}R
Vật nhỏ ở điểm đó cho ảnh lớn gấp mấy lần, và góc tia thay đổi thế nào?
Tia qua tâm, định lí sin
\dfrac{y'}{y}=\left(\dfrac{n}{n'}\right)^{2}, \ n\,y\sin u=n'\,y'\sin u'
Độ phóng đại có ích lớn nhất là bao nhiêu?
Đĩa Airy, tiêu chuẩn Rayleigh
M\approx330
Ghép thêm thấu kính thứ hai thế nào để ảnh vẫn không méo?
Mặt đồng tâm, mặt aplanat
R_{2},\ R_{3} theo n_{1},n_{2},R_{1},d_{1},d_{2}
Chùm ló rộng bao nhiêu, và cả hệ phóng đại bao nhiêu lần?
Tích các hệ số từng mặt
\beta,\ k=n_{1}^{2}n_{2}
Vì sao không dùng công thức thấu kính quen thuộc
Công thức \dfrac1f=\dfrac1d+\dfrac1{d'} và công thức mặt cầu cận trục đều là kết quả của phép xấp xỉ \sin\theta\approx\theta. Vật kính nhúng dầu nhận chùm tia có góc nửa mở khoảng 57^{\circ} ngay ở phía vật, nên phép xấp xỉ ấy sai ngay từ dòng đầu tiên. Cái cứu ta là một sự kiện hình học hiếm: với hai điểm đặc biệt, phép khúc xạ trên mặt cầu là chính xác, không xấp xỉ gì cả . Cả chuyên đề dựa vào sự kiện ấy.
Quy ước dùng suốt chuyên đề
R bán kính, O tâm cầu n chiết suất bên trong cầu n' chiết suất bên ngoài, n>n' P điểm vật trên trục, OP=x<R Q điểm ảnh ảo, OQ=x'>R u,\ u' góc giữa tia và trục tại P, tại Q y,\ y' chiều cao vật, ảnh thập phân viết dấu phẩy: 1{,}523
Đoán trước khi tính
Một quả cầu thủy tinh chiết suất n=1{,}5 đặt trong không khí (n'=1), bán kính R. Điểm P trên trục bên trong quả cầu cho ảnh không bị cầu sai sẽ nằm cách tâm O bao nhiêu?
Mẹo nhớ: điểm vật nằm trong cầu, nên khoảng cách tới tâm là phân số của R; điểm ảnh ảo nằm ngoài cầu, nên khoảng cách tới tâm là bội của R. Tích hai khoảng cách luôn bằng R^{2}.
Thử tay: quả cầu crown trong không khí
Số liệu: quả cầu thủy tinh crown có n=1{,}523, bán kính R=3{,}00 mm, đặt trong không khí. Tìm khoảng cách từ tâm đến điểm vật aplanat và đến điểm ảnh ảo.
Gợi ý 1 · Gán nhãn
Bên trong là thủy tinh: n=1{,}523. Bên ngoài là không khí: n'=1. Vì n>n' nên điểm aplanat tồn tại.
Gợi ý 2 · Hai công thức
x=\dfrac{n'}{n}R=\dfrac{3{,}00}{1{,}523} và x'=\dfrac{n}{n'}R=1{,}523\cdot3{,}00.
Đáp án
x\approx1{,}97 mm và x'=4{,}569 mm \approx4{,}57 mm. Kiểm: x<R<x' đúng thứ tự, và x\,x'=1{,}970\cdot4{,}569\approx9{,}00=R^{2} mm^{2}. Đây chính là cặp điểm của vật kính trong mục 6.
02
Nền móng · Phòng dò tia 1
Mặt cầu khúc xạ: ba hệ thức đúng với mọi tia
Ta bắt đầu từ cảnh đơn giản nhất: một quả cầu trong suốt, một điểm sáng P nằm trên trục bên trong, và một chùm tia tỏa ra từ P sang phải. Mỗi tia gặp mặt cầu tại một điểm M, bị khúc xạ, rồi đi ra ngoài. Điều ta quan tâm là đường kéo dài ngược của tia ló cắt trục ở đâu . Nếu mọi tia cắt trục tại cùng một điểm Q, ta có một ảnh ảo hoàn hảo. Nếu không, mỗi tia cho một điểm riêng, và chùm sáng bị «rải» dọc trục: đó là cầu sai.
Bố cục dùng cả chuyên đề. Điểm vật P ở bên trong quả cầu, bên trái tâm O. Tia xuất phát từ P hợp với trục góc u, gặp mặt cầu tại M và ló ra theo hướng MN. Đường kéo dài ngược (nét đứt) cắt trục tại Q, ở ngoài cầu, tạo với trục góc u'.
Bốn góc và ba hệ thức
Tại M, pháp tuyến là đường bán kính OM. Gọi i=\widehat{OMP} là góc tới và r=\widehat{OMQ} là góc khúc xạ. Với u và u' là góc của tia tại P và tại Q so với trục, ta có ba hệ thức, không có xấp xỉ nào :
Định luật khúc xạ
Hệ thức 1
n\sin i=n'\sin r
Áp dụng tại M cho từng tia riêng lẻ.
Định lí sin, tam giác OPM
Hệ thức 2
\frac{R}{\sin u}=\frac{x}{\sin i}
Cạnh OM=R đối diện góc u, cạnh OP=x đối diện góc i.
Định lí sin, tam giác OQM
Hệ thức 3
\frac{R}{\sin u'}=\frac{x'}{\sin r}
Cạnh OM=R đối diện góc u', cạnh OQ=x' đối diện góc r.
Thay hệ thức 2 và 3 vào hệ thức 1, em được một hệ quả gọn và rất hữu ích:
n\,x\,\sin u=n'\,x'\,\sin u'\qquad(\star)
Hệ thức (\star) đúng cho mỗi tia , với x' là khoảng cách từ O đến điểm mà tia ấy cho. Nó chưa nói x' có đổi theo tia hay không. Phần việc của mục 3 là tìm khi nào x' không đổi.
Hai hệ thức hình học luôn đi kèm
Trong tam giác OPM góc ngoài tại O bằng tổng hai góc trong không kề: nếu gọi \varphi là góc giữa OM và trục thì \varphi=u+i. Tương tự trong tam giác OQM ta có \varphi=u'+r. Hai hệ thức này cho ta u-u'=r-i, tức là góc của tia so với trục đổi đúng bằng độ lệch giữa góc khúc xạ và góc tới . Em sẽ dùng chúng ở mục 3 để xét tia gần trục.
Phòng dò tia 1: kéo điểm P và xem chùm tia
Phòng lab dưới đây dò tia thật bằng định luật khúc xạ, không dùng bất kì xấp xỉ nào. Chấm đỏ trên trục là giao điểm của đường kéo dài ngược của từng tia. Khi các chấm gộp thành một, em đã gặp điểm aplanat.
Phòng dò tia 1 · chùm tia từ điểm vật trong quả cầu KÉO ĐỂ THỬ
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Chiết suất trong n = 1,523
Chiết suất ngoài n' = 1,000
Khoảng cách x/R = 0,657
x aplanat
0,657 R
x' aplanat
1,523 R
Độ rải của x'
0 R
Tia bị phản xạ toàn phần
0 tia
Thử ba thao tác
(1) Bấm «Đặt đúng điểm aplanat»: độ rải bằng 0 và mười lăm chấm đỏ chồng lên nhau tại x'=1{,}523\,R. (2) Từ đó kéo x/R ra xa 0{,}657 về một phía bất kì: các chấm đỏ tách ra, tia càng nghiêng so với trục thì điểm cắt càng lệch, đó là cầu sai. (3) Kéo x/R lên khoảng 0{,}9: các tia nghiêng nhiều bị phản xạ toàn phần ở mặt cầu và biến mất, vì góc tới vượt góc tới hạn.
Đoán trước khi tính
Trong phòng lab, em đặt P đúng điểm aplanat rồi tăng chiết suất ngoài n' từ 1{,}000 lên 1{,}300 (giữ n=1{,}523 và giữ nguyên x/R). Điều gì xảy ra với chùm tia?
Bài học: điểm aplanat không phải là một vị trí cố định của quả cầu mà là một vị trí gắn với cặp chiết suất . Đổi môi trường là đổi điểm.
03
Điểm aplanat · Phòng dò tia 2
Hai điểm liên hợp: chứng minh bằng tam giác đồng dạng
Ở mục 2 ta có ba hệ thức đúng với mọi tia. Bây giờ ta hỏi: có những vị trí nào của P để mọi tia, kể cả tia rất xiên, đều cho cùng một điểm Q? Câu trả lời gọn đến mức đáng ngạc nhiên: có đúng một vị trí không tầm thường, và chứng minh nó chỉ cần hai tam giác đồng dạng. Lời giải dùng phép bình phương và nguyên lí Fermat cũng đến được kết quả ấy, nhưng dài gấp nhiều lần và che mất bức tranh hình học.
Định lí aplanat của mặt cầu
Quả cầu bán kính R, chiết suất trong n, chiết suất ngoài n' với n>n'. Lấy hai điểm P và Q trên trục, cùng một phía so với tâm O, sao cho
OP=x=\frac{n'}{n}\,R,\qquad OQ=x'=\frac{n}{n'}\,R\quad\Longrightarrow\quad x\,x'=R^{2}.
Khi đó mọi tia xuất phát từ P, dù xiên bao nhiêu, sau khi khúc xạ qua mặt cầu đều có đường kéo dài ngược đi qua Q. Cặp điểm (P,Q) gọi là cặp điểm aplanat của mặt cầu. Q nằm ngoài cầu nên là ảnh ảo.
Hai tam giác OPM và OMQ có chung góc tại O và hai cạnh kề tỉ lệ vì OP\cdot OQ=OM^{2}. Vì thế chúng đồng dạng, và các cặp góc bằng nhau cho ta ngay i=u' và r=u.
Chứng minh trong ba nhịp
NHỊP 1 · TỈ LỆ CẠNH Từ x\,x'=R^{2} suy ra \dfrac{OP}{OM}=\dfrac{OM}{OQ}, vì OM=R.
NHỊP 2 · ĐỒNG DẠNG P và Q cùng phía so với O nên \widehat{POM}=\widehat{MOQ}. Hai tam giác đồng dạng (cạnh, góc, cạnh): \triangle OPM\sim\triangle OMQ.
NHỊP 3 · KHÚC XẠ Đọc các cặp góc bằng nhau, rồi dùng định lí sin để kiểm tra định luật khúc xạ tại M.
Nhịp 2, đọc góc. Trong phép đồng dạng O\to O, P\to M, M\to Q thì góc tại P của tam giác thứ nhất bằng góc tại M của tam giác thứ hai, và góc tại M của tam giác thứ nhất bằng góc tại Q của tam giác thứ hai. Với các tên góc của mục 2 điều đó nghĩa là
\widehat{OPM}=u=\widehat{OMQ}=r,\qquad\widehat{OMP}=i=\widehat{OQM}=u'.
Nhịp 3, kiểm định luật khúc xạ. Định lí sin trong tam giác OPM cho \dfrac{\sin i}{\sin u}=\dfrac{x}{R}. Thay u=r ở vế dưới:
\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{x}{R}=\frac{n'}{n}\quad\Longleftrightarrow\quad n\sin i=n'\sin r.
Đây đúng là định luật khúc xạ tại M. Điểm quan trọng: nhịp 3 không dùng gì ngoài u=r và x=\dfrac{n'}{n}R, và không có chỗ nào cần góc nhỏ . Hướng MQ thỏa định luật khúc xạ nên chính là hướng của tia ló thật. Vì M là điểm bất kì, mọi tia ló đều có đường kéo dài ngược qua Q. \blacksquare
Hai bất đẳng thức tự có
Vì n>n' nên x=\dfrac{n'}{n}R<R<x'=\dfrac{n}{n'}R. Điểm vật luôn nằm trong cầu và điểm ảnh luôn nằm ngoài cầu, đúng với hình vẽ. Khi n'\to n thì x và x' cùng tiến về R: hai điểm chập vào mặt cầu, vì không còn khúc xạ nữa. Khi n'\to1 và n lớn thì x\to0 còn x'\to nR: vật gần tâm, ảnh ra xa.
Phòng dò tia 2: các cặp góc bằng nhau
Phòng dò tia 2 · tam giác đồng dạng OPM và OMQ KÉO ĐỂ THỬ
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Vị trí M: góc \varphi = 60 độ
n = 1,523
n' = 1,000
OP/OM
0,657
OM/OQ
0,657
i và u'
0 độ
r và u
0 độ
Thử ba thao tác
(1) Kéo \varphi từ 8 đến 172 độ: hai tỉ số OP/OM và OM/OQ luôn bằng nhau, còn hai cặp góc luôn khớp. (2) Đặt n=2{,}4 và n'=1: P lùi sát tâm (x\approx0{,}417\,R), tam giác OPM trở nên «gầy». (3) Kéo n' lên 1{,}2 rồi n xuống 1{,}2: hai điểm dồn về mặt cầu và hai tam giác gần như trùng nhau.
Có còn nghiệm nào khác không
Định lí trên chỉ chứng minh rằng x=\dfrac{n'}{n}R đủ để có điểm aplanat. Đề thi còn hỏi «tìm tất cả giá trị có thể có của x», nên ta phải chứng tỏ điều kiện này cần . Cách gọn nhất là thử đúng hai tia đặc biệt. Đặt a=\dfrac{x}{R} và b=\dfrac{n}{n'}.
Tia thử 1: tia gần trục. Với tia rất gần trục, mọi góc nhỏ và \sin\theta\approx\theta. Hệ thức 2 cho i=a\,u, định luật khúc xạ cho r=b\,i. Cùng với \varphi=u+i ta giải được i=\dfrac{a\varphi}{1+a} và r=\dfrac{ab\varphi}{1+a}. Khi đó u'=\varphi-r, và hệ thức 3 (với góc nhỏ, r=\dfrac{x'}{R}\,u') cho
\frac{x'}{R}=\frac{r}{u'}=\frac{ab}{1+a-ab}.
Tia thử 2: tia vuông góc với trục (u=90^{\circ}). Hệ thức 2 cho \sin i=a, định luật khúc xạ cho \sin r=ab. Từ u'=u+i-r ta có \sin u'=\cos(i-r)=\cos i\cos r+ab\cdot a. Hệ thức 3 cho \dfrac{x'}{R}=\dfrac{\sin r}{\sin u'}. Cho hai biểu thức của \dfrac{x'}{R} bằng nhau và khử mẫu (với a>0):
\sqrt{(1-a^{2})(1-a^{2}b^{2})}=(1+a)(1-ab).
Bình phương hai vế rồi chia cho (1+a)(1-ab)\neq0 ta được (1-a)(1+ab)=(1+a)(1-ab), tức a\,(b-1)=0. Còn trường hợp 1-ab=0 làm cả hai vế bằng 0, cho a=\dfrac1b.
Kết quả: ngoài nghiệm tầm thường a=0 (điểm vật đúng tâm cầu) chỉ còn a=\dfrac1b, tức x=\dfrac{n'}{n}R. Điều kiện x<R đòi b>1, tức n>n'.
Trường hợp n<n' (và nghiệm tầm thường)
Nếu chiết suất trong nhỏ hơn chiết suất ngoài (còn n=n' thì chẳng có khúc xạ nào) thì \dfrac1b>1 ứng với x>R, nằm ngoài cầu, nên bị loại: chỉ còn x=x'=0 . Mọi tia đi qua tâm vuông góc mặt cầu nên không lệch, ảnh trùng vật, và ta nói điểm vật đúng tâm là điểm aplanat tầm thường. Em sẽ thấy ở mục 6 vì sao chi tiết này quyết định cách đặt mặt lõm thứ hai của vật kính. Đừng lẫn với trường hợp n>n' của định lí: viết sai chiều bất đẳng thức, n'>n, sẽ đẩy x ra ngoài cầu và mâu thuẫn với điều kiện x<R ngay lập tức.