Động học bằng đồ thị: độ dốc, diện tích có dấu và những cái bẫy đọc đồ thị
Chuyên đề Vật lí 10: nhìn đồ thị x-t, v-t, a-t như một chiếc thang ba bậc, đi xuống bằng độ dốc và đi lên bằng diện tích có dấu. Sáu phòng lab tương tác…
LUKATO AI · VẬT LÍ 10 · ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
ĐỌC ĐỒ THỊ · ĐỘ DỐC · DIỆN TÍCH CÓ DẤU · NHỮNG CÁI BẪY
Ba đồ thị, một câu chuyện:
đi xuống bằng độ dốc ,
đi lên bằng diện tích có dấu
Đề kiểm tra động học nào cũng có đồ thị, và học sinh nào cũng mất điểm ở những chỗ rất giống nhau: coi đoạn nằm ngang là chuyển động đều, đọc vận tốc bằng góc nghiêng, cộng diện tích mà quên dấu, lấy trung bình hai đầu mút cho một chuyển động nhiều giai đoạn. Chuyên đề này nhìn đồ thị tọa độ, vận tốc và gia tốc như ba lời kể của cùng một chuyển động , nối với nhau bằng đúng hai thao tác. Nắm chắc hai thao tác ấy, em đọc được mọi đồ thị của đề, và nhìn ra cái bẫy trước khi nó kịp sập.
- 1. Độ dốc: v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t} trên đồ thị x–t, \ a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t} trên đồ thị v–t
- 2. Diện tích có dấu dưới v–t là độ dịch chuyển; diện tích không dấu là quãng đường
- 3. Dấu của tích v\,a quyết định nhanh dần hay chậm dần
2 thao tác
độ dốc đi xuống, diện tích đi lên
6 phòng lab
kéo thanh trượt, xem ba đồ thị cùng lúc
15 bài
giải đủ bốn ô, có phân tích đáp án sai
01
Bản đồ chuyên đề
Một chiếc thang ba bậc: x, v, a
Ba đồ thị của động học không phải ba đối tượng riêng lẻ. Chúng là ba bậc của cùng một chiếc thang . Tọa độ x(t) ở bậc dưới cùng, vận tốc v(t) ở giữa, gia tốc a(t) ở trên cùng. Đi từ bậc dưới lên bậc trên là lấy độ dốc ; đi ngược xuống là lấy diện tích có dấu rồi cộng thêm điều kiện đầu. Mọi câu hỏi đọc đồ thị đều là một bước đi trên chiếc thang ấy.
Chiếc thang ba bậc. Mũi tên xanh đậm là phép lấy độ dốc (tiếp tuyến). Mũi tên vàng là phép lấy diện tích có dấu, và mỗi lần đi xuống phải nhớ thêm một điều kiện đầu.
Tám câu hỏi quen thuộc của đề và công cụ để trả lời
Câu hỏi đề đặt ra
Công cụ
Dấu hiệu nhận ra
Mục
Vật đứng yên hay chuyển động đều?
Độ dốc của x–t bằng 0 hay bằng hằng số khác 0
Đoạn nằm ngang hay đoạn thẳng nghiêng
Vận tốc hay gia tốc tại một thời điểm?
Tiếp tuyến tại điểm đó, không phải đường nối hai điểm xa nhau
Đường cong; chữ «tức thời»
Đi được bao xa? Độ dịch chuyển là bao nhiêu?
Diện tích có dấu và diện tích không dấu dưới v–t
Đoạn đồ thị cắt trục thời gian
Nhanh dần hay chậm dần?
Dấu của tích v\,a, hay độ cong cùng chiều đi của x–t
Parabola, hoặc v–t đi về phía trục
Từ a–t suy ra vận tốc và vị trí sau một thời gian?
Diện tích dưới a–t, rồi diện tích dưới v–t, mỗi bước cộng điều kiện đầu
Đề cho a từng đoạn
Hai vật gặp nhau lúc nào, cách nhau bao nhiêu?
Giao điểm của hai x–t; hiệu diện tích giữa hai v–t
«gặp», «đuổi kịp», «khoảng cách»
Ném lên hay thả xuống: dấu của g là gì?
Chọn chiều trục, rồi giữ đúng dấu cho cả y_{0}, v_{0y} và a_{y}
«Oy hướng lên», «Oy hướng xuống»
Đáp số cuối có đúng đơn vị và chữ số không?
Đổi đơn vị trước khi thay số, làm tròn một lần ở cuối
\mu\text{s}, \text{Gm/s}^{2}, cm, km/h
Vì sao đề hay hỏi bằng đồ thị
Đồ thị buộc người làm bài hiểu chuyển động thay vì thay số vào công thức. Một đoạn nằm ngang trên x–t và một đoạn nằm ngang trên v–t trông giống hệt nhau, nhưng một đoạn là vật đứng yên, đoạn kia là vật chuyển động đều. Phân biệt được hai điều ấy chính là phân biệt được vị trí và vận tốc. Cả chuyên đề xoay quanh việc phân biệt ấy.
Quy ước dùng suốt chuyên đề
x tọa độ của vật trên trục Ox d=\Delta x độ dịch chuyển, có dấu s quãng đường, luôn không âm v vận tốc, có dấu theo chiều dương đã chọn tốc độ là độ lớn của vận tốc a gia tốc, có dấu x–t đọc là «đồ thị x theo t» thập phân viết dấu phẩy: 1{,}5
Đoán trước khi tính
Đồ thị tọa độ theo thời gian x–t của một vật có một đoạn nằm ngang kéo dài từ t=4\ \text{s} đến t=7\ \text{s}. Trong khoảng thời gian ấy, phát biểu nào đúng?
Mẹo nhớ: trên x–t chỉ có độ dốc nói về vận tốc. Giá trị của x chỉ cho biết vật đang ở đâu.
Thử tay: ba câu hỏi cho một đồ thị v–t
Một xe chạy thẳng. Đồ thị v–t là đường gấp khúc đi qua (0;0), (3;6), (5;6) với v tính bằng m/s và t tính bằng giây. Tính gia tốc trong 3 s đầu, độ dịch chuyển trong cả 5 s và vận tốc trung bình trong 5 s.
Gợi ý 1 · Độ dốc
Trong 3 s đầu đồ thị là đoạn thẳng đi từ 0 lên 6. Độ dốc của v–t chính là gia tốc: a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}.
Gợi ý 2 · Diện tích
Độ dịch chuyển là diện tích dưới v–t. Chia hình thành tam giác (từ 0 đến 3 s) và hình chữ nhật (từ 3 s đến 5 s).
Đáp án
a=\dfrac{6-0}{3-0}=2\ \text{m/s}^{2}. Diện tích tam giác \dfrac12\cdot3\cdot6=9 m, hình chữ nhật 6\cdot2=12 m, nên d=21 m. Vận tốc trung bình \dfrac{21}{5}=4{,}2 m/s. Kiểm: nếu lấy trung bình hai đầu mút \dfrac{0+6}{2}=3 m/s thì sai, vì chuyển động có hai giai đoạn khác nhau. Mục 3 giải thích vì sao.
02
Đi xuống thang
Độ dốc: vận tốc nằm trong đồ thị x–t, gia tốc nằm trong đồ thị v–t
Trên đồ thị x–t, hai điểm bất kỳ cho một tỉ số \dfrac{\Delta x}{\Delta t}: đó là vận tốc trung bình trong khoảng giữa hai điểm, và cũng là độ dốc của đoạn thẳng nối chúng (cát tuyến). Khi hai điểm nhập làm một, đoạn nối trở thành tiếp tuyến và độ dốc của nó là vận tốc tức thời . Hoàn toàn tương tự một bậc thang lên: độ dốc của v–t là gia tốc. Một thao tác duy nhất, dùng hai lần.
Bậc 1 → bậc 2
Từ x–t sang vận tốc
v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t} giữa hai điểm (trung bình), hay độ dốc tiếp tuyến tại một điểm (tức thời). Đơn vị: m/s. Dốc lên là v>0, dốc xuống là v<0, nằm ngang là v=0.
Bậc 2 → bậc 3
Từ v–t sang gia tốc
a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t} giữa hai điểm (trung bình), hay độ dốc tiếp tuyến tại một điểm (tức thời). Đơn vị: \text{m/s}^{2}. Nằm ngang là a=0: chuyển động đều , không phải đứng yên.
Đọc một đồ thị x–t gồm ba đoạn thẳng
Xe máy đi 20 m trong 4 s, đứng yên 3 s, rồi lùi 14 m trong 2 s. Mỗi đoạn thẳng có đúng một độ dốc, tức một vận tốc.
Đoạn
Tính độ dốc
Vận tốc
Nhận xét
1 (0 đến 4 s)
v_{1}=\dfrac{20-0}{4-0}
+5\ \text{m/s}
Chuyển động thẳng đều theo chiều dương
2 (4 đến 7 s)
v_{2}=\dfrac{20-20}{7-4}
Đứng yên tại x=20 m
3 (7 đến 9 s)
v_{3}=\dfrac{6-20}{9-7}
-7\ \text{m/s}
Chuyển động thẳng đều theo chiều âm, tốc độ 7 m/s
Cả quá trình: độ dịch chuyển d=6-0=6 m. Quãng đường s=20+0+14=34 m. Vận tốc trung bình \dfrac{6}{9}\approx0{,}67 m/s, tốc độ trung bình \dfrac{34}{9}\approx3{,}78 m/s. Hai con số khác nhau vì xe có lúc đi lùi: độ dịch chuyển bù trừ, quãng đường chỉ cộng dồn.
Bẫy 1 · Hai đoạn nằm ngang, hai ý nghĩa
Đoạn nằm ngang trên x–t là v=0: vật đứng yên . Đoạn nằm ngang trên v–t là a=0: vật chuyển động đều với vận tốc bằng độ cao của đoạn. Cùng một hình, hai câu chuyện trái ngược. Việc đầu tiên khi nhìn một đồ thị là đọc tên trục tung .
Bẫy 2 · Đọc vận tốc bằng góc nghiêng
Độ dốc vật lí là tỉ số hai số đo có đơn vị , không phải góc trên giấy. Trong cùng một chuyển động đều 5 m/s, nếu một ô dọc là 5 m thì đường thẳng nghiêng 45^{\circ}, nếu một ô dọc là 10 m thì nó chỉ nghiêng khoảng 26{,}6^{\circ}. Chỉ khi hai trục chia cùng tỉ lệ mới có v=\tan\alpha. Vì vậy: luôn đọc hai tọa độ trên các trục và chia, đừng dùng thước đo góc.
Hai đồ thị cùng mô tả chuyển động 5 m/s. Góc nghiêng phụ thuộc cách chia ô, còn tỉ số \dfrac{\Delta x}{\Delta t} thì không.
Bẫy 3 · «Dốc xuống» không phải «chậm dần»
Trên x–t, đoạn dốc xuống chỉ cho biết v<0: vật đi theo chiều âm. Nó có thể đang đi ngược nhanh dần (độ dốc càng lúc càng âm) hoặc chậm dần (độ dốc dần về 0). Muốn biết nhanh hay chậm dần phải xét thêm độ cong, việc của mục 4.
Tiếp tuyến và cát tuyến trong một chuyển động có gia tốc
Khi đồ thị x–t là đường cong, đường nối hai điểm cách xa nhau cho vận tốc trung bình , còn vận tốc tại một thời điểm là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm đó. Hai giá trị này thường khác nhau. Có một quy luật đẹp: nếu gia tốc không đổi, vận tốc trung bình trong một khoảng thời gian đúng bằng vận tốc tức thời ở chính giữa khoảng ấy. Phòng lab dưới đây cho em tự kiểm.
Phòng lab 1 · tiếp tuyến và cát tuyến KÉO ĐỂ THỬ
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Thời điểm đầu t_{0} = 1,0 s
Khoảng thời gian \Delta t = 2,0 s
v trung bình (cát tuyến)
v tức thời tại t_{0} (tiếp tuyến)
Chênh lệch hai giá trị
v tức thời ở giữa khoảng
Thử ba thao tác
(1) Chọn «Nhanh dần đều», giữ t_{0} và kéo \Delta t từ 4 s xuống 0{,}05 s: cát tuyến xoay dần vào tiếp tuyến, hai vận tốc hội tụ. (2) Ở mọi \Delta t, so «v trung bình» với «v ở giữa khoảng»: với gia tốc không đổi hai số trùng nhau. (3) Chọn «Gia tốc thay đổi» và thử lại: hai số bắt đầu lệch, vì quy luật điểm giữa chỉ đúng khi v–t là đường thẳng.
Đoán trước khi tính
Một vật chuyển động nhanh dần đều. Trong khoảng từ t=2\ \text{s} đến t=6\ \text{s}, vận tốc trung bình bằng vận tốc tức thời tại thời điểm nào?
Hệ quả quen thuộc: với gia tốc không đổi, v_{tb}=\dfrac{v_{0}+v}{2} và d=\dfrac{v_{0}+v}{2}\,t. Công thức này chỉ dùng được cho một đoạn có gia tốc không đổi, không dùng cho cả đồ thị gấp khúc (mục 3).
Bảng đọc nhanh các hình dạng
Hình dạng
Trên x–t
Trên v–t
Trên a–t
Đoạn nằm ngang
v=0, đứng yên
a=0, chuyển động đều
a không đổi
Đoạn thẳng dốc lên
v>0 không đổi, chuyển động đều
a>0 không đổi, vận tốc tăng đều
a tăng đều, hiếm gặp ở lớp 10
Đoạn thẳng dốc xuống
v<0 không đổi, chuyển động đều
a<0 không đổi, vận tốc giảm đều
a giảm đều, hiếm gặp ở lớp 10
Đường cong
Vận tốc thay đổi, tức là có gia tốc; là parabola khi a không đổi
Gia tốc thay đổi theo thời gian, ít gặp ở lớp 10
Gia tốc biến thiên, ít gặp ở lớp 10
Thử tay: đọc đồ thị x–t gấp khúc
Số liệu: đồ thị x–t đi qua (0;-4), (3;8), (6;8), (8;-4) với x tính bằng m, t bằng giây. Tìm vận tốc từng đoạn và vận tốc trung bình, tốc độ trung bình cả quá trình.
Gợi ý 1 · Ba đoạn
Đoạn 1 từ t=0 đến 3 s, đoạn 2 từ 3 s đến 6 s, đoạn 3 từ 6 s đến 8 s. Tính độ dốc mỗi đoạn.
Gợi ý 2 · Dịch chuyển và quãng đường
Độ dịch chuyển chỉ phụ thuộc vị trí đầu và cuối. Quãng đường cộng độ dài từng đoạn dịch chuyển, không để dấu âm làm triệt tiêu.
Đáp án
v_{1}=\dfrac{8-(-4)}{3}=+4\ \text{m/s}, v_{2}=0, v_{3}=\dfrac{-4-8}{2}=-6\ \text{m/s}. Độ dịch chuyển d=-4-(-4)=0 nên vận tốc trung bình bằng 0. Quãng đường s=12+0+12=24 m nên tốc độ trung bình \dfrac{24}{8}=3\ \text{m/s}. Kiểm: vật về đúng chỗ xuất phát, nên d=0 nhưng s=24 m.
03
Đi lên thang
Diện tích có dấu: độ dịch chuyển nằm dưới đồ thị v–t
Nếu vận tốc không đổi, độ dịch chuyển là d=v\,\Delta t: đó là diện tích hình chữ nhật cao v, rộng \Delta t trên đồ thị v–t. Một chuyển động bất kỳ có thể cắt thành những lát thời gian rất ngắn mà trong mỗi lát vận tốc coi như không đổi, nên độ dịch chuyển bằng tổng diện tích các lát, tức diện tích dưới đồ thị . Phần nằm dưới trục thời gian ứng với v<0, vật đi lùi, nên diện tích mang dấu âm .
Ba quy tắc đọc diện tích dưới v–t
(1) Độ dịch chuyển d=S_{+}-S_{-}, với S_{+} là diện tích phần trên trục, S_{-} là diện tích (lấy giá trị dương) phần dưới trục.
(2) Quãng đường s=S_{+}+S_{-}: không bao giờ giảm khi thời gian trôi.
(3) Tọa độ x=x_{0}+d: diện tích chỉ cho độ biến thiên của tọa độ, vị trí đầu phải cộng thêm.
Công thức quen thuộc chỉ là diện tích hình thang
Với gia tốc không đổi, v–t là đường thẳng từ v_{0} đến v=v_{0}+a\,t. Diện tích hình thang bên dưới là d=\dfrac{v_{0}+v}{2}\,t=\dfrac{v_{0}+(v_{0}+a\,t)}{2}\,t=v_{0}\,t+\dfrac12\,a\,t^{2}. Đó chính là công thức tọa độ x=x_{0}+v_{0}\,t+\dfrac12\,a\,t^{2} mà em đã học. Không có hai thứ riêng: công thức và đồ thị là cùng một phép tính.
Một đồ thị gấp khúc: chia hình, tính từng mảnh
Xe đồ chơi có bốn giai đoạn. Chia dưới đồ thị thành tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình thang. Đường đứt đỏ là độ cao của hình chữ nhật có cùng diện tích: vận tốc trung bình.
Giai đoạn
Hình
Diện tích
Gia tốc
0 đến 4 s
Tam giác, đáy 4, cao 2
\dfrac12\cdot4\cdot2=4 m
0{,}5\ \text{m/s}^{2}
4 đến 6 s
Hình thang, cao 2, đáy 2 và 6
\dfrac{2+6}{2}\cdot2=8 m
2\ \text{m/s}^{2}
6 đến 9 s
Hình chữ nhật 3\times6
18 m
9 đến 13 s
Hình thang, cao 4, đáy 6 và 2
\dfrac{6+2}{2}\cdot4=16 m
-1\ \text{m/s}^{2}
Tổng d=4+8+18+16=46 m, nên vận tốc trung bình \dfrac{46}{13}\approx3{,}54 m/s. Gia tốc lớn nhất xảy ra ở giai đoạn có đồ thị dốc nhất, từ 4 s đến 6 s.
Bẫy 4 · Trung bình hai đầu mút cho chuyển động nhiều giai đoạn
Công thức v_{tb}=\dfrac{v_{đầu}+v_{cuối}}{2} chỉ đúng khi cả quá trình là một đoạn thẳng của v–t (gia tốc không đổi). Với đồ thị trên, nó cho \dfrac{0+2}{2}=1{,}0 m/s: sai nặng. Một cách sai nữa là lấy trung bình cộng các giá trị đọc được: \dfrac{0+2+6+6+2}{5}=3{,}2 m/s, cũng sai vì bỏ qua độ dài thời gian của từng giai đoạn (đoạn 9 đến 13 s kéo dài 4 s, đoạn 4 đến 6 s chỉ 2 s). Đáp số đúng luôn là tổng diện tích chia tổng thời gian .