Phóng xạ và hạt nhân: đếm hạt nhân, đếm xung và năng lượng liên kết
Gom toàn bộ phóng xạ và hạt nhân lớp 12 vào ba cuốn sổ: số hạt nhân, số xung và năng lượng. Có bảy phòng lab tương tác, mười bốn bẫy kèm thẻ lật và mười sáu…
LUKATO AI · VẬT LÍ 12 · VẬT LÍ HẠT NHÂN
ĐẾM HẠT NHÂN · ĐẾM XUNG · ĐẾM NĂNG LƯỢNG
Ba cuốn sổ, một mẫu phóng xạ:
đếm hạt nhân , đếm xung
và đếm năng lượng
Đề phóng xạ nào cũng quanh quẩn vài dạng, vậy mà học sinh vẫn mất điểm ở những chỗ rất giống nhau: lấy số hạt đã phân rã làm số hạt còn lại, coi số xung bằng độ phóng xạ nhân thời gian dù thời gian cỡ chu kì, so khối lượng như so số hạt, lấy hiệu năng lượng liên kết ngược dấu, chia động năng theo tỉ lệ thuận. Chuyên đề gom toàn bộ phần phóng xạ và hạt nhân của lớp 12 vào ba cuốn sổ . Mỗi con số trong đề nằm đúng trong một cuốn, và chỉ có hai quy tắc để đi từ cuốn này sang cuốn kia. Biết con số nằm ở sổ nào, em biết công thức nào, đơn vị nào và cái bẫy nào đang chờ.
- Sổ 1 · hạt nhân: N=N_{0}\,2^{-t/T}; khối lượng chỉ là cách đọc N theo gam, m=\dfrac{N\,A}{N_{A}}
- Sổ 2 · xung: H=\lambda N=H_{0}\,2^{-t/T} là hạt mỗi giây; số xung trong một cửa sổ \Delta t là N(t_{0})\left(1-2^{-\Delta t/T}\right)
- Sổ 3 · năng lượng: Q=(m_{\text{trước}}-m_{\text{sau}})\,c^{2}, E_{lk}=\Delta m\,c^{2}; công suất P=H\cdot Q
3 cuốn sổ
mọi bài phóng xạ là một con số trong một cuốn
7 phòng lab
kéo thanh trượt, xem ba sổ cùng nhảy
16 bài
nhiều dạng câu hỏi, có phân tích đáp án sai
01
Bản đồ chuyên đề
Ba cuốn sổ: hạt nhân, xung và năng lượng
Một khối chất phóng xạ, nhìn từ bên ngoài, chỉ cho ta ba kiểu con số. Hoặc ta đếm còn bao nhiêu hạt nhân chưa phân rã : đó là Sổ 1 , đơn vị là hạt, hoặc gam nếu đổi bằng khối lượng mol. Hoặc ta đếm mỗi giây có bao nhiêu hạt nhân phân rã : đó là Sổ 2 , đơn vị hạt mỗi giây, tức becquerel, chính là thứ mà máy đếm xung ghi lại. Hoặc ta đếm mỗi lần phân rã hay mỗi phản ứng giải phóng bao nhiêu năng lượng : đó là Sổ 3 , đơn vị MeV hoặc jun. Giữa ba cuốn chỉ có hai cây cầu: đi từ Sổ 1 sang Sổ 2 bằng độ dốc , đi từ Sổ 2 về Sổ 1 bằng diện tích ; còn từ số hạt sang năng lượng thì nhân với Q của mỗi lần phân rã.
Bản đồ ba cuốn sổ. Mũi tên xanh đậm là phép đi từ số hạt sang số xung (độ dốc, rồi nhân Q để có công suất). Mũi tên vàng là phép cộng dồn ngược lại (diện tích dưới đường H(t) là số hạt đã phân rã). Khối lượng không phải sổ thứ tư mà là cách đọc Sổ 1 bằng gam.
Tám câu hỏi quen thuộc của đề và cuốn sổ chứa lời giải
Câu hỏi đề đặt ra
Sổ
Công cụ
Dấu hiệu nhận ra
Mục
Sau thời gian t còn bao nhiêu hạt nhân, đã phân rã bao nhiêu?
Sổ 1
N=N_{0}\,2^{-t/T}, \Delta N=N_{0}-N
«còn lại», «đã phân rã», tỉ số \dfrac{\Delta N}{N}
Độ phóng xạ lúc t? Máy đếm ghi mấy xung mỗi giây?
Sổ 2
H=\lambda N=H_{0}\,2^{-t/T}
Bq, Ci, «phân rã mỗi giây»
Trong 2 phút (3 giây, năm thứ 786...) có bao nhiêu hạt phân rã?
Sổ 1 và Sổ 2
\Delta N=N(t_{0})\left(1-2^{-\Delta t/T}\right); chỉ khi \Delta t\ll T mới \approx H\,\Delta t
«trong», «đếm được», «từ t_{1} đến t_{2}»
Khối lượng chất còn lại, chất con tạo thành, tỉ số khối lượng?
Sổ 1 đổi ra gam
m=\dfrac{N\,A}{N_{A}}, mỗi chất một A riêng
«gam», «tỉ số khối lượng», «hỗn hợp»
Mẫu cổ vật hay quặng bao nhiêu tuổi?
Sổ 1 hoặc Sổ 2
\dfrac{N_{con}}{N_{me}}=2^{t/T}-1 hoặc \dfrac{H}{H_{0}}=2^{-t/T}
«tuổi», «cùng khối lượng gỗ mới chặt»
Năng lượng liên kết, năng lượng liên kết riêng, phản ứng tỏa hay thu?
Sổ 3
E_{lk}=\Delta m\,c^{2}; Q=(m_{\text{trước}}-m_{\text{sau}})\,c^{2}
«độ hụt khối», «tỏa», «thu»
Hạt nhân đứng yên phân rã: viết phương trình, chia động năng?
Sổ 3 và bảo toàn
Bảo toàn (A,Z) và động lượng
«đứng yên», «hạt \alpha bay ra»
Nhà máy điện hạt nhân hay mẫu phóng xạ: công suất, khối lượng nhiên liệu?
Sổ 2 nhân Sổ 3
P=H\cdot Q; P_{\text{điện}}=\eta\,P_{\text{nhiệt}}
«công suất», «hiệu suất», «tiêu thụ»
Vì sao ba cuốn sổ mà không phải ba mươi công thức
Chương này nổi tiếng nhiều công thức, nhưng phần lớn chỉ là cùng một ý viết cho từng loại đề. Một mẫu phóng xạ chỉ có ba thứ để đếm. Khi em ghi nhãn «Sổ 1, Sổ 2 hay Sổ 3» lên từng con số của đề, ba việc tự nhiên xảy ra: em biết đơn vị của đáp số (hạt, hạt mỗi giây hay MeV), em biết cây cầu cần bắc (nhân \lambda, lấy diện tích, nhân A, nhân Q), và em nhìn ra chỗ đề muốn đánh lừa , vì mọi cái bẫy đều là một con số bị đặt nhầm sổ.
Quy ước dùng suốt chuyên đề
N số hạt nhân chưa phân rã; N_{0} lúc t=0 T chu kì bán rã; \lambda=\dfrac{\ln 2}{T} hằng số phóng xạ H độ phóng xạ, 1\ \text{Bq}=1 phân rã mỗi giây hạt nhân mẹ phân rã thành hạt nhân con 1\ \text{u}=931{,}5\ \text{MeV}/c^{2} 1\ \text{MeV}=1{,}6\cdot10^{-13}\ \text{J} N_{A}=6{,}02\cdot10^{23}\ \text{mol}^{-1} Q>0: phản ứng tỏa năng lượng thập phân viết dấu phẩy: 1{,}5
Phòng lab 1: một mẫu, ba cuốn sổ cùng nhảy
Kéo thời gian và xem ba đường cong cùng một nhịp. Đường trên là số hạt nhân còn lại, đường giữa là số xung mỗi giây (cùng hình dạng vì H=\lambda N), diện tích tô cam là số hạt đã phân rã, đường dưới là năng lượng đã tỏa ra, tăng dần tới giá trị tổng.
Phòng lab 1 · một mẫu, ba cuốn sổ KÉO ĐỂ THỬ
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Thời gian t = 1,50 chu kì T
Sổ 1 · hạt nhân còn lại
Sổ 2 · xung mỗi giây
Đã phân rã (diện tích)
Sổ 3 · năng lượng đã tỏa
Công suất tỏa nhiệt lúc này
Thử ba thao tác
(1) Đặt t=1\,T: số hạt nhân và số xung cùng giảm đúng một nửa, còn năng lượng đã tỏa tăng từ 0 lên một nửa tổng. (2) Đổi sang Rn-222 (T chỉ vài ngày) và Ra-226 (T hàng nghìn năm): hình dạng ba đường không đổi, chỉ có thang thời gian và các con số thay đổi. (3) Nhìn công suất lúc này: nó giảm theo 2^{-t/T} như H, vì P=H\cdot Q với Q cố định. Một mẫu phóng xạ không phát nhiệt đều như một lò phản ứng.
Đoán trước khi tính
Sau đúng một chu kì bán rã của một mẫu phóng xạ, ba đại lượng sau đây thay đổi thế nào: số hạt nhân còn lại, số xung mỗi giây và tổng năng lượng đã tỏa ra từ đầu?
Mẹo nhớ: «còn lại» và «mỗi giây» đều giảm theo 2^{-t/T}; «đã tỏa» và «đã phân rã» đều tăng theo 1-2^{-t/T}.
Thử tay: một mẫu, ba câu hỏi, ba cuốn sổ
Một mẫu có N_{0}=8{,}0\cdot10^{20} hạt nhân phóng xạ, chu kì bán rã T=6{,}0 giờ, mỗi lần phân rã tỏa 4{,}0 MeV. Tính (a) số hạt nhân còn lại sau 18 giờ, (b) độ phóng xạ ban đầu và sau 18 giờ, (c) tổng năng lượng đã tỏa ra trong 18 giờ, theo jun.
Gợi ý 1 · Sổ 1
18 giờ là bao nhiêu chu kì? Mỗi chu kì số hạt nhân còn lại giảm một nửa; từ đó suy ra cả số hạt đã phân rã.
Gợi ý 2 · Sổ 2 và Sổ 3
Đổi T ra giây rồi tính \lambda=\dfrac{\ln 2}{T} và H_{0}=\lambda N_{0}. Năng lượng đã tỏa bằng số hạt đã phân rã nhân với Q rồi đổi MeV sang jun.
Đáp án
(a) \dfrac{18}{6}=3 chu kì nên N=\dfrac{8{,}0\cdot10^{20}}{2^{3}}=1{,}0\cdot10^{20} hạt, đã phân rã 7{,}0\cdot10^{20} hạt. (b) \lambda=\dfrac{\ln 2}{6\cdot3600}\approx3{,}21\cdot10^{-5}\ \text{s}^{-1}, H_{0}=\lambda N_{0}\approx2{,}57\cdot10^{16} Bq, H=\dfrac{H_{0}}{8}\approx3{,}21\cdot10^{15} Bq. (c) E=7{,}0\cdot10^{20}\cdot4{,}0\ \text{MeV}=2{,}8\cdot10^{21}\ \text{MeV}=4{,}48\cdot10^{8} J. Kiểm: ba kết quả thuộc ba sổ khác nhau (hạt, hạt mỗi giây, jun) nên đơn vị của chúng khác nhau; chỉ cần nhìn đơn vị là biết mình đang ở sổ nào.
02
Sổ 1 · hạt nhân
Mỗi chu kì một nửa: N=N_{0}\,2^{-t/T} và những cách đọc nó
Cuốn sổ đầu tiên chỉ ghi một thứ: còn bao nhiêu hạt nhân chưa phân rã . Quy luật của nó hiền đến lạ. Chờ thêm đúng một chu kì bán rã T thì số hạt nhân còn lại giảm một nửa, bất kể lúc bắt đầu chờ mẫu còn nhiều hay ít . Từ một câu nói ấy suy ra toàn bộ N(t), và cũng từ đó suy ra cái sai quen thuộc nhất của chương: nghĩ rằng sau 2T thì «hết sạch».
Còn lại
N=N_{0}\,2^{-t/T}=N_{0}\,e^{-\lambda t}
Với \lambda=\dfrac{\ln 2}{T}. Tỉ lệ còn lại \dfrac{N}{N_{0}}=2^{-t/T} chỉ phụ thuộc số chu kì đã qua x=\dfrac{t}{T}, không phụ thuộc mẫu là gì hay có bao nhiêu hạt.
Đã phân rã
\Delta N=N_{0}-N=N_{0}\left(1-2^{-t/T}\right)
Tỉ lệ đã phân rã là 1-2^{-x}. Tỉ số hai phần: \dfrac{\Delta N}{N}=2^{x}-1, công thức xuất hiện lại khi tính tuổi ở mục 5.
Vì sao là hàm mũ chứ không phải đường thẳng
Mỗi hạt nhân phân rã độc lập, và xác suất phân rã trong một khoảng thời gian \Delta t không phụ thuộc hạt đã «sống» bao lâu. Vậy trong mọi khoảng \Delta t, cùng một tỉ lệ f(\Delta t) số hạt nhân còn lại sẽ sống sót. Hai khoảng nối tiếp cho f(a+b)=f(a)\,f(b); mà f(T)=\dfrac12 theo định nghĩa chu kì. Hàm duy nhất thỏa mãn là f(\Delta t)=2^{-\Delta t/T}. Nếu số hạt nhân giảm đều theo đường thẳng thì chỉ cần hai chu kì là hết, và hạt nhân sẽ «biết» mình đã tồn tại bao lâu. Thực tế không như vậy: hạt nhân không có trí nhớ.
Bậc thang nửa chu kì
Bốn khung ứng với t=0,\,T,\,2T,\,3T. Mỗi chấm là một hạt nhân chưa phân rã; số chấm giảm một nửa qua mỗi chu kì: 64,\ 32,\ 16,\ 8. Sau 3T vẫn còn \dfrac18 mẫu.
Với bội nguyên của T ta chỉ cần chia đôi liên tiếp. Với số chu kì không nguyên, ta phải dùng lũy thừa 2^{-x}. Bảng dưới đây là các giá trị đáng nhớ.
t/T
Còn lại \dfrac{N}{N_{0}}
Đã phân rã
Tỉ số \dfrac{\Delta N}{N}
100\%
0\%
0{,}5
70{,}7\%
29{,}3\%
0{,}414
50\%
1{,}5
35{,}4\%
64{,}6\%
1{,}83
25\%
75\%
12{,}5\%
87{,}5\%
6{,}25\%
93{,}75\%
15
Để ý cột cuối: tỉ số \dfrac{\Delta N}{N} là 2^{x}-1, tức 1,\,3,\,7,\,15 ở các mốc T,\,2T,\,3T,\,4T. Một đề cho «đã phân rã gấp 7 lần số còn lại» chính là nói t=3T.
Bẫy 1 · Sau 2T thì hết sạch
Mỗi chu kì mất một nửa của phần đang còn , không phải một nửa của phần ban đầu. Sau T còn \dfrac12, sau 2T còn \dfrac14 (không phải 0), sau 3T còn \dfrac18. Về mặt lí thuyết số hạt nhân không bao giờ về đúng 0; trong thực tế một mẫu cỡ 10^{20} hạt cần khoảng 66 chu kì để chỉ còn trung bình khoảng một hạt. Dấu hiệu nhận ra: câu hỏi nói «sau thời gian nT» mà đáp số là 1-\dfrac{n}{2} hay \dfrac{n}{2}.
Bẫy 2 · «Còn lại» và «đã phân rã» là hai phần bù nhau
Đề nói «đã phân rã 75\%» thì \dfrac{N}{N_{0}}=25\%, tức t=2T. Đề nói «còn lại 75\%» thì t=\log_{2}\dfrac{4}{3}\,T\approx0{,}415\,T. Cùng một con số 75\%, hai thời điểm khác nhau hẳn, và t=2T gấp gần 5 lần. Trước khi tính, hãy gạch chân động từ của đề: còn , đã phân rã , đã mất , tồn tại .
Đọc ngược: từ phần trăm ra thời gian
Phần lớn đề cho ta một tỉ lệ rồi hỏi thời gian. Khi đó phải lấy lôgarit cơ số 2: \dfrac{N}{N_{0}}=2^{-x} cho x=\log_{2}\dfrac{N_{0}}{N}. Máy tính bỏ túi dùng \dfrac{\ln(N_{0}/N)}{\ln 2}. Một hướng suy luận nhanh để kiểm đáp số: tỉ lệ còn lại nằm giữa hai lũy thừa của \dfrac12 nào thì x nằm giữa hai số nguyên tương ứng. Ví dụ còn 10\% nằm giữa \dfrac18 (x=3) và \dfrac1{16} (x=4), nên x chắc chắn nằm giữa 3 và 4; thực ra x=\log_{2}10\approx3{,}32.
Bẫy 3 · Nối thẳng hai mốc nguyên
Cám dỗ lớn nhất khi t/T không nguyên: «giữa T và 2T, số hạt nhân giảm từ 50\% xuống 25\%, vậy tại 1{,}5\,T là trung bình, 37{,}5\%». Đường cong 2^{-x} lồi xuống nên nằm dưới dây cung: đúng là 2^{-1,5}=35{,}4\%. Sai lệch nghe nhỏ nhưng làm đáp án trắc nghiệm lệch sang phương án kế bên. Chiều ngược lại cũng vậy: nội suy tuyến tính để tìm t từ phần trăm luôn cho giá trị quá lớn .
Đường cong đúng 2^{-x} và dây cung nối hai mốc nguyên. Tại 1{,}5\,T: đúng là 0{,}354, dây cung cho 0{,}375. Mọi điểm lẻ chu kì đều nằm dưới dây cung.
Phòng lab 2: bậc thang, dây cung và đường cong thật
Ba chế độ cho ba kiểu đề: cho thời gian hỏi phần trăm; cho phần trăm hỏi thời gian; cho tỉ số «đã phân rã : còn lại» hỏi thời gian. Quan sát điểm xanh (đúng), điểm cam (nối thẳng) và điểm xám (bậc thang) lệch nhau thế nào.
Phòng lab 2 · đọc đúng đường cong mũ KÉO ĐỂ THỬ
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Thời gian đã qua t = 1,50 chu kì
Còn lại (đúng)
Nội suy tuyến tính
Bậc thang
Đã phân rã
Đã phân rã : còn lại
Thử ba thao tác
(1) Ở chế độ đầu, kéo t đúng tới 1, 2, 3: ba điểm màu trùng nhau. Giữa các mốc ấy điểm xanh luôn nằm dưới điểm cam. (2) Chuyển sang «Cho %, tìm t», đặt 10\%: thời gian đúng 3{,}32\,T, nối thẳng cho 3{,}4\,T. (3) Chuyển sang chế độ thứ ba, đặt tỉ số 7: t=3\,T tròn trịa, đúng như cột cuối của bảng.
Đoán trước khi tính
Một mẫu phóng xạ, sau thời gian bằng 1{,}5 chu kì bán rã, còn bao nhiêu phần trăm số hạt nhân ban đầu?
Thử tay: bao lâu thì 90\% đã phân rã?
Một chất phóng xạ có chu kì bán rã 8{,}0 ngày. Sau bao nhiêu ngày thì 90\% số hạt nhân ban đầu đã phân rã? Giá trị đó nằm giữa hai mốc chu kì nguyên nào?
Gợi ý 1 · Phần còn lại
Đã phân rã 90\% thì còn lại bao nhiêu phần trăm? Hai phần bù nhau. So với \dfrac18 và \dfrac1{16}.
Gợi ý 2 · Lôgarit
Từ 2^{-x}=0{,}10 suy ra x=\log_{2}10. Đổi sang ngày bằng cách nhân với T.
Đáp án
Còn lại 10\%, nằm giữa 12{,}5\% (3T) và 6{,}25\% (4T). x=\log_{2}10\approx3{,}32 nên t=3{,}32\cdot8{,}0\approx26{,}6 ngày, nằm giữa 24 và 32 ngày. Kiểm: nội suy tuyến tính sẽ cho 3{,}4\cdot8=27{,}2 ngày, lệch 0{,}6 ngày và sai phía lớn, đúng như bẫy 3.