Bí quyết đồ thị p-V: giải mã đường đi và nhiệt dung quá trình
Chuyên đề vật lí THPT về đồ thị áp suất, thể tích: dựng ngược trạng thái, phân biệt nội năng với công và nhiệt, suy ra nhiệt dung của đường qua gốc bằng diện…
LUKATO CHUYÊN ĐỀ TƯ DUY VẬT LÍ
Bí quyết đồ thị p-V: giải mã đường đi và nhiệt dung quá trình
Tỉ lệ trạng thái, diện tích công và những đường có nhiệt dung âm hoặc không xác định
8 phần học sâu 3 thí nghiệm tương tác 20 câu tự kiểm tra
Học theo thứ tự, dự đoán rồi mới thử. Mỗi kết luận đều có điều kiện.
01
Điểm trạng thái và đường trao đổi năng lượng
Hai điểm trên đồ thị cho biết khí bắt đầu và kết thúc ở đâu. Đường nối hai điểm cho biết khí đã trao đổi công và nhiệt như thế nào. Nếu chỉ đọc nhiệt độ đầu, cuối rồi gắn ngay công thức đẳng áp, bạn có thể tính đúng nội năng nhưng sai cả công lẫn nhiệt lượng. Chuyên đề này xây dựng một cách đọc ngược đồ thị: nhận dạng hình học, suy ra tỉ lệ trạng thái, lập sổ năng lượng và chỉ sau đó xác định nhiệt dung của đường đi.
Ta xét một lượng khí lí tưởng đơn nguyên tử, lượng chất cố định, chỉ có công do biến đổi thể tích. Quá trình diễn ra đủ chậm để mỗi điểm trên đường có áp suất và nhiệt độ xác định; khi tính công bằng diện tích, áp suất của khí tương ứng với áp suất ngoài trong giới hạn gần cân bằng. Quy ước thống nhất: W>0 là khí thực hiện công khi nở, Q>0 là khí nhận nhiệt.
pV=nRT,\qquad U=\frac32nRT,\qquad Q=\Delta U+W.
Trong bài này R=8{,}31\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}. Nhiệt độ trạng thái dùng kelvin; thể tích đưa vào phép tính dùng mét khối; áp suất dùng pascal. Đơn vị của tích pV là joule. Nếu đồ thị hiển thị kilopascal hoặc lít để thuận đọc, phải chuyển trước khi nhân.
Điểm trạng thái
Tích pV xác định nhiệt độ. Với mô hình đang xét, nhiệt độ xác định nội năng. Không cần biết đường cũ để tính U ở một điểm.
Đường quá trình
Diện tích có hướng dưới đường quyết định công. Cùng hai đầu nhưng đi ở áp suất cao hơn có thể cho công khác.
Nhiệt dung của đường
Không phải mọi đường đều có cùng nhiệt lượng cho một mức tăng nhiệt độ. Có đường có nhiệt dung âm; có điểm không thể gán nhiệt dung hữu hạn.
Một cấu trúc ba cạnh để bắt đầu
Trạng thái C có T_C=200\ \mathrm K, trạng thái D có T_D=800\ \mathrm K. Đoạn CD nằm trên đường thẳng qua gốc của mặt phẳng áp suất, thể tích: p=aV, với a>0. Từ D đến E là đẳng áp, còn E và C có cùng thể tích. Hai điểm B và C cùng nằm trên một đường đẳng nhiệt ở 200\ \mathrm K; điều này không tự khẳng định toàn bộ đường quá trình nối B với C là đẳng nhiệt, cũng không xác định riêng thể tích tại B. Chuyên đề dùng T_C=200\ \mathrm K như một nhiệt độ tuyệt đối được cho trực tiếp.
Ở hình minh họa, trục thể tích được chia cho V_C, trục áp suất được chia cho p_C. Những số một và hai trên trục là tỉ số không thứ nguyên, không phải lít hay pascal. Vùng màu dưới CD cho thấy công trên đoạn thẳng là diện tích một hình thang, không phải diện tích hình chữ nhật ở áp suất cuối.
Nét đứt là tập trạng thái cùng nhiệt độ với C; một đường đẳng nhiệt trên hình không tự chứng minh khí thực sự đi theo toàn đường ấy giữa hai điểm.
Mục tiêu. Bạn sẽ tìm được V_D/V_C và T_E chỉ bằng tỉ lệ; phân biệt rõ \Delta U, W, Q; suy ra C_{CD} bằng hình học; kiểm tra cách đổi đường giữ nguyên nội năng nhưng đổi nhiệt lượng; và nhận diện trường hợp nhiệt dung âm hoặc không xác định. Phần đầu dùng kiến thức THPT và diện tích; công thức vi phân ở phần nâng cao là một cách mở rộng, không phải điều kiện bắt buộc để giải bài cơ bản.
02
Đọc ngược tam giác và suy nhiệt dung bằng diện tích
1. Đọc đường qua gốc bằng hai tỉ lệ
Vì CD thỏa p=aV, áp suất và thể tích tăng cùng tỉ lệ. Đặt r=V_D/V_C>1. Ta có p_D/p_C=r. Phương trình trạng thái cho nhiệt độ tỉ lệ với tích áp suất và thể tích, nên:
\frac{T_D}{T_C}=\frac{p_DV_D}{p_CV_C}=r^2.
Với tỉ lệ nhiệt độ 800/200=4, suy ra r=2. Chọn nghiệm dương vì thể tích tuyệt đối phải dương. Không được viết tỉ lệ thể tích bằng bốn: nhiệt độ không chỉ tăng do thể tích tăng, mà còn do áp suất tăng cùng lúc.
Từ D đến E, áp suất giữ ở p_D, và V_E=V_C. Vì thế:
\frac{T_E}{T_C}=\frac{p_DV_C}{p_CV_C}=r=2,\qquad T_E=400\ \mathrm K.
Nhiệt độ E không bằng nhiệt độ D dù hai điểm cùng áp suất. Trên đẳng áp, nhiệt độ tỉ lệ với thể tích. E cũng không bằng C về nhiệt độ dù hai điểm cùng thể tích; trên đẳng tích, nhiệt độ tỉ lệ với áp suất.
2. Tính nội năng bằng điểm đầu và điểm cuối
Với khí đơn nguyên tử trong mô hình này, nhiệt dung mol đẳng tích là C_V=3R/2. Trên bất kì đường nào giữa hai trạng thái, ta đều có:
\Delta U=nC_V(T_2-T_1)=\frac32nR\Delta T.
Chữ V trong C_V không có nghĩa chỉ được dùng hệ thức nội năng khi thể tích không đổi. Nó là hệ số thuộc quan hệ nội năng của khí lí tưởng; việc đặt Q=\Delta U mới cần điều kiện công bằng không.
Trên CD với n=1\ \mathrm{mol}, \Delta T=600\ \mathrm K, nên \Delta U_{CD}=7479\ \mathrm J. Trên DE, nhiệt độ giảm từ 800 xuống 400\ \mathrm K, nên \Delta U_{DE}=-4986\ \mathrm J. Dấu âm chỉ rằng nội năng giảm, chưa tự cho biết toàn bộ nhiệt lượng trao đổi.
3. Tính công CD bằng diện tích hình thang
Vì áp suất biến đổi tuyến tính theo thể tích, công trên đoạn CD là áp suất trung bình hai đầu nhân độ tăng thể tích:
W_{CD}=\frac{p_C+p_D}{2}(V_D-V_C).
Thay p_D=rp_C, V_D=rV_C, rồi dùng p_CV_C=nRT_C:
W_{CD}=\frac{r^2-1}{2}p_CV_C=\frac12nR(T_D-T_C).
Không cần biết riêng p_C và V_C để tính công, vì tích của chúng đã được nhiệt độ C xác định. Trong trường hợp một mol, ta có W_{CD}=2493\ \mathrm J. Khí nở nên công dương, phù hợp với hướng mũi tên đi sang phải.
4. Từ công và nội năng đến nhiệt dung đường CD
Nguyên lí I cho:
Q_{CD}=\Delta U_{CD}+W_{CD}=\left(\frac32+\frac12\right)nR\Delta T=2nR\Delta T.
Vì hệ số này không đổi dọc đường p=aV, nhiệt dung mol của đường CD là:
C_{CD}=\frac{Q_{CD}}{n\Delta T}=2R=16{,}62\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Đồng thời Q_{CD}=9972\ \mathrm J. Giá trị 24{,}93\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} là 3R, không phải hệ số vừa suy ra. Muốn chọn một giá trị nhiệt dung, phải kiểm tra nó tạo ra công nào qua W=Q-\Delta U; đoán theo một bảng giá trị quen thuộc có thể ghép sai đường quá trình.
5. Đẳng áp DE và đẳng tích EC
Trên DE, W=p_D(V_E-V_D)=nR(T_E-T_D). Với \Delta T=-400\ \mathrm K, công là -3324\ \mathrm J. Khí bị nén, môi trường thực hiện công lên khí; theo quy ước công của khí, W âm.
Q_{DE}=n(C_V+R)\Delta T=\frac52nR(-400\ \mathrm K)=-8310\ \mathrm J.
Khí tỏa nhiệt; nội năng giảm nhưng một phần công nén đã được đưa vào hệ, nên nhiệt tỏa có độ lớn lớn hơn độ giảm nội năng. Trên EC, thể tích không đổi nên W_{EC}=0, nhiệt độ giảm 200\ \mathrm K, cho Q_{EC}=\Delta U_{EC}=-2493\ \mathrm J.
Đoạn · Thay đổi nhiệt độ · Thay đổi nội năng · Công của khí · Nhiệt trao đổi
CD · 600\ \mathrm K · 7479\ \mathrm J · 2493\ \mathrm J · 9972\ \mathrm J
DE · -400\ \mathrm K · -4986\ \mathrm J · -3324\ \mathrm J · -8310\ \mathrm J
EC · -200\ \mathrm K · -2493\ \mathrm J · 0\ \mathrm J · -2493\ \mathrm J
Cộng cả vòng, \Delta U=0, W=Q=-831\ \mathrm J. Diện tích tam giác giữa CD và DE bằng p_CV_C/2=831\ \mathrm J, nhưng hướng vòng cho dấu âm. Khí không tạo công dương trong vòng này; môi trường cung cấp công ròng, khí tỏa nhiệt ròng đúng bằng độ lớn ấy.
Kiểm tra đơn vị trước khi chốt
\mathrm{Pa}\,\mathrm{m^3}=\mathrm J; nR\Delta T cũng có đơn vị joule; còn Q/(n\Delta T) có đơn vị \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}. Nhiệt dung mol không phải nhiệt lượng, cũng không phải nhiệt dung của cả bình. Với n mol, nhiệt dung của toàn hệ trên CD bằng 2nR, có đơn vị \mathrm{J\,K^{-1}}; việc n bằng một làm hai giá trị số trùng nhau, không làm đơn vị trở thành giống nhau.
03
Bốn bí quyết về trạng thái, đường và dấu
01
Dùng tích pV để suy nhiệt độ
Quy tắc. Tại một trạng thái, lấy tỉ lệ T_2/T_1=p_2V_2/(p_1V_1), với lượng khí không đổi.
Vì sao đúng? Từ pV=nRT, hệ số nR giống nhau ở các trạng thái nên triệt tiêu. Đường qua gốc làm cả p và V tăng cùng tỉ lệ, do đó nhiệt độ tăng theo bình phương tỉ lệ ấy.
Điều kiện. Khí lí tưởng, lượng chất cố định, nhiệt độ tuyệt đối. Phải dùng áp suất tuyệt đối, không dùng áp suất dư chưa cộng áp suất môi trường.
Khi nào không dùng được? Không dùng tỉ lệ nhiệt độ Celsius. Hai số đo Celsius có tỉ lệ không biểu diễn tỉ lệ năng lượng nhiệt; đổi sang kelvin trước.
02
Nhận dạng đường trước khi chọn nhiệt dung
Quy tắc. Đường ngang là đẳng áp, đường đứng là đẳng tích; đường qua gốc p=aV có một nhiệt dung riêng.
Vì sao đúng? Công phụ thuộc cách V thay đổi cùng p. Trên đường qua gốc, diện tích hình thang dẫn đến W=nR\Delta T/2, nên nhiệt dung mol là 2R, khác cả 3R/2 lẫn 5R/2.
Điều kiện. Áp suất được biểu diễn theo thể tích, quá trình gần cân bằng, chỉ có công thể tích. Cần đọc đúng trục, không nhìn hình nghiêng rồi đoán loại quá trình.
Khi nào không dùng được? Một đường thẳng không đi qua gốc không cho tỉ lệ p/V không đổi. Công hình thang vẫn đúng, nhưng nhiệt dung cục bộ có thể thay đổi theo điểm.
03
Tách nội năng khỏi công
Quy tắc. Tính \Delta U từ nhiệt độ đầu, cuối; tính W từ đường đi; sau đó mới cộng thành Q.
Vì sao đúng? Nội năng là hàm trạng thái của khí, còn công là năng lượng trao đổi do biến đổi thể tích. Giữ hai việc riêng giúp so sánh nhiều đường có cùng đầu cuối.
Điều kiện. Quan hệ U=3nRT/2 thuộc mô hình khí đơn nguyên tử đang xét. Với mô hình khác, thay đúng hệ số nội năng; nguyên lí I vẫn giữ nguyên.
Khi nào không dùng được? Không đặt Q=\Delta U trên mọi đường. Điều đó chỉ đúng khi tổng công đang xét bằng không; đẳng tích là trường hợp điển hình.
04
Giữ dấu bằng hướng đi
Quy tắc. Đi sang phải dưới áp suất dương cho W dương; đi sang trái cho W âm. Đảo đúng cùng một đường làm đổi dấu W và Q.
Vì sao đúng? Công chứa độ thay đổi thể tích có dấu. Nén khí vẫn có một diện tích hình học dương về độ lớn, nhưng công của khí phải âm.
Điều kiện. Áp suất dương và công thể tích theo quy ước Q=\Delta U+W. Nếu đổi sang công của môi trường, phải đổi cả hệ thức dấu một cách thống nhất.
Khi nào không dùng được? Không lấy trị tuyệt đối W rồi cộng vào Q khi khí bị nén. Trên DE, công -3324\ \mathrm J là một thành phần thiết yếu để thu được nhiệt -8310\ \mathrm J.
04
Bốn bí quyết về nhiệt dung và điều kiện xác định
05
Hỏi nhiệt dung mol hay của cả hệ
Quy tắc. Định nghĩa nhiệt dung mol đường đi bằng C=\delta Q/(n\,dT), khi tỉ số xác định. Nhiệt dung toàn hệ là nC.
Vì sao đúng? Hai mol khí cần lượng nhiệt gấp đôi một mol trên cùng quy luật trạng thái và cùng độ tăng nhiệt độ, nhưng hệ số mol của đường không đổi.
Điều kiện. Lượng chất phải cố định, đơn vị phải được ghi. Với đường có C không đổi và \Delta T\ne0, có thể dùng C=Q/(n\Delta T).
Khi nào không dùng được? Nếu C thay đổi dọc đường, thương hữu hạn chỉ là một giá trị trung bình khi mẫu khác không. Nếu nhiệt độ không đổi, không gán thương này bằng một số hữu hạn.
06
Nhiệt độ không đổi vẫn có thể nhận nhiệt
Quy tắc. Trên đẳng nhiệt của khí lí tưởng, \Delta U=0 nên Q=W, không phải tự động bằng không.
Vì sao đúng? Khí nở có thể chuyển nhiệt nhận được thành công, trong khi nội năng và nhiệt độ giữ nguyên. Một nhiệt lượng khác không chia cho thay đổi nhiệt độ bằng không không tạo nhiệt dung hữu hạn.
Điều kiện. Quá trình gần cân bằng, khí lí tưởng, lượng chất không đổi. Công đẳng nhiệt là W=nRT\ln(V_2/V_1).
Khi nào không dùng được? Không nhầm đẳng nhiệt với đoạn nhiệt. Đoạn nhiệt có Q bằng không; đẳng nhiệt có nhiệt độ không đổi. Hai điều kiện mô tả hai cơ chế khác nhau.
07
Dấu của nhiệt dung đường không là dấu của nội năng
Quy tắc. Nhiệt dung âm nghĩa là trên đường đang xét, nhiệt nhận và thay đổi nhiệt độ có dấu trái nhau.
Vì sao đúng? Khí có thể nhận nhiệt nhưng thực hiện công còn lớn hơn nhiệt nhận; nội năng vì thế giảm. Hệ số nội năng C_V vẫn dương, chỉ hệ số mô tả đường là âm.
Điều kiện. C phải được xác định bằng một biến thiên nhiệt độ khác không tại điểm; đường phải được giữ cụ thể. Không dùng nhiệt dung âm này làm một tính chất độc lập của chất khí.
Khi nào không dùng được? Không suy ra mọi quá trình của khí có nhiệt dung âm. Đường đẳng tích vẫn có C_V=3R/2>0, và đẳng áp có C_p=5R/2>0.
08
Kiểm tra chỗ nhiệt độ đứng yên trên đường
Quy tắc. Với p=p(V), xem biểu thức p+Vp^{\prime} có bằng không không trước khi dùng công thức nhiệt dung cục bộ.
Vì sao đúng? Từ nR\,dT=(p+Vp^{\prime})dV, mẫu bằng không cho nhiệt độ đứng yên bậc nhất dù thể tích đang đổi. Trong lúc đó \delta Q=p\,dV tại điểm ấy có thể khác không.
Điều kiện. Đường trơn, p>0, V>0, lượng khí cố định. Công thức C=C_V+Rp/(p+Vp^{\prime}) chỉ dùng khi mẫu khác không.
Khi nào không dùng được? Không thay mẫu bằng không bằng một số nhỏ để công bố một nhiệt dung hữu hạn. Tại điểm này cần nói tỉ số cục bộ không xác định; ở hai phía, giá trị có thể rất lớn và đổi dấu.