VẬT LÍ HSG · BONG BÓNG VÀ SỨC CĂNG BỀ MẶT — Từ áp suất Laplace đến màng chung, hợp nhất, sụp đổ và dao động của bọt khí
Bài khái niệm Vật lí HSG về bong bóng và sức căng bề mặt: năng lượng bề mặt E = σA, áp suất Laplace (4σ/R cho bong bóng xà phòng), hai bong bóng chung màng…
VẬT LÍ HSG · SỨC CĂNG BỀ MẶT VÀ BONG BÓNG · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Bong bóng: nơi sức căng bề mặt, áp suất và năng lượng gặp nhau
Vì sao bong bóng nhỏ có áp suất cao hơn bong bóng lớn? Màng chung của hai bong bóng cong thế nào? Hợp nhất thì bảo toàn gì và năng lượng đi đâu? Bọt khí trong nước sụp đổ và rung nhanh cỡ nào?
Bài này không giải đề. Nó dựng một hệ thống khái niệm từ một sợi chỉ: bề mặt chất lỏng có năng lượng, nên hệ luôn tìm cách thu nhỏ bề mặt trong khi giữ cân bằng áp suất. Từ sợi chỉ ấy suy ra áp suất Laplace, hình học của màng chung, điều kiện hợp nhất, thời gian sụp đổ của bọt khí và tần số dao động của nó. Số liệu vật lí được đối chiếu với tài liệu tham khảo (xem chân trang); các tình huống là ví dụ tự soạn.
6 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 2 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
Về nguồn và ví dụ. Các công thức được suy ra trong bài rồi kiểm lại bằng tính số; các kết quả chuẩn được đối chiếu với tài liệu của hyperphysics, Wikipedia (Plateau’s laws), MathWorld (double bubble), các bài báo trên arXiv (thời gian sụp đổ Rayleigh, dao động của bọt khí) và các bảng dữ liệu kĩ thuật (xem chân trang). Mọi con số của “bong bóng xà phòng” với σ = 0,030 N/m, bán kính 1 cm… là ví dụ tự soạn hư cấu .
MỤC 1 · NĂNG LƯỢNG BỀ MẶT
Bề mặt chất lỏng là một màng có năng lượng, và hệ muốn thu nhỏ nó
Một phân tử trong lòng chất lỏng bị hút đều từ mọi phía; một phân tử ở mặt thoáng thiếu “hàng xóm” phía trên nên bị kéo vào trong. Đưa thêm phân tử lên mặt phải tốn công, nên mặt càng rộng thì năng lượng càng cao. Mọi hiện tượng của bài này là hệ quả của một câu: hệ tự giảm năng lượng bề mặt trong khi giữ cân bằng lực và áp suất.
1.1 Bản đồ cả bài
Từ năng lượng bề mặt suy ra áp suất Laplace (mục 2). Áp suất Laplace cho ba hướng phát triển: hai bong bóng dính nhau (mục 3), hai bong bóng hợp thành một (mục 4), và bọt khí trong chất lỏng (mục 5 và 6). Ở mỗi nhánh, câu hỏi khái niệm đều giống nhau: cái gì được bảo toàn, cái gì được cân bằng, và năng lượng đi đâu.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ khái niệm của bài: một sợi chỉ (năng lượng bề mặt và áp suất Laplace) và ba nhánh ứng dụng.
1.2 Một đại lượng σ, hai cách đọc
Hệ số căng bề mặt σ đọc được theo hai cách: lực trên mỗi đơn vị chiều dài đường biên (N/m), hoặc năng lượng trên mỗi đơn vị diện tích (J/m²). Hai đơn vị này trùng nhau vì 1 J/m² = 1 N/m. Thật vậy, nếu kéo một thanh trượt dài ℓ đi thêm Δx trên khung dây có một màng chỉ một mặt, diện tích mặt tăng ℓΔx, công bỏ ra là σℓΔx, nên lực kéo là σℓ, tức σ trên mỗi đơn vị chiều dài.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Màng xà phòng trên khung chữ U: kéo thanh trượt đi Δx thì công kéo biến thành năng lượng bề mặt của hai mặt màng.
Màng xà phòng có hai mặt. Mặt trong và mặt ngoài đều là mặt phân cách khí–lỏng, mỗi mặt có sức căng σ. Cùng một đường biên chịu hai lực, nên F = 2σℓ và năng lượng bề mặt là 2σ nhân diện tích một mặt . Một giọt nước hay một bọt khí trong nước chỉ có một mặt phân cách, nên không có thừa số 2. Cách đếm số mặt là chỗ nhầm phổ biến nhất của chủ đề này (xem Hiểu nhầm 2).
1.3 Con số để có cảm giác
Ở 20 °C, nước tinh khiết có σ ≈ 0,0728 N/m (hyperphysics ghi 72,8 dyn/cm; bảng dữ liệu của Engineering ToolBox ghi 0,0728 N/m). Nước xà phòng thấp hơn nhiều: các nguồn cho khoảng 0,025 đến 0,045 N/m tùy nồng độ chất hoạt động bề mặt (ba tài liệu cho khoảng hơi khác nhau, nên bài chỉ nêu khoảng chung). Trong bài, giá trị σ = 0,030 N/m cho nước xà phòng là số tự chọn nằm trong khoảng ấy hư cấu . Bài coi σ là hằng số, dù thực tế nó phụ thuộc nhiệt độ và chất tan.
NƯỚC TINH KHIẾT, 20 °C σ ≈ 0,0728 N/m
NƯỚC XÀ PHÒNG cỡ 0,025 đến 0,045 N/m
VÍ DỤ TRONG BÀI hư cấu σ = 0,030 N/m
sợi chỉ lỏng nằm trên màng xà phòng trong vòng dây; chọc thủng màng ở một bên sợi chỉ thì sợi chỉ ra sao?
Giải thích. Phần màng còn nguyên vẫn kéo sợi chỉ bằng lực 2σ trên mỗi đơn vị dài, còn phía bị chọc thủng không còn lực kéo ngược lại. Sợi chỉ bị kéo căng thành một cung lồi về phía màng còn nguyên, vì hệ giảm được năng lượng bề mặt khi diện tích màng còn lại nhỏ đi. Ý này sẽ trở lại ở mục 3: ba màng gặp nhau cân bằng khi ba lực kéo triệt tiêu.
MỤC 2 · ÁP SUẤT LAPLACE
Mặt cong kéo vào phía lõm: áp suất phía lõm luôn cao hơn
Một mặt cong có sức căng giống màng cao su căng quanh quả bóng: nó ép vào phía lõm. Muốn mặt đứng yên, phía lõm phải có áp suất cao hơn. Độ chênh áp suất bằng sức căng nhân với độ cong. Đó là nội dung của phương trình Young–Laplace.
2.1 Suy ra bằng năng lượng
Cho bong bóng xà phòng bán kính R nở thêm dR rất chậm. Công của độ chênh áp suất Δp là Δp·dV = Δp·4πR²·dR. Diện tích mỗi mặt tăng 8πR·dR; có hai mặt nên diện tích tổng tăng 16πR·dR, và năng lượng bề mặt tăng σ·16πR·dR. Cân bằng công với năng lượng:
Δp·4πR² dR = σ·16πR dR ⇒ Δp = p trong − p ngoài = 4σ/R bong bóng xà phòng (hai mặt); giọt nước hoặc bọt khí trong chất lỏng (một mặt): Δp = 2σ/R
Cách khác, nhìn nửa bong bóng như một vật cân bằng lực: áp suất dư đẩy nửa cầu lên với lực Δp·πR²; mép lát cắt là đường tròn dài 2πR; mỗi đơn vị dài của nó bị mỗi mặt màng kéo xuống một lực σ, tức 2σ từ hai mặt, nên tổng lực kéo xuống là 2σ·2πR = 4πσR. Cân bằng Δp·πR² = 4πσR cho cùng kết quả Δp = 4σ/R, một phép kiểm độc lập. Dạng tổng quát cho mặt cong bất kì là Δp = σ(1/R₁ + 1/R₂) với R₁, R₂ là hai bán kính cong chính; mặt cầu có R₁ = R₂ = R.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Trái: cân bằng lực trên nửa bong bóng cho Δp = 4σ/R. Phải: Δp giảm khi R tăng, nên bong bóng nhỏ có áp suất cao hơn.
2.2 Ba hệ quả khái niệm
Nhỏ thì áp suất cao. Δp tỉ lệ nghịch với R. Với σ = 0,030 N/m và R = 1 cm, Δp = 4·0,030/0,01 = 12 Pa hư cấu , nhỏ so với 101 325 Pa của khí quyển. Nhưng một bọt khí bán kính 1 µm trong nước (một mặt, σ = 0,0728 N/m) có Δp = 2σ/R ≈ 1,46·10⁵ Pa, lớn hơn cả một atm. Sức căng chỉ “có tiếng nói” khi vật đủ nhỏ.
Hai bong bóng xà phòng thông nhau thì bong bóng nhỏ xẹp, bong bóng lớn phình. Khí chảy từ nơi áp suất cao (bong bóng nhỏ) sang nơi áp suất thấp (bong bóng lớn), nên sự chênh lệch càng tăng. Cân bằng kiểu này không bền.
Màng chung là lối thoát. Hai bong bóng dính nhau vẫn tồn tại cạnh nhau nhờ màng ngăn cong đủ để gánh độ chênh áp suất giữa hai ngăn (mục 3).
MỤC 3 · HAI BONG BÓNG CHUNG MÀNG
Màng ngăn là mặt cầu thứ ba: độ cong của nó là hiệu hai độ cong
Hai bong bóng dính nhau không phải hai quả cầu chạm nhau. Chúng có một màng chung , và hình dạng cả cụm do hai điều kiện quyết định: áp suất cân bằng trên từng mặt, và lực cân bằng ở đường nối ba màng. Điều đáng chú ý là hai điều kiện đến từ hai nguồn khác nhau nhưng cho cùng một kết luận.
3.1 Điều kiện áp suất: bán kính của màng ngăn
Gọi R₁ < R₂ là bán kính hai mặt cầu bên ngoài (ngăn nhỏ và ngăn lớn). Mỗi ngăn có áp suất cao hơn bên ngoài: p₁ − p₀ = 4σ/R₁ và p₂ − p₀ = 4σ/R₂. Màng ngăn chịu hiệu của hai áp suất ấy; nó cũng là màng hai mặt nên cũng tuân theo Δp = 4σ/R₃:
p₁ − p₂ = 4σ(1/R₁ − 1/R₂) = 4σ/R₃ ⇒ 1/R₃ = 1/R₁ − 1/R₂ màng ngăn phình về phía bong bóng lớn (phía áp suất thấp); R₁ = R₂ thì R₃ → ∞: màng phẳng
MathWorld ghi cùng hệ thức cho bong bóng đôi chuẩn (độ cong của màng ngăn bằng hiệu độ cong hai mặt cầu ngoài), và Wikipedia (Double bubble conjecture) nêu rằng bán kính mỗi mặt tỉ lệ nghịch với chênh áp suất mà nó ngăn cách. Khi hai bong bóng bằng nhau thì màng ngăn là một đĩa phẳng.
3.2 Điều kiện lực: ba màng gặp nhau ở 120°
Ba màng cùng loại, cùng σ, nên mỗi màng kéo đường nối chung bằng một lực như nhau trên mỗi đơn vị dài. Ba lực bằng nhau chỉ triệt tiêu khi chúng lệch nhau 120°. Đây là định luật Plateau: ba màng xà phòng gặp nhau dọc một cạnh ở góc arccos(−1/2) = 120°; trong không gian, bốn cạnh gặp nhau ở một đỉnh với góc arccos(−1/3) ≈ 109,5° (Wikipedia ghi 109,47°, Trinity College Dublin làm tròn 109,6°). Bài chỉ cần góc 120°.
3.3 Hình học: ba mặt cầu chung một đường tròn
Ba cung gặp nhau theo một đường tròn bán kính a. Với mỗi mặt cầu bán kính Rᵢ, gọi θᵢ là nửa góc nhìn từ tâm tới mép đường tròn đó, tính từ trục đối xứng; θᵢ có thể lớn hơn 90° nếu mặt cầu có hơn nửa vòng. Khi đó a = Rᵢsinθᵢ cho cả ba mặt. Ghi lại góc giữa các màng ở chỗ nối, điều kiện 120° thành hai phương trình góc, và cùng với a = Rᵢsinθᵢ cho nghiệm gọn:
θ₁ + θ₃ = 120°, θ₂ − θ₃ = 120° ⇒ tan θ₃ = √3·(R₂ − R₁)/(R₁ + R₂) R₁ nhỏ nhất: θ₃ từ 0° (R₁ = R₂) đến gần 60° (R₁ ≪ R₂)
Phép kiểm độc lập. Từ hai phương trình góc suy ra sinθ₁ − sinθ₂ = sinθ₃. Chia cho a thì được 1/R₁ − 1/R₂ = 1/R₃, đúng bằng điều kiện áp suất ở 3.1. Cân bằng áp suất và cân bằng lực không mâu thuẫn nhau: đó là dấu hiệu hình học này nhất quán. Ví dụ tự chọn R₁ = 1, R₂ = 2 (đơn vị bất kì hư cấu ): R₃ = 2, θ₁ = 90°, θ₂ = 150°, θ₃ = 30°, a = 1.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Hai bong bóng chung màng vẽ đúng tỉ lệ cho R₂ = 2R₁: ba cung gặp nhau ở hai điểm, mỗi cặp màng lệch nhau 120°, và ba cung chung một đường tròn bán kính a.
3.4 Thể tích từng ngăn
Một chỏm cầu bán kính R, nửa góc θ có thể tích V chỏm (R, θ) = (πR³/3)(2 + cosθ)(1 − cosθ)², tức chiếm phần ξ(θ) = (2 + cosθ)(1 − cosθ)²/4 của cả hình cầu (kiểm: θ = 90° cho 1/2, θ = 180° cho 1). Ngăn nhỏ gồm chỏm R₁ cộng chỏm R₃ (màng ngăn phình sang ngăn lớn); ngăn lớn là chỏm R₂ trừ chỏm R₃:
V₁ = V chỏm (R₁, θ₁) + V chỏm (R₃, θ₃) · V₂ = V chỏm (R₂, θ₂) − V chỏm (R₃, θ₃)
hai bong bóng bằng nhau dính nhau, rồi thổi thêm khí vào một bên: màng ngăn đổi hình thế nào?
Giải thích. Lúc đầu R₁ = R₂ nên R₃ = ∞: màng phẳng, hai cung ngoài đều có θ = 120°, θ₃ = 0°. Thổi thêm khí thì bên được thổi có bán kính lớn hơn, nên áp suất của nó thấp hơn (Δp = 4σ/R giảm theo R). Bên còn lại có áp suất cao hơn và đẩy màng sang phía bên to: màng phình về phía bong bóng lớn với bán kính R₃ = R₁R₂/(R₂ − R₁) hữu hạn, càng chênh lệch càng cong. Kéo thanh trượt ở Phòng A để thấy hình dạng đó.
MỤC 4 · HỢP NHẤT
Hai bong bóng hợp thành một: bảo toàn gì, và năng lượng đi đâu
Hợp nhất là quá trình khép kín: lượng khí của hai bong bóng dồn vào một bong bóng. Câu hỏi khái niệm là: bảo toàn lượng nào, và vì sao câu trả lời đổi theo áp suất bên ngoài?
4.1 Bảo toàn lượng khí
Coi khí là khí lí tưởng và nhiệt độ cuối bằng nhiệt độ đầu. Số mol khí được bảo toàn nên tích pV được bảo toàn. Với p = p₀ + 4σ/r cho mỗi bong bóng:
(p₀ + 4σ/R)·R³ = Σ (p₀ + 4σ/rᵢ)·rᵢ³ ⇒ R³ + ℓR² = Σ (rᵢ³ + ℓ rᵢ²), ℓ = 4σ/p₀ ℓ là một độ dài: với σ = 0,030 N/m và p₀ = 101 325 Pa thì ℓ ≈ 1,18 µm hư cấu
Vế trái R³ + ℓR² tăng nghiêm ngặt theo R, nên phương trình có đúng một nghiệm dương: bong bóng hợp nhất xác định duy nhất.
4.2 Hai giới hạn
ℓ ≪ R (khí quyển, bong bóng cỡ mm đến cm): số hạng ℓR² nhỏ, R³ ≈ Σrᵢ³. Thể tích khí được bảo toàn , chất khí gần như không bị nén. ℓ ≫ R (áp suất ngoài rất nhỏ, hoặc bong bóng cực nhỏ): số hạng ℓR² át trội, R² ≈ Σrᵢ². Diện tích màng được bảo toàn. Bong bóng thực nằm ở một trong hai đầu hoặc ở vùng chuyển tiếp ở giữa, tùy tỉ số ℓ/r.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. R/r của bong bóng hợp nhất từ hai bong bóng bằng nhau theo ℓ/r (trục logarit): đi từ 2^(1/3) (bảo toàn thể tích) lên √2 (bảo toàn diện tích). Chỉ bong bóng cỡ micromet trong không khí mới ở vùng chuyển tiếp.
4.3 Năng lượng: phần giảm đi là “năng lượng tự do”
Tổng năng lượng luôn được bảo toàn; cái giảm là khả năng sinh công của hệ. Với nhiệt độ không đổi, khả năng ấy đo bằng hàm Φ gồm năng lượng tự do của khí, công chống khí quyển p₀V và năng lượng bề mặt 2σA. Cân bằng ứng với dΦ/dV = 0, tức −p + p₀ + 4σ/R = 0: đúng áp suất Laplace. Tính số cho nhiều bộ (r₁, r₂, σ, p₀) ngẫu nhiên đều cho Φ sau < Φ trước : hợp nhất tự diễn ra, còn một bong bóng tự tách thành hai thì không.
Ở khí quyển, phần giảm gần bằng độ giảm năng lượng bề mặt 2σ·ΔA, vì thể tích gần như không đổi nên số hạng của khí và p₀V gần như không đổi. Ví dụ tự chọn: hai bong bóng bán kính 1 cm hợp thành một với R ≈ 1,26 cm; tổng diện tích mỗi mặt giảm khoảng 5,2 cm², năng lượng bề mặt giảm cỡ 31 µJ hư cấu . Năng lượng ấy không biến mất: nó đi vào chuyển động của màng, âm thanh và nhiệt (tiêu tán). Giả thiết nhiệt độ cuối bằng nhiệt độ đầu là sự đơn giản hóa; hợp nhất rất nhanh có thể gần đoạn nhiệt hơn.
PHÒNG A Bong bóng xà phòng: màng chung và hợp nhất
Chọn chế độ rồi kéo thanh trượt. Ở chế độ “Màng chung”, hình vẽ đúng tỉ lệ và các góc được tính từ công thức của mục 3. Ở chế độ “Hợp nhất”, máy giải phương trình ở mục 4.1 và so với hai giới hạn. Mọi số liệu là ví dụ tự soạn hư cấu .