🧊 Vật lí 12 · Dẫn nhiệt ổn định · Đo hệ số dẫn nhiệt của nước đá: băng đông đặc cho đường thẳng x² theo t, tấm truyền nhiệt phải chờ ổn định, vật liệu chuẩn nối tiếp so sánh nhiệt trở, và mỗi sai số hệ thống để lại một sai lệch có chiều
Chuyên đề gom phép đo hệ số dẫn nhiệt thành ba nguyên lí kiểm tra được. Một, dẫn nhiệt ổn định một chiều có dòng nhiệt không đổi và nhiệt độ giảm tuyến tính…
LUKATO AI · VẬT LÍ 12 · NHIỆT HỌC
Vật lí · Dẫn nhiệt ổn định · Định luật Fourier, mặt phẳng đông đặc, sai số có chiều
Đo hệ số dẫn nhiệt của nước đá : định luật Fourier cho nhiệt độ tuyến tính, mặt phẳng đông đặc cho đường thẳng x² theo t, và mỗi sai số hệ thống đều có một chiều đọc được
Chuyên đề này gom phép đo hệ số dẫn nhiệt κ thành ba nguyên lí kiểm tra được. Thứ nhất, dẫn nhiệt ổn định một chiều là một mô hình rất ít thông số : dòng nhiệt không đổi theo vị trí, nhiệt độ giảm tuyến tính, mỗi lớp có nhiệt trở l/κ và các lớp nối tiếp cộng nhiệt trở, nên chênh nhiệt độ chia theo tỉ lệ nhiệt trở. Thứ hai, băng đông đặc từ dưới lên là một quá trình chuẩn tĩnh : nhiệt tỏa ra khi đóng băng đúng bằng dòng nhiệt dẫn qua lớp băng, nên bình phương bề dày tăng đều theo thời gian và κ nằm trong hệ số góc của một đường thẳng; chuẩn tĩnh đúng khi số Stefan nhỏ. Thứ ba, phép đo là một chuỗi giả thiết, và mỗi giả thiết bị vi phạm để lại một sai lệch có chiều : điện trở tiếp xúc làm κ đo nhỏ đi, đầu dò nghiêng làm κ đo lớn lên theo 1/cos θ, độ lệch điểm không không đổi dời giao điểm của đường khớp chứ không đổi hệ số góc, đọc khi chưa ổn định lấy nhầm dòng nhiệt ở hai chỗ khác nhau, còn đầu dò quá sát nhau làm sai số tương đối của hiệu nhiệt độ phình ra. Mọi số liệu do bài tự đặt để minh họa; bài không chép lại một đề thi cụ thể.
Đường thẳng x² theo t cho κ Tấm lạnh −6 °C và κ = 2,2 cho bề dày 22,74 mm sau 100 phút với hệ số góc 5,17 mm² mỗi phút; điện trở tiếp xúc tương đương 1 mm băng làm κ đo chỉ còn 2,06, nhỏ hơn 6,4%
Phải chờ dòng nhiệt ổn định Mẫu dày 6 cm có hằng số thời gian 5,3 phút; đọc lúc 10 phút thì dòng qua mặt trên mới đạt 70% mức ổn định, κ đo 1,54 (thấp 30%); đọc lúc 30 phút chỉ còn lệch 0,7%
Hệ số góc chịu được độ lệch điểm không, một điểm thì không Đầu dò trong băng lệch +40 mK: đường khớp vẫn cho κ = 2,2 còn lần đo đầu tiên cho 1,53; đầu dò nghiêng 15° làm κ lớn hơn 3,5% ở mọi cách tính
01
Khái niệm lõi
Từ định luật Fourier đến đường thẳng x² theo t, và từ một con số đo đến một sai số có chiều
Hãy hình dung một người muốn biết băng dẫn nhiệt tốt đến đâu. Không có máy nào đọc thẳng hệ số dẫn nhiệt κ; thứ đo được chỉ là nhiệt độ, bề dày, thời gian, một điện áp. Cả nghệ thuật của một phép đo là dựng thiết bị sao cho κ chỉ còn xuất hiện ở đúng một chỗ, rồi đọc nó ra từ một hệ số góc hay một tỉ số. Nhiều người học nhớ máy móc “j bằng κ nhân ΔT chia l” rồi vấp khi đề đổi cách bố trí: băng đang dày dần thay vì đứng yên, dòng nhiệt phải qua hai lớp nối tiếp, hay đầu dò đặt lệch một góc. Bài này không đưa thêm công thức mà dạy cách nhìn qua ba việc. Một là dẫn nhiệt ổn định: khi mọi thứ đã dừng thay đổi, dòng nhiệt như nhau ở mọi tiết diện, nhiệt độ là một đường thẳng và mỗi lớp là một nhiệt trở. Hai là chuẩn tĩnh: khi băng dày lên rất chậm so với thời gian nhiệt độ bên trong tự điều chỉnh, ta được phép coi mỗi thời điểm là một trạng thái ổn định, rồi ghép với phương trình bảo toàn năng lượng tại mặt phân cách để ra x² tỉ lệ với t. Ba là sai số có chiều: với mỗi giả thiết của mô hình, hỏi nếu nó sai thì κ đo lớn lên hay nhỏ đi, và cách đo nào miễn nhiễm với sai lệch ấy.
1 · Định luật Fourier Mật độ dòng nhiệt tỉ lệ với gradient nhiệt độ; hệ số tỉ lệ là κ
2 · Ổn định là tuyến tính Dòng nhiệt không đổi, nhiệt độ giảm đều, nhiệt trở l/κ cộng nối tiếp
3 · Mặt phẳng đông đặc Nhiệt tỏa ra khi đóng băng bằng dòng dẫn qua băng, cho x² tỉ lệ với t
4 · Đọc κ từ hệ số góc Tuyến tính hóa, hồi quy nhiều điểm, so sánh với vật liệu chuẩn
5 · Sai số có chiều Điện trở tiếp xúc, góc nghiêng, điểm không, đọc sớm, đầu dò quá sát
Định luật Fourier cho dẫn nhiệt một chiều: mật độ dòng nhiệt j (nhiệt qua một đơn vị diện tích mỗi giây) tỉ lệ với gradient nhiệt độ, và ở trạng thái ổn định, khi nhiệt độ giảm đều trên khoảng l với chênh nhiệt ΔT, ta có:
j=-\kappa\,\dfrac{dT}{dz}\;=\;\kappa\,\dfrac{\Delta T}{l}\;=\;\dfrac{\Delta T}{R},\qquad R=\dfrac{l}{\kappa}
Băng đông đặc từ dưới lên trên tấm lạnh ở nhiệt độ Tc, mặt phân cách băng nước ở T0 = 0 °C và dày x. Mỗi giây, nhiệt ρ L dx/dt tỏa ra ở mặt phân cách (ρ là khối lượng riêng của băng, L là nhiệt nóng chảy riêng) phải đi qua lớp băng, cho phương trình và nghiệm sau, với A là hằng số phụ thuộc bề dày lúc bắt đầu tính thời gian:
\rho L\,\dfrac{dx}{dt}=\kappa\,\dfrac{T_{0}-T_{c}}{x}\;\;\Longrightarrow\;\;x^{2}=\dfrac{2\kappa\,(T_{0}-T_{c})}{\rho L}\,t+A
Hai lớp có cùng tiết diện nối tiếp và cùng dòng nhiệt: tấm vật liệu chuẩn có κs và băng chưa biết κi, với các đầu dò cách nhau ls và li trong từng lớp và chênh nhiệt đo được ΔTs, ΔTi:
\kappa_{s}\,\dfrac{\Delta T_{s}}{l_{s}}=\kappa_{i}\,\dfrac{\Delta T_{i}}{l_{i}}\;\;\Longrightarrow\;\;\kappa_{i}=\kappa_{s}\,\dfrac{l_{i}}{l_{s}}\,\dfrac{\Delta T_{s}}{\Delta T_{i}}
Gradient đo từ N đầu dò cách đều, tại các độ sâu zk với nhiệt độ Tk, là hệ số góc bình phương tối thiểu; với bốn đầu dò cách đều l, nó thu về một tổ hợp có trọng số đơn giản:
a=\dfrac{\sum_{k}(z_{k}-\bar z)(T_{k}-\bar T)}{\sum_{k}(z_{k}-\bar z)^{2}}\;\;\xrightarrow{N=4}\;\;a=\dfrac{-3T_{1}-T_{2}+T_{3}+3T_{4}}{10\,l}
Ba nguyên lí cần nhớ (1) Ở trạng thái ổn định một chiều, dòng nhiệt như nhau tại mọi tiết diện, nhiệt độ giảm tuyến tính theo vị trí và mỗi lớp có nhiệt trở l/κ; các lớp nối tiếp cộng nhiệt trở nên chênh nhiệt độ chia theo tỉ lệ nhiệt trở, và κ được đọc từ j = κΔT/l hoặc từ tỉ số hai chênh nhiệt. (2) Khi băng đông đặc từ dưới lên đủ chậm so với thời gian nhiệt độ trong băng tự điều chỉnh (số Stefan St = cΔT/L nhỏ), mỗi thời điểm là một trạng thái ổn định, phương trình bảo toàn năng lượng ρL dx/dt = κ(T0 − Tc)/x cho x² = 2κ(T0 − Tc)t/(ρL) + A, và κ nằm trong hệ số góc của đường thẳng x² theo t. (3) Mỗi giả thiết của phép đo có sai lệch có chiều: điện trở tiếp xúc làm κ đo nhỏ hơn, đầu dò nghiêng góc θ làm κ đo lớn hơn 1/cos θ lần, độ lệch điểm không không đổi chỉ dời giao điểm của đường khớp chứ không đổi hệ số góc, đọc trước khi ổn định lấy nhầm dòng nhiệt ở hai chỗ khác nhau, còn hiệu nhiệt độ quá nhỏ làm sai số tương đối của gradient phình ra.
02
Hệ thống khái niệm
Tám khái niệm cần phân biệt
Định luật Fourier và mật độ dòng nhiệt Mật độ dòng nhiệt j là nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích trong một giây, đơn vị W/m²; định luật Fourier cho j = −κ dT/dz, dấu trừ nói nhiệt chảy từ nơi nóng sang nơi lạnh. Hệ số dẫn nhiệt κ (W/(m·K)) là tính chất của vật liệu: băng khoảng 2,2, nước lỏng khoảng 0,6, đồng hơn 300. Ví dụ: băng có gradient 66,7 K/m thì j bằng 2,2 nhân 66,7, tức khoảng 147 W/m². Điều kiện: vật liệu đồng nhất và κ gần như không đổi trong dải nhiệt độ đang xét. Bẫy hay gặp: coi j lớn là vật liệu dẫn nhiệt tốt, trong khi j còn phụ thuộc chênh nhiệt độ và bề dày.
Trạng thái ổn định: nhiệt độ tuyến tính, dòng nhiệt không đổi Khi nhiệt độ tại mỗi điểm không còn đổi theo thời gian, nhiệt đi vào một lát mỏng bằng nhiệt đi ra, nên dòng nhiệt như nhau ở mọi vị trí, và vì j = −κ dT/dz không đổi nên gradient không đổi: nhiệt độ là đường thẳng. Ví dụ: băng dày 6 cm kẹp giữa hai tấm đồng ở −1 °C và −5 °C có gradient 66,7 K/m ở mọi độ sâu. Điều kiện: một chiều, không có nguồn nhiệt trong vật liệu, κ không đổi. Bẫy hay gặp: dùng công thức ΔT/l khi nhiệt độ còn đang thay đổi theo thời gian; khi đó gradient mỗi nơi một khác.
Nhiệt trở và các lớp nối tiếp Một lớp dày l, hệ số κ có nhiệt trở R = l/κ trên mỗi đơn vị diện tích; chênh nhiệt độ qua lớp là j nhân R. Các lớp cùng tiết diện nối tiếp có cùng j nên chênh nhiệt độ chia theo tỉ lệ nhiệt trở và nhiệt trở tổng là tổng các nhiệt trở. Từ đó, biết κ của một lớp chuẩn thì đo được κ của lớp kia bằng tỉ số hai chênh nhiệt. Ví dụ: chuẩn dày 15 mm với κ = 1,5 nối tiếp băng dày 30 mm cho nhiệt trở tổng 0,0236 m²K/W. Điều kiện: cùng tiết diện, mặt bên cách nhiệt, tiếp xúc tốt. Bẫy hay gặp: cộng nhiệt trở theo chiều dày mà quên chia cho κ.
Mặt phẳng đông đặc và cân bằng năng lượng Khi băng đóng từ tấm lạnh lên, mặt phân cách băng nước ở 0 °C đi lên và tỏa nhiệt nóng chảy; nước ở 0 °C không truyền nhiệt xuống nên toàn bộ nhiệt ấy phải đi qua lớp băng. Mỗi giây có ρ dx/dt kilôgam băng mới trên một mét vuông, tỏa ρL dx/dt, và dòng qua băng là κ(T0 − Tc)/x. Cân bằng hai vế cho dx/dt tỉ lệ nghịch với x: băng càng dày càng chậm. Ví dụ: tấm lạnh −6 °C, κ = 2,2 cho x bằng 22,7 mm sau 100 phút. Điều kiện: bỏ qua dòng nhiệt từ nước lỏng, mặt phân cách phẳng nằm ngang. Bẫy hay gặp: nghĩ bề dày tăng đều theo thời gian.
Gần đúng chuẩn tĩnh và số Stefan Gần đúng chuẩn tĩnh coi nhiệt độ trong băng luôn là đường thẳng giữa Tc và T0, bỏ qua nhiệt dùng để làm lạnh băng mới đóng. Độ lớn bỏ qua được đo bằng số Stefan St = cΔT/L (c là nhiệt dung riêng của băng, L là nhiệt nóng chảy riêng): nhiệt làm lạnh băng so với nhiệt đóng băng. Ví dụ: ΔT = 6 K cho St = 0,038; nghiệm chính xác của bài toán một pha cho hệ số góc bằng 0,988 lần giá trị chuẩn tĩnh, nghĩa là chuẩn tĩnh chỉ lệch 1,2%. Điều kiện: St nhỏ, băng dày lên chậm so với thời gian khuếch tán nhiệt x²/α. Bẫy hay gặp: dùng chuẩn tĩnh cho tấm lạnh rất lạnh, nơi St không còn nhỏ.
Tuyến tính hóa, hệ số góc và giao điểm Khi hai đại lượng liên hệ phi tuyến, đổi biến để được đường thẳng rồi đọc hằng số từ hệ số góc: ở đây vẽ x² theo t thay vì x theo t. Khớp nhiều điểm bằng bình phương tối thiểu giảm sai số ngẫu nhiên; hệ số góc cho κ, còn giao điểm là chỗ ghi lại các sai lệch cộng thêm không đổi (bề dày ban đầu A, độ lệch điểm không). Ví dụ: hệ số góc 5,17 mm² mỗi phút ứng với κ = 2,2 khi tấm lạnh ở −6 °C. Điều kiện: dữ liệu theo đúng mô hình tuyến tính trên cửa sổ khớp. Bẫy hay gặp: ép đường khớp đi qua gốc, làm giao điểm biến mất và đẩy sai lệch vào hệ số góc.
Thời gian ổn định và đọc đúng lúc Sau khi bật tấm lạnh, nhiệt độ trong mẫu cần thời gian để tới đường thẳng; thời gian đặc trưng là τ1 = H²/(π²α) với H là bề dày mẫu, α là hệ số khuếch tán nhiệt. Dòng nhiệt qua mặt trên bằng mức ổn định nhân (1 − 2e^(−t/τ1)) khi mẫu ban đầu ở nhiệt độ tấm trên, nên muốn sai dưới 1% phải chờ khoảng 5,3τ1; gấp đôi bề dày thì chờ gấp bốn. Ví dụ: mẫu 6 cm có τ1 = 5,3 phút nên cần khoảng 28 phút. Điều kiện: một chiều, hai mặt giữ nhiệt độ không đổi. Bẫy hay gặp: tin gradient ở giữa mẫu đã đúng nên đọc sớm, trong khi dòng nhiệt ở mặt trên chưa đúng.
Sai số có chiều và cách cô lập chúng Mỗi vi phạm giả thiết cho một sai lệch có chiều cụ thể. Điện trở tiếp xúc giữa tấm lạnh và băng làm chênh nhiệt thật trong băng nhỏ hơn T0 − Tc, nên κ đo nhỏ hơn. Đầu dò nghiêng góc θ so với phương dòng nhiệt có khoảng cách thật l cos θ, nên κ tính theo l lớn hơn 1/cos θ lần. Độ lệch điểm không không đổi cộng vào ΔT nên dời giao điểm, không đổi hệ số góc. Độ phân giải ε làm gradient đo có sai số cực đại ε Σ|zk − z̄| / Σ(zk − z̄)², giảm khi đầu dò xa nhau và khi có nhiều đầu dò. Dùng nước tinh khiết, tránh bọt khí, bọc cách nhiệt thành bên, đo ở giữa mẫu và bỏ dữ liệu ban đầu đều nhằm giữ giả thiết một chiều, đồng nhất, chuẩn tĩnh. Bẫy hay gặp: coi mọi sai số là ngẫu nhiên nên đo nhiều lần là hết.
03
Phòng thực hành A
Mặt phẳng đông đặc: x² theo t là đường thẳng, hệ số góc cho κ, và điện trở tiếp xúc làm κ đo nhỏ đi
Phòng chạy một bình nước đang đông đặc từ dưới lên trên tấm kim loại lạnh. Mười điểm đo cách nhau 10 phút, từ phút 10 đến phút 100. Sáu nút đặt sẵn các trạng thái để so sánh. Bốn thanh trượt đổi nhiệt độ tấm lạnh Tc từ −10 đến −2 °C với bước 2, hệ số dẫn nhiệt thật κ của băng từ 1,4 đến 2,6 với bước 0,2, điện trở tiếp xúc quy về bề dày băng tương đương dc từ 0 đến 2 mm với bước 0,5, và phút bắt đầu khớp t0 từ 10 đến 70 với bước 10 (đường thẳng chỉ khớp các điểm từ t0 đến phút 100). Hình trên vẽ bình phương bề dày theo thời gian: chấm xanh là điểm trong cửa sổ khớp, chấm rỗng là điểm bị bỏ, đường xanh dương là đường khớp, nét đứt xám là đường thẳng đi qua gốc ứng với κ thật khi không có điện trở tiếp xúc, đường xanh nhạt là đường cong thật. Hình dưới vẽ κ đo được khi cửa sổ khớp bắt đầu muộn dần. Dưới hình là tám ô số: bề dày sau 100 phút, hệ số góc lí thuyết, hệ số góc khớp, κ đo, sai lệch, số Stefan cùng hệ số hiệu chỉnh nhiệt dung, giao điểm và đánh giá. Bảng cuối kiểm tám điều bằng hai cách: bề dày sau 100 phút theo nghiệm bậc hai và theo tích phân Simpson thời gian, hệ số góc lí thuyết theo công thức và theo hiệu hai bình phương bề dày, hệ số góc và giao điểm khớp theo dạng hiệp phương sai và theo định thức tổng thô, cân bằng năng lượng tại mặt phân cách theo đạo hàm số và theo nhiệt trở tổng, hệ số góc chính xác theo nghiệm Neumann và theo khai triển St, nghiệm λ theo chia đôi và theo Newton, và phút bề dày đạt 20 mm theo giải bậc hai và theo chia đôi; mọi hàng phải khớp. Phòng chỉ xét băng dẫn nhiệt một chiều và nước ở 0 °C, nên nó cho thấy quy luật chứ không thay cho số đo thật.