Giao thoa Y-âng: hệ vân là bản đồ của hiệu quang trình
Hiệu quang trình, khoảng vân, bản mỏng, dịch nguồn, chất lỏng, ánh sáng trắng, hai bức xạ, độ tương phản: 5 lab tương tác để hiểu tận gốc giao thoa Y-âng.
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ VẬT LÍ 12
SÓNG ÁNH SÁNG · GIAO THOA Y-ÂNG
Hệ vân là tấm bản đồ của hiệu quang trình
Mỗi điểm trên màn ghi lại đúng một con số: hai sóng đã đi lệch nhau bao nhiêu bước sóng. Đặt bản mỏng, dịch nguồn, nhúng vào nước hay đổi sang ánh sáng trắng chỉ là ba phép biến đổi tấm bản đồ ấy: cộng thêm, đổi tỉ lệ, hoặc chồng nhiều bản đồ lên nhau.
- Dịch vân = cộng quang trình
- Đổi khoảng vân = đổi tỉ lệ
- Ánh sáng trắng = cộng theo bước sóng
phòng thí nghiệm tương tác
bí quyết cốt lõi
2·I 0
cường độ trung bình: chỉ phân phối lại
01
Bản chất
Mỗi điểm trên màn đọc ra một con số: hai sóng lệch nhau bao nhiêu bước sóng
Đừng học giao thoa như một bộ công thức vị trí vân. Hãy nhìn màn như một tấm bản đồ: tại mỗi điểm, ta in lên đó hiệu quang trình của hai sóng, đo bằng đơn vị bước sóng. Số nguyên thì sáng, số bán nguyên thì tối. Mọi thứ còn lại là hình học của tấm bản đồ ấy.
1 · MỘT NGUỒN, HAI KHE Khe S chiếu sáng S1 và S2: hai khe là hai mảnh của cùng một mặt sóng, nên cùng tần số và độ lệch pha không đổi (nguồn kết hợp).
2 · HIỆU QUANG TRÌNH Tới điểm M cách vân trung tâm x, hai sóng đi hai quãng d1, d2. Trong không khí: d2 - d1 = a·x/D.
3 · ĐỘ LỆCH PHA Lệch pha = 2 pi nhân (d2 - d1)/lambda: mỗi bước sóng đi thêm là trọn một vòng pha.
4 · SÁNG HAY TỐI Số nguyên lần bước sóng: hai sóng cùng pha, tăng cường. Số bán nguyên: ngược pha, triệt tiêu.
5 · VỊ TRÍ Vân sáng tại x = k·i, vân tối tại x = (k + 0,5)·i, với khoảng vân i = lambda·D/a.
1. Hình học: một hằng đẳng thức đúng tuyệt đối, chỉ một chỗ xấp xỉ
Hình 1 · Hình vẽ phóng đại a và x rất nhiều. Đoạn vàng S2H (H là chân đường vuông góc hạ từ S1) chính là hiệu đường đi; tam giác nhỏ S1S2H đồng dạng với tam giác có cạnh x và D.
Đặt gốc tọa độ ở giữa hai khe. Khoảng cách từ M tới hai khe thỏa mãn chính xác: d 2 2 - d 1 2 = (x + a/2) 2 - (x - a/2) 2 = 2·a·x. Phân tích hiệu hai bình phương:
d 2 - d 1 = 2·a·x / (d 1 + d 2 ) → d 2 - d 1 = a·x/D chỉ một xấp xỉ duy nhất: d1 + d2 xấp xỉ 2D (đúng khi x và a rất nhỏ so với D)
Insight 1 · Xấp xỉ chỉ nằm ở mẫu số
Cách vẽ quen thuộc là vẽ hai tia "gần song song" rồi coi sin bằng tan. Cách trên cho thấy rõ hơn: tử số 2·a·x là chính xác , sai số chỉ đến từ việc thay tổng d1 + d2 bằng 2D. Với số minh họa a = 1 mm, D = 2 m, tại x = 10 mm: a·x/D = 5000 nm, giá trị chính xác nhỏ hơn khoảng 12,5 phần triệu . Vì thế vân cách đều là một xấp xỉ cực tốt ở gần trục, chứ không phải một định luật: tập hợp điểm có cùng hiệu đường đi thực chất là một hyperbol nhận S1, S2 làm tiêu điểm.
2. Từ độ lệch pha tới vị trí vân, và cách gọi tên chúng
Sáng khi d2 - d1 = k·lambda, tối khi d2 - d1 = (k + 0,5)·lambda. Thay d2 - d1 = a·x/D:
i = lambda·D/a · vân sáng: x = k·i · vân tối: x = (k + 0,5)·i số minh họa: a = 1,00 mm, D = 2,00 m, lambda = 600 nm → i = 600·10 -9 m · 2 m / 10 -3 m = 1,2·10 -3 m = 1,20 mm
Bẫy đếm · vân tối thứ n ứng với k = n - 1
Theo cách gọi quen dùng: vân sáng bậc k ở x = k·i (bậc 0 là vân trung tâm), còn vân tối thứ n (đếm từ vân trung tâm ra) ở x = (n - 0,5)·i, tức là k = n - 1. Với i = 1,20 mm: vân tối thứ 3 ở 2,5·i = 3,0 mm, còn vân sáng bậc 3 ở 3,6 mm. Quy tắc nhớ: vân tối thứ n nằm ngay trước vân sáng bậc n, cách nó nửa khoảng vân (0,6 mm). Không có "vân tối bậc 0".
Vì sao vân trung tâm sáng? Vì tại đó hai quãng đường bằng nhau nên hai sóng tới cùng pha với mọi bước sóng . Định nghĩa đúng của nó không phải "điểm giữa màn" mà là điểm có hiệu quang trình bằng 0 . Định nghĩa này sẽ là chìa khóa của cả mục 02: thứ gì làm thay đổi quang trình thì làm điểm ấy chạy đi.
3. Cường độ: giao thoa không sinh thêm năng lượng
Nếu mỗi khe chiếu một mình cho cường độ I 0 (biên độ A), hai sóng cùng biên độ chồng lên nhau cho biên độ 2A·|cos(lệch pha/2)|. Cường độ tỉ lệ bình phương biên độ:
I = 4·I 0 ·cos bình phương (lệch pha / 2) vân sáng: 4·I 0 · vân tối: 0 · trung bình trên nhiều vân: 2·I 0 (giá trị trung bình của cos bình phương là 1/2)
Insight 2 · Gấp bốn ở vân sáng, nhưng tổng vẫn gấp hai
Ở vân sáng, cường độ là 4·I 0 , không phải 2·I 0 : biên độ cộng trước rồi mới bình phương. Nghe như năng lượng tự sinh ra, nhưng vân tối bằng 0 bù lại đúng phần ấy: lấy trung bình trên nhiều khoảng vân được chính xác 2·I 0 , bằng tổng hai khe chiếu riêng. Giao thoa là phân phối lại năng lượng trong không gian, không phải tạo ra hay hủy đi. (Mô phỏng số 30 khoảng vân mỗi bên cho trung bình 2,000·I 0 , cực đại 4,00·I 0 .)
4. Giới hạn trung thực của mô hình
Góc nhỏ. Với số minh họa, vân sáng bậc 1 lệch khỏi trục một góc lambda/a = 0,6 miliradian, tức 0,034 độ. Đó cũng là bề rộng góc của mọi khoảng vân, và nó không phụ thuộc D: dời màn ra xa chỉ chiếu cùng một chùm góc lên một đoạn màn rộng hơn. Chính vì góc nhỏ như vậy mà khoảng vân phải đo trên màn xa vài mét.
Số bậc có hạn. Chính xác, vân sáng bậc k thỏa mãn sin(góc lệch) = k·lambda/a, mà sin không vượt quá 1, nên k không vượt quá a/lambda = 1666,7: tối đa 1666 bậc mỗi bên, tức 3333 vân sáng trên lý thuyết. Nếu hai khe chỉ cách nhau 2 micromet thì bậc lớn nhất chỉ còn 3. Trên thực tế số vân thấy được ít hơn nhiều, vì mỗi khe có bề rộng hữu hạn (đường bao ở mục 02).
Các giả thiết khác. Khe điểm, hai khe sáng như nhau, ánh sáng đơn sắc, sóng coi là vô hướng (bỏ qua phân cực). Mục 02 và 05 sẽ nới từng giả thiết một và cho thấy tấm bản đồ thay đổi ra sao.
Phòng thí nghiệm 1 · Hiệu quang trình → vân SỐ MINH HỌA
Kéo a, D, bước sóng và vị trí điểm M. Phần trên là tam giác hiệu đường đi (phóng đại); dải giữa là màn thật trong trường 20 mm, đúng tỉ lệ; đường dưới là cường độ, nét đứt là mức trung bình 2·I 0 .
Khoảng cách hai khe a: 1,0 mm
Khoảng cách tới màn D: 2,0 m
Bước sóng: 600 nm
Vị trí điểm M: x: 3,0 mm
Khoảng vân i
d2 - d1 tại M
Số bước sóng
M là
Vân sáng trong 20 mm
Vân tối trong 20 mm
Đọc kết quả lab
Ở mặc định, M cách vân trung tâm 3,0 mm: d2 - d1 = 1500 nm = 2,5 bước sóng, nên M là vân tối thứ 3 (k = 2), không phải thứ 2 hay thứ 3,5. Trường 20 mm chứa 17 vân sáng (bậc 0 tới bậc 8 hai bên) và 16 vân tối. Tăng D lên 3 m: i = 1,8 mm; giảm a còn 0,5 mm: i = 2,4 mm. Cả hai chỉ giãn tỉ lệ tấm bản đồ, vân trung tâm không hề nhúc nhích.
02
Phòng thí nghiệm chính
Máy Y-âng đầy đủ: ba phép biến đổi một tấm bản đồ
Giờ ta thêm vào máy mọi thứ hay gặp: một bản mỏng che một khe, khe nguồn S lệch khỏi trục, cả hệ nhúng trong chất lỏng, ánh sáng trắng. Thay vì học bốn bộ công thức, chỉ cần viết lại một biểu thức hiệu quang trình rồi hỏi: nó bằng 0 ở đâu, và đổi một bước sóng thì phải đi bao xa?
hiệu quang trình tại x = n·a·x/D + n·a·y/D 1 - (n b - n)·e chiều dương của x và y hướng về phía S1 · bản mỏng dày e, chiết suất n b che S1 · cả hệ trong môi trường chiết suất n · nguồn S lệch y, cách mặt phẳng hai khe D 1
Cho biểu thức bằng 0 được vị trí vân trung tâm; tăng nó thêm một bước sóng chân không được khoảng vân:
x 0 = (n b - n)·e·D/(n·a) - y·D/D 1 · i = lambda·D/(n·a) trong không khí (n = 1): x 0 = (n b - 1)·e·D/a - y·D/D 1 và i = lambda·D/a
Phòng thí nghiệm 2 · Máy Y-âng đầy đủ SỐ MINH HỌA
Số minh họa: a = 1 mm, D = 2 m, nguồn cách hai khe D 1 = 0,5 m. Bên trái: sơ đồ nhìn từ trên (không theo tỉ lệ, bước sóng vẽ phóng đại). Bên phải: dải màn từ -10 mm tới +10 mm, đúng tỉ lệ cùng đường cường độ. Nét vàng là đường đi tới điểm có hiệu quang trình bằng 0.
Bản mỏng:
Ánh sáng:
Bề dày bản e: 6,0 micromet
Chiết suất bản n b : 1,50
Chiết suất môi trường n: 1,00 (1 là không khí, 1,33 là nước)
Dịch nguồn S: y: 0,00 mm (dương: về phía S1)
Bước sóng chân không: 600 nm
Khoảng vân i
Vân trung tâm x0
Dịch, tính theo i
Bước sóng trong môi trường
Phép biến đổi
Phép 1 · Cộng thêm quang trình: tấm bản đồ trượt nguyên khối
Bản mỏng. Ánh sáng đi qua bản dày e chiết suất n b mất thời gian như đi quãng n b ·e trong chân không, tức dài thêm (n b - 1)·e so với đi qua không khí. Số minh họa: e = 6 micromet, n b = 1,5 cho thêm 3,0 micromet, đúng 5 bước sóng 600 nm. Điểm "hai sóng đến cùng lúc" phải dời về phía S1, nơi quãng hình học của sóng S1 ngắn hơn để bù cho phần bị trễ: vân trung tâm dịch 5 khoảng vân = 6,0 mm về phía khe bị che . Khoảng vân không đổi, vì bản chỉ cộng một hằng số vào mọi điểm của bản đồ.
Dịch nguồn. Nếu S lệch y về phía S1, sóng tới S1 sớm hơn: hiệu đường đi ở phía nguồn là a·y/D 1 . Để bù, phía màn phải có hiệu ngược dấu, nên hệ vân dịch ngược chiều nguồn một đoạn y·D/D 1 . Với y = 0,3 mm, D 1 = 0,5 m: hệ vân dịch 1,2 mm về phía S2, đúng 1 khoảng vân. Kết hợp cả bản mỏng che S1 và nguồn lệch 0,3 mm về phía S1: x 0 = 6,0 - 1,2 = 4,8 mm, đúng là hai độ dịch cộng lại vì cả hai chỉ là các số hạng cộng trong cùng một biểu thức.
Insight 3 · Dịch đúng số nguyên khoảng vân thì không ai nhìn ra
Với ánh sáng đơn sắc, mọi vân sáng giống hệt nhau. Bản dày 1,2 micromet (thêm 0,6 micromet = 1 bước sóng) hay nguồn lệch 0,3 mm đều làm hệ vân trượt đúng 1 khoảng vân : màn trông y hệt lúc đầu. Chỉ phần lẻ của độ dịch là thấy được. Muốn biết vân trung tâm thật sự ở đâu, phải có một mốc mà mọi vân khác không có: vân trắng của ánh sáng trắng , nơi hiệu quang trình bằng 0 cho mọi bước sóng. Đó là lí do đo bề dày bản mỏng thì dùng ánh sáng trắng để tìm vân trung tâm. Thử trong lab: bấm "Che S1", chọn e = 1,2, rồi bật và tắt ánh sáng trắng.
Phép 2 · Đổi tỉ lệ: tần số giữ nguyên, bước sóng co lại
Tần số do nguồn quyết định: mỗi giây có bao nhiêu dao động đi vào chất lỏng thì bấy nhiêu đi ra, nên tần số không đổi khi qua mặt phân cách. Tốc độ giảm còn c/n, nên bước sóng còn lambda/n. Ánh sáng 600 nm có tần số c/lambda khoảng 500 THz; trong nước (n = 1,33) tốc độ khoảng 225·10 6 m/s và bước sóng khoảng 451 nm. Khoảng vân co theo: i = 1,20/1,33 = 0,90 mm.
Co giãn quanh điểm nào? Vân bậc k nằm ở x k = (k·lambda + C)·D/(n·a), với C là phần quang trình cộng thêm (bản mỏng, nguồn lệch). Đổi lambda : điểm hiệu quang trình bằng 0 không chứa lambda, nên các vân co giãn quanh vân trung tâm . Đổi D hoặc a : mọi x k nhân cùng một hệ số, nên hệ co giãn quanh trục O (chân đường trung trực của S1S2 trên màn), và vân trung tâm đã lệch cũng lệch theo. Ví dụ bản mỏng che S1 như trên, dời màn từ 2 m ra 3 m: vân trung tâm chạy từ 6,0 mm ra 9,0 mm, còn độ dịch tính theo khoảng vân vẫn là 5, vì (n b - 1)·e/lambda không chứa D hay a. Đổi n thì hai số hạng đổi khác nhau, không còn là co giãn thuần.
Dời màn, điểm cố định. Một điểm M cách O 3 mm có a·x/(lambda·D) bằng 2,5 khi D = 2 m (vân tối thứ 3), bằng 2,0 khi D = 2,5 m (vân sáng bậc 2), bằng 1,67 khi D = 3 m. Dời màn từ từ ra xa, các vân giãn ra và lần lượt trượt qua M theo hướng ra xa O: M đổi từ tối sang sáng rồi lại nhạt dần.
Một chi tiết hay bị bỏ sót: bản mỏng nhúng trong nước chỉ thêm (n b - n)·e quang trình. Với bản 6 micromet, n b = 1,5 trong nước 1,33: độ dịch còn 1,7 khoảng vân (1,53 mm) thay vì 5.
Phép 3 · Chồng nhiều bản đồ: ánh sáng trắng
Mỗi bước sóng vẽ một bản đồ riêng với khoảng vân riêng; mắt thấy tổng cường độ của tất cả. Chỉ tại hiệu quang trình bằng 0 mọi bản đồ đều sáng cùng lúc, nên vân trung tâm trắng; ra xa, các bản đồ lệch pha nhau và cho dải màu. Nếu chiết suất bản không đổi theo bước sóng, độ dịch x 0 của bản mỏng (tính bằng mm) như nhau cho mọi màu, nên vân trắng dịch nguyên vẹn. Thực tế thủy tinh tán sắc: giả sử n b = 1,51 với đỏ và 1,53 với tím (số minh họa), tâm của hai màu lệch nhau 0,24 mm và vân "trắng" hơi ngả màu.
Điều gì làm tấm bản đồ mờ đi
Hai bóng đèn không giao thoa. Mỗi nguyên tử phát những đoàn sóng ngắn với pha ngẫu nhiên. Hai đèn độc lập có độ lệch pha nhảy loạn liên tục, hệ vân dịch qua dịch lại nhanh hơn mắt và dụng cụ thông thường theo kịp, trung bình theo thời gian bị xóa sạch. Hai khe chiếu từ một khe S thì cùng nhận một đoàn sóng: pha nhảy, nhưng hiệu pha giữ nguyên.
Kết hợp thời gian. Một đoàn sóng chỉ dài cỡ lambda bình phương chia độ rộng phổ. Ánh sáng trắng (tâm khoảng 570 nm, rộng 380 nm) cho cỡ 0,86 micromet, chỉ khoảng 1,5 bước sóng: ra quá vài bậc, hai sóng gặp nhau đã thuộc hai đoàn khác nhau. Một laser có độ rộng phổ 0,001 nm ở 633 nm (số minh họa) cho cỡ 0,4 m.
Kết hợp không gian. Khe nguồn rộng w là tập hợp nhiều nguồn điểm, mỗi điểm cho một hệ vân dịch theo quy tắc y·D/D 1 . Khi w = lambda·D 1 /a = 0,3 mm, các hệ vân trải đều trên đúng một khoảng vân và lấp đầy nhau: độ tương phản bằng 0. Con số này chính là độ dịch nguồn làm hệ vân trượt một khoảng vân ở trên. Với w = 0,15 mm độ tương phản còn 0,64; với w = 0,1 mm còn 0,83.