VẬT LÍ 10 · ĐỘNG LƯỢNG VÀ CƠ NĂNG CỦA HỆ — Khi mặt trượt cũng chạy: vận tốc tương đối, hai sổ cái và phần động năng bị khóa ở khối tâm
Bài khái niệm Vật lí 10 nâng cao (Động lượng và cơ năng của hệ): khi vật trượt trên một nêm cũng chuyển động, vận tốc của vật so với đất là tổng u + V với u…
VẬT LÍ 10 · ĐỘNG LƯỢNG VÀ CƠ NĂNG CỦA HỆ · NÂNG CAO · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Khi mặt trượt cũng chạy: vận tốc tương đối và hai sổ cái của một hệ
Vì sao cơ năng của riêng vật không còn bảo toàn, vì sao chỉ động lượng ngang của hệ giữ nguyên, và vì sao không thể đổi hết động năng thành độ cao?
Bài này không giải đề. Nó dựng một cấu trúc khái niệm cho mọi tình huống mà vật trượt trên một mặt cũng đang chuyển động: một phép cộng vận tốc, một ràng buộc tiếp xúc và hai sổ cái (động lượng theo phương ngang, cơ năng của cả hệ). Từ đó rút ra một hệ quả gọn: phần động năng gắn với chuyển động ngang của khối tâm bị “khóa”, chỉ phần còn lại mới đổi được thành thế năng. Các định luật và công thức được đối chiếu với tài liệu tham khảo ở chân trang; các con số trong ví dụ và trong hai phòng thí nghiệm là mô hình tự soạn.
6 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 2 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
Về nguồn và ví dụ. Các định luật bảo toàn, định lí König, công của cặp lực nội và công thức va chạm đàn hồi được đối chiếu với giáo trình Vật lí 10 (VietJack), hai phân tích arXiv (physics/9808049, physics/0506065), LibreTexts và Wikipedia (xem chân trang). Các hệ thức trong bài rút ra từ hai định luật bảo toàn và được kiểm tra bằng tích phân số phương trình chuyển động. Mọi số liệu của vật và nêm là mô hình tự soạn hư cấu .
MỤC 1 · HAI KỊCH BẢN, MỘT PHÉP ĐỔI VAI
Khi mặt trượt đứng yên, một sổ cái là đủ; khi mặt trượt chạy, ta cần hai sổ cái và một phép cộng vận tốc
Một vật trượt lên mặt cong nhẵn của một khối nêm. Nếu nêm bị giữ chặt, cơ năng của vật bảo toàn và mọi điều quen thuộc đều đúng. Nếu nêm đặt tự do trên sàn nhẵn, nêm bị đẩy đi và cơ năng của riêng vật không còn bảo toàn, dù không có ma sát nào. Bài này cho thấy điều gì thay thế nó: không phải một định luật mới, mà là hai định luật cũ áp dụng cho cả hệ.
1.1 Cùng một cung tròn, hai kịch bản
Khi nêm bị giữ, vận tốc của vật so với đất chính là vận tốc của nó so với nêm, luôn dọc theo mặt. Lực pháp tuyến N của mặt lên vật vuông góc với mặt nên vuông góc với vận tốc và không sinh công; chỉ trọng lực sinh công, và cơ năng của vật bảo toàn. Khi nêm tự do, nêm có vận tốc V của riêng nó. Vận tốc của vật so với đất là tổng của vận tốc tương đối và V; tổng ấy không còn dọc theo mặt, nên N không còn vuông góc với nó. Hình 1 đặt hai kịch bản cạnh nhau.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Nêm bị giữ và nêm tự do: cùng cung tròn nhưng khác vận tốc, khác công của lực pháp tuyến và khác cái được bảo toàn.
Điều rút ra. Câu hỏi “cơ năng nào bảo toàn” không có đáp án chung: nó phụ thuộc vào việc ta chọn hệ nào và những ngoại lực nào có mặt. Khi mặt trượt chạy, hệ đúng là vật cộng nêm.
1.2 Lộ trình của bài
Mục 2 dựng phép cộng vận tốc và ràng buộc tiếp xúc (Phòng A). Mục 3 và 4 mở hai sổ cái: động lượng ngang và cơ năng của cả hệ. Mục 5 tách phần động năng bị khóa ở khối tâm và suy ra độ cao tối đa (Phòng B). Mục 6 cho thấy cùng cấu trúc ấy ở người đi trên thuyền và ở va chạm đàn hồi.
MỤC 2 · BA VẬN TỐC VÀ MỘT RÀNG BUỘC
Vận tốc của vật so với đất là tổng của vận tốc so với nêm và vận tốc của nêm, và tiếp xúc buộc vận tốc tương đối nằm dọc mặt
Mọi câu chuyện về mặt trượt chạy đều bắt đầu từ ba vận tốc và một ràng buộc. Nếu ghi chúng sai thì hai sổ cái ở các mục sau sẽ sai theo.
2.1 Ba vận tốc và phép cộng vectơ
Gọi v là vận tốc của vật so với đất, u là vận tốc của vật so với nêm và V là vận tốc của nêm so với đất. Công thức cộng vận tốc cho v = u + V: vận tốc so với đất bằng vận tốc tương đối cộng vận tốc kéo theo. Đây là phép cộng vectơ, nên phải cộng theo từng thành phần, không cộng độ lớn.
2.2 Ràng buộc tiếp xúc
Khi vật còn tựa trên mặt nêm, nó không xuyên vào nêm và cũng không rời khỏi mặt. Vì thế vận tốc tương đối u không có thành phần vuông góc với mặt: u nằm dọc tiếp tuyến của mặt tại chỗ vật đứng. Với mặt là cung tròn bán kính R và vật ở vị trí góc θ tính từ chân cung, tiếp tuyến hợp với phương ngang góc θ, nên u = (u cos θ ; u sin θ). Nêm chỉ chuyển động theo phương ngang, nên v = (V + u cos θ ; u sin θ): mọi vận tốc đứng của vật đều đến từ u.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. u dọc tiếp tuyến, V nằm ngang, v là tổng vectơ; N vuông góc với u nhưng không vuông góc với v.
Điều rút ra. Vectơ v không dọc mặt, trừ khi V = 0 hoặc vật ở chân cung. Lực pháp tuyến N vuông góc với u chứ không với v, và đó là hạt mầm của mục 4.
PHÒNG A Ba vận tốc, một ràng buộc, một công suất
Chọn độ lớn u của vận tốc tương đối (luôn dọc tiếp tuyến), vận tốc V của nêm và vị trí θ của vật trên cung. Phòng cho thấy v = u + V, góc lệch của v so với mặt và công suất của lực pháp tuyến cho mỗi niutơn. Các giá trị là mô hình tự soạn hư cấu .
u: vật so với nêm (m/s) 4,0
V: nêm so với đất (m/s) 2,0
θ: vị trí của vật trên cung (độ) 40
Nêm
Điều rút ra. Thành phần của v theo pháp tuyến luôn bằng −V sin θ, chỉ phụ thuộc vào nêm chạy nhanh bao nhiêu và mặt nghiêng bao nhiêu, không phụ thuộc u. Công suất của N lên vật là tích N với thành phần ấy, còn công suất của −N lên nêm có cùng độ lớn và ngược dấu.
trong Phòng A, đặt u = 4, V = 3 và θ = 0°, rồi kéo θ lên 60°: góc giữa v và tiếp tuyến thay đổi thế nào, và vì sao ở θ = 0° lực pháp tuyến không sinh công dù nêm đang chạy?
Giải thích. Ở θ = 0° mặt nằm ngang nên tiếp tuyến cũng nằm ngang, v = u + V cùng phương ngang và góc giữa v với tiếp tuyến là 0°. N thẳng đứng, vuông góc với v, nên công suất bằng 0. Khi kéo θ lên 60°, thành phần của v theo pháp tuyến là −V sin θ ≈ −2,60 m/s, góc lệch khoảng 25°, và công suất của N lên vật khoảng −2,60 W cho mỗi niutơn.
MỤC 3 · SỔ CÁI ĐỘNG LƯỢNG
Chọn hệ gồm cả vật và nêm: mọi ngoại lực đều thẳng đứng, nên động lượng ngang của hệ không đổi còn động lượng đứng thì có đổi
Định luật bảo toàn động lượng là một sổ cái: nó chỉ đóng với một hệ đã chọn, và chỉ theo những phương mà ngoại lực không có thành phần. Việc đầu tiên là vạch ranh giới của hệ; việc thứ hai là liệt kê những lực đi qua ranh giới ấy.
3.1 Nội lực và ngoại lực
Chọn hệ gồm vật và nêm. Lực pháp tuyến giữa chúng là cặp lực trực đối N và −N, cả hai nằm bên trong hệ: đó là nội lực nên không làm đổi tổng động lượng. Các lực đi qua ranh giới là trọng lực của vật, trọng lực của nêm và phản lực của sàn lên nêm. Sàn nhẵn nên phản lực của sàn thẳng đứng. Cả ba ngoại lực đều thẳng đứng, nên tổng ngoại lực theo phương ngang bằng không (arXiv physics/9808049 nêu đúng điều này cho khối nêm chuyển động; Physics Forums).
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Ranh giới của hệ: nội lực N và −N, ngoại lực P của vật, P của nêm và Q của sàn.
3.2 Hệ quả cho phương ngang và phương đứng
Theo phương ngang, tổng động lượng của hệ không đổi. Lúc đầu nêm đứng yên, vật có vận tốc v₀, nên ở mọi thời điểm:
m · vₓ + M · V = m · v₀ vₓ = V + u cos θ là vận tốc ngang của vật so với đất
Thay vₓ vào, ta có V = m(v₀ − u cos θ)/(m + M). Chừng nào u cos θ còn nhỏ hơn v₀, nêm nhận động lượng về phía trước: vật vừa lên vừa đẩy nêm đi. Theo phương đứng, ngoại lực không cân bằng: phản lực Q của sàn không bằng tổng trọng lượng, vì sàn còn phải đỡ thành phần đứng của N. Động lượng đứng của hệ bằng m u sin θ, bằng không lúc đầu rồi đổi, và độ biến thiên của nó chính là Q − (m + M)g; nó không bảo toàn, và điều đó không mâu thuẫn gì.
3.3 Mặt rất nặng vẫn nhận động lượng
Nếu M rất lớn thì V = m(v₀ − u cos θ)/(m + M) rất nhỏ, nhưng động lượng M · V của nêm vẫn tiến tới m(v₀ − u cos θ), một giá trị hữu hạn, trong khi động năng ½ M V² của nêm tỉ lệ với 1/M và tiến tới không (arXiv physics/0506065 xét giới hạn này). Vì thế “mặt cố định” là giới hạn mà sàn và tay giữ nhận hết động lượng ấy mà không tốn năng lượng.
MỤC 4 · SỔ CÁI NĂNG LƯỢNG
Cặp lực pháp tuyến sinh công âm lên vật và dương lên nêm, tổng bằng không, nên cơ năng của hệ bảo toàn dù cơ năng của vật thì không
Ý nghĩ quen thuộc “lực pháp tuyến không sinh công” chỉ đúng khi mặt đứng yên. Khi mặt chạy, công không biến mất; nó chuyển từ vật sang nêm.
4.1 Công của lực pháp tuyến phụ thuộc hệ quy chiếu
Công suất của một lực lên một vật bằng tích lực với vận tốc của vật, tính trong hệ quy chiếu đang dùng. Trong hệ quy chiếu gắn đất, vận tốc của vật là v, không vuông góc với N, nên N sinh công lên vật. Chỉ trong hệ quy chiếu gắn nêm, vận tốc của vật là u, vuông góc N, nên N không sinh công; nhưng hệ ấy có gia tốc, không dùng thẳng được định lí động năng. Bài phân tích arXiv physics/0506065 chỉ ra đúng chỗ này: lập luận “lực pháp tuyến không sinh công” không dùng được cho vật riêng khi nêm chuyển động.
4.2 Hai công, một cặp
Công suất của N lên vật là N · v và của −N lên nêm là −N · V. Tổng công suất của cặp là N · (v − V) = N · u. Vì u dọc mặt còn N vuông góc mặt, tích này bằng không tại mọi thời điểm. Nói cách khác, công của một cặp lực trực đối chỉ phụ thuộc chuyển dời tương đối của hai vật (LibreTexts, Cline mục 2.10), và chuyển dời tương đối ở đây nằm dọc mặt. Hệ quả là cơ năng của hệ, gồm động năng của vật, động năng của nêm và thế năng trọng trường của vật, bảo toàn; thế năng của nêm không đổi vì nêm không đổi độ cao.
½ m (vₓ² + v_y²) + ½ M V² + m g h = ½ m v₀² h là độ cao của vật so với vị trí ban đầu
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Mỗi cột là cơ năng của hệ tại một vị trí, luôn bằng nhau; phần động năng của nêm lớn dần, cơ năng riêng của vật giảm tương ứng.
Điều rút ra. Cơ năng của riêng vật giảm đúng bằng động năng ½ M V² mà nêm thu được. Sổ cái năng lượng của cả hệ vẫn cân, nhưng ta phải tính cả hai bên.
ở điểm cao nhất của Hình 4 (u = 0), vì sao động năng của vật bằng đúng động năng của nêm (cùng 1,12 J)?
Giải thích. Ở điểm cao nhất vật không chuyển động so với nêm, nên v = V: hai vật có cùng vận tốc, bằng m v₀/(m + M) = 1,5 m/s. Vì m = M, hai động năng ½ m V² và ½ M V² bằng nhau, mỗi cái 1,125 J (hình làm tròn thành 1,12 J). Tổng của chúng cộng thế năng 2,25 J cho 4,5 J, đúng bằng động năng ban đầu của vật.
MỤC 5 · KHỐI TÂM VÀ ĐỘ CAO TỐI ĐA
Phần động năng gắn với chuyển động ngang của khối tâm bị khóa, chỉ phần còn lại mới đổi được thành thế năng
Vật lên được cao bao nhiêu? Với mặt cố định, đáp án là v₀²/(2g). Với nêm tự do, đáp án nhỏ hơn, và lí do nói được bằng một câu: một phần động năng thuộc về chuyển động ngang của khối tâm, mà khối tâm theo phương ngang không bao giờ chậm đi.
5.1 Tách động năng ban đầu thành hai phần
Khối tâm của hệ có vận tốc ngang V cm = m v₀/(m + M), không đổi vì ngoại lực ngang bằng không (mục 3). Động năng của hệ tách được thành phần ứng với chuyển động của khối tâm và phần ứng với chuyển động so với khối tâm (định lí König; Wikipedia; LibreTexts). Phần ngang của khối tâm là ½(m + M)V cm ² = m² v₀²/(2(m + M)), hằng số suốt quá trình. Muốn nó giảm đi để nhường cho thế năng thì phải có ngoại lực ngang, mà không có. Phần còn lại, ban đầu bằng ½ μ v₀² với μ = mM/(m + M), là phần duy nhất có thể đổi thành thế năng.
K còn lại + m g h = ½ μ v₀² μ = mM/(m + M); K còn lại = ½ μ u² cos² θ + ½ m u² sin² θ ≥ 0, bằng không khi và chỉ khi u = 0
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Động năng ban đầu chia thành phần bị khóa ở khối tâm và phần đổi được; tỉ lệ h/(v₀²/2g) = M/(m + M).
5.2 Độ cao tối đa khi vật còn bám mặt
Vì K còn lại không âm, thế năng lớn nhất khi K còn lại = 0, tức u = 0: vật không còn chuyển động so với nêm, hai vật cùng vận tốc V cm . Lúc đó toàn bộ phần đổi được đã thành thế năng: m g h = ½ μ v₀². Suy ra:
h = M/(m + M) · v₀²/(2g) hệ số M/(m + M) nằm giữa 0 và 1
Nêm rất nặng thì hệ số tiến tới 1 và ta trở lại mặt cố định. Nêm rất nhẹ thì hệ số tiến tới 0, vì vật gần như chỉ đẩy nêm chạy đi cùng mình. Khi M = m, vật chỉ lên được một nửa độ cao của mặt cố định. Công thức chỉ đúng khi cung đủ cao: nếu độ cao của cung R(1 − cos α) nhỏ hơn h thì vật rời mép trên trước khi dừng tương đối với nêm.
5.3 Hai kết cục: bám mặt rồi tụt lại, hoặc rời mặt
Nếu cung đủ cao, vật dừng tương đối với nêm ở độ cao h rồi tụt lại. Nếu cung thấp hơn, vật rời mép trên khi u vẫn khác không. Khi đó lực pháp tuyến biến mất và nêm chuyển động đều với V. Vật có vận tốc ngang V + u cos α và vận tốc đứng u sin α (nêm không chuyển động đứng nên vận tốc đứng chỉ đến từ u). Độ cao lớn nhất của vật là độ cao mép cung cộng thêm (u sin α)²/(2g), và ở đó vật vẫn còn vận tốc ngang lớn hơn V, tức là chưa dùng hết phần động năng đổi được vào việc leo cao.