🌊 Vật lí 11 · Dao động cơ · Hệ quyết định nhịp, cách kích thích quyết định biên độ và pha: đọc A, T, φ từ đồ thị và chốt pha bằng dấu vận tốc, chu kì không biết đến biên độ còn cơ năng tỉ lệ bình phương biên độ, ma sát lấy năng lượng đi và lực cưỡng bức cho cộng hưởng gần tần số riêng
Chuyên đề hệ thống toàn bộ dao động cơ quanh một câu hỏi: đại lượng nào do hệ quyết định, đại lượng nào do cách kích thích quyết định, dựng từ ba mô hình…
LUKATO AI · VẬT LÍ 11 · DAO ĐỘNG CƠ
Vật lí 11 · Pha · Chu kì và cơ năng · Tắt dần và cộng hưởng
Hệ quyết định nhịp, cách kích thích quyết định biên độ và pha : ma sát lấy năng lượng đi, lực cưỡng bức đưa năng lượng vào
Chuyên đề này gom toàn bộ dao động cơ về một câu hỏi: cái gì do hệ quyết định, cái gì do cách ta làm cho nó dao động quyết định . Thứ nhất, pha là cả câu chuyện : li độ ban đầu chưa đủ để chốt pha ban đầu, vì cùng một x(0) ứng với hai pha đối nhau, và chỉ dấu của vận tốc ban đầu mới chọn được giữa chúng. Thứ hai, chu kì do hệ quyết định, năng lượng do biên độ quyết định : T chỉ phụ thuộc khối lượng và hệ số hồi phục (con lắc đơn thì chiều dài và g), không phụ thuộc biên độ; cơ năng tỉ lệ với bình phương biên độ và đổi chỗ giữa thế năng và động năng với chu kì T/2. Thứ ba, ma sát lấy năng lượng đi, lực cưỡng bức đưa năng lượng vào : dao động tắt dần giảm biên độ theo cấp số nhân, còn dao động cưỡng bức ổn định có tần số của lực chứ không phải tần số riêng, và biên độ đạt đỉnh gần tần số riêng nhưng không đúng ở đó. Ba mô hình minh họa do bài tự đặt cho bạn tự thử từng bước.
Li độ ban đầu chưa đủ để chốt pha A = 6 cm, x(0) = 3 cm đúng với cả φ = −60° lẫn φ = +60°; vận tốc ban đầu là 27,21 cm/s với −60° và −27,21 cm/s với +60°: chỉ dấu v(0) mới chọn được pha
Chu kì không biết đến biên độ Lò xo 40 N/m, vật 200 g: T = 0,444 s ở mọi biên độ; đưa lò xo thẳng đứng lên Mặt Trăng, T vẫn 0,444 s, còn con lắc đơn dài 0,8 m đổi từ 1,795 s sang 4,443 s
Cộng hưởng có đỉnh, nhưng không phải lúc nào cũng có ζ = 0,1: biên độ đạt 5,03 lần tải tĩnh tại 0,99·f₀, hơi dưới f₀; ζ = 0,5 chỉ còn 1,15; ζ = 1 thì không còn đỉnh và biên độ chỉ giảm khi tần số lực tăng
01
Khái niệm lõi
Từ một quả nặng trên lò xo đến cả dao động cơ: pha, nhịp, năng lượng, ma sát, cưỡng bức
Hãy hình dung một quả nặng nối với lò xo trên mặt bàn nhẵn. Ta có ba cách làm cho nó dao động. Cách thứ nhất: kéo ra rồi buông, hoặc đẩy nhẹ từ vị trí cân bằng; sau đó mặc cho nó tự dao động. Cách thứ hai: để thêm ma sát, và thấy dao động nhỏ dần. Cách thứ ba: đứng ngoài đẩy nó đều đặn với một nhịp nào đó. Ba tình huống ấy dùng chung một khung: lực kéo về tỉ lệ với độ dời quyết định nhịp riêng của hệ, còn cách ta bắt đầu quyết định biên độ và pha . Mọi bài toán dao động cơ, từ đọc đồ thị đến cộng hưởng, đều là hỏi một đại lượng thuộc về hệ hay thuộc về cách kích thích.
1 · Lực kéo về F = −kx: lực luôn hướng về vị trí cân bằng và tỉ lệ với độ dời
2 · Ba con số x = A cos(ωt + φ): ω do hệ quyết định, A và φ do cách bắt đầu
3 · Nhịp và năng lượng T = 2π√(m/k); W = ½kA² đổi chỗ thế năng và động năng
4 · Ma sát Lấy năng lượng đi: biên độ giảm theo cấp số nhân
5 · Cưỡng bức Hệ dao động ở tần số của lực; biên độ đạt đỉnh gần tần số riêng
Để thấy cơ chế, bài dựng ba mô hình minh họa do bài tự đặt; chúng không phải số đo thật mà chỉ làm lộ các đánh đổi. Mô hình thứ nhất là một dao động điều hòa với biên độ A, chu kì T và pha ban đầu φ. Mỗi thời điểm ứng với một pha ωt + φ; li độ là hình chiếu của một vectơ quay lên trục ngang, vận tốc sớm pha hơn li độ 90° và gia tốc ngược pha với li độ. Cho x(0) và dấu của v(0) là chốt được φ:
\begin{gathered}x=A\cos(\omega t+\varphi)\\ v=-\omega A\sin(\omega t+\varphi)\\ a=-\omega^{2}x\\ x^{2}+\left(\dfrac{v}{\omega}\right)^{2}=A^{2}\\ \omega=\dfrac{2\pi}{T}\end{gathered}
Mô hình thứ hai là chu kì và năng lượng. Khi lực kéo về là −kx thì chu kì chỉ do khối lượng và hệ số hồi phục quyết định; con lắc đơn nhỏ góc lệch có hệ số hồi phục mg/l nên khối lượng triệt tiêu và chỉ còn chiều dài với g. Cơ năng giữ nguyên, nhưng thế năng và động năng đổi chỗ cho nhau:
\begin{gathered}T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\\ T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\\ W=\tfrac{1}{2}kA^{2}\\ W_{t}=\tfrac{1}{2}kx^{2}\\ W_{d}=\tfrac{1}{2}k\left(A^{2}-x^{2}\right)\end{gathered}
Mô hình thứ ba là tắt dần và cưỡng bức. Với hệ số tắt dần ζ (ζ = 0 là không ma sát, ζ = 1 là tắt dần tới hạn), dao động tự do thu nhỏ biên độ theo tỉ số q sau mỗi chu kì. Khi bị đẩy bởi lực tuần hoàn tần số f, hệ dao động ổn định ở đúng tần số f, với biên độ X phụ thuộc r = f chia f₀ và trễ pha δ so với lực (X₀ là độ dời tĩnh, tức biên độ nếu đẩy chậm vô cùng; r_p là vị trí đỉnh):
\begin{gathered}q=e^{-\kappa}\\ \kappa=\dfrac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\\ X=\dfrac{X_{0}}{D}\\ D^{2}=(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}\\ \tan\delta=\dfrac{2\zeta r}{1-r^{2}}\\ r_{p}=\sqrt{1-2\zeta^{2}}\end{gathered}
Ba nguyên lí cần nhớ (1) Pha là cả câu chuyện: A, T và φ đọc hết một dao động; x(0) cho hai pha đối nhau, v(0) chọn một; v sớm pha hơn x 90°, a ngược pha x. (2) Chu kì do hệ quyết định, cơ năng do biên độ quyết định: T không phụ thuộc biên độ; lò xo thẳng đứng đổi g chỉ dời vị trí cân bằng chứ không đổi T, còn con lắc đơn thì T phụ thuộc l và g, không phụ thuộc khối lượng; W tỉ lệ với A², thế năng và động năng dao động với chu kì T/2 và bằng nhau tại x = ±A/√2. (3) Ma sát lấy năng lượng đi và lực cưỡng bức đưa năng lượng vào: tắt dần giảm biên độ theo tỉ số không đổi mỗi chu kì; dao động cưỡng bức ổn định có tần số của lực, biên độ đạt đỉnh hơi dưới tần số riêng với độ cao khoảng 1 chia 2ζ, và đỉnh biến mất khi ζ không nhỏ hơn 0,707.
02
Hệ thống khái niệm
Tám khái niệm cần phân biệt
Lực kéo về và dao động điều hòa Vật dao động điều hòa khi hợp lực luôn hướng về vị trí cân bằng và tỉ lệ với độ dời: F = −kx. Từ đó a = −(k/m)x, tức a ngược chiều li độ và tỉ lệ với nó; đặt ω² = k/m thì nghiệm là hàm cosin của thời gian. Tính chất tỉ lệ là điều kiện cốt lõi: nếu lực kéo về không tỉ lệ với x (con lắc đơn góc lớn chẳng hạn) thì dao động chỉ gần điều hòa, và chu kì bắt đầu phụ thuộc biên độ.
Biên độ, chu kì và tần số góc đọc từ đồ thị Trên đồ thị x theo t: biên độ A là khoảng từ trục đến đỉnh, chu kì T là thời gian lặp lại của cả hình, tần số f = 1/T, tần số góc ω = 2π/T. Bộ ba (A, T, φ) là đủ để viết phương trình. Ba con số ấy không cùng nguồn gốc: T (và ω) do hệ quyết định, còn A và φ do cách bắt đầu, tức do li độ và vận tốc ban đầu.
Pha và pha ban đầu Pha ωt + φ cho biết vật đang ở đâu trong chu kì; pha tăng 360° sau mỗi chu kì. Pha ban đầu φ là pha tại t = 0. Vì cos φ = cos(−φ), cùng một x(0) = A cos φ ứng với hai pha đối nhau là +φ và −φ: A = 6 cm, x(0) = 3 cm cho cả +60° và −60°. Hai pha ấy khác nhau ở vận tốc ban đầu: dấu của v(0) = −ωA sin φ là cái chọn được giữa chúng (v(0) dương ứng với φ âm).
Vận tốc và gia tốc lệch pha với li độ Vận tốc sớm pha hơn li độ 90°: khi vật qua vị trí cân bằng thì |v| cực đại bằng ωA, ở biên thì v = 0. Gia tốc ngược pha với li độ: a = −ω²x, độ lớn cực đại ω²A ở biên và bằng 0 ở vị trí cân bằng. Hai điều này gói trong x² + (v/ω)² = A²: điểm (x, −v/ω) chạy trên đường tròn bán kính A với tốc độ góc ω. A = 6 cm, T = 1,2 s cho vận tốc cực đại 31,42 cm/s và gia tốc cực đại 164,5 cm/s².
Chu kì do hệ quyết định Con lắc lò xo: T = 2π√(m/k), không có biên độ trong công thức. Với lò xo thẳng đứng, trọng lực chỉ dời vị trí cân bằng xuống một đoạn Δl₀ = mg/k, còn chu kì giữ nguyên: ở Mặt Trăng, vật 200 g trên lò xo 40 N/m có Δl₀ = 0,8 cm (so với 4,9 cm ở Trái Đất) nhưng T vẫn 0,444 s. Con lắc đơn nhỏ góc lệch: T = 2π√(l/g), khối lượng triệt tiêu vì lực kéo về mg·x/l và quán tính m cùng tỉ lệ với m. Ở Mặt Trăng (g = 1,6) con lắc dài 0,8 m đổi chu kì từ 1,795 s lên 4,443 s. Khi ghép: cùng một lò xo, m = m₁ + m₂ cho T² = T₁² + T₂².
Cơ năng và sự đổi chỗ của hai năng lượng W = ½kA² giữ nguyên nếu không có ma sát, và tỉ lệ với A²: gấp đôi biên độ thì W gấp 4. Thế năng Wt = ½kx² cực đại ở biên và bằng 0 ở vị trí cân bằng; động năng Wđ = W − Wt thì ngược lại. Mỗi năng lượng dao động với chu kì T/2 (tần số gấp đôi), có giá trị trung bình đúng W/2, và hai năng lượng bằng nhau tại x = ±A/√2, tức bốn lần trong một chu kì. Ví dụ A = 6 cm, k = 40 N/m cho W = 72 mJ; tại x = A/2 là Wt = 18 mJ và Wđ = 54 mJ.
Tắt dần: ma sát lấy năng lượng đi Khi có ma sát nhớt, biên độ giảm theo cấp số nhân: sau mỗi chu kì nó còn q lần biên độ trước, với q = e^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}} và năng lượng (tỉ lệ A²) còn q². Hệ có ζ = 0,1 giữ 53,2% biên độ và mất 71,7% năng lượng mỗi chu kì, nên phải qua 4 chu kì mới còn dưới 10% biên độ. Chu kì tắt dần dài hơn chu kì riêng một chút (hệ số 1/\sqrt{1-\zeta^{2}}). Đây là khác biệt với ma sát khô, nơi biên độ giảm một lượng không đổi mỗi chu kì; mô hình ở đây là ma sát nhớt. Muốn duy trì dao động phải đưa năng lượng vào đúng bằng phần bị mất.
Cưỡng bức và cộng hưởng Dưới lực tuần hoàn tần số f, sau khi hết thời kì quá độ hệ dao động ổn định đúng ở tần số f, không phải tần số riêng f₀. Biên độ phụ thuộc r = f/f₀ và ζ: lực chậm (r nhỏ) thì hệ đi theo như tải tĩnh, cùng pha; lực nhanh (r lớn) thì hệ gần như đứng yên, ngược pha; ở giữa, li độ trễ pha và biên độ có đỉnh, gọi là cộng hưởng. Đỉnh nằm ở f_{0}\sqrt{1-2\zeta^{2}}, hơi dưới f₀, cao khoảng 1/(2ζ) lần tải tĩnh, và biến mất khi ζ không nhỏ hơn 0,707. Ma sát nhỏ cho cộng hưởng cao và hẹp, ma sát lớn cho đỉnh thấp và rộng.
03
Phòng thực hành A
Pha và đồ thị: đọc A, T, φ và vì sao li độ ban đầu chưa đủ
Phòng dựng một dao động điều hòa do bài tự đặt, không phải số đo thật. Bốn thanh trượt chọn biên độ A (2 đến 10 cm), chu kì T (0,4 đến 2,0 s, bước 0,2 s), pha ban đầu φ (từ −165° đến 180°, bước 15°) và thời điểm xem t, chạy theo từng 1/24 chu kì từ 0 đến hai chu kì, tức mỗi bước cộng thêm 15° vào pha. Sáu nút đặt sẵn các tình huống tiêu biểu. Hình trên: li độ theo thời gian (xanh lục), đường tím đứt là v/ω (cùng đơn vị cm, sớm pha hơn x đúng 90°), đoạn đỏ là tiếp tuyến tại thời điểm đang xem, vòng tròn rỗng là t = 0. Hình dưới: đường tròn pha, vectơ quay ngược chiều kim đồng hồ; hình chiếu lên trục ngang là li độ. Vectơ xám là pha ban đầu φ, vectơ xám đứt là −φ. Tám ô thông tin và bảng kiểm tra bên dưới cho cùng một kết quả bằng hai cách tính khác nhau.
Đoán trước khi chọn Mặc định: A = 6 cm, T = 1,2 s, φ = −60°, t = 0,3 s (một phần tư chu kì). (1) x(0) bằng bao nhiêu và tần số góc ω? (2) Tại t = 0,3 s: pha, li độ, vận tốc, gia tốc? (3) Vật đang đi theo chiều nào, tiến về hay ra xa vị trí cân bằng, nhanh dần hay chậm dần? (4) Đổi sang φ = +60°: x(0) thế nào, và tại t = 0,3 s trạng thái ra sao? (5) Đặt φ = −90°, kéo t về 0: vật ở đâu và vận tốc bằng bao nhiêu? (6) Với φ = −60°, lần đầu x = 0 sau t = 0 là lúc nào? (7) Với φ = 180°, lần đầu x = 0 là lúc nào? (8) Ở mọi t, x² + (v/ω)² bằng bao nhiêu, và ở mặc định cho kết quả gì?
Biên độ A (2 đến 10 cm) A = 6 cm
Chu kì T (0,4 đến 2,0 s, bước 0,2 s) T = 1,2 s
Pha ban đầu φ (−165° đến 180°, bước 15°) φ = −60°
Thời điểm xem t (0 đến hai chu kì, bước 1/24 chu kì) t = 0,3 s
━ li độ x ━ v chia ω ━ tiếp tuyến (độ dốc là v) ○ t = 0
● pha hiện tại ○ pha ban đầu φ ━ đứt: −φ ━ chiếu xuống trục li độ
Kiểm tra dự đoán (1) x(0) = 3 cm; ω = 2π/1,2 = 5,236 rad/s. (2) Tại t = 0,3 s pha là −60° + 90° = 30°, x = 5,2 cm, v = −15,71 cm/s, a = −142,5 cm/s². (3) v âm nên vật đi theo chiều âm; x dương và v âm nên đang tiến về vị trí cân bằng, và a cùng dấu v (cùng âm) nên nhanh dần. (4) Với φ = +60° thì x(0) vẫn là 3 cm, nhưng v(0) = −27,21 cm/s (âm); tại t = 0,3 s pha là 150°, x = −5,2 cm, v = −15,71 cm/s: vật ở phía âm và vẫn đi theo chiều âm, tức ra xa vị trí cân bằng và chậm dần. Cùng x(0), hai trạng thái ban đầu hoàn toàn khác nhau. (5) φ = −90° ở t = 0: x = 0 cm, vật đang qua vị trí cân bằng theo chiều dương với v = 31,42 cm/s, đúng ωA. (6) Từ pha −60° cần quay thêm 150° tới pha 90°, tức 0,5 s. (7) Từ pha 180° cần quay thêm 90°, tức 0,3 s (một phần tư chu kì). (8) Luôn bằng A² = 36: ở mặc định x² là 27 và (v/ω)² là 9, tổng 36; đó là cách nói rằng điểm (x, −v/ω) nằm trên đường tròn bán kính A.
04
Phòng thực hành B
Chu kì và cơ năng: cái gì hệ quyết định, cái gì biên độ quyết định
Phòng dựng ba loại hệ do bài tự đặt: lò xo nằm ngang, lò xo thẳng đứng và con lắc đơn nhỏ góc lệch. Sáu thanh trượt chọn loại hệ (1 đến 3), khối lượng m (50 đến 400 g), chỉ số độ cứng hoặc chiều dài (k = 10 đến 80 N/m cho lò xo, l = 0,2 đến 1,6 m cho con lắc đơn), gia tốc rơi tự do g (Trái Đất 9,8; Mặt Trăng 1,6; Sao Hỏa 3,7; Sao Mộc 24,8), biên độ A (2 đến 10 cm) và li độ đang xét x (từ −A đến +A, bước A/12). Hình trên: thế năng, động năng và cơ năng theo li độ; vòng tròn rỗng là hai điểm x = ±A/√2 nơi thế năng bằng động năng, và đường đứng là li độ đang xét. Hình dưới: chu kì theo khối lượng cho lò xo (đường xanh dương) và con lắc đơn (đường vàng) với cùng chỉ số độ cứng hay chiều dài và cùng g; hình thoi là hệ đang chọn. Con lắc đơn dùng công thức góc nhỏ, và ô «điều kiện ngầm» cho thấy sai số khi góc lớn. Tám ô thông tin và bảng kiểm tra bên dưới cho cùng một kết quả bằng hai cách tính khác nhau.