Toán · 05/06 · Xác suất: chia đúng vùng, đếm đúng trọng số
Tư duy có căn cứ · Từ xung khắc và độc lập đến sở thích môn học và tích căn thức. Dựng mô hình trước, tính chính xác sau, rồi kiểm tra từng điều kiện.
LUKATO · MATHEMATICS STUDIO
TOÁN · TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ · BÀI 05
Xác suất: chia đúng vùng, đếm đúng trọng số
Từ xung khắc và độc lập đến sở thích môn học và tích căn thức. Dựng mô hình trước, tính chính xác sau, rồi kiểm tra từng điều kiện.
- Đọc dữ kiện
- Dựng mô hình
- Kiểm tra kết luận
01
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Một ngôn ngữ chung cho tập hợp và xác suất
Mục tiêu: nhận biết xung khắc, kiểm tra độc lập, dựng một phân hoạch không chồng lấn và đếm một biến cố bằng số mũ nguyên. Mỗi bước đều bắt đầu bằng việc xác định phép thử.
Trong xác suất, một biến cố không chỉ là một câu nói có vẻ hợp lý. Nó là tập hợp các kết quả của một phép thử đã được xác định. Khi chọn một học sinh, mỗi kết quả là một học sinh cụ thể. Khi gieo xúc xắc nhiều lần, mỗi kết quả phải ghi đủ mặt xuất hiện theo đúng thứ tự. Hai bài toán cùng dùng từ “ngẫu nhiên” có thể có hai không gian mẫu rất khác nhau. Vì vậy, việc viết rõ một kết quả sơ cấp giúp ta biết đang đếm người, đếm dãy hay đếm nhóm dãy.
Bài học này nối ba kiểu tư duy thường xuất hiện riêng lẻ. Trước hết, hình vẽ tập hợp giúp ta đọc đúng những từ “và”, “hoặc”, “chỉ”, “đúng” và “không”. Tiếp theo, đại số giúp loại những nghiệm không thể là xác suất, rồi biến giả thiết độc lập thành một tích. Cuối cùng, số học của căn thức biến điều kiện “là số nguyên” thành các điều kiện chẵn lẻ và điều kiện về mẫu số. Điểm chung là ta phải giữ nguyên tất cả điều kiện của đề trong suốt quá trình biến đổi.
Đọc điều kiện
Phân biệt phát biểu về tập hợp với phát biểu về giá trị xác suất. Không suy ra quan hệ độc lập chỉ từ việc hai biến cố được gọi bằng hai tên khác nhau.
Chia thành vùng
Chọn các vùng đôi một rời nhau. Mỗi kết quả nằm trong đúng một vùng, nên phép cộng không bị đếm lặp.
Đếm có trọng số
Những nhóm mặt xúc xắc có cùng thừa số chưa chắc có cùng xác suất. Phải giữ số mặt đại diện cho mỗi nhóm.
Hãy sử dụng bài học theo hai lượt. Ở lượt đầu, đọc định nghĩa, dự đoán kết quả trong những câu tự kiểm và ghi một lý do trước khi mở lời giải. Ở lượt sau, dùng phòng thí nghiệm để đổi dữ kiện; mỗi lần đổi hãy dự đoán vùng nào tăng hoặc giảm, điều kiện nào có thể bị vi phạm. Khi kết quả khác dự đoán, quay lại tên biến cố và kiểm tra xem bạn đã hiểu từ “chỉ” hay “đúng” như thế nào. Đây là cách biến một công thức thành một công cụ giải bài.
Mức độ của bài học là từ nền tảng đến vận dụng trong chương trình THPT. Phần khái niệm cần khoảng mười phút; phần phân hoạch và độc lập cần khoảng hai mươi phút; phần tích căn thức cần khoảng hai mươi lăm phút. Thời gian chỉ là gợi ý để bạn tổ chức việc học. Một lời giải tốt cần có mô hình, phép tính và kết luận gắn lại với câu hỏi; viết ít dòng hơn không có nghĩa là hiểu sâu hơn.
02
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Xung khắc nói về giao; độc lập nói về tích
Hai khái niệm này trả lời hai câu hỏi khác nhau: các biến cố có thể xảy ra cùng lúc không, và sự xảy ra của biến cố này có làm thay đổi xác suất của biến cố kia không?
Định nghĩa xung khắc là một điều kiện về tập hợp. Không có kết quả sơ cấp nào thuộc cả hai biến cố. Chẳng hạn, trong một lần gieo xúc xắc, biến cố ra mặt chẵn và biến cố ra mặt lẻ xung khắc. Trái lại, biến cố ra mặt chẵn và biến cố ra mặt lớn hơn ba có thể cùng xảy ra. Bạn có thể kiểm tra quan hệ này bằng cách viết ra các mặt, không cần biết xác suất của từng mặt.
Độc lập là điều kiện về xác suất. Trong một mô hình có đủ dữ kiện, điều kiện này cho biết sự xảy ra của một biến cố không làm tăng hay giảm xác suất của biến cố kia. Nếu hai lần gieo xúc xắc độc lập, việc lần đầu ra mặt chẵn không quyết định lần thứ hai ra mặt nào. Tuy nhiên, khi các biến cố cùng thuộc một lần gieo, chúng vẫn có thể độc lập; phải kiểm tra bằng công thức thay vì dựa vào cách đặt tên.
Hình tập hợp chỉ thể hiện giao rỗng hay giao không rỗng. Khi có phần chung, cần kiểm tra xác suất để xét độc lập. Diện tích hai hình tròn này không đại diện cho xác suất.
Có một kiểm tra nhanh rất hữu ích. Nếu hai biến cố xung khắc và mỗi biến cố có xác suất dương, xác suất giao bằng không còn tích hai xác suất lại dương. Vì vậy chúng không độc lập. Nếu một biến cố có xác suất bằng không, tích cũng bằng không; trường hợp này không tạo ra mâu thuẫn. Trong mô hình hữu hạn đều, xác suất bằng không đồng nghĩa biến cố rỗng. Trong những mô hình tổng quát hơn, xác suất bằng không không nhất thiết nói rằng tập hợp ấy không có phần tử.
Đề bài gốc
Câu 12 · Đọc đúng định nghĩa
Hai biến cố được gọi là xung khắc nếu
Lựa chọn · Phát biểu
A ·
B ·
C ·
D ·
Lời giải từng bước
Trong bài này, ký hiệu dùng để chỉ giao . Định nghĩa xung khắc yêu cầu hai biến cố không cùng xảy ra, nghĩa là giao rỗng. Vì vậy đáp án là C.
Lựa chọn A đòi hỏi cả hai biến cố đều rỗng, mạnh hơn điều kiện cần thiết. Lựa chọn B là công thức độc lập. Lựa chọn D tương đương hai tập hợp bằng nhau: mọi phần tử thuộc hợp cũng phải thuộc giao. Hai biến cố bằng nhau có thể chứa rất nhiều kết quả, nên không được dùng làm định nghĩa xung khắc.
Bẫy cần tránh
Đừng thay từ xung khắc bằng từ độc lập. Một quan hệ cấm đồng thời xảy ra; quan hệ còn lại bảo toàn một tích xác suất.
Tự kiểm 01
Một lần gieo xúc xắc cân đối đồng chất: biến cố ra mặt chẵn và ra mặt lẻ có quan hệ nào?
Tự kiểm 02
Nếu hai biến cố xung khắc và độc lập, điều nào bắt buộc đúng?
03
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Công thức hợp và bốn ô xác suất
Để cộng đúng, hãy chia không gian mẫu thành các phần không chồng lấn. Công thức hợp là kết quả của việc mỗi phần chỉ được đếm một lần.
Nếu cộng trực tiếp xác suất của hai biến cố, phần giao đã xuất hiện trong cả hai số hạng. Ta trừ phần giao một lần để kết quả thuộc ít nhất một biến cố được đếm đúng một lần. Công thức này luôn đúng; không cần giả thiết độc lập hay xung khắc. Hai giả thiết ấy chỉ giúp tính phần giao theo một cách đặc biệt. Khi xung khắc, giao bằng không. Khi độc lập, giao bằng tích. Không được đổi chỗ hai cách tính này.
Vùng · Mô tả · Xác suất
· Cả hai ·
· Chỉ xảy ra biến cố thứ nhất ·
· Chỉ xảy ra biến cố thứ hai ·
· Không biến cố nào ·
Trong bảng, đặt . Bốn ô tạo thành một phân hoạch: chúng đôi một rời nhau và phủ toàn bộ không gian mẫu. Tổng các xác suất trong bảng bằng một. Quan trọng hơn, từng ô đều phải không âm. Do đó một bộ ba số cho sẵn không thể tự động trở thành dữ kiện xác suất hợp lệ; cần kiểm tra các bất đẳng thức bên dưới.
Cận trên xuất phát từ việc giao là tập con của từng biến cố. Cận dưới thứ nhất xuất phát từ xác suất không âm; cận dưới còn lại xuất phát từ ô “không biến cố nào” không âm. Nhờ vậy, khi một phép tính cho xác suất giao lớn hơn xác suất của một biến cố, ta có thể phát hiện lỗi ngay mà chưa cần giải tiếp. Khi một phép tính cho xác suất hợp lớn hơn một, điều đó thường báo hiệu bạn đã quên trừ giao hoặc dữ kiện không đồng thời khả thi.
Mô hình hình chữ nhật có diện tích đúng theo xác suất: hai cột bằng nhau, phần trên chiếm ba phần năm chiều cao.
Hình chữ nhật còn giúp nhận ra cấu trúc của độc lập. Nếu chia theo một biến cố thành hai cột rồi chia theo biến cố kia với cùng một tỉ lệ chiều cao ở cả hai cột, diện tích ô giao là tích hai tỉ lệ. Tuy nhiên, đừng lấy một hình Venn vẽ tùy ý làm bằng chứng độc lập. Hình vẽ phải mang đúng số đo xác suất hoặc phải kèm phép tính; một giao trông nhỏ không chứng minh được điều gì về tích hai xác suất.
Luyện chuyển giao 01
Hợp, giao và chỉ một biến cố
Cho . Tính xác suất chỉ xảy ra một trong hai biến cố và xác suất không biến cố nào xảy ra. Hai biến cố có độc lập không?
Mở lời giải
Vùng chỉ xảy ra biến cố thứ nhất có xác suất ; vùng chỉ xảy ra biến cố thứ hai có xác suất . Hai vùng rời nhau nên xác suất chỉ một biến cố là .
Tích hai xác suất bằng , khác xác suất giao , nên hai biến cố không độc lập. Bốn vùng đều không âm và tổng bằng một; dữ kiện là khả thi. Nếu dùng nhầm tích cho giao, bạn sẽ đổi dữ kiện ban đầu thay vì giải nó.
Tự kiểm 03
Hai biến cố có xác suất và . Giá trị nào không thể là xác suất giao?
04
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Nghiệm phương trình phải đi qua cửa xác suất
Một phương trình đại số có thể có nhiều nghiệm, nhưng xác suất là số thuộc đoạn đóng từ không đến một. Giữ điều kiện ấy ngay khi chọn nghiệm.
Đề bài gốc
Câu 14 · Hai phương trình, một mô hình độc lập
Cho một phép thử có không gian mẫu và các biến cố . Biết rằng là hai biến cố độc lập, và lần lượt là hai nghiệm của hai phương trình và . Mệnh đề nào sau đây là đúng hay sai?
Ý · Mệnh đề
a ·
b ·
c ·
d ·
Trong ý d, từ “Nếu” đứng riêng không tạo thành một câu điều kiện đầy đủ. Ta đọc mệnh đề cần xét là đẳng thức xác suất được ghi trong bảng; nội dung toán học của đẳng thức được giữ nguyên.
Lời giải từng bước
Phương trình thứ nhất có nghiệm . Vì xác suất không vượt quá một, phải chọn . Phương trình thứ hai có nghiệm . Vì xác suất không âm, phải chọn . Vậy a và b đúng.
Giả thiết độc lập chính là lý do cho phép nhân ở bước này. Ý c đúng. Tiếp tục dùng công thức hợp:
Ý d cũng đúng. Các ô “cả hai”, “chỉ A”, “chỉ B”, “không biến cố nào” lần lượt có xác suất . Chúng không âm và tổng bằng một, nên toàn bộ kết luận phù hợp một mô hình xác suất. Có thể dựng mô hình bằng mười kết quả đều: ba kết quả chung, hai kết quả chỉ thuộc A, ba kết quả chỉ thuộc B và hai kết quả ngoài cả hai.
Bẫy cần tránh
Không lấy nghiệm lớn hơn một hoặc nghiệm âm để tính tiếp. Không được chọn nghiệm bằng cảm giác; điều kiện xác suất xác định duy nhất nghiệm hợp lệ ở mỗi phương trình.
Cách đọc chữ “lần lượt” cũng quan trọng. Xác suất của biến cố thứ nhất thuộc phương trình thứ nhất; xác suất của biến cố thứ hai thuộc phương trình thứ hai. Không ghép chéo một nghiệm của phương trình này với biến cố kia. Khi đề nói “hai nghiệm của hai phương trình”, mỗi xác suất là một nghiệm phù hợp của phương trình tương ứng, chứ không phải mọi nghiệm đại số đều được sử dụng. Nếu một phương trình có hai nghiệm đều trong đoạn xác suất, đề cần thêm điều kiện để phân biệt; khi ấy không được tự chọn nghiệm thuận tiện.
Một phép kiểm tra ngược có thể làm lời giải chắc hơn. Thay xác suất đã chọn vào phương trình ban đầu để chắc rằng phép phân tích không sai dấu. Sau đó kiểm tra mô hình bốn ô để chắc rằng công thức hợp không tạo giá trị ngoài đoạn xác suất. Hai kiểm tra này có vai trò khác nhau: thay lại phương trình kiểm tra đại số, còn bốn ô kiểm tra ý nghĩa xác suất. Cả hai đều ngắn và đặc biệt hữu ích với câu đúng sai có nhiều phát biểu liên kết.
Luyện chuyển giao 02
Phương trình không quyết định duy nhất
Biết là nghiệm của . Có thể xác định duy nhất chỉ từ dữ kiện này không?
Mở lời giải
Hai nghiệm đều dương vì . Nghiệm lớn hơn cũng nhỏ hơn một vì . Vì vậy cả hai nghiệm đều là những ứng viên xác suất hợp lệ. Không thể xác định duy nhất nếu không có dữ kiện bổ sung. Nếu cho thêm , ta chọn nghiệm dấu cộng; nếu cho , chọn nghiệm dấu trừ. Bài này nhắc rằng cửa xác suất là điều kiện cần, đôi khi chưa đủ để tạo một đáp án duy nhất.
Luyện chuyển giao 03
Khi nghiệm hợp lệ đi với độc lập
Hai biến cố độc lập. Biết là nghiệm của và , còn . Tính xác suất chỉ xảy ra đúng một biến cố.
Mở lời giải
Điều kiện nhỏ hơn một loại nghiệm bằng một, nên chọn một phần ba. Do độc lập, xác suất giao là . Xác suất chỉ một biến cố bằng tổng hai xác suất trừ hai lần giao:
Có thể kiểm tra bằng các ô: chỉ A là , chỉ B là . Tổng hai ô bằng . Trừ giao chỉ một lần sẽ cho xác suất hợp, trong đó vẫn có trường hợp cả hai cùng xảy ra.
Tự kiểm 04
Một xác suất là nghiệm của . Giá trị nào đúng?
Tự kiểm 05
Hai biến cố độc lập có xác suất và . Xác suất chỉ một biến cố là bao nhiêu?
05
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Phòng thí nghiệm: thay xác suất, giữ cấu trúc
Kéo hai thanh để thay xác suất của hai biến cố độc lập. Quan sát cả bốn vùng và giải thích tại sao tổng của chúng luôn bằng một.
Xác suất biến cố A, theo phần trăm Xác suất biến cố B, theo phần trăm
Ở phòng thí nghiệm này, hai xác suất biên do bạn chọn, còn giao được đặt bằng tích theo giả thiết độc lập. Cột bên trái biểu diễn biến cố thứ nhất, dải phía trên biểu diễn biến cố thứ hai. Khi một xác suất tăng, chiều rộng hoặc chiều cao tương ứng tăng. Bạn không cần hình Venn có hai hình tròn: một hình chữ nhật chia thành bốn ô cho thấy tích và phần bù rõ hơn, đồng thời giữ đúng tỉ lệ diện tích.
Nhiệm vụ thứ nhất: giữ xác suất của biến cố thứ hai ở mức của ví dụ, rồi tăng xác suất của biến cố thứ nhất. Hãy dự đoán giao thay đổi tuyến tính hay không. Nhiệm vụ thứ hai: đưa một biến cố về xác suất không, quan sát ô giao và hai ô còn lại. Nhiệm vụ thứ ba: đưa một biến cố về xác suất một; biến cố kia và giao lúc này có xác suất bằng nhau. Mỗi quan sát đều phải được giải thích bằng công thức chứ không chỉ bằng màu sắc trên màn hình.