Toán · 06/06 · Tổ hợp: cấu trúc trước công thức
Tư duy có căn cứ · Mật thư cấp số cộng, hàng người có ràng buộc và bi trong hộp giống nhau — dựng mô hình, chứng minh đầy đủ, rồi đếm.
LUKATO · MATHEMATICS STUDIO
TOÁN · TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ · BÀI 06
Tổ hợp: cấu trúc trước công thức
Mật thư cấp số cộng, hàng người có ràng buộc và bi trong hộp giống nhau — dựng mô hình, chứng minh đầy đủ, rồi đếm.
- Đọc dữ kiện
- Dựng mô hình
- Kiểm tra kết luận
01
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Đếm đúng đối tượng trước khi tính
Từ sáu ô của mật thư đến một hàng người và ba chiếc hộp: cấu trúc của kết quả quyết định công thức đếm.
Mục tiêu của bài học là nhận ra đối tượng có nhãn, đối tượng không có nhãn và điều kiện địa phương trong một cấu hình. Sau bài học, em có thể dựng không gian mẫu của phép chọn rồi xếp, chuyển ba điều kiện cấp số cộng thành ba phương trình trung điểm, chứng minh các vị trí không bị trùng, và phân biệt phép chia do đối xứng hợp lệ với phép chia không hợp lệ. Đây là nội dung tổ hợp và xác suất phù hợp với học sinh THPT; kiến thức nền gồm quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và cấp số cộng.
Bốn bài toán trong bài đều có dữ kiện nhỏ, nhưng cách mô hình hóa quyết định gần như toàn bộ lời giải. Mật thư có sáu ô mang tên riêng nên đổi chỗ hai số thường tạo một kết quả mới. Hàng ngang gồm những người phân biệt nên đổi hai bạn cùng giới vẫn tạo một cách xếp khác. Hộp giống nhau lại không mang tên riêng: đổi toàn bộ hai hộp chỉ thay cách vẽ, không tạo một cách phân bố mới. Nhìn thấy số lượng phần tử rồi lập tức dùng giai thừa dễ bỏ qua khác biệt này.
Một phép đếm tốt cần trả lời ba câu hỏi. Ta đang đếm vật gì? Vì sao mỗi vật hợp lệ được đếm đúng một lần? Vì sao không có vật không hợp lệ lọt vào danh sách? Câu hỏi thứ hai ngăn đếm trùng, câu hỏi thứ ba ngăn đếm thừa. Khi tính xác suất còn có câu hỏi thứ tư: các kết quả trong mẫu có thật sự đồng khả năng hay không? Số cách thuận lợi và số cách toàn bộ phải được xây trên cùng một mức độ phân biệt.
Trong mật thư, chọn một bộ sáu số không đồng nghĩa với hoàn thành một cấu hình. Sau khi chọn, còn phải quyết định số nào đi vào ô nào. Trong hàng người, chọn ba cặp nam không đồng nghĩa với xếp ba cặp ấy trên hàng. Trong bài hộp, chỉ ghi số bi trong mỗi hộp cũng chưa mô tả đủ kết quả, vì màu từng viên làm chúng phân biệt. Bài học sẽ dùng các ví dụ đối chiếu để em nhận ra chính xác phần thông tin bị mất ở mỗi cách biểu diễn.
Cách học đề nghị: trước khi mở một lời giải, hãy ghi một câu mô tả kết quả cơ bản. Sau đó thử đổi tên hai ô, đổi hai người, hoặc đổi hai hộp. Nếu kết quả được đề bài xem là khác, thông tin đó phải được giữ trong mô hình. Nếu kết quả được xem là như nhau, cần gộp chúng bằng một tiêu chuẩn rõ ràng. Thao tác nhỏ này hữu ích hơn việc ghi nhớ một danh sách công thức rời rạc.
Có nhãn
Sáu ô được phân biệt. Một kết quả là một bộ sáu số có thứ tự, không lặp.
Có danh tính
Mỗi bạn nam và mỗi bạn nữ là một người riêng. Mẫu giới tính chỉ là khung để gắn tên sau.
Không có nhãn
Ba hộp giống nhau được mô tả bằng các nhóm bi không rỗng. Hộp rỗng chỉ bù cho đủ số hộp.
02
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Chọn rồi xếp: mẫu là các đơn ánh
Hai bước ngẫu nhiên có thể ghép thành một phép gán có thứ tự, nhưng không được bỏ bước xếp.
Giả sử tập số có phần tử và cần điền sáu ô khác nhau bằng sáu số khác nhau. Chọn bộ sáu số có cách. Với một bộ đã chọn, có cách gán số vào sáu ô mang tên. Nếu cả việc chọn bộ và việc xếp đều ngẫu nhiên đều, mỗi kết quả cuối cùng có xác suất . Vì vậy không gian mẫu là tập các đơn ánh từ tập ô vào tập số, với lực lượng
Ta cũng có thể đếm trực tiếp: điền ô đầu có cách, ô thứ hai còn cách, rồi tiếp tục đến ô thứ sáu. Hai cách không phải hai mô hình khác nhau; chúng chỉ phân tách cùng một cấu hình theo hai quy trình. Đẳng thức giữa tổ hợp nhân hoán vị và chỉnh hợp là một kiểm tra hữu ích. Nếu hai cách cho hai mẫu khác nhau, thường có một cách đã bỏ thông tin vị trí hoặc đã cho phép lặp số trái với đề bài.
Một ví dụ nhỏ giúp thấy sai sót. Chọn hai số từ tập rồi điền hai ô mang tên trái và phải. Có ba bộ không thứ tự nhưng sáu kết quả có thứ tự. Hai kết quả trái mang số một, phải mang số hai và trái mang số hai, phải mang số một là khác nhau. Nếu sự kiện chỉ yêu cầu tổng hai số bằng một giá trị, ta có thể đếm trên mẫu bộ số vì sự kiện không phụ thuộc thứ tự. Nếu sự kiện yêu cầu số bên trái nhỏ hơn bên phải, mẫu bộ số không còn giữ đủ thông tin.
Trong mật thư, sự kiện liên quan đến đỉnh và điểm giữa các cạnh nên thứ tự gán là thiết yếu. Chỉ một số bộ sáu số có thể chứa các cấu hình hợp lệ, và với một bộ ấy số cách gán hợp lệ cũng cần được xét. Đếm trực tiếp qua ba đỉnh thường ngắn hơn đếm qua mọi bộ sáu số; tuy nhiên mẫu toàn bộ vẫn là các bộ có thứ tự. Việc chọn một cách đếm tử số thuận tiện không cho phép thay mẫu số tùy ý.
Không có chuyện quay tam giác rồi xem ba cấu hình là một trong hai bài mật thư. Các ô đã mang tên nên một phép quay làm số ở ô có tên này sang ô có tên khác, tức là tạo cấu hình mới. Tương tự, phản xạ chỉ là một cách sinh cấu hình khác; không phải một phép đồng nhất được đề bài cho phép. Khi cuối cùng nhân số bộ ba đỉnh với , ta đang gán ba giá trị phân biệt vào ba đỉnh mang tên, chứ không đếm tam giác hình học khác nhau.
Một sự kiện có thể được tham số hóa bằng ít biến hơn số ô. Nếu ba số ở đỉnh đã biết, ba số trung điểm được xác định duy nhất. Điều này giảm số lượng cần duyệt để đếm tử số, nhưng không làm mẫu ngẫu nhiên chỉ còn ba ô. Trong phép chọn ban đầu cả sáu số đều được lấy và xếp; những cấu hình không thỏa mãn cấp số cộng vẫn là kết quả có thể xảy ra. Cần giữ sự phân biệt giữa biến dùng để mô tả sự kiện và biến dùng để mô tả toàn bộ thí nghiệm.
Tự kiểm 01
Mẫu đồng khả năng khi chọn sáu số từ chín số rồi xếp vào sáu ô có nhãn là gì?
03
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Ba trung điểm và một va chạm duy nhất
Điều kiện chẵn lẻ mới bảo đảm tính nguyên; điều kiện không trùng phải được chứng minh riêng.
Trong hình phía trên, các bộ ba theo thứ tự là , và . Điều kiện cấp số cộng tương đương Trong hình phía dưới, chữ ở điểm giữa cạnh thay đổi: các bộ ba tương ứng là , và . Vì vậy Hai hình có cùng quy luật toán học nhưng không có cùng vị trí chữ. Một lời giải đúng phải giữ bảng gán riêng cho từng hình.
Để ba trung điểm là số nguyên, mỗi tổng của hai đỉnh phải chẵn. Từ chẵn suy ra cùng tính chẵn lẻ; từ chẵn suy ra cùng tính chẵn lẻ. Vì thế cả ba đỉnh cùng tính chẵn lẻ. Chiều ngược lại cũng đúng: nếu ba đỉnh cùng tính chẵn lẻ, cả ba trung điểm đều nguyên. Không cần thêm một điều kiện chẵn lẻ cho từng trung điểm; các phương trình đã xác định chúng.
Khi tập số là một đoạn nguyên liên tiếp, một trung bình cộng nguyên của hai phần tử luôn nằm trong tập. Thật vậy, với hai đầu mút , ta có . Vì vậy điều kiện nằm trong tập được tự động thỏa mãn. Lập luận này phụ thuộc vào tính liên tiếp. Nếu tập có lỗ, chẳng hạn chỉ giữ vài số lẻ rời rạc, trung bình cộng nguyên vẫn có thể không thuộc tập; khi đó phải kiểm tra tư cách thành viên riêng.
Tính nguyên chưa đủ vì đề yêu cầu sáu số khác nhau. Sắp ba số đỉnh tăng dần thành . Đặt , , . Hai trung điểm lần lượt nằm trong các khoảng và , nên không trùng bất kỳ đỉnh nào. Trung điểm nằm trong , vì vậy chỉ có thể trùng đỉnh ở giữa . Nó không thể bằng hai đỉnh ngoài.
Ba trung điểm đôi một khác nhau. Chẳng hạn kéo theo , nên , trái giả thiết; hai cặp còn lại cũng được xử lý như vậy. Có thể dùng thứ tự để thấy ngay: và . Do đó toàn bộ sáu số chỉ bị trùng trong đúng trường hợp , tức là Đây là trường hợp ba đỉnh tự chúng tạo thành một cấp số cộng.
Nếu thì thứ tự sáu giá trị là . Nếu thì thứ tự là . Nếu bằng nhau, hai ô khác nhau mang cùng giá trị và cấu hình bị loại. Ba trường hợp này bao quát hết vì so sánh hai số thực chỉ có nhỏ hơn, bằng hoặc lớn hơn. Chúng cũng giải thích vì sao không có một loại va chạm âm thầm nào bị bỏ sót trong phép trừ sau này.
Kết luận dùng trong đếm: một bộ ba đỉnh phân biệt trong đoạn nguyên sinh ra một cấu hình sáu số hợp lệ khi và chỉ khi ba đỉnh cùng tính chẵn lẻ và không tạo thành cấp số cộng. Mỗi bộ ba như vậy được gán vào các đỉnh có tên theo cách, rồi các trung điểm được xác định duy nhất. Đây là song ánh giữa bộ ba đỉnh đã gán và cấu hình hợp lệ, nên việc nhân không đếm trùng.
Hình trên: điểm giữa cạnh trái là M, cạnh đáy là N, cạnh phải là P.
Hình dưới: điểm giữa cạnh trái là P, cạnh đáy là M, cạnh phải là N. Không dùng bảng chữ của hình trên cho hình này.
Tự kiểm 02
Ba đỉnh cùng tính chẵn lẻ. Khi nào sáu số ở đỉnh và trung điểm bị trùng?
04
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Đếm bộ ba cấp số cộng bằng đỉnh giữa
Trừ số cấu hình xấu chỉ an toàn khi đã mô tả đầy đủ và đếm đúng một lần.
Giả sử có số trong một nhóm cùng tính chẵn lẻ, viết tăng dần là . Bỏ thừa số bước bằng cách đánh chỉ số từ đến . Một bộ ba cấp số cộng ở nhóm này có dạng chỉ số với . Khi đỉnh giữa có chỉ số , ta cần cả hai đầu vẫn trong nhóm, nên có đúng lựa chọn cho khoảng cách .
Nhờ chỉ số giữa, mỗi bộ ba cấp số cộng được tính đúng một lần. Không dùng cách chọn một cặp đầu mút rồi quên rằng trung điểm phải thuộc nhóm; cũng không dùng cách chọn công sai bằng không, vì ba đỉnh phải phân biệt. Tổng số bộ ba xấu trong một nhóm có phần tử là Công thức đóng không phải điều kiện bắt buộc để giải hai bài gốc; bảng đếm theo trung điểm đã đủ. Nhưng nó hữu ích khi chuyển sang đoạn dài hơn.
Chứng minh công thức bằng cách chia chẵn lẻ của số phần tử. Với , dãy số lựa chọn là , nên tổng . Với , dãy tăng đến rồi giảm, nên tổng . Hai kết quả lần lượt bằng phần nguyên của . Chú ý tính chẵn lẻ ở đây là của số lượng phần tử trong nhóm, không phải tính chẵn lẻ của giá trị các đỉnh.
Nếu đoạn gồm số lẻ và số chẵn, số bộ ba đỉnh không thứ tự cùng tính chẵn lẻ là . Trong đó có bộ ba là cấp số cộng. Số cấu hình thuận lợi vì thế bằng Hệ số sáu là số phép gán ba đỉnh phân biệt vào ba ô có tên. Không có hệ số hoán vị trung điểm nữa: các trung điểm bị phương trình ràng buộc.
Đối với đoạn ngắn, quy ước khi và khi . Ta không áp dụng công thức đại số với một số lượng âm hay xem một bộ đỉnh thiếu phần tử là hợp lệ. Nếu không có đủ ba số cùng tính chẵn lẻ, số thuận lợi bằng không. Nếu có đúng ba số cùng tính chẵn lẻ nhưng chúng là cấp số cộng, cũng không có cấu hình hợp lệ. Kiểm tra các trường hợp biên giúp em hiểu nội dung của công thức thay vì chỉ thay số.
Một phép tịnh tiến cả tập số không thay đổi các trung bình cộng hay các va chạm. Cộng cùng số nguyên vào cả sáu giá trị giữ mọi phương trình cấp số cộng. Đoạn gồm chín số liên tiếp có cùng số cấu hình thuận lợi dù bắt đầu tại số một hay số mười một. Khi dịch một đơn vị, nhóm lẻ và nhóm chẵn đổi vai trò, nhưng biểu thức tổng đối xứng không thay đổi. Điều này là một kiểm tra cấu trúc, không phải lý do để đồng nhất bài chín số với bài mười chín số.
Số phần tử trong nhóm · Đếm theo trung điểm · Tổng bộ ba xấu
· ·
Tự kiểm 03
Một nhóm có năm số cách đều. Có bao nhiêu bộ ba phân biệt tạo cấp số cộng?
05
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Hai mật thư, hai đáp số
Giữ chính xác tập số, vị trí các chữ và đại lượng được hỏi trong từng đề.
Đề bài gốc
Câu 1 · Mật thư từ chín số
Một bạn tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí như hình bên sao cho mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí ; ; tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Người chơi chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. Gọi xác suất giải được mật thư ở lần chọn và xếp đó là . Giá trị của bằng bao nhiêu?
Câu 1: đúng vị trí chữ của hình trên.
Lời giải từng bước
Bước mô hình hóa. Một kết quả gồm sáu số phân biệt đã gán vào sáu ô mang tên. Không gian mẫu có phần tử, đồng khả năng theo phép chọn rồi xếp đã nêu. Ta đếm các cấu hình thỏa ba phương trình trung điểm của hình trên.
Trong tập có năm số lẻ và bốn số chẵn . Ba đỉnh phải cùng tính chẵn lẻ, nên có bộ ba đỉnh không thứ tự trước khi loại trùng. Nhóm lẻ có bốn bộ ba cấp số cộng: , , và . Nhóm chẵn có hai bộ: và . Đã liệt kê hết vì số lựa chọn theo trung điểm lần lượt là và .
Do đó còn bộ ba đỉnh hợp lệ. Với mỗi bộ, gán ba số vào có cách; các số tại được xác định bởi , , . Chứng minh va chạm ở phần trước bảo đảm sáu số thật sự khác nhau, không chỉ ba số đỉnh khác nhau. Tử số là .
Vì các mẫu đồng khả năng, Không cần làm tròn. Đại lượng đề yêu cầu là nghịch đảo xác suất, chứ không phải số cấu hình thuận lợi hoặc mẫu số chưa rút gọn.