TOÁN 10 · HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ② — Biến tình huống đo đạc thành tam giác
Chuyên đề Toán 10 (hệ thức lượng trong tam giác): sin, cos của góc từ 0° đến 180° và hai góc bù nhau, định lí côsin như định lí Pythagore có số hạng hiệu…
[TOÁN 10 · HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ②] · THPT AI LUKATO · BÀI KHÁI NIỆM
Biến tình huống đo đạc thành tam giác
Sin, côsin của góc từ 0° đến 180°, định lí côsin, định lí sin, diện tích, trường hợp cạnh–cạnh–góc và hai mô hình đo đạc
Đề bài đo đạc thường kể chuyện: một tháp, một con sông, một điểm nằm trên đoạn thẳng. Việc khó nhất không phải là tính, mà là nhìn ra tam giác nào đang ẩn trong câu chuyện và dữ kiện của nó thuộc loại nào. Bài này xây ba nước đi (côsin, sin, diện tích), giải thích vì sao mỗi công thức đúng, chỉ ra chỗ mỗi công thức dễ làm ta sai, rồi đem chúng ra đo chiều cao một tòa tháp. Bài không giải đề; mỗi mục có sơ đồ, phòng thí nghiệm và một câu "em thử xem". Mọi tình huống và con số trong bài đều là hư cấu.
11 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 3 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Ba nước đi và một sợi chỉ
Giải một tam giác nghĩa là từ vài yếu tố đã biết suy ra các yếu tố còn lại. Chỉ có ba công cụ cần nhớ: định lí côsin, định lí sin và các công thức diện tích. Cái khó là chọn đúng công cụ cho dữ kiện, và biết lúc nào dữ kiện cho ra nhiều hơn một tam giác. Sợi chỉ xuyên suốt bài là một quan hệ rất ngắn giữa hai góc bù nhau, vì nó giải thích đồng thời bốn chuyện tưởng như không liên quan: dấu của cos ở góc tù, hai khả năng của sin, hai tam giác chung diện tích và hai góc kề bù ở điểm chia cạnh.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ bài ②: mục 1 là nền móng, năm mục sau là năm công cụ và mô hình, tất cả nối với nhau bằng quan hệ giữa hai góc bù nhau.
0.1 Ký hiệu dùng xuyên suốt hư cấu
Với tam giác ABC, ta viết a = BC, b = CA, c = AB; mỗi cạnh mang chữ thường của đỉnh đối diện. Kí hiệu A, B, C cũng là số đo các góc tại đỉnh tương ứng, tính bằng độ. Tọa độ điểm viết M(x; y) với dấu chấm phẩy, số thập phân viết với dấu phẩy (1,5). Mọi số liệu trong bài (các tam giác, tháp, điểm chia cạnh) là sáng tác để minh họa cơ chế.
Kí hiệu · Ý nghĩa · Đơn vị · Ghi chú
a, b, c · Độ dài các cạnh BC, CA, AB · cm, m · Cạnh a đối diện góc A, b đối diện B, c đối diện C
A, B, C · Số đo các góc của tam giác · độ (°) · A + B + C = 180°; mỗi góc nằm giữa 0° và 180°
R · Bán kính đường tròn ngoại tiếp · cùng đơn vị với cạnh · Định lí sin: a/sin A = 2R
r · Bán kính đường tròn nội tiếp · cùng đơn vị với cạnh · S = p·r
S · Diện tích tam giác · cm², m² · Có bốn công thức, mục 4
p · Nửa chu vi, p = (a + b + c)/2 · cùng đơn vị với cạnh · Dùng trong công thức Heron và S = p·r
h · Khoảng cách từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện · cùng đơn vị với cạnh · Chiều cao; ở mục 5 là h = b·sin A
Góc xen giữa · Góc nằm giữa hai cạnh đã cho · độ · Góc A xen giữa hai cạnh b và c
Vuốt ngang để xem hết bảng
0.2 Ba nước đi: nhìn dữ kiện, chọn công cụ
Trước khi tính bất cứ gì, hãy gọi tên dữ kiện bằng ba chữ cái: S là cạnh (side), A là góc (angle). Dữ kiện "hai cạnh và góc xen giữa" gọi là SAS; "ba cạnh" là SSS; "hai góc và một cạnh" là ASA hoặc AAS; "hai cạnh và góc đối diện với một trong hai cạnh ấy" là SSA. Tên gọi quyết định công cụ.
Dữ kiện · Công cụ · Số tam giác · Điều cần cẩn thận
SAS : hai cạnh và góc xen giữa · Định lí côsin, tìm cạnh thứ ba · Đúng một · Góc phải xen giữa hai cạnh; góc tù làm cạnh đối dài hơn
SSS : ba cạnh · Định lí côsin, tìm góc · Một nếu thỏa bất đẳng thức tam giác · Dấu của cos cho biết góc nhọn hay tù
ASA, AAS : hai góc và một cạnh · Góc thứ ba = 180° − hai góc kia, rồi định lí sin · Một nếu tổng hai góc nhỏ hơn 180° · Tính góc thứ ba trước
SSA : hai cạnh và góc đối · Định lí sin · 0, 1 hoặc 2 · Sin không phân biệt hai góc bù: luôn hỏi "còn 180° − B không?"
Cần S, R hoặc r · Các công thức diện tích · Không áp dụng · Chọn công thức khớp dữ kiện, không có công thức "tốt nhất"
Vuốt ngang để xem hết bảng
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Sơ đồ chọn công cụ: ba nhánh, mỗi nhánh bắt đầu từ cách gọi tên dữ kiện (SAS, SSS, ASA, AAS, SSA hoặc cần diện tích).
Về số liệu. Tất cả tam giác, tháp và điểm chia cạnh trong bài đều là hư cấu và đã được kiểm lại bằng phép tính độc lập. Mục tiêu là hiểu cơ chế (vì sao công thức đúng, vì sao có thể có hai tam giác, vì sao phép đo nhạy sai số), không phải luyện một dạng đề.
MỤC 1 · SIN, COS CỦA GÓC TỪ 0° ĐẾN 180°
Mở rộng sin, cos ra góc tù
Ở tam giác vuông, sin và cos chỉ có cho góc nhọn. Nhưng tam giác bất kì có thể có góc tù, và khi đo đạc ta gặp góc tù rất thường. Muốn dùng sin, cos cho mọi góc của tam giác, ta cần một định nghĩa phủ cả khoảng từ 0° đến 180°. Định nghĩa ấy dùng nửa đường tròn đơn vị, và nó mang theo một quan hệ nhỏ mà cả bài sẽ dựa vào.
1.1 Từ tam giác vuông đến nửa đường tròn đơn vị
Trong tam giác vuông có cạnh huyền bằng 1, cos của góc nhọn α là cạnh kề và sin α là cạnh đối. Nếu đặt cạnh huyền thành bán kính của đường tròn đơn vị, cạnh kề chính là hoành độ và cạnh đối chính là tung độ của đầu mút cạnh huyền. Cách nhìn đó dùng được cho mọi góc.
Định nghĩa. Lấy nửa đường tròn đơn vị tâm O, bán kính 1, nằm phía trên trục hoành. Với 0° ≤ α ≤ 180°, gọi P là điểm trên nửa đường tròn sao cho góc giữa tia Ox và tia OP bằng α. Khi đó cos α là hoành độ của P và sin α là tung độ của P , tức P(cos α; sin α). Ngoài ra tan α = sin α/cos α (với α ≠ 90°) và cot α = cos α/sin α (với α ≠ 0° và α ≠ 180°).
Định nghĩa mới khớp với định nghĩa cũ ở góc nhọn, và cho ta giá trị ở góc vuông, góc tù và hai đầu mút. Bảng dưới liệt kê các góc thường gặp.
α · 0° · 30° · 45° · 60° · 90° · 120° · 135° · 150° · 180°
sin α · 0 · 1/2 · √2/2 · √3/2 · 1 · √3/2 · √2/2 · 1/2 · 0
cos α · 1 · √3/2 · √2/2 · 1/2 · 0 · −1/2 · −√2/2 · −√3/2 · −1
Vuốt ngang để xem hết bảng
Hai quan sát từ nửa đường tròn: tung độ không bao giờ âm nên sin α ≥ 0 với mọi góc của tam giác; hoành độ đổi dấu ở 90° nên cos α > 0 khi α nhọn và cos α < 0 khi α tù .
1.2 Hai góc bù nhau
Hai góc bù nhau nếu tổng bằng 180°. Trên nửa đường tròn, góc α ứng với điểm P và góc 180° − α ứng với điểm P′ đối xứng với P qua trục tung. Hai điểm đối xứng qua trục tung thì cùng tung độ và hoành độ đối nhau . Hình 3 vẽ cặp 50° và 130° làm ví dụ hư cấu .
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Nửa đường tròn đơn vị: P ứng với α = 50°, P′ ứng với góc bù 130°. Hai điểm cùng độ cao nên sin bằng nhau, còn hoành độ đối nhau nên cos đối nhau.
sin(180° − α) = sin α cos(180° − α) = −cos α tan(180° − α) = −tan α tan chỉ xét khi α ≠ 90°; ví dụ sin 130° = sin 50° ≈ 0,766 và cos 130° = −cos 50° ≈ −0,643
1.3 Hệ quả: sin không phân biệt hai góc bù, cos thì có
Từ đồ thị ta đọc ra ngay một sự bất đối xứng. Một đường ngang y = k (0 < k < 1) cắt nửa đường tròn tại hai điểm P và P′, tức có hai góc bù nhau cùng sin bằng k. Một đường dọc x = k (−1 < k < 1) cắt nửa đường tròn tại đúng một điểm, tức chỉ có một góc có cos bằng k.
Biết giá trị · Các góc α trong khoảng từ 0° đến 180° · Số góc
sin α = 1/2 · 30° hoặc 150° · Hai
sin α = 1 · 90° · Một (hai góc bù trùng nhau)
cos α = 1/2 · 60° · Một
cos α = −1/2 · 120° · Một
Vuốt ngang để xem hết bảng
Trong tam giác, đẳng thức A + B + C = 180° có hai hệ quả: mỗi góc nằm giữa 0° và 180°, và tam giác có nhiều nhất một góc tù. Vì vậy:
- Muốn biết một góc nhọn hay tù , hãy xét dấu của cos. Dấu của sin vô ích vì sin luôn dương.
- Khi tìm góc từ sin , luôn có hai ứng viên là α và 180° − α. Việc còn lại là kiểm tra ứng viên nào làm tổng các góc không vượt quá 180°. Mục 5 sẽ biến chuyện này thành "một hay hai tam giác".
Máy tính hay "giấu" góc tù. Phím sin −1 trả về góc từ −90° đến 90°, nên với sin α = 0,5 nó chỉ cho 30°; phím cos −1 trả về góc từ 0° đến 180°, nên với cos α = −0,2 nó cho đúng góc tù. Nếu dùng sin để tìm góc, em phải tự nhớ thêm góc bù.
Chốt ý mục 1: sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α dấu của cos cho biết nhọn hay tù; sin giống nhau ở hai góc bù, nên sin không đủ để xác định góc
một góc của tam giác có sin bằng 3/5. Góc ấy bằng bao nhiêu độ và cos của nó bằng bao nhiêu?
Gợi ý: nhớ rằng sin có hai góc bù cho cùng một giá trị.
Giải thích. Có hai khả năng: góc nhọn khoảng 36,87° với cos = +4/5, hoặc góc tù khoảng 143,13° với cos = −4/5 (vì cos 2 = 1 − 9/25 = 16/25 và dấu cos tùy góc nhọn hay tù). Chỉ với sin ta không phân biệt được; cần thêm một dữ kiện, chẳng hạn cho biết góc ấy là góc tù (hoặc cho biết dấu của cos).
MỤC 2 · ĐỊNH LÍ CÔSIN
Pythagore có thêm số hạng hiệu chỉnh
Định lí Pythagore chỉ đúng khi một góc là góc vuông. Định lí côsin là phiên bản cho mọi tam giác: nó giữ nguyên b 2 + c 2 rồi thêm một số hạng điều chỉnh phụ thuộc vào góc xen giữa. Hiểu số hạng ấy làm gì (bớt hay thêm) là hiểu cả định lí.
2.1 Phát biểu và cách đọc
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc·cos A tương tự b 2 = c 2 + a 2 − 2ca·cos B và c 2 = a 2 + b 2 − 2ab·cos C; đúng với mọi tam giác
Hãy đọc vế phải thành hai phần: b 2 + c 2 là kết quả Pythagore, còn −2bc·cos A là phần hiệu chỉnh. Phần hiệu chỉnh nói cho ta biết góc A so với góc vuông thế nào:
- A = 90° : cos A = 0, phần hiệu chỉnh bằng 0, ra đúng định lí Pythagore.
- A nhọn : cos A > 0, phần hiệu chỉnh âm, nên a 2 nhỏ hơn b 2 + c 2 . Hai cạnh b, c "khép" lại hơn so với góc vuông.
- A tù : cos A < 0, phần hiệu chỉnh dương, nên a 2 lớn hơn b 2 + c 2 . Hai cạnh "mở" ra hơn so với góc vuông.
Với b = 7 và c = 5 cố định, góc A tăng thì cos A giảm nên a tăng: cạnh đối luôn đi cùng chiều với góc hư cấu . Hình 4 đặt ba tam giác cạnh nhau.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Hai cạnh b = 7, c = 5 giữ nguyên, chỉ đổi góc A: a 2 là 39, 74, 109. Cột 74 (nét đứt) là kết quả Pythagore.
Góc A · cos A · −2bc·cos A · a 2 = 74 + hiệu chỉnh · a
60° (nhọn) · 0,5 · −35 · 39 · √39 ≈ 6,245
90° (vuông) · 0 · 0 · 74 · √74 ≈ 8,602
120° (tù) · −0,5 · +35 · 109 · √109 ≈ 10,440
Vuốt ngang để xem hết bảng
Số liệu hư cấu: b = 7, c = 5; b 2 + c 2 = 49 + 25 = 74 và 2bc = 70.
2.2 Vì sao đúng, kể cả với góc tù
Đặt tam giác vào hệ tọa độ: A ở gốc, B(c; 0) trên trục hoành, và C là điểm trên nửa đường tròn bán kính b ứng với góc A, tức C(b·cos A; b·sin A) . Đây chính là chỗ mục 1 phát huy tác dụng: định nghĩa sin, cos bằng tọa độ cho phép viết C như vậy ngay cả khi A tù (lúc đó hoành độ b·cos A âm, C nằm lệch sang trái A). Tính bình phương khoảng cách BC:
a 2 = (b·cos A − c) 2 + (b·sin A) 2 = b 2 (cos 2 A + sin 2 A) − 2bc·cos A + c 2 = b 2 + c 2 − 2bc·cos A dùng cos 2 A + sin 2 A = 1 (điểm C nằm trên đường tròn bán kính b)
Không có bước nào giả sử A nhọn, nên định lí đúng với mọi tam giác. Dấu "−" trong công thức không phải là dấu trừ cố định của "góc nhọn": khi A tù thì cos A âm và −2bc·cos A cộng thêm.
2.3 Dùng theo hai chiều
Chiều thứ nhất, SAS: tính cạnh. Biết hai cạnh và góc xen giữa thì cạnh thứ ba hoàn toàn xác định. Với b = 7, c = 5: A = 60° cho a = √39 ≈ 6,245, còn A = 120° cho a = √109 ≈ 10,440. Hai góc bù nhau (60° và 120°) cho hai cạnh khác nhau vì cos đổi dấu.
Chiều thứ hai, SSS: tính góc và nhận góc tù. Từ công thức suy ra cos A = (b 2 + c 2 − a 2 )/(2bc). Mẫu số 2bc luôn dương nên dấu của cos A là dấu của b 2 + c 2 − a 2 : A tù khi a 2 > b 2 + c 2 , vuông khi bằng, nhọn khi nhỏ hơn. Chỉ cần xét cạnh dài nhất, vì góc đối diện nó là góc lớn nhất và tam giác có nhiều nhất một góc tù.
Ba cạnh hư cấu · Cạnh dài nhất 2 · Tổng bình phương hai cạnh kia · cos góc lớn nhất · Góc lớn nhất
3, 4, 5 · 25 · 9 + 16 = 25 · 0 · 90° (vuông)
4, 5, 7 · 49 · 16 + 25 = 41 · −0,2 · ≈ 101,54° (tù)
5, 6, 7 · 49 · 25 + 36 = 61 · 0,2 · ≈ 78,46° (nhọn)
Vuốt ngang để xem hết bảng
Một hệ quả đẹp: với hai cạnh 7 và 5, a 2 = 74 − 70·cos A, và khi A đi từ 0° đến 180° thì cos A đi từ 1 đến −1, nên a 2 đi từ 4 đến 144, tức 2 < a < 12. Đó chính là bất đẳng thức tam giác |7 − 5| < a < 7 + 5, bây giờ được giải thích bằng cos.
PHÒNG 1 Cạnh–góc–cạnh: cạnh thứ ba phụ thuộc góc xen giữa
Kéo b, c và góc A (số liệu hư cấu). Tam giác xanh là tam giác thật; tam giác nét đứt cam có cùng b, c nhưng góc bù 180° − A. Nút "Bù A" đặt A thành 180° − A để em thấy diện tích không đổi còn cạnh a đổi. Bảng số cho thấy a 2 = b 2 + c 2 + hiệu chỉnh, các góc B, C và loại tam giác.
Cạnh b = AC Cạnh c = AB
Góc A
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Số hạng Pythagore
Hiệu chỉnh −2bc·cos A
Cạnh thứ ba
Góc B, góc C
Diện tích
Loại tam giác; cạnh dài nhất
So với Pythagore
Với góc bù A′ (nét đứt)
Chốt ý mục 2: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc·cos A A = 90° là Pythagore; A nhọn thì bớt, A tù thì thêm; SAS tính cạnh, SSS tính góc và dấu cos báo nhọn hay tù
hai cạnh của một tam giác là 7 và 5. Cạnh thứ ba có thể ngắn nhất và dài nhất bao nhiêu khi góc xen giữa thay đổi?