Toán · 04/06 · Hình học tối ưu
Tư duy có căn cứ · Từ năm ô vuông đến chùm sáng và góc nhìn: dựng tọa độ đúng, giới hạn miền đúng, chứng minh vị trí tốt nhất.
LUKATO · MATHEMATICS STUDIO
TOÁN · TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ · BÀI 04
Hình học tối ưu
Từ năm ô vuông đến chùm sáng và góc nhìn: dựng tọa độ đúng, giới hạn miền đúng, chứng minh vị trí tốt nhất.
- Đọc dữ kiện
- Dựng mô hình
- Kiểm tra kết luận
01
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Đọc hình trước khi tối ưu
Mục tiêu: chuyển vị trí thành tọa độ, chuyển góc thành hàm số và chứng minh cực trị trên đúng miền hình học. Mức độ: vận dụng; thời gian gợi ý: 70–90 phút, có thể học thành hai lượt.
Vị trí
Ba điểm không thẳng hàng xác định một đường tròn. Nhưng chỉ ba điểm thực sự nằm trên đường tròn mới được dùng để lập phương trình. Một chấm xanh ở giao các cạnh hình vuông chưa chắc là điểm thuộc đường tròn.
Miền biến thiên
Đèn pin quay được bao nhiêu phụ thuộc vào yêu cầu góc phải chứa góc vườn. Khoảng cách đến tranh phải dương. Những điều này quyết định miền tối ưu trước khi ta lấy đạo hàm.
Giá trị lớn nhất
Một điểm đạo hàm bằng không chỉ là ứng viên. Ta còn phải chứng minh không điểm nào khác tốt hơn, xét hai đầu miền và chỉ rõ vị trí đạt được kết quả.
Trong bài học này, ba tình huống có hình thức rất khác nhau nhưng cùng đi qua một quy trình. Trước hết, giữ nguyên các độ dài và các quan hệ hình học. Tiếp theo, chọn một biến đủ diễn tả mọi vị trí có thể xảy ra. Sau đó, viết đại lượng cần tìm bằng biến ấy, kèm điều kiện xác định. Cuối cùng, dùng lập luận đại số hoặc giải tích để kết luận, rồi quay lại ngôn ngữ của tình huống: tâm nằm ở đâu, đèn quay theo hướng nào, người đứng cách tường bao xa.
Hình minh họa giúp đọc quan hệ, không thay thế dữ kiện. Khi năm ô vuông được vẽ thành bậc thang, ta cần đếm số bước ngang và số bước dọc giữa các đỉnh; không đo bán kính trên màn hình. Khi một chùm sáng nằm trong hình chữ nhật, phần sáng là giao của góc và mảnh vườn; nó không mặc nhiên là một tam giác. Khi nhìn tranh, góc cần tối đa là hiệu hai góc nâng, không phải góc nâng tới cạnh trên riêng lẻ.
Mỗi mô hình dưới đây đều có một điểm kiểm soát quan trọng. Với đường tròn, ba đỉnh sẽ được thay lại vào phương trình. Với đèn pin, các đầu mút của khoảng góc ứng với một tia đi qua góc đối diện. Với tranh, người đứng quá gần hay quá xa đều nhìn thấy góc nhỏ. Nếu một lời giải không vượt qua được các kiểm tra ấy, ta phải xem lại mô hình trước khi bấm máy tính.
Thứ tự làm tròn
Giữ giá trị chính xác trong toàn bộ suy luận. Chỉ làm tròn số đo cuối cùng đến hàng phần mười khi đề yêu cầu. Một góc đã làm tròn không nên được dùng thay cho góc chính xác trong phép tối ưu.
02
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Năm hình vuông: xác định đúng ba đỉnh
Tọa độ không làm mất hình học: chúng ghi lại chính xác các bước trên lưới ô vuông.
Hình giữ đúng cách ghép năm hình vuông. Các đỉnh P, Q, R nằm trên đường tròn; O, U, V chỉ đánh dấu các đỉnh của lưới.
Đề bài gốc
Câu 22 · Đường tròn qua các đỉnh trên lưới
Ở hình vẽ, ta có 5 hình vuông có cạnh bằng . Hỏi bán kính hình tròn có giá trị bằng bao nhiêu centimet (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Lời giải từng bước
Khái niệm: đường tròn ngoại tiếp ba điểm; đường trung trực; khoảng cách tọa độ. Chọn gốc tọa độ ở đỉnh O là góc trên bên trái của hình vuông giữa. Trục ngang hướng sang phải, trục đứng hướng lên. Lấy đơn vị trên hai trục là centimet. Theo cách ghép năm ô vuông, ba điểm thuộc đường tròn có tọa độ sau:
Đi từ O đến P là một bước sang trái và một bước lên; đi từ O đến Q là hai bước lên; đi từ O đến R là ba bước sang phải và hai bước xuống. Đây là lý do ta cần đọc đúng cách ghép hình thay vì lấy một đường chéo bất kỳ làm đường kính.
Gọi tâm đường tròn là H có tọa độ chưa biết. Ba khoảng cách từ tâm tới ba điểm phải bằng nhau:
Tiếp tục dùng Q và R. Khi trừ hai biểu thức bình phương khoảng cách, các số hạng bình phương của tọa độ tâm triệt tiêu. Ta nhận được một phương trình bậc nhất thứ hai:
Tính bán kính bằng khoảng cách từ tâm tới Q, không bằng khoảng cách tới O:
Vậy bán kính, làm tròn đến hàng phần mười, bằng . Để kiểm tra vị trí tâm, ta thay vào khoảng cách tới P và R; cả hai bình phương khoảng cách cũng bằng cùng giá trị vừa tìm. Tâm không trùng với O và cũng không nằm ở tâm một ô vuông nào, nên không có quyền dùng tính đối xứng của cả cụm như tính đối xứng của đường tròn.
Bẫy cần tránh
Các chấm O, U, V nằm bên trong đường tròn. Không lấy chúng làm điểm thuộc đường tròn. Năm ô vuông không phải hình chữ thập đối xứng.
Vì sao tâm được xác định duy nhất?
Hai phương trình thu được là phương trình của hai đường trung trực. Nếu ba điểm thẳng hàng, hai đường trung trực có thể song song và không cắt nhau. Ở đây, hai vectơ xuất phát từ P đi tới Q và R không cùng phương. Ta có thể kiểm tra bằng định thức: diện tích tam giác ba điểm khác không, nên hai đường trung trực cắt nhau tại đúng một điểm. Điều này vừa chứng minh đường tròn tồn tại, vừa chứng minh không còn một bán kính khác phù hợp với cùng ba đỉnh.
Kiểm tra bằng một cách hình học độc lập
Tính ba cạnh và diện tích của tam giác PQR bằng tọa độ. Diện tích bằng một nửa giá trị tuyệt đối của định thức, còn độ dài mỗi cạnh dùng công thức khoảng cách. Sau đó dùng công thức bán kính ngoại tiếp. Cách này không cần tọa độ tâm, nên là một phép kiểm tra độc lập hữu ích.
Hai cạnh bằng nhau không có nghĩa tâm ở trung điểm cạnh còn lại. Tam giác này là tam giác cân; tâm nằm trên đường trung trực đáy, nhưng vị trí trên đường ấy vẫn phải do bán kính quyết định. Từ đây có thể thấy lợi ích của hai cách giải: tọa độ cho vị trí, còn công thức ngoại tiếp cho một đối chiếu gọn.
03
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Đồng dạng và các điểm bên trong
Một mô hình tốt cho phép thay kích thước mà không phải giải lại từ đầu.
Giả sử mỗi ô vuông có cạnh a dương và cách ghép không đổi. Khi đó mọi tọa độ đều tỷ lệ với a. Viết tọa độ theo đơn vị một cạnh sẽ làm hệ phương trình nhỏ hơn. Đặt P, Q, R lần lượt ở ba điểm sau; tâm và bán kính được tìm một lần cho cả họ hình.
Khi cạnh ô tăng gấp đôi, tọa độ tâm và bán kính cũng tăng gấp đôi; diện tích tam giác và diện tích hình tròn tăng gấp bốn. Những hệ số khác nhau xuất hiện vì độ dài mang một chiều, còn diện tích mang hai chiều. Đây là phép kiểm tra đơn vị và tỷ lệ: công thức bán kính không thể chứa riêng bình phương cạnh nếu không có một độ dài khác ở mẫu.
Ta có thể kiểm tra các đỉnh không nằm trên đường tròn. Đỉnh O gần tâm hơn ba điểm P, Q, R. Hai đỉnh U, V trong hình cũng gần tâm hơn. Điều ấy giải thích trực quan vì sao các chấm xanh trong hình không thể được gom thành một danh sách các điểm trên đường tròn. Màu của một ký hiệu không phải là giả thiết hình học; vị trí so với đường tròn mới quyết định.
Các giá trị này đều nhỏ hơn bình phương bán kính. Khi kiểm tra một bản vẽ chính xác, chỉ cần xét tất cả các đỉnh của năm ô vuông: mọi đỉnh nằm trong hoặc trên đường tròn. Một hình vuông là tập lồi và hình đĩa cũng là tập lồi, nên nếu bốn đỉnh một ô thuộc hình đĩa thì toàn bộ ô thuộc hình đĩa. Như vậy kết quả không chỉ làm ba điểm nằm trên biên mà còn phù hợp với việc cả năm ô được bao trong đường tròn.
Chọn hệ trục khác có đổi đáp án không?
Ta được phép tịnh tiến gốc hoặc quay cả hệ trục. Tọa độ tâm sẽ đổi, nhưng khoảng cách không đổi. Nếu chọn gốc tại P, tâm mới có tọa độ bằng tọa độ cũ trừ tọa độ P. Bán kính vẫn là cùng một độ dài. Lỗi thường xảy ra khi đổi gốc cho một điểm nhưng quên đổi cho các điểm khác; khi đó ta đã mô tả một hình khác. Để tránh lỗi, lập một bảng tọa độ hoàn chỉnh trước khi tính.
Luyện chuyển giao 01
Thay cạnh, giữ cách ghép
Năm hình vuông được ghép như hình của Câu 22, mỗi hình có cạnh . Tính bán kính chính xác và kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
Mở lời giải
Do phép đồng dạng tỷ số , bán kính cũng nhân với tỷ số này. Có thể dùng trực tiếp công thức theo cạnh:
Đáp số là . Tâm trong hệ trục có gốc ở đỉnh tương ứng với O là . Không lấy bán kính cũ làm tròn rồi nhân tỷ số; giữ dạng căn đến cuối giúp tránh tích lũy sai số.
Luyện chuyển giao 02
Biết bán kính, tìm cạnh
Cùng cách ghép năm ô vuông, đường tròn có bán kính . Tìm cạnh mỗi ô và diện tích phần gồm năm ô vuông.
Mở lời giải
Dùng hệ số bán kính theo cạnh; cạnh dương nên nghiệm tìm được phải dương:
Năm ô chỉ chung cạnh hoặc đỉnh, không chồng diện tích. Vì vậy diện tích hợp của chúng bằng tổng diện tích năm ô:
Đây là một bài toán đảo: bán kính xác định tỷ lệ của hình; cách ghép đã cố định nên chỉ còn một cạnh dương phù hợp. Nếu các ô được ghép cách khác, hệ số tỷ lệ có thể đổi và phép tính này không còn áp dụng.
04
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Đèn pin: miền góc đến từ điều kiện chứa C
Trước khi viết diện tích, hãy xác định mỗi tia gặp cạnh nào của hình chữ nhật.
Vườn được vẽ theo tỷ lệ 16:12. Minh họa tại x bằng 34 độ; phần sáng là giao của chùm góc với mảnh vườn.
Đề bài gốc
Câu 15 · Chùm sáng trong mảnh vườn
Trên một mảnh vườn hình chữ nhật có , một người đặt một chiếc đèn pin tại vị trí chiếu chùm sáng phân kì sang phía với góc chiếu tạo bởi hai tia như hình vẽ. Biết rằng không đổi trong suốt quá trình chiếu sáng, điểm luôn nằm trong góc (tính cả hai tia ). Đặt góc . Trong bài toán góc tính theo đơn vị độ, chiều dài tính theo đơn vị mét, diện tích tính theo đơn vị mét vuông, các kết quả được làm tròn đến hàng phần mười.
Hỏi trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
- Khi điểm thì .
- Khi thì diện tích phần được chiếu sáng là .
- Diện tích phần được chiếu sáng có giá trị lớn nhất bằng .
Lời giải từng bước
Khái niệm: góc chứa một tia; diện tích phần bù; cực trị hàm lượng giác. Đặt . Gọi góc giữa và là . Khi đó:
Đo các hướng từ tia AD theo chiều quay về AB. Tia AM có hướng x; tia AN có hướng x cộng góc mở. Để AC nằm giữa hai tia, kể cả trên tia biên, ta phải có:
Đây là miền đầy đủ, không chỉ là một điều kiện cần. Mọi góc trong khoảng ấy cho tia AC nằm trong chùm sáng. Hai đầu mút tương ứng với một tia đi đúng qua C:
Khi M trùng C, hướng AM là hướng AC, nên x bằng góc trên và làm tròn được giá trị ở mệnh đề a. Khi N trùng C, hướng AN là hướng AC, nên x nhỏ hơn góc trên đúng góc mở. Vì vậy mệnh đề a đúng, mệnh đề b sai; giá trị đúng trong trường hợp b là .
Trong toàn miền vừa tìm, AM gặp cạnh DC và AN gặp cạnh BC. Tọa độ giao điểm là:
Diện tích sáng là diện tích vườn trừ hai tam giác không sáng ADM và ABN:
Tại góc trong mệnh đề c, thay trực tiếp vào công thức mà không làm tròn các giá trị lượng giác:
Kết quả đến hàng phần mười là , nên c sai. Để xét d, ta phải tối ưu trên toàn miền, không chỉ so sánh vài góc. Điều kiện cực trị dẫn đến:
Điểm này nằm trong miền. Hàm diện tích tăng trước điểm ấy và giảm sau điểm ấy; lập luận đầy đủ ở phần tiếp theo. Thay giá trị chính xác vào công thức:
Mệnh đề d sai. Bốn kết luận theo thứ tự là đúng, sai, sai, sai . Các số trong mệnh đề b, c, d là các khẳng định cần đánh giá; không thay chúng bằng đáp án trong lúc đọc đề.
Bẫy cần tránh
Góc x đo từ AD, không từ AB. Đổi hướng đo sai sẽ làm đổi cả miền và công thức. Giữ nguyên các mệnh đề sai để đánh giá chúng bằng mô hình.
Vì sao các giao điểm nằm đúng trên hai cạnh?
Hướng của AM so với trục ngang là góc vuông trừ x. Vì x không lớn hơn góc giữa AD và AC, tia AM dốc ít nhất bằng AC, nên gặp cạnh trên trước khi gặp cạnh phải. Ngược lại, AN có hướng từ AD lớn hơn hoặc bằng hướng AC, nên nó thoải hơn AC và gặp cạnh phải trước khi gặp cạnh trên. Ở đầu mút, một giao điểm là C, nên công thức vẫn đúng. Không có chuyển cạnh ở giữa khoảng.
Ta cũng phải kiểm tra cả hai tia còn hướng vào góc phần tư chứa vườn. Giá trị nhỏ nhất của x là số dương; giá trị lớn nhất của tổng x với góc mở nhỏ hơn góc vuông. Do đó không tia nào hướng ra ngoài qua cạnh AD hoặc AB trong bài này. Việc viết tứ giác AMCN cho toàn khoảng là hợp lệ. Nếu góc mở lớn hơn, nhận xét này có thể không còn đúng, và ta cần mô hình giao với biên tổng quát ở phần sau.
05
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Chứng minh cực đại: điều kiện, dấu và đẳng thức
Một nghiệm của phương trình đạo hàm cần được gắn với dấu biến thiên và miền hợp lệ.
Các góc trong đề đo theo độ. Khi lấy đạo hàm, có thể đặt t là số đo x chuyển sang radian và đặt q bằng số đo radian của góc bổ sung. Cách này làm công thức đạo hàm lượng giác giữ dạng quen thuộc. Nếu đạo hàm theo số đo bằng độ, mọi hạng đều có thêm cùng hệ số dương; dấu của đạo hàm không đổi. Ta nên nói rõ lựa chọn để không vô tình bỏ qua đơn vị góc.