Vectơ không gian: tọa độ, hướng và góc
Làm chủ tọa độ, phép cộng vectơ và tích vô hướng; phân biệt góc vectơ với góc đường thẳng, khai thác trung điểm tứ diện đều. Sáu bài gốc giữ đầy đủ phương án…
LUKATO · TOÁN THPT · CHUYÊN ĐỀ 02/03
Vectơ không gian: tọa độ, hướng và góc
Từ hình lập phương đến tứ diện đều · Đọc đúng hướng, tính đúng tích vô hướng
Làm chủ tọa độ, phép cộng vectơ và tích vô hướng; phân biệt góc vectơ với góc đường thẳng, khai thác trung điểm tứ diện đều. Sáu bài gốc giữ đầy đủ phương án và mệnh đề, kèm chẩn đoán lỗi và bài vận dụng có lời giải.
9 Ý từ đề gốc · đầy đủ lời giải
12 Câu chẩn đoán · phân tích lựa chọn
6 Bài vận dụng · đổi dữ kiện
3 Mô hình · thử và giải thích
Giải có căn cứ: đọc điều kiện → chọn quy tắc → thử tự làm → đối chiếu từng bước → giải một tình huống mới.
HIỂU BẢN CHẤT · 01
Đọc vectơ theo hướng, không đọc như đoạn thẳng
Đích học: phân biệt vectơ với độ dài của nó và giữ đúng thứ tự điểm đầu–điểm cuối. Đoạn thẳng không có hướng; vectơ có hướng. Với A = B , hai vectơ A B , B A có cùng độ dài nhưng ngược hướng:
B A = − A B , ∣ B A ∣ = ∣ A B ∣.
Hai vectơ bằng nhau khi cùng hướng và cùng độ dài; không cần được đặt tại cùng vị trí. Vì thế có thể tịnh tiến một vectơ đến một điểm đầu thuận tiện trước khi cộng. Ngược lại, hai cạnh song song và bằng nhau vẫn có thể biểu diễn hai vectơ đối nhau.
Trong hình bình hành A BC D với các đỉnh theo thứ tự quanh hình, A B = D C , còn C D = − A B . Nét vẽ giống nhau về độ dài chưa đủ để kết luận bằng nhau.
Vectơ không 0 có độ dài bằng không, không có hướng xác định. Do đó góc giữa hai vectơ chỉ xét khi cả hai khác 0 . Trước câu hỏi góc, kiểm tra điều kiện ấy trước khi dùng công thức cosin.
Thói quen chống sai dấu. Đọc “từ điểm đầu đến điểm cuối”. Khi đảo hai chữ, đổi dấu toàn bộ vectơ, không chỉ một tọa độ.
HIỂU BẢN CHẤT · 02
Tọa độ theo cơ sở trực chuẩn và hiệu hai điểm
Đích học: chuyển qua lại giữa hệ số của i , j , k , tọa độ điểm và tọa độ vectơ. Trong hệ trực chuẩn O x yz , ba vectơ đơn vị ứng với ba trục theo thứ tự:
u = u x i + u y j + u z k ⟺ u = ( u x ; u y ; u z ) .
Thứ tự các hạng tử viết trong đề không quyết định thứ tự tọa độ. Chẳng hạn 6 j + 4 i − 3 k được viết lại thành 4 i + 6 j − 3 k , nên tọa độ là ( 4 ; 6 ; − 3 ) .
Nếu A ( x A ; y A ; z A ) , B ( x B ; y B ; z B ) , quy tắc cuối trừ đầu cho:
A B = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) .
Tọa độ điểm B chỉ trùng với tọa độ A B khi A là gốc. Ví dụ A ( 1 ; − 2 ; 3 ) , B ( 4 ; 0 ; − 1 ) cho ( 3 ; 2 ; − 4 ) . Dịch cả hai điểm cùng một vectơ không đổi hiệu; điều này giải thích vì sao vectơ tự do không phụ thuộc vị trí đặt.
Kiểm tra ngược. Cộng tọa độ điểm đầu với tọa độ vectơ; phải nhận lại điểm cuối. Đây là phép kiểm nhanh cho cả dấu và thành phần.
HIỂU BẢN CHẤT · 03
Cộng vectơ: ghép đường đi và tính từng thành phần
Đích học: nối đường đi đúng thứ tự và tính tổ hợp tuyến tính. Hệ thức Chasles mô tả một hành trình có điểm nối chung:
A B + BC = A C .
Nếu hai vectơ chung điểm đầu, dùng quy tắc hình bình hành hoặc tịnh tiến một vectơ để tạo điểm nối. Không áp dụng Chasles chỉ vì nhìn thấy ba chữ giống nhau: điểm cuối vectơ trước phải là điểm đầu vectơ sau.
Trong tọa độ, mọi thao tác thực hiện theo từng trục:
α u + β v = ( α u x + β v x ; α u y + β v y ; α u z + β v z ) .
Dấu trừ trước vectơ tác động đến cả ba thành phần. Với v = ( 2 ; 2 ; − 1 ) , ta có − v = ( − 2 ; − 2 ; 1 ) . Thành phần âm trong vectơ bị trừ cần được đặt trong ngoặc để tránh sai dấu.
Một đường đi khép kín có tổng vectơ bằng 0 . Điều này không có nghĩa từng vectơ bằng không; chúng bù nhau. Độ dài tổng cũng không bằng tổng độ dài nói chung:
∣ u + v ∣ ≤ ∣ u ∣ + ∣ v ∣.
Đẳng thức xảy ra khi hai vectơ cùng hướng hoặc ít nhất một vectơ bằng không. Trong chuyển động, độ dài tổng là khoảng cách đầu–cuối; tổng độ dài các chặng là quãng đường đã đi.
HIỂU BẢN CHẤT · 04
Gắn trục vào lập phương: bảng tám đỉnh
Đích học: mã hóa đủ tám đỉnh trước khi tính. Với lập phương cạnh a > 0 , đặt gốc tại A , các chiều dương theo A B , A D , A A ′ . Ba cạnh vuông góc đôi một nên cho một hệ trực chuẩn:
A ( 0 ; 0 ; 0 ) , B ( a ; 0 ; 0 ) , D ( 0 ; a ; 0 ) , A ′ ( 0 ; 0 ; a ) . C ( a ; a ; 0 ) , B ′ ( a ; 0 ; a ) , D ′ ( 0 ; a ; a ) , C ′ ( a ; a ; a ) .
Mỗi tọa độ cho biết đã đi bao nhiêu theo một cạnh xuất phát từ A . Đường chéo đáy đi theo hai cạnh; đường chéo khối theo ba cạnh:
A C = A B + A D , A C ′ = A B + A D + A A ′ .
Dấu phẩy chỉ đỉnh ở mặt trên, không có nghĩa thành phần cao của vectơ luôn dương. Ta có A ′ C = ( a ; a ; − a ) , còn A ′ C ′ = ( a ; a ; 0 ) nằm trên mặt trên.
Hình trên giấy là hình chiếu. Cạnh xiên hoặc ngang trên trang không tự xác định trục. Nếu đề đã vẽ trục, phải theo đúng hình; không tự đổi hệ trục rồi giữ nguyên tọa độ đáp án. Trong hình này mũi tên vàng biểu diễn đường chéo mặt trên từ A ′ đến C ′ .
Kiểm bảng. Mặt dưới có cao độ bằng không; mặt trên có cao độ bằng cạnh. Một cạnh từ đỉnh dưới lên đỉnh trên tương ứng chỉ đổi thành phần cao.
HIỂU BẢN CHẤT · 05
Độ dài và tích vô hướng có vai trò khác nhau
Đích học: tính độ dài, kiểm vuông góc và hiểu đơn vị của tích vô hướng. Trong hệ trực chuẩn:
∣ u ∣ = u x 2 + u y 2 + u z 2 , u ⋅ v = u x v x + u y v y + u z v z .
Độ dài không âm; tích vô hướng có thể dương, âm hoặc không. Một tích âm không phải lỗi: với hai vectơ khác không, nó cho biết 9 0 ∘ < θ ≤ 18 0 ∘ ; góc là góc tù nếu hai vectơ không ngược hướng. Nếu chúng ngược hướng, góc bằng 18 0 ∘ . Nếu tọa độ là số đo độ dài theo mét, độ dài có đơn vị mét còn tích vô hướng có đơn vị mét vuông.
Với hai vectơ khác không, tích vô hướng bằng không tương đương vuông góc. Vectơ không cũng có tích vô hướng bằng không với mọi vectơ, nhưng không có góc xác định. Vì vậy phải kiểm tra tính khác không khi suy ra góc.
Tính phân phối thường rút ngắn phép tính:
u ⋅ ( v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w . ∣ u − v ∣ 2 = ∣ u ∣ 2 + ∣ v ∣ 2 − 2 u ⋅ v .
Ba vectơ cạnh từ một đỉnh lập phương vuông góc đôi một nên tích chéo bằng không. Ba vectơ cạnh từ một đỉnh tứ diện đều lại tạo góc 6 0 ∘ , nên tích chéo bằng nửa bình phương cạnh. Hai mô hình không thể dùng thay nhau.
Công thức có điều kiện. Độ dài là căn tổng bình phương các thành phần khi cơ sở trực chuẩn. Ba vectơ cạnh của một hình hộp xiên chưa chắc tạo cơ sở trực chuẩn.
HIỂU BẢN CHẤT · 06
Góc vectơ và góc đường thẳng: giữ dấu hay lấy trị tuyệt đối?
Đích học: trả lời đúng loại góc được hỏi. Với u , v = 0 , góc vectơ θ ∈ [ 0 ∘ ; 18 0 ∘ ] thỏa:
cos θ = ∣ u ∣ ∣ v ∣ u ⋅ v .
Tịnh tiến hai vectơ về chung điểm đầu không đảo hướng. Đảo một vectơ làm đổi dấu cosin và biến θ thành 18 0 ∘ − θ .
Góc giữa hai đường thẳng chọn góc không vượt 9 0 ∘ . Với hai vectơ chỉ phương, góc đường thẳng φ ∈ [ 0 ∘ ; 9 0 ∘ ] thỏa:
cos φ = ∣ u ∣ ∣ v ∣ ∣ u ⋅ v ∣ .
Ví dụ u = ( 1 ; 1 ; 0 ) , v = ( − 1 ; 0 ; 1 ) cho tích vô hướng − 1 , mỗi độ dài bằng 2 . Góc vectơ bằng 12 0 ∘ ; góc đường thẳng tương ứng bằng 6 0 ∘ . Cả hai kết quả đều có thể đúng, nhưng trả lời hai câu hỏi khác nhau.
Trước khi bấm máy, xét dấu. Với hai vectơ khác không, tích dương cho 0 ∘ ≤ θ < 9 0 ∘ ; nếu chúng không cùng hướng thì góc nhọn. Tích âm cho 9 0 ∘ < θ ≤ 18 0 ∘ ; nếu chúng không ngược hướng thì góc tù. Tích bằng không cho góc vuông. Hai trường hợp cùng hướng và ngược hướng lần lượt có góc 0 ∘ , 18 0 ∘ . Kiểm ∣ cos θ ∣ ≤ 1 để phát hiện mẫu sai. Nếu đề hỏi cosin, giữ kết quả chính xác đến cuối; không tính và làm tròn góc rồi suy ngược cosin.
HIỂU BẢN CHẤT · 07
Trung điểm tứ diện đều: khai thác cấu trúc thay vì đo hình
Đích học: viết trung điểm bằng trung bình vectơ và khai thác các mặt tam giác đều. Với M là trung điểm BC , chọn gốc bất kỳ D :
D M = 2 D B + D C .
Trong tứ diện đều cạnh a > 0 , đặt u = D A , v = D B , w = D C . Chúng đều dài a ; mỗi cặp tạo góc 6 0 ∘ vì thuộc một mặt tam giác đều:
u ⋅ v = u ⋅ w = v ⋅ w = 2 a 2 .
Ta có A B = v − u , D M = ( v + w ) /2 . Tính tích vô hướng bằng phân phối, không cần dựng góc phụ khó nhìn. Độ dài D M là trung tuyến tam giác đều D BC , nên bằng a 3 /2 .
Tỉ số cosin không phụ thuộc a vì tử và mẫu cùng chứa a 2 . Phóng to tứ diện không đổi góc. Hai mũi tên trên hình chiếu có thể trông lệch mạnh hoặc gần vuông góc; hình chiếu không bảo toàn góc thật.
Chọn gốc theo yêu cầu. Khi câu hỏi có vectơ từ đỉnh đến trung điểm một cạnh, dùng chính đỉnh ấy làm gốc cho các vectơ cạnh. Công thức trung bình xuất hiện ngay.
HIỂU BẢN CHẤT · 08
Quy trình kiểm chứng khẳng định hình học không gian
Đích học: biến cảm giác về hình thành quy trình tính có thể kiểm tra. Trước hết ghi điều kiện: loại hình, cạnh dương, trục theo hướng nào, trung điểm thuộc cạnh nào. Tiếp theo lập bảng điểm hoặc vectơ cạnh; sau đó mới tính hiệu và tích vô hướng.
- Đọc đối tượng: tọa độ điểm, tọa độ vectơ, độ dài, tích vô hướng và góc có các kiểu đáp án khác nhau.
- Giữ hướng: ghi rõ điểm đầu–cuối, dùng cuối trừ đầu hoặc Chasles đúng điểm nối.
- Tính chính xác: giữ phân số, căn thức và chưa làm tròn.
- Kiểm cách khác: đường đi khép kín có tổng bằng không; đường chéo mặt lập phương dài a 2 ; đường chéo khối dài a 3 .
- Kết luận theo yêu cầu: không tự đổi góc vectơ tù thành góc nhọn của đường thẳng; chỉ làm tròn đại lượng được hỏi.
Trong câu đúng–sai, xử lý từng mệnh đề độc lập. Một mệnh đề đầu đúng không khiến mệnh đề sau đáng tin hơn. Đẳng thức vectơ phải đúng cả ba thành phần; cùng độ dài chưa đủ. Tích vô hướng phải đúng cả dấu, hệ số lẫn đơn vị.
Khi đổi lập phương thành hình hộp xiên, phép cộng và công thức trung điểm vẫn đúng; các công thức độ dài đặc biệt và quan hệ vuông góc có thể không còn đúng. Biết điều gì được giữ lại khi đổi giả thiết là bước chuyển từ nhớ công thức sang làm chủ mô hình.
Học theo mục tiêu, không theo tốc độ của người khác
Lần học đầu: đọc các quy tắc và tự giải đề gốc. Chỉ mở gợi ý khi chưa xác định được bước tiếp theo. Lần học sau: làm 12 câu chẩn đoán, thử mô hình và chọn một bài vận dụng. Quay lại phần lý thuyết tương ứng khi em chưa giải thích được vì sao một bước đúng.
Bộ đề được cung cấp có 22 nhóm câu, gồm 34 quyết định trả lời: chuyên đề hàm số có 18 ý, chuyên đề vectơ có 9 ý, chuyên đề mô hình có 7 ý. Các bài vận dụng và mô hình là phần được biên soạn thêm, được ghi riêng; không làm thay đổi yêu cầu của đề.
ĐỀ GỐC · LỜI GIẢI ĐƯỢC PHÁT TRIỂN
Tự làm trước, đối chiếu sau
Giữ dữ kiện và yêu cầu của đề đã cung cấp. Những điểm thiếu hoặc mâu thuẫn trong dữ kiện được ghi rõ tại câu liên quan; kết luận có điều kiện không thay thế một đáp án xác định của đề gốc. Bảng tự kiểm giúp em xem lại điều kiện, mô hình, phép biến đổi và đơn vị; không phải thang điểm chính thức.
ĐỀ GỐC · P1-C4
Phần I · Câu 4 · Hệ số theo trục
Yêu cầu và dữ kiện
Trong không gian với hệ trục tọa độ O x yz , cho O A = 6 j + 4 i − 3 k . Tọa độ điểm A là:
- ( 4 ; 6 ; − 3 ) .
- ( 6 ; 4 ; − 3 ) .
- ( − 4 ; − 6 ; 3 ) .
- ( − 6 ; − 4 ; 3 ) .
Giữ nguyên dữ kiện, các phương án hoặc mệnh đề và yêu cầu của bài toán; giải đầy đủ từng phần.
Điểm đầu là gốc O , nên tọa độ vectơ cũng là tọa độ điểm. Gắn từng hệ số với đúng vectơ đơn vị.
Cần thể hiện trong bài làm
- Xác định hệ số theo i , j , k .
- Giữ dấu âm ở thành phần cao.
Gợi ý lộ trình — chưa mở đáp số
Đổi thứ tự hai hạng tử đầu bằng tính giao hoán rồi đọc theo ba trục.
Lời giải đầy đủ — xem sau khi tự làm
O A = 4 i + 6 j − 3 k ⟹ A ( 4 ; 6 ; − 3 ) .
Chọn A. B đọc hệ số theo thứ tự xuất hiện. C là tọa độ A O . D vừa đảo hai thành phần đầu vừa đổi dấu toàn bộ vectơ.
Giải thích quy tắc và điều kiện
Không cần tính độ dài: cơ sở trực chuẩn đã xác định từng thành phần.
Tự kiểm các bước quan trọng
Tự kiểm tra: xác định đúng đối tượng, ghi quy tắc sử dụng, giữ hướng từng vectơ, trình bày phép tính và kết luận đúng yêu cầu. Không đo góc từ hình chiếu.
Sửa một cách làm sai thường gặp
Viết theo thứ tự i , j , k trước khi đọc tọa độ.
Điểm dễ nhầm
- Đọc ba hệ số theo vị trí trên dòng.
- Đảo hướng vectơ vị trí.
ĐỀ GỐC · P1-C7
Phần I · Câu 7 · Cùng độ dài, khác hướng
Yêu cầu và dữ kiện
Cho lập phương A BC D . A ′ B ′ C ′ D ′ . Mệnh đề nào sau đây sai ?
- A B = C D .
- A C = A B + A D .
- A B + A D + A A ′ = A C ′ .
- ∣ A B ∣ = ∣ C D ∣ .
Giữ nguyên dữ kiện, các phương án hoặc mệnh đề và yêu cầu của bài toán; giải đầy đủ từng phần.
Gạch chân chữ “sai”. Đặt u = A B , v = A D , w = A A ′ ; cạnh dương nên u = 0 .
Cần thể hiện trong bài làm
- Kiểm hướng C D .
- Kiểm đường chéo đáy và khối.
- Chọn duy nhất mệnh đề sai.
Gợi ý lộ trình — chưa mở đáp số
So sánh vectơ cạnh rồi tách rõ vectơ và độ dài.