Mũ và lôgarit: cây cầu nối phép nhân với phép cộng, và cách đọc mọi bài toán qua cây cầu ấy
Chuyên đề Toán THPT: hệ thống hàm số mũ và lôgarit quanh một ý duy nhất, cây cầu nối nhân với cộng. Ba luật lôgarit và công thức đổi cơ số như các cách đi…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT
HÀM SỐ MŨ · LÔGARIT · CÂY CẦU NHÂN - CỘNG
Một cây cầu
nối nhân với cộng
Từ một ý duy nhất (nhân giá trị ở bờ này là cộng số bước ở bờ kia), bạn dựng cả hệ thống: ba luật lôgarit, đồ thị gương qua y = x, thang lôgarit của đời sống, kỹ thuật làm thẳng đường cong và ba cổng của bất phương trình mũ - lôgarit.
- 1. Mũ đi xuôi cầu, lôgarit đi ngược cầu
- 2. Đổi cơ số là đổi nhãn trên thước
- 3. Bất phương trình phải qua ba cổng
phòng thí nghiệm tương tác
bí kíp có chỗ vỡ
hiểu lầm được phản biện
01
Khái niệm lõi
Cây cầu nối nhân với cộng
Mọi chuyện về mũ và lôgarit xoay quanh một cây cầu: nhân giá trị ở bờ này tương ứng với cộng số bước ở bờ kia. a x nghĩa là xuất phát từ 1 rồi nhân với a tổng cộng x lần; log a N trả lời câu hỏi ngược lại: cần nhân với a bao nhiêu lần để từ 1 đến N. Hiểu cây cầu này thì ba luật lôgarit, công thức đổi cơ số, chiều của bất phương trình và cách đọc đồ thị đều thôi là những dòng phải học thuộc.
Mỗi bước sang phải ở hàng trên là cộng 1; ở hàng dưới là nhân với 2. Đi hai bước rồi ba bước (2 + 3 = 5) cho cùng kết quả như nhân 4 với 8 (4 · 8 = 32): đó chính là luật a m · a n = a m+n với a = 2.
đi xuôi cầu
Mũ: biết số bước, tìm giá trị
a x là giá trị sau x bước, mỗi bước nhân với a. Ví dụ 2 5 = 32 vì năm lần nhân với 2 từ số 1.
đi ngược cầu
Lôgarit: biết giá trị, đếm số bước
log a N là số bước cần để từ 1 đến N. Ví dụ log 2 32 = 5 vì cần 5 lần nhân với 2. Lôgarit không phải một phép tính lạ; nó chỉ là phép đếm bước .
Ba luật là ba cách đi qua cầu
Mỗi luật dưới đây nói cùng một điều theo hai cách: ở bờ giá trị là phép nhân, chia hoặc lũy thừa; ở bờ số bước là phép cộng, trừ hoặc nhân hệ số. Cột cuối cho biết điều kiện để cây cầu còn nguyên, và đây là chỗ bài làm hay rơi điểm.
Luật · Bờ giá trị (nhân) · Bờ số bước (cộng) · Điều kiện giữ cầu
Tích thành tổng · a m · a n = a m+n · log a (MN) = log a M + log a N · M > 0 và N > 0
Thương thành hiệu · a m / a n = a m-n · log a (M/N) = log a M - log a N · M > 0 và N > 0
Lũy thừa thành nhân hệ số · (a m ) k = a mk · log a (M k ) = k · log a M · M > 0 (k bất kì)
Đi xuôi rồi đi ngược · log a (a x ) = x · a log a N = N · N > 0
Ba cổng của cây cầu
cổng 1
Cơ số: a > 0 và a 1
Cơ số 1 không có bước nào: 1 · 1 · 1 vẫn là 1, không đếm được. Cơ số âm làm a 1/2 mất nghĩa.
cổng 2
Đối số: N > 0
Khi a > 0, a x luôn dương, nên không có số bước nào dẫn đến số âm hoặc số 0. Vì thế log a chỉ nhận số dương.
cổng 3
Mẫu và căn: mẫu 0, trong căn 0
Số mũ chứa biến ở mẫu cần mẫu khác 0; số mũ hữu tỉ như a 1/2 cần cơ số không âm.
Cách đọc mọi bài toán mũ - lôgarit
Hỏi lần lượt: ba cổng của bài là gì? Hai vế đang ở bờ nào và có đưa về cùng cơ số được không? Sang bờ cộng (số bước) thì bài trở thành đại số lớp dưới. Cuối cùng quay về và đối chiếu với ba cổng.
1 Viết điều kiện (ba cổng)
2 Đưa về cùng cơ số
3 Qua cầu: mũ hoặc lôgarit
4 Giải ở bờ cộng
5 Quay về, đối chiếu điều kiện
02
Đồ thị
Gương y = x: đi xuôi và đi ngược
Đồ thị là bức tranh của cây cầu: đường y = a x đi xuôi cầu, đường y = log a x đi ngược cầu, nên hai đường là gương của nhau qua đường thẳng y = x . Mỗi điểm (p; q) trên đường này ứng với điểm (q; p) trên đường kia. Hãy chọn cơ số, kéo điểm và nhìn cặp gương chạy.
Phòng thí nghiệm 1 · Gương y = x: đi xuôi và đi ngược cầu LAB 1
Điểm x0 trên đồ thị mũ
Chiều biến thiên
Điểm P trên đồ thị mũ
Gương Q trên đồ thị lôgarit
Hai tiệm cận
Bảng đọc nhanh hai đồ thị
· y = a x · y = log a x
Hai điểm mốc · (0; 1) và (1; a) · (1; 0) và (a; 1)
Khi a > 1 · đồng biến · đồng biến
Khi 0 < a < 1 · nghịch biến · nghịch biến
Tiệm cận · ngang: y = 0 · đứng: x = 0
Miền xác định · mọi số thực · x > 0
Miền giá trị · y > 0 · mọi số thực
Bẫy: a x không bao giờ bằng 0 hoặc âm
Đường y = a x luôn nằm trên trục hoành và chỉ tiến sát trục ấy chứ không chạm. Vì vậy phương trình a x = -3 hay a x = 0 vô nghiệm, và log a của số không dương không tồn tại. Đây là hai mặt của cùng một sự thật trong gương.
Vì sao hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng y = x?
Gợi ý 1 · Đi xuôi cầu
Điểm (p; q) nằm trên y = a x nghĩa là q = a p : từ p bước, ta đến giá trị q.
Gợi ý 2 · Đi ngược cầu
Cũng chính điều đó nói rằng p = log a q, tức là điểm (q; p) nằm trên y = log a x.
Kết luận
Hoán đổi hoành độ với tung độ là phép lấy đối xứng qua y = x. Hai hàm là ngược nhau , nên đồ thị phải là gương của nhau. Mọi tính chất của hàm này (đồng biến, tiệm cận) đều dịch sang hàm kia khi đổi vai trò hai trục.
03
Đổi cơ số và thang đo
Đổi nhãn thước, cộng bước nhân giá trị
Cùng một đoạn đường đo bằng mét hay bằng dặm thì ra hai con số khác nhau, nhưng tỉ số giữa hai đoạn đường không đổi. Lôgarit cũng vậy: đổi cơ số chỉ là đổi nhãn trên thước , và mọi nhãn bị chia cho cùng một hệ số.
Bốn điểm đứng yên; chỉ có nhãn đổi. Vì 8 = 2 3 , một đơn vị của thước 2 dài bằng 3 đơn vị của thước 1, nên mọi nhãn của thước 2 bằng nhãn thước 1 chia cho 3: log 8 N = log 2 N / 3.
Công thức · Cách đọc trên cây cầu
log a N = log c N / log c a · Đổi từ thước c sang thước a: chia cho độ dài của một đơn vị a
log a b · log b a = 1 · Đổi sang thước b rồi đổi lại thì trở về thước cũ
log a k N = (1/k) · log a N · Một đơn vị mới dài gấp k lần nên số nhãn giảm k lần
a log c b = b log c a · Cùng qua một thước c, hai lối đi ra cùng một giá trị
Vì sao tỉ số các lôgarit không đổi khi đổi cơ số
Vì mọi nhãn đều chia cùng một hệ số nên tỉ số hai nhãn giữ nguyên: log a M / log a N = log c M / log c N. Do đó khi cần so sánh hay lập tỉ số, ta có thể chọn bất kì cơ số nào thuận tay.
Thang lôgarit của đời sống
Khi các con số trải rộng từ rất nhỏ đến rất lớn, người ta đo bằng số bước thay vì giá trị: độ pH đếm bước của nồng độ H + , decibel đếm bước của cường độ âm, độ Richter đếm bước của biên độ sóng. Mỗi bước là nhân với một hệ số cố định, nên cộng bước ở thang đo chính là nhân ở thang giá trị .
Phòng thí nghiệm 2 · Thước thang lôgarit: cộng bước, nhân giá trị LAB 2
Số đo tại A
Số đo tại B
Chênh nhau
Tỉ số giá trị B so với A
Đếm ngược bằng lôgarit
Mốc dễ nhớ
Lưu ý: các thang này là mô hình
Công thức đổi bước ra giá trị ở đây là các quy ước chuẩn dùng để học: pH bằng -log 10 của nồng độ H + ; mức cường độ âm L = 10 log 10 (I / I 0 ); năng lượng động đất theo độ Richter tăng gần 31,6 lần mỗi độ. Lãi kép 7% mỗi năm là ví dụ giả định, không phải lời hứa của một ngân hàng cụ thể.
04
Kỹ thuật
Lấy lôgarit để làm thẳng đường cong
Đường cong mũ trông phức tạp, nhưng lấy lôgarit hai vế biến nó thành đường thẳng . Đó là lí do nhà khoa học vẽ dữ liệu tăng nhanh trên trục lôgarit: đường thẳng thì đọc hệ số góc và tung độ gốc dễ hơn đường cong. Với hàm y = 2 ax+b , lấy log 2 hai vế được log 2 y = ax + b.
Hai hình vẽ cùng bốn điểm. Bên phải, thang trên trục tung chia đều theo số mũ (nhãn 2, 4, 8, 16, 32 cách đều nhau), nên đường cong y = 2 0,5x + 1 thành đường thẳng log 2 y = 0,5x + 1.
ý 1
Hai điểm đủ để tìm a và b
Lấy log 2 tung độ của hai điểm rồi giải hệ bậc nhất: a = (log 2 y 2 - log 2 y 1 ) / (x 2 - x 1 ). Với (0; 2) và (6; 16): log 2 được 1 và 4 nên a = 3/6 = 0,5 và b = 1.
ý 2
Tích hai tung độ là tổng hai số mũ
y 1 · y 2 = 2 a(x 1 +x 2 )+2b . Hai điểm có cùng tổng hoành độ thì cùng tích: (0; 2) và (6; 16) cho 32, (2; 4) và (4; 8) cũng cho 32.
ý 3
Cùng bước, cùng tỉ số
y(x + h) / y(x) = 2 ah không phụ thuộc x. Hàm mũ nhân đều khi x tăng đều, còn hàm tuyến tính cộng đều .
Nhận ra hàm mũ từ bảng số liệu
x · 0 · 1 · 2 · 3 · Nhận xét
y tuyến tính: 5 + 3x · 5 · 8 · 11 · 14 · hiệu liên tiếp luôn bằng 3
y mũ: 5 · 2 x · 5 · 10 · 20 · 40 · tỉ số liên tiếp luôn bằng 2
Vì sao lôgarit làm thẳng được
Hàm mũ có dạng y = C · a x . Lấy lôgarit: log y = log C + x · log a. Phép nhân C với a x thành phép cộng, và số mũ x trở thành hệ số của x. Đó là cây cầu nối nhân với cộng, dùng ở một chỗ rất thực tế.
Vì sao tích hai tung độ chỉ phụ thuộc vào tổng hai hoành độ?
Gợi ý 1 · Viết từng tung độ
y 1 = 2 ax 1 +b và y 2 = 2 ax 2 +b .
Gợi ý 2 · Nhân hai vế
Cùng cơ số nên cộng số mũ: ax 1 + b + ax 2 + b = a(x 1 + x 2 ) + 2b.
Kết luận
Số mũ của tích chỉ chứa x 1 + x 2 . Nếu một bài cho tích hai tung độ (hay tích hai đoạn vuông góc với trục hoành đo bằng tung độ) thì nó thật ra cho ta tổng số mũ , một phương trình bậc nhất trong a và b.
05
Bất phương trình
Ba cổng của bất phương trình
Bất phương trình mũ và lôgarit khó không ở phép biến đổi mà ở ba cổng cần qua: điều kiện xác định , chiều theo cơ số (cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, nhỏ hơn 1 đổi chiều), và dấu của mẫu hay giao miền . Phòng lab dưới đây dựng sẵn hai họ bất phương trình và cho thấy từng cổng làm gì với tập nghiệm.
Bất phương trình 2/x không vượt quá 1 hỏi: ở đâu đường cong y = 2/x nằm dưới hoặc chạm đường thẳng y = 1? Câu trả lời tách theo dấu của x: mọi x âm, cộng với x từ 2 trở đi. Khoảng 0 < x < 2 bị loại và x = 0 không thuộc miền xác định.
Phòng thí nghiệm 3 · Máy ba cổng cho bất phương trình LAB 3
Hệ số k trên tử (k > 0)
Số mũ vế phải m
Hằng số c1 trong x + c1
Hằng số c2 trong c2 - x
CỔNG 1
CỔNG 2
CỔNG 3
Chiều theo cơ số
Số khoảng nghiệm
Nghiệm nguyên trong (-100; 100)
Nhỏ nhất đến lớn nhất
Ba lỗi hay gặp ở bất phương trình mũ - lôgarit
Quên điều kiện xác định (đặc biệt mẫu bằng 0 và đối số không dương); quên đổi chiều khi cơ số nhỏ hơn 1; và nhân hai vế với mẫu mà không xét dấu. Trong lab, thử đổi cơ số rồi nhìn tập nghiệm đảo hẳn sang phía kia: đó là lỗi thứ hai ở dạng thấy được.
Vì sao phải chia trường hợp theo dấu của x khi số mũ có x ở mẫu?
Gợi ý 1 · Nhân hai vế
Muốn bỏ mẫu ta nhân hai vế với x. Nhân với số dương thì giữ chiều; nhân với số âm thì đổi chiều.
Gợi ý 2 · Dấu của k/x
Khi x > 0, k/x dương; khi x < 0, k/x âm. Hai tình huống này so sánh với m theo hai cách khác nhau.
Kết luận
Không biết dấu của x thì không biết chiều của bất đẳng thức sau khi bỏ mẫu. Chia hai trường hợp rồi hợp nghiệm là cách an toàn; cách nhìn hình học (đường cong k/x so với đường thẳng y = m) cho cùng kết quả.
06
Bộ khung suy luận
Tám bí kíp: quy tắc, lí do và chỗ vỡ
Tám bí kíp theo thứ tự một bài giải: điều kiện, cơ số, đổi cơ số, tách tích, chia dấu mẫu, làm thẳng, tích tung độ, đọc đồ thị. Mỗi bí kíp có quy tắc, lí do và điều kiện khiến nó vỡ.
Ba cổng trước, giải sau
Quy tắc Trước mọi biến đổi, viết điều kiện: cơ số dương khác 1, đối số dương, mẫu khác 0, trong căn không âm.
Vì sao Ba luật chỉ là cây cầu khi hai đầu cầu cùng tồn tại; ngoài miền xác định, công thức không còn nghĩa.
Khi nào vỡ Biến đổi làm miền rộng ra: log a (x 2 ) = 2 log a |x| chứ không phải 2 log a x. Thu hẹp miền thì dễ mất nghiệm.
Một cơ số chung, rồi so sánh số mũ
Quy tắc Đưa hai vế về cùng cơ số rồi so sánh số mũ theo chiều của cơ số: lớn hơn 1 giữ chiều, nhỏ hơn 1 đổi chiều.
Vì sao Hàm mũ và hàm lôgarit đơn điệu; chiều biến thiên do cơ số quyết định.
Khi nào vỡ Cơ số chứa tham số có thể ở hai phía của 1 nên phải chia trường hợp. Hai vế không đưa về cùng cơ số được thì lấy lôgarit hai vế.
Đổi cơ số là đổi đơn vị
Quy tắc log a N = log c N / log c a; chọn c sao cho a và N đều là lũy thừa của c (thường là số nguyên tố).
Vì sao Mọi nhãn trên thước đều chia cùng một hệ số, nên phép đổi chỉ cần một phép chia.
Khi nào vỡ c phải dương khác 1. Với log a b · log b a = 1, cả a lẫn b đều phải là cơ số hợp lệ.
Tích thành tổng, nhớ miền
Quy tắc Dùng log a (MN) = log a M + log a N khi M > 0, N > 0; khi M, N cùng âm thì tách bằng giá trị tuyệt đối.
Vì sao Lôgarit chỉ đếm bước đi từ 1 đến một số dương.
Khi nào vỡ Với M = -2 và N = -3, log a (MN) tồn tại nhưng log a M và log a N thì không, nên không tách được trực tiếp.
Mũ ở mẫu: chia theo dấu mẫu
Quy tắc Số mũ chứa biến ở mẫu thì xét riêng x > 0 và x < 0 rồi hợp nghiệm.
Vì sao Nhân hai vế với số âm đổi chiều; dấu của k/x còn quyết định nó so với m ra sao.
Khi nào vỡ Khi đề đã cho x > 0 hoặc mẫu luôn dương trên miền xét thì không cần chia.
Lấy lôgarit để làm thẳng
Quy tắc y = C · a x (C > 0) hay a f(x) = b g(x) : lấy lôgarit hai vế, được quan hệ bậc nhất.
Vì sao Lôgarit biến nhân thành cộng và lũy thừa thành nhân hệ số.
Khi nào vỡ Chỉ lấy khi hai vế dương. Hàm y = c + a x phải trừ c trước; nếu không sẽ không làm thẳng được.
Tích tung độ là tổng số mũ
Quy tắc Với y = a px+q : y(x 1 ) · y(x 2 ) = a p(x 1 +x 2 )+2q , chỉ phụ thuộc x 1 + x 2 .
Vì sao Tích hai lũy thừa cùng cơ số là cộng số mũ.
Khi nào vỡ Có hệ số C trước a ... thì tích có thêm C 2 ; hai hàm khác cơ số thì không gộp được.