Toán · 01/06 · Mệnh đề, tập hợp và điều kiện nguyên
Tư duy có căn cứ · Từ ngôn ngữ logic đến tập tham số đầy đủ: đọc lượng từ, kiểm tra đầu mút và dùng chia hết để chứng minh không bỏ sót.
LUKATO · MATHEMATICS STUDIO
TOÁN · TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ · BÀI 01
Mệnh đề, tập hợp và điều kiện nguyên
Từ ngôn ngữ logic đến tập tham số đầy đủ: đọc lượng từ, kiểm tra đầu mút và dùng chia hết để chứng minh không bỏ sót.
- Đọc dữ kiện
- Dựng mô hình
- Kiểm tra kết luận
01
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Đọc một câu toán như một cam kết
Mục tiêu: phân biệt câu phát biểu, mệnh đề chứa biến và mệnh đề có lượng từ; sau đó dùng điều kiện tập hợp để tìm đúng toàn bộ giá trị tham số. Mức nền tảng đến vận dụng; nên học trong hai lượt, mỗi lượt khoảng ba mươi phút.
Một đáp án toán học là một cam kết có điều kiện. Khi nói một số thuộc tập, ta cam kết rằng số ấy thỏa từng yêu cầu trong định nghĩa tập. Khi nói một phát biểu đúng với mọi số thực, ta cam kết rằng không có bất kỳ phản ví dụ nào trong miền đang xét. Khi nói có đúng sáu số nguyên, ta phải chứng minh vừa có sáu số được nhận, vừa không có số thứ bảy. Ba kiểu cam kết ấy có chung một yêu cầu: đọc chính xác phạm vi và dấu ở biên trước khi tính.
Đọc miền
Xác định biến thuộc số thực, số nguyên hay số tự nhiên. Một phép biến đổi đúng trên số thực chưa tự động giải quyết điều kiện nguyên.
Đọc dấu
Dấu nhỏ hơn và nhỏ hơn hoặc bằng chỉ khác một nét, nhưng có thể đổi hẳn số phần tử. Trên hình, chấm rỗng loại biên, chấm đặc nhận biên.
Đọc lượng từ
“Có ít nhất một” cần một nhân chứng. “Với mọi” cần lập luận bao phủ miền hoặc bị bác bỏ bởi một phản ví dụ.
Trong bài học này, hãy luôn viết một dòng diễn giải bằng lời trước phép tính đầu tiên. Chẳng hạn, giao của hai tập nghĩa là thỏa cả hai điều kiện, không phải thỏa một trong hai. Phần bù nghĩa là không thuộc tập đã cho nhưng vẫn thuộc tập nền. Một nghiệm nguyên nghĩa là nghiệm thật sự của phương trình và đồng thời là số nguyên; giá trị gần một số nguyên chưa đủ. Thói quen diễn giải ngắn này giúp tránh việc dùng đúng công thức cho sai yêu cầu.
Lộ trình đi từ ngôn ngữ logic sang tập hợp, rồi sang đếm điểm nguyên. Những bài đầu rèn cách đọc; những bài cuối đòi hỏi chứng minh tính đầy đủ. Đừng bỏ qua phần giải thích lựa chọn sai: mỗi lựa chọn sai chỉ ra một thói quen có thể làm hỏng bài tham số về sau. Sau mỗi mục, tự trả lời ba câu: điều kiện nào đang được dùng, điều kiện nào chưa được dùng, và kết quả có còn đúng tại hai đầu miền hay không.
02
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Mệnh đề và việc thay một giá trị vào biến
Câu hỏi, lời cảm thán và lời yêu cầu có chức năng giao tiếp khác với câu có giá trị đúng hoặc sai xác định.
Một mệnh đề là câu khẳng định có giá trị chân lý xác định. Ta có thể chưa biết câu ấy đúng hay sai, nhưng tiêu chuẩn kiểm tra vẫn rõ ràng. Câu hỏi đang yêu cầu thông tin; mệnh lệnh đang yêu cầu hành động; lời cảm thán thể hiện đánh giá của người nói. Trong phạm vi logic của bài học, các câu này không được dùng như mệnh đề. Không nên quyết định chỉ bằng dấu chấm câu: chức năng và nội dung mới là điều quyết định.
Đề bài gốc
Câu 1 · Nhận diện mệnh đề
Hỏi trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
A. Bạn bao nhiêu tuổi?
B. Nhìn bạn đáng yêu quá!
C. Các em tập trung nghe giảng!
D. Nước Việt Nam giáp nước Lào.
Lời giải từng bước
Lựa chọn D là câu khẳng định về quan hệ địa lý giữa hai nước, có giá trị chân lý xác định, nên là mệnh đề. Lựa chọn A là câu hỏi; lựa chọn B là câu cảm thán đánh giá; lựa chọn C là lời yêu cầu. Ba câu đó không phải mệnh đề trong cách phân loại đang dùng.
Ở câu này, nhiệm vụ là phân loại hình thức phát biểu có thể kiểm tra đúng hoặc sai, chứ không phải thực hiện một phép tính. Việc một câu là mệnh đề và việc mệnh đề ấy đúng là hai câu hỏi khác nhau. Một khẳng định sai vẫn là mệnh đề nếu nó có giá trị chân lý xác định.
Bẫy cần tránh
Đừng đồng nhất “mệnh đề” với “câu đúng”. Một câu sai nhưng có nội dung khẳng định rõ ràng vẫn là mệnh đề.
Mệnh đề chứa biến là một khuôn phát biểu. Trước khi cho giá trị của biến hoặc thêm lượng từ, khuôn đó chưa có một giá trị chân lý duy nhất. Khi thay một giá trị cụ thể, ta nhận được một mệnh đề và kiểm tra theo đúng phép toán được nêu. Với tính chia hết, hãy tính số bị chia trước, rồi kiểm tra thương có nguyên hay không. Không cần đoán qua hình thức của biểu thức.
Đề bài gốc
Câu 2 · Một nhân chứng đúng
Cho mệnh đề chứa biến : “ chia hết cho ”. Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Lời giải từng bước
Thay lần lượt các giá trị vào cùng một biểu thức, không thay đổi định nghĩa của .
Giá trị · Số cần xét · Chia hết cho ?
· · Có
· · Không
Chỉ là đúng; đáp án A. Để hiểu cấu trúc rộng hơn, điều kiện tương đương , nên . Vì , nhân hai vế với cho . Các giá trị nguyên đúng có dạng , với .
Bẫy cần tránh
Số lẻ chưa chắc chia hết cho chín. Tính chẵn lẻ là điều kiện yếu hơn tính chia hết đang được hỏi.
Cách giải trực tiếp bằng bảng thích hợp khi chỉ có vài lựa chọn. Cách đồng dư thích hợp khi phải mô tả tất cả giá trị nguyên. Hai cách trả lời cùng một câu, nhưng cung cấp mức thông tin khác nhau: bảng tìm lựa chọn đúng, còn đồng dư mô tả cả họ nghiệm. Hãy chọn mức lập luận đủ cho yêu cầu; khi đề hỏi “tất cả”, việc thử các lựa chọn hoặc thử một khoảng số nhỏ sẽ chưa đủ.
Tự kiểm 01
Câu nào là mệnh đề?
Tự kiểm 02
Với : “ chia hết cho ”, lựa chọn nào đúng?
03
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Phủ định lượng từ: đổi phạm vi và đổi điều kiện
Phủ định không phải tìm một phát biểu có vẻ trái ngược; nó phải đúng đúng lúc phát biểu ban đầu sai.
Với phát biểu tồn tại, “không có một phần tử nào thỏa điều kiện” nghĩa là mọi phần tử trong miền đều không thỏa điều kiện. Với phát biểu phổ quát, “không phải mọi phần tử đều thỏa điều kiện” nghĩa là có ít nhất một phần tử không thỏa. Miền xét phải giữ nguyên. Nếu đổi số thực sang số nguyên trong lúc phủ định, ta đã đổi câu hỏi. Nếu chỉ đổi dấu bất đẳng thức mà giữ lượng từ, ta cũng đã đổi sai cấu trúc.
Điều kiện gốc · Phủ định chính xác · Lý do tại biên
· · Dấu bằng thuộc điều kiện gốc, phải bị loại khỏi phủ định.
· · Dấu bằng không thuộc điều kiện gốc, phải thuộc phủ định.
· · Chia thành bằng và không bằng.
Đề bài gốc
Câu 3 · Không bỏ mất số hạng
Phủ định của mệnh đề: “ ” là mệnh đề:
A.
B.
C.
D.
Lời giải từng bước
Đổi “tồn tại” thành “với mọi”, giữ nguyên miền số thực và giữ nguyên biểu thức. Phủ định của dấu không lớn hơn là dấu lớn hơn nghiêm ngặt. Vì vậy đáp án C là phủ định chính xác.
Có thể kiểm tra giá trị chân lý độc lập bằng hoàn thành bình phương:
Mệnh đề gốc sai, còn phủ định đúng. Tuy nhiên phép hoàn thành bình phương là bước kiểm tra thêm; quy tắc phủ định đã đủ để chọn hình thức câu. Lựa chọn A đổi hệ số của số hạng bậc nhất. Lựa chọn B vẫn chỉ nói tồn tại. Lựa chọn D giữ nguyên điều kiện không lớn hơn.
Bẫy cần tránh
Lựa chọn A khác biểu thức gốc. Một câu đúng không nhất thiết là phủ định đúng về mặt logic của câu đã cho.
Đổi lượng từ và phủ định điều kiện cùng lúc; biểu thức và miền xét được giữ nguyên.
Một phản ví dụ bác bỏ câu phổ quát nhưng không bác bỏ câu tồn tại. Ngược lại, một nhân chứng chứng minh câu tồn tại nhưng không chứng minh câu phổ quát. Ví dụ, thay một số vào biểu thức và thấy kết quả dương chỉ chứng minh có giá trị cho kết quả dương. Muốn chứng minh mọi giá trị cho kết quả dương, cần một lập luận như bình phương luôn không âm. Đây là khác biệt giữa thử nghiệm và chứng minh, cũng là khác biệt sẽ xuất hiện khi ta thử tham số trong phòng thực hành ở cuối bài.
Tự kiểm 03
Phủ định của là gì?
04
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Kéo theo và mệnh đề đảo
Một định lí đi theo một chiều không tự động đi được theo chiều ngược lại.
Trong mệnh đề kéo theo, giả thiết chỉ là điều kiện đủ cho kết luận. Mệnh đề đảo đổi vị trí giả thiết và kết luận. Muốn khẳng định đảo đúng, cần một chứng minh riêng. Muốn khẳng định đảo sai, chỉ cần một trường hợp có kết luận của câu gốc nhưng không có giả thiết của câu gốc. Trường hợp ấy phải thỏa đầy đủ phần đứng trước của mệnh đề đảo; hình vẽ trông khác chưa phải là phản ví dụ hợp lệ.
Mệnh đề gốc: . Mệnh đề đảo: .
Đề bài gốc
Câu 4 · Đảo đúng hình thức, sai chân lý
Cho mệnh đề kéo theo : “Nếu tứ giác là hình chữ nhật thì tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm”. Thì mệnh đề đảo của nó là:
A. “Nếu tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm thì tứ giác là hình chữ nhật”. Đây là một mệnh đề đúng.
B. “Nếu tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm thì tứ giác là hình chữ nhật”. Đây là một mệnh đề sai.
C. “Nếu tứ giác là hình chữ nhật thì tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm”. Đây là một mệnh đề sai.
D. “Nếu tứ giác là hình chữ nhật thì tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm”. Đây là một mệnh đề đúng.
Lời giải từng bước
Câu đảo có giả thiết “hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm” và kết luận “là hình chữ nhật”. A và B cùng viết đúng hình thức đảo, nhưng nhận định chân lý khác nhau. C và D vẫn là câu gốc. Ta xét một hình bình hành không có góc vuông: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, nhưng hình không phải hình chữ nhật. Vậy đảo sai, đáp án B.
Một phản ví dụ tọa độ rõ ràng là . Trung điểm của hai đường chéo cùng bằng . Hai vectơ cạnh tại là và , có tích vô hướng , nên không vuông góc. Do đó tứ giác không phải hình chữ nhật.
Câu gốc vẫn đúng: mọi hình chữ nhật là hình bình hành nên hai đường chéo có chung trung điểm. Việc câu gốc đúng không cứu được câu đảo.
Bẫy cần tránh
Phải chọn cả câu đảo và nhận định đúng hoặc sai của câu đảo. Chỉ nhận ra thứ tự giả thiết chưa đủ.
Hình được dựng theo đúng tỉ lệ tọa độ của phản ví dụ; cạnh nghiêng không vuông góc với cạnh đáy.
Một công cụ gần với mệnh đề đảo nhưng khác bản chất là mệnh đề phản đảo. Phản đảo vừa đổi vị trí vừa phủ định hai vế, và tương đương với mệnh đề gốc. Chẳng hạn, nếu một số chia hết cho bốn thì nó chẵn; phản đảo nói nếu một số không chẵn thì nó không chia hết cho bốn. Còn đảo nói nếu một số chẵn thì nó chia hết cho bốn, điều này sai. Phân biệt ba câu giúp ta đọc định lí hình học và điều kiện số học mà không tự thêm kết luận.
Tự kiểm 04
Mệnh đề đảo của “Nếu chia hết cho thì chẵn” được đánh giá thế nào?
05
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Tập hợp: thuộc, chứa và các phép toán
Học cách đọc định nghĩa tập trước khi vẽ hình. Một tập chứa tập khác nếu nó chứa mọi phần tử của tập ấy.
Ký hiệu thuộc nối một phần tử với một tập. Ký hiệu tập con nối hai tập. Muốn chứng minh một tập là tập con của tập khác, ta chọn một phần tử bất kỳ của tập thứ nhất và chứng minh nó thuộc tập thứ hai. Với tập hữu hạn nhỏ, có thể kiểm tra từng phần tử. Chỉ kiểm tra một phần tử chung là chưa đủ, vì quan hệ chứa đòi hỏi không bỏ sót bất kỳ phần tử nào.
Đề bài gốc
Câu 5 · Tìm đủ hai nghiệm trước khi xét chứa
Cho tập hợp . Hỏi tập nào dưới đây chứa tập ?
A.
B.
C.
D.
Lời giải từng bước
Giải điều kiện xác định tập:
Vậy tập cần được chứa có hai phần tử, và . Tập thiếu ; tập thiếu ; tập thiếu . Tập có cả hai, dù còn có thêm . Đáp án C.
Phần tử thêm không làm hỏng quan hệ chứa. Câu hỏi không yêu cầu hai tập bằng nhau. Nếu yêu cầu bằng nhau, ta phải kiểm tra cả chiều chứa ngược lại; ở đây nên nhưng vẫn có .
Bẫy cần tránh
Bỏ nghiệm âm của phương trình bình phương khiến cả lựa chọn B lẫn C có vẻ phù hợp. Hãy tìm toàn bộ tập trước khi so sánh.
Giao là phần cùng thuộc; hợp là phần thuộc ít nhất một tập; hiệu theo thứ tự là phần thuộc tập đứng trước nhưng không thuộc tập đứng sau. Thứ tự trong hiệu quan trọng. Khi tập nền là số thực, phần bù gồm tất cả số thực nằm ngoài tập được xét. Ở mỗi phép toán, một số tại biên phải được kiểm tra bằng chính điều kiện thuộc, không thể chỉ nhìn màu của đoạn vẽ.
Phép toán · Điều kiện của một phần tử
· và
· hoặc
· và
Tự kiểm 05
Tập được chứa trong tập nào?
06
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Khoảng và đoạn: dấu ở đầu mút quyết định
Biến bất đẳng thức thành hình trên trục số, rồi quay lại kiểm tra hai đầu mút bằng thay trực tiếp.
Khoảng mở loại hai đầu mút, đoạn kín nhận hai đầu mút, khoảng nửa kín chỉ nhận một đầu. Với vô cực, không có một số thực ở vị trí đầu mút để được nhận, nên luôn dùng dấu ngoặc tròn. Một hình trục số tốt phải truyền đạt được cả vị trí các biên và tính nhận hay loại của từng biên. Vạch tô màu cho biết phần giữa; chấm đặc hay rỗng cho biết số nằm chính xác tại biên có thuộc tập hay không.
Đề bài gốc
Câu 6 · Hai điều kiện cùng đúng
Cho hai tập hợp , . Tập là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải từng bước
Từ điều kiện thứ nhất, , nên . Từ điều kiện thứ hai, , nên . Giao yêu cầu cả hai cùng đúng, tức . Vậy , đáp án A.