Toán · 03/06 · Tam giác, lượng giác và đo đạc
Tư duy có căn cứ · Từ ba cạnh đến hai góc ngắm: chọn đúng mô hình, tính chính xác và đọc kết quả có căn cứ.
LUKATO · MATHEMATICS STUDIO
TOÁN · TƯ DUY VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ · BÀI 03
Tam giác, lượng giác và đo đạc
Từ ba cạnh đến hai góc ngắm: chọn đúng mô hình, tính chính xác và đọc kết quả có căn cứ.
- Đọc dữ kiện
- Dựng mô hình
- Kiểm tra kết luận
01
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Từ một hình vẽ đến một lập luận có căn cứ
Đọc cạnh, đọc góc, chọn công thức và kiểm tra kết quả: bốn việc nhỏ quyết định toàn bộ bài toán.
Bài học này nối hình học tam giác với những tình huống đo đạc quen thuộc: xác định độ cao khi không thể leo lên vật, tìm khoảng cách giữa hai phương tiện cùng xuất phát và rút gọn một biểu thức lượng giác khi chỉ biết tỉ số. Các tình huống trông khác nhau nhưng đều có một bước chung: biến lời văn thành quan hệ giữa những đại lượng được định nghĩa rõ ràng. Bạn sẽ luyện cách chọn tam giác thật sự chứa dữ kiện, phân biệt góc trong với góc ngoài và chỉ làm tròn ở bước cuối.
Mục tiêu kiến thức là sử dụng định lý côsin, định lý sin, công thức Hê-rông và các hệ thức diện tích trong tam giác không suy biến. Mục tiêu tư duy là giải thích được vì sao một phép chia hợp lệ, vì sao một góc phải lấy bù và vì sao một giá trị gần đúng đủ để kết luận đúng hay sai. Mỗi lời giải cần có cả phép tính lẫn câu diễn giải. Một biểu thức đúng về đại số vẫn có thể sai trong bài toán nếu cạnh được đặt đối diện nhầm góc hoặc đơn vị đo chưa thống nhất.
Đọc cấu trúc
Một cạnh luôn được liên hệ với góc đối diện nó. Khi vẽ thêm đường cao, bạn tạo ra tam giác vuông mới nhưng không thay đổi vị trí các điểm của tam giác ban đầu.
Giữ độ chính xác
Giữ dạng căn hoặc biểu thức lượng giác trong các bước trung gian. Số thập phân dùng để đọc độ lớn và quyết định quy tắc làm tròn sau cùng.
Thử kết luận
Cạnh phải dương, góc trong phải thuộc miền cho phép và khoảng cách giữa hai điểm không thể vượt tổng hai quãng đường. Những kiểm tra này bắt lỗi trước khi chốt đáp án.
Lộ trình học gồm một tam giác biết ba cạnh, một mô hình đo cao, một phép rút gọn theo cotang và một bài chuyển động trên biển. Các bài chuyển giao đặt thêm câu hỏi về điều kiện, sai số và cách lựa chọn phép tính. Phần tự kiểm tra yêu cầu bạn chọn đáp án trước khi đọc giải thích. Hai phòng thí nghiệm cho phép đổi dữ kiện để quan sát quy luật; chúng giúp hình dung, còn phần chứng minh mới là căn cứ để kết luận cho mọi giá trị thỏa điều kiện.
02
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Ba cạnh đủ để dựng toàn bộ tam giác
Gọi tên cạnh và góc trước khi viết định lý côsin.
Với tam giác , quy ước , và . Chữ thường biểu thị cạnh đối diện đỉnh mang chữ hoa tương ứng. Vì thế góc ở nằm giữa hai cạnh và , còn cạnh đối diện nó là . Việc ghi một bảng nhỏ gồm “góc, hai cạnh kề, cạnh đối diện” thường nhanh hơn nhiều so với sửa một lời giải đã thay nhầm số.
Định lý côsin có thể hiểu như một phần mở rộng của định lý Pitago. Khi góc xen giữa là góc vuông, số hạng chứa côsin triệt tiêu. Khi góc xen giữa nhọn, cạnh đối diện nhỏ hơn cạnh huyền tương ứng của tam giác vuông có cùng hai cạnh kề. Khi góc xen giữa tù, côsin âm nên số hạng bị trừ trở thành một phần cộng thêm. Cách nhìn này giúp kiểm tra dấu của kết quả mà chưa cần bấm máy tính.
Ba độ dài dương chỉ tạo được tam giác khi mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại. Điều kiện này không phải một trang trí ở đầu bài: nó bảo đảm diện tích khác không, các góc trong được xác định và các công thức chứa diện tích ở mẫu có nghĩa. Nếu cạnh dài nhất bằng tổng hai cạnh còn lại thì các điểm thẳng hàng; không tồn tại một đường tròn nội tiếp có bán kính dương và công thức bán kính ngoại tiếp không thể áp dụng theo cách thông thường.
Khi đã biết ba cạnh, Hê-rông cho diện tích trực tiếp mà không cần tìm góc. Đặt nửa chu vi là . Mỗi thừa số dưới căn đều dương do bất đẳng thức tam giác. Bạn nên tính nửa chu vi trước, sau đó viết lần lượt các hiệu; cách tổ chức này hạn chế việc bỏ sót một cạnh hoặc nhầm chu vi thành nửa chu vi. Với số nguyên nhỏ, hãy phân tích tích dưới căn để giữ kết quả chính xác.
Có thể kiểm tra diện tích bằng một đường đi độc lập: dùng côsin tìm một góc, từ đó tính sin dương của góc trong, rồi dùng công thức nửa tích hai cạnh và sin góc xen giữa. Hai đường đi không được coi là hai lần bấm cùng một biểu thức; chúng phải khai thác hai cấu trúc khác nhau. Khi Hê-rông và công thức lượng giác cho cùng một dạng căn, bạn đã kiểm soát cả phần số học lẫn việc ghép cạnh với góc.
Tự kiểm 01
Trong tam giác , góc đối diện cạnh nào?
Tự kiểm 02
Ba độ dài nào tạo thành một tam giác không suy biến?
03
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Câu 15 · Diện tích, hai bán kính và một góc
Bốn mệnh đề cùng dựa trên một tam giác, nhưng cần bốn kiểm tra riêng.
Đề bài gốc
Câu 15 · Tam giác biết ba cạnh
Cho tam giác có ba cạnh . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
Ý · Mệnh đề cần xét
a · Diện tích bằng .
b · Bán kính đường tròn ngoại tiếp của là .
c · .
d · Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác là .
Lời giải từng bước
Ba cạnh thỏa bất đẳng thức tam giác vì cạnh lớn nhất nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại. Nửa chu vi và diện tích được tính chính xác:
Do đó ý a đúng. Với đường tròn ngoại tiếp, công thức tích ba cạnh bằng bốn lần diện tích nhân bán kính cho:
Ý b sai: giá trị đã cho lớn gấp bốn lần bán kính thực. Không nên thay số thập phân để so sánh hai biểu thức căn khi phép rút gọn phân số đã phân biệt chúng rõ ràng. Ở góc , hai cạnh kề là và , cạnh đối diện là .
Ý c sai. Cuối cùng, diện tích bằng nửa chu vi nhân bán kính nội tiếp, nên:
Ý d đúng. Dãy kết luận theo thứ tự là đúng, sai, sai, đúng. Các cạnh không kèm đơn vị trong đề, vì thế diện tích được hiểu theo đơn vị diện tích tương ứng và bán kính theo cùng đơn vị độ dài với các cạnh.
Bẫy cần tránh
Bán kính ngoại tiếp dùng tích ba cạnh chia cho bốn lần diện tích; bán kính nội tiếp dùng diện tích chia cho nửa chu vi. Đổi hai công thức cho nhau làm mất ý nghĩa hình học.
Một kiểm tra độc lập rất gọn là xuất phát từ kết quả côsin của góc ở . Vì đây là góc trong của tam giác, sin của nó dương. Dùng đồng nhất thức cơ bản rồi nhân với hai cạnh kề cho đúng diện tích đã tính bằng Hê-rông. Kiểm tra này còn cho thấy côsin nhỏ và dương tương ứng với một góc nhọn khá gần góc vuông; hình vẽ chính xác phải thể hiện đặc điểm ấy.
Nếu muốn dựng hình bằng tọa độ, đặt đáy ngang, lấy điểm đầu đáy làm gốc và chọn đỉnh phía trên đáy. Hai phương trình khoảng cách cho hoành độ và tung độ của đỉnh. Đây là cách tạo minh họa đúng tỉ lệ: vị trí đỉnh không được chọn chỉ vì trông cân đối. Tam giác này không cân, chân đường cao khá gần đầu trái của đáy; một hình đối xứng sẽ làm người học suy đoán sai về hai góc ở đáy.
Các điểm của tam giác và tâm ngoại tiếp được dựng từ tọa độ, cùng một tỉ lệ trên hai trục. Đoạn nét đứt là một bán kính, không phải đường cao.
Luyện chuyển giao 01
Tam giác có ba cạnh khác
Cho tam giác có ba cạnh . Tính diện tích, bán kính ngoại tiếp và bán kính nội tiếp.
Mở lời giải
Bất đẳng thức tam giác thỏa mãn. Tính nửa chu vi rồi dùng Hê-rông:
Có thể kiểm tra bằng đường cao: đường cao chia đáy dài sáu thành hai đoạn bằng nhau, mỗi đoạn dài ba, nên chiều cao bằng bốn. Diện tích nửa đáy nhân chiều cao cũng bằng mười hai. Đường kiểm tra này dùng tính cân của tam giác, không giả định nó là tam giác vuông.
04
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Vì sao có hai công thức bán kính?
Hiểu công thức giúp phát hiện nhầm lẫn trước khi tính.
Tâm nội tiếp cách đều ba cạnh. Nối tâm với ba đỉnh tạo ba tam giác có cùng chiều cao bằng bán kính nội tiếp.
Tâm đường tròn nội tiếp nằm trong tam giác và cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh. Nối tâm với ba đỉnh, ta chia tam giác lớn thành ba tam giác nhỏ. Mỗi tam giác nhỏ có đáy là một cạnh của tam giác ban đầu và chiều cao bằng bán kính nội tiếp. Cộng ba diện tích, bạn nhận ra ngay vì sao tổng các cạnh xuất hiện và vì sao phải dùng nửa chu vi. Cách chứng minh này không phụ thuộc tam giác nhọn hay tù.
Đường tròn ngoại tiếp đi qua ba đỉnh nên gắn với các góc nội tiếp. Định lý sin mở rộng cho biết tỉ số giữa một cạnh và sin góc đối diện luôn bằng đường kính. Ghép hệ thức ấy với công thức diện tích dùng hai cạnh và sin góc xen giữa, ta thu được công thức tích ba cạnh. Đây là lý do có hệ số bốn ở mẫu; bỏ hệ số ấy tương đương quên đồng thời hai lần lấy một nửa trong quá trình suy ra.
Bán kính nội tiếp và ngoại tiếp phục vụ hai loại câu hỏi khác nhau. Nếu bạn biết diện tích và chu vi, bán kính nội tiếp xuất hiện ngay. Nếu bạn biết một cạnh và góc đối diện hoặc biết cả ba cạnh cùng diện tích, bán kính ngoại tiếp dễ tính hơn. Việc lựa chọn công thức theo dữ kiện giúp giảm số bước trung gian; nó cũng tránh tính một góc gần đúng chỉ để đưa trở lại một biểu thức có thể giữ chính xác từ đầu.
Kiểm tra thứ nguyên là một công cụ đơn giản. Tích ba độ dài chia cho diện tích có đơn vị độ dài; diện tích chia cho nửa chu vi cũng có đơn vị độ dài. Nếu một biểu thức bán kính có đơn vị diện tích hoặc không có đơn vị trong một bài đo bằng mét, bạn cần xem lại phép biến đổi. Với dữ kiện thuần số không kèm đơn vị, suy luận thứ nguyên vẫn dùng được bằng cách tưởng tượng mọi cạnh cùng được nhân với một đơn vị độ dài chung.
Phóng to một tam giác theo cùng một tỉ lệ không đổi các góc. Các cạnh và mọi bán kính tăng theo tỉ lệ ấy, trong khi diện tích tăng theo bình phương tỉ lệ. Điều này giải thích vì sao một giá trị bán kính sai gấp bốn lần không thể được chữa bằng cách nói hình vẽ khác tỉ lệ: khi độ dài cạnh đã cố định, tỉ lệ hình không làm thay đổi bán kính thật. Hình chỉ biểu diễn dữ kiện; nó không tạo thêm một quyền sửa số tùy ý.
Luyện chuyển giao 02
Phóng to nhưng giữ nguyên hình dạng
Phóng to tam giác ở Câu 15 với hệ số . Tìm ba cạnh, diện tích và hai bán kính của tam giác mới.
Mở lời giải
Mọi cạnh nhân cùng hệ số, nên các cạnh mới là . Diện tích nhân bình phương hệ số:
Để kiểm tra, nửa chu vi mới bằng ; lấy diện tích mới chia cho nửa chu vi mới đúng bằng bán kính nội tiếp vừa tìm. Côsin mọi góc vẫn giữ nguyên vì cả tử và mẫu của công thức côsin đều nhân với bình phương cùng hệ số.
Tự kiểm 03
Diện tích và nửa chu vi đã biết. Bán kính nội tiếp là
Tự kiểm 04
Nếu mọi cạnh của tam giác tăng gấp ba, diện tích tăng gấp mấy lần?
05
Toán · Dữ kiện, lập luận, kiểm chứng
Đo chiều cao bằng hai góc ngắm
Một góc ngoài có thể là dữ kiện tốt, miễn bạn đưa nó về đúng tam giác.
Giả sử vật cần đo nằm tại và hình chiếu vuông góc xuống mặt đất là . Hai trạm và nằm trên cùng một đường thẳng ngang, theo thứ tự . Trạm gần vật hơn nhìn vật với góc nâng lớn hơn. Nếu gọi góc nâng ở trạm xa là và ở trạm gần là , cấu hình này yêu cầu . Bất đẳng thức góc là một phần của mô hình, không chỉ là thông tin dành cho máy tính.
Ở tam giác , tia hướng ngược với tia . Vì vậy góc nâng đo với phương ngang hướng về vật không phải góc trong tại . Hai góc ấy bù nhau. Góc trong tại trùng với góc nâng ở trạm xa. Từ tổng ba góc trong, góc ở đỉnh vật bằng hiệu hai góc nâng. Việc xác định góc trước khi dùng định lý sin là bước quan trọng nhất của dạng toán này.
Cạnh đáy giữa hai trạm đối diện góc nhỏ ở đỉnh vật. Khi hai góc nâng gần nhau, góc ở đỉnh nhỏ; định lý sin khi đó có thể cho các cạnh ngắm rất lớn so với khoảng cách giữa hai trạm. Đây là hiện tượng hình học tự nhiên: vật ở xa làm hai đường ngắm gần song song. Một kết quả chiều cao lớn hơn nhiều lần khoảng cách hai trạm không tự động là sai, nhưng cần kiểm tra điều kiện và độ chính xác phép đo góc.
Một cách khác chỉ dùng hai tam giác vuông. Gọi khoảng cách từ trạm gần đến chân vật là và khoảng cách hai trạm là . Đường cao chung được biểu diễn bằng tang của mỗi góc nâng. Trừ các quan hệ tương ứng hoặc giải hệ hai phương trình, bạn tìm được chiều cao mà không cần tính góc trong của tam giác lớn. Hai cách giải nên cho cùng biểu thức, nhưng cách dùng tang thường giúp đọc khoảng cách ngang trực tiếp.
Mẫu số dương vì tang tăng trên khoảng góc nhọn và góc ở trạm gần lớn hơn. Đổi thứ tự hai góc mà vẫn giữ sơ đồ sẽ cho khoảng cách âm, báo rằng bạn đã gán nhầm trạm. Nếu hai góc bằng nhau trong cấu hình này và hai trạm khác nhau, hệ phương trình không thể có chiều cao dương hữu hạn. Không nên dùng giá trị rất nhỏ ở mẫu rồi coi kết quả là một chiều cao có độ chính xác tốt: mô hình gần suy biến nhạy với sai số góc.
Thứ tự điểm trên mặt đất là trạm xa, trạm gần rồi chân đường cao. Độ dài và độ cao trong hình dùng chung một tỉ lệ; khoảng cách hai trạm được ghi theo dữ kiện lời văn.