TOÁN 10 · BẤT PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ① — Miền nghiệm là nửa mặt phẳng, tối ưu nằm ở đỉnh
Chuyên đề Toán 10 (bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn): nửa mặt phẳng và phép thử điểm, biên liền và đứt, hệ = giao các nửa mặt phẳng…
[TOÁN 10 · BẤT PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN ①] · THPT AI LUKATO · BÀI KHÁI NIỆM
Miền nghiệm là nửa mặt phẳng, tối ưu nằm ở đỉnh
Biên liền và đứt, phép thử điểm, giao các nửa mặt phẳng, đường mức và mô hình hóa tài nguyên
Một bất phương trình hai ẩn trông như một phép so sánh, nhưng thật ra nó tô sáng một phần của mặt phẳng. Hệ nhiều bất phương trình chỉ giữ lại phần mà tất cả cùng sáng. Rồi một câu hỏi rất thực tế xuất hiện: trong phần ấy, điểm nào cho lãi lớn nhất hoặc chi phí nhỏ nhất, và vì sao điểm ấy luôn nằm ở một đỉnh? Bài này đi từ trực giác đến lí do, bằng hình và ba phòng thí nghiệm. Bài không giải đề; mỗi mục có một câu "em thử xem". Mọi tình huống và con số trong bài đều là hư cấu.
11 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 3 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Từ một nửa mặt phẳng đến một đỉnh
Bài có một sợi chỉ duy nhất: nửa mặt phẳng → giao các nửa mặt phẳng → đỉnh → quét đường mức . Mỗi mắt xích trả lời một câu hỏi: bất phương trình nói về phần nào của mặt phẳng; nhiều bất phương trình cùng lúc còn lại phần nào; phần ấy có những góc nhọn nào; và vì sao muốn tìm lớn nhất hay nhỏ nhất thì chỉ cần nhìn vào các góc.
Mục 1 · một bất phương trình Phép thử điểm Mục 2 · hệ và đỉnh Mục 3 · đường mức
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ bài ①: ba bước (vẽ biên, thử điểm, giao các miền) dẫn tới đường mức; mục 4 và mục 5 áp dụng vào mô hình hóa và các tình huống đặc biệt.
0.1 Ba bước dùng xuyên suốt
- Vẽ đường biên và chọn nét. Thay dấu bất đẳng thức bằng dấu bằng để được đường thẳng ax + by = c. Dấu ≤ hoặc ≥ thì biên vẽ nét liền (biên thuộc miền); dấu < hoặc > thì biên vẽ nét đứt (biên không thuộc miền).
- Thử một điểm để chọn phía. Lấy một điểm không nằm trên biên (thường là O), thay vào bất phương trình. Đúng thì miền nằm phía điểm ấy, sai thì miền nằm phía còn lại.
- Giao các miền, tìm đỉnh. Với một hệ, miền nghiệm là phần chung của mọi nửa mặt phẳng. Đỉnh là giao điểm của hai biên mà còn thỏa mọi bất phương trình khác.
Sau ba bước ấy ta có một đa giác. Phần còn lại của bài (mục 3 trở đi) hỏi: trên đa giác ấy, hàm F = px + qy lớn nhất ở đâu?
0.2 Tình huống xuyên suốt: xưởng hộp quà hư cấu
Một xưởng làm hai loại hộp quà A và B. Mỗi ngày xưởng làm x hộp A và y hộp B. Ba nguồn lực bị giới hạn: vật liệu, giờ máy và giờ thủ công. Lãi mỗi hộp A là 30 nghìn đồng, mỗi hộp B là 20 nghìn đồng. Bảng dưới đọc ngang là "một hộp dùng bao nhiêu", đọc dọc là "mỗi ngày có bao nhiêu".
Nguồn lực (hư cấu) · Một hộp A dùng · Một hộp B dùng · Có mỗi ngày · Bất phương trình
Vật liệu · 1 đơn vị · 1 đơn vị · 10 đơn vị · x + y ≤ 10
Giờ máy · 2 giờ · 1 giờ · 16 giờ · 2x + y ≤ 16
Giờ thủ công · 1 giờ · 3 giờ · 24 giờ · x + 3y ≤ 24
Không âm · số hộp không thể âm · x ≥ 0, y ≥ 0
Vuốt ngang để xem hết bảng
Năm bất phương trình ấy tạo thành hệ P . Mục tiêu là lãi F = 30x + 20y (nghìn đồng mỗi ngày) lớn nhất. Hai tình huống khác sẽ xuất hiện sau: hệ Q (bài toán chi phí nhỏ nhất, mục 4) và hệ R (bẫy nghiệm nguyên, mục 5).
0.3 Bảng kí hiệu
Kí hiệu · Ý nghĩa · Ghi chú
ax + by ≤ c · Bất phương trình bậc nhất hai ẩn · a, b không đồng thời bằng 0
M(x 0 ; y 0 ) · Điểm có tọa độ x 0 , y 0 ; cũng là một nghiệm nếu thỏa bất phương trình · Tọa độ viết với dấu chấm phẩy
L(x; y) = ax + by − c · "Thước đo phía": bằng 0 trên biên, đổi dấu khi qua biên · Mục 1
(a; b) · Chỉ về phía ax + by tăng · Không phải một điểm của miền
F = px + qy · Hàm mục tiêu (lãi hoặc chi phí) · Mục 3
px + qy = k · Đường mức: mọi điểm cho F = k · Tăng k thì đường mức tịnh tiến theo (p; q)
Đỉnh · Giao điểm của hai biên thỏa mọi bất phương trình còn lại · Mục 2
Vuốt ngang để xem hết bảng
Về số liệu. Mọi tình huống và con số trong bài (xưởng, hộp quà, giờ máy, chế độ bổ sung, các đỉnh) đều là hư cấu, chỉ để hiểu cơ chế; các giá trị đã được kiểm lại bằng chương trình độc lập. Các hình tọa độ được vẽ đúng tỉ lệ từ chính các số ấy.
MỤC 1 · MỘT BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Một bất phương trình hai ẩn tô sáng một nửa mặt phẳng
Phương trình ax + by = c cho một đường thẳng. Đổi dấu bằng thành dấu bất đẳng thức, ta không còn một đường mà là một vùng. Điều đáng hỏi là vì sao vùng ấy luôn là đúng một nửa mặt phẳng, và làm sao biết nửa nào mà không phải thử từng điểm.
1.1 Nghiệm và miền nghiệm
Xét bất phương trình ax + by ≤ c với a, b không đồng thời bằng 0. Một cặp số (x 0 ; y 0 ) là nghiệm nếu thay vào thì bất đẳng thức đúng. Mỗi nghiệm là một điểm M(x 0 ; y 0 ) của mặt phẳng tọa độ; tập mọi điểm như vậy là miền nghiệm . Nếu thay bằng ≥, < hoặc > thì cách nói không đổi.
Với phương trình, nghiệm nằm trên một đường. Với bất phương trình, nghiệm lấp đầy một vùng có diện tích. Vì sao vùng ấy gọn gàng đến vậy là nhờ ý kế tiếp.
1.2 Thước đo phía: L(x; y) = ax + by − c hư cấu
Đặt L(x; y) = ax + by − c . Khi đó "ax + by ≤ c" chính là "L ≤ 0". Trên đường biên ax + by = c thì L = 0. Còn hai phía của biên thì sao? Hãy đi từ một điểm D(x D ; y D ) nằm trên biên theo hướng của vectơ (a; b) một đoạn t lần:
L(D + t·(a; b)) = a(x D + ta) + b(y D + tb) − c = L(D) + t(a² + b²) = t(a² + b²) vì L(D) = 0 và a² + b² > 0 (a, b không cùng bằng 0)
Kết quả này nói ba điều. Thứ nhất, đi theo (a; b) (t > 0) thì L dương; đi ngược lại (t < 0) thì L âm. Thứ hai, L là hàm bậc nhất theo t nên chỉ đổi dấu khi đi qua giá trị 0, tức khi cắt biên; vì vậy biên chia mặt phẳng thành hai phía : phía L < 0 và phía L > 0, mỗi phía giữ nguyên một dấu. Thứ ba, (a; b) luôn chỉ về phía ax + by tăng , nên miền của "ax + by ≤ c" nằm ở phía ngược hướng (a; b), còn miền của "ax + by ≥ c" nằm ở phía cùng hướng (a; b).
Ví dụ (hư cấu): 2x + y ≤ 6, tức L = 2x + y − 6 và (a; b) = (2; 1). Điểm D(3; 0) nằm trên biên. Đi 1 bước theo (2; 1) tới D′(5; 1): L = 10 + 1 − 6 = 5 = 1·(4 + 1). Hình 2 cho thấy bốn điểm thử và mũi tên (2; 1).
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Miền nghiệm của 2x + y ≤ 6 là nửa mặt phẳng tô xanh; mũi tên (2; 1) chỉ về phía L tăng, tức phía KHÔNG thuộc miền.
1.3 Biên liền và biên đứt
Điểm nằm trên biên có L = 0, nên nó thỏa "L ≤ 0" nhưng không thỏa "L < 0". Vì thế:
Dấu ≤ hoặc ≥ (có dấu bằng). Biên vẽ nét liền . Các điểm trên biên thuộc miền nghiệm.
Dấu < hoặc > (chặt). Biên vẽ nét đứt . Các điểm trên biên KHÔNG thuộc miền nghiệm.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Cùng một đường biên 2x + y = 6, nhưng điểm (3; 0) thuộc miền của "≤" và bị loại khỏi miền của "<".
Điểm thử (hư cấu) · 2x + y · Thỏa 2x + y ≤ 6? · Thỏa 2x + y < 6?
(1; 1) trong miền · 3 · có · có
(3; 0) trên biên · 6 · có (6 ≤ 6) · không (6 < 6 sai)
(4; 0) phía kia · 8 · không · không
Chỉ các điểm trên biên làm hai cột khác nhau. Hai miền "≤" và "<" có cùng phần bên trong và chỉ khác ở đường biên.
1.4 Phép thử điểm: một điểm quyết định cả phía
Vì L giữ nguyên dấu trên mỗi phía của biên, chỉ cần thử một điểm không nằm trên biên là biết cả phía ấy có thuộc miền hay không. Lấy O(0; 0) cho dễ tính, nhưng chỉ khi biên không đi qua O :
- Biên không qua O (c ≠ 0). Ví dụ x + 2y ≥ 4: thử O được 0 ≥ 4, sai, nên miền ở phía không chứa O.
- Biên qua O (c = 0). Ví dụ x − y ≥ 0: thử O được 0 − 0 ≥ 0, đúng, nhưng O nằm trên biên nên phép thử không cho biết phía nào. Phải thử điểm khác, chẳng hạn (1; 0): 1 ≥ 0 đúng, nên miền nằm phía có điểm (1; 0), tức phía dưới đường y = x.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Hai tình huống của phép thử điểm: biên không qua O (thử O được) và biên qua O (O nằm trên biên, phải thử điểm khác).
PHÒNG 1 Nửa mặt phẳng và phép thử điểm
Chọn a, b, c và dấu để dựng bất phương trình ax + by <dấu> c (số hư cấu). Rồi kéo điểm thử M(x 0 ; y 0 ) và xem giá trị ax 0 + by 0 − c đổi dấu thế nào khi M băng qua biên. Ba nút "Ví dụ" đặt sẵn ba tình huống của bài.
Hệ số a
Hệ số b
Vế phải c
Dấu
Điểm thử x 0
Điểm thử y 0
Ví dụ
Bất phương trình
Đường biên
Điểm thử
Thay vào
Giá trị L = ax 0 + by 0 − c
Kết luận cho M
Thử gốc O
Phía của miền so với mũi tên (a; b)
Chốt ý mục 1: L = ax + by − c đổi dấu khi qua biên; miền ≤ ở phía ngược (a; b) ≤ hoặc ≥: biên liền, thuộc miền · < hoặc >: biên đứt, không thuộc miền · biên qua O thì không thử O
với x + 2y > 4 (hư cấu), biên vẽ nét gì và miền có chứa O không?
Gợi ý: nhìn dấu để chọn nét, rồi thay O(0; 0) vào.
Giải thích. Dấu > là dấu chặt nên biên x + 2y = 4 vẽ nét đứt và các điểm trên biên bị loại. Thử O: 0 + 0 = 0 > 4 sai, nên miền không chứa O mà nằm phía kia của biên, cùng hướng với mũi tên (1; 2).
MỤC 2 · HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Hệ là phần chung của các nửa mặt phẳng, và đỉnh là góc của phần chung ấy
Một hệ bất phương trình đòi hỏi các bất phương trình đúng cùng lúc . Mỗi bất phương trình tô sáng một nửa mặt phẳng; chỉ chỗ nào mọi lớp tô đều phủ tới mới là miền nghiệm. Đó là phép giao , không phải phép hợp.
2.1 Giao chứ không phải hợp hư cấu
Hệ P của xưởng hộp quà có năm bất phương trình. Hình 5 thêm từng bất phương trình một. Mỗi lần thêm, miền chỉ có thể nhỏ lại hoặc giữ nguyên , không bao giờ lớn ra, vì điểm muốn ở lại miền phải qua thêm một phép thử nữa.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Dựng miền nghiệm của hệ P: bắt đầu từ góc phần tư x ≥ 0, y ≥ 0, rồi lần lượt cắt bằng x + y ≤ 10, 2x + y ≤ 16 và x + 3y ≤ 24 (hư cấu).
Miền thu được là một đa giác lồi (ở đây là ngũ giác). "Lồi" nghĩa là nối hai điểm bất kì của miền thì cả đoạn thẳng vẫn nằm trong miền. Lí do đơn giản: nếu M và N cùng thỏa L ≤ 0 thì điểm T = tM + (1 − t)N (0 ≤ t ≤ 1) có
L(T) = t·L(M) + (1 − t)·L(N) ≤ 0 vì L là hàm bậc nhất nên "bảo toàn" phép trộn; tổng của hai số không dương với trọng số không âm vẫn không dương
Mỗi nửa mặt phẳng lồi, và giao của các tập lồi cũng lồi. Tính lồi sẽ là chìa khóa của mục 3.
2.2 Đỉnh: giao của hai biên và còn thỏa mọi bất phương trình khác
Đỉnh của miền là chỗ hai cạnh gặp nhau, nên nó nằm trên hai đường biên. Để tìm đỉnh, ta giải hệ hai phương trình rồi phải thử nghiệm vào tất cả bất phương trình còn lại. Ví dụ (hư cấu): giao của x + y = 10 và 2x + y = 16 là (6; 4); thử tiếp x + 3y = 6 + 12 = 18 ≤ 24, x ≥ 0 và y ≥ 0 đều đúng, nên (6; 4) là đỉnh.
Bước thử là bắt buộc. Năm đường biên của hệ P cắt nhau từng đôi: chọn 2 trong 5 đường được 10 cách, tức 10 giao điểm, nhưng chỉ 5 là đỉnh. Chẳng hạn 2x + y = 16 và x + 3y = 24 cắt nhau tại (4,8; 6,4); điểm này có x + y = 11,2 > 10 nên vi phạm bất phương trình vật liệu và bị loại.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 6. Mười giao điểm của năm biên hệ P: năm điểm là đỉnh thật (chấm xanh), năm điểm bị loại (dấu X đỏ) vì vi phạm một bất phương trình khác.
Lưu ý về dấu chặt: nếu một bất phương trình dùng < hoặc > thì biên của nó là nét đứt và không thuộc miền, nên giao điểm nằm trên biên ấy không thuộc miền nghiệm . Khi đó "đỉnh" chỉ còn là góc của hình, không phải một điểm nghiệm.
Quy tắc tìm đỉnh. (1) Chọn hai biên, giải hệ hai phương trình để được giao điểm. (2) Thay giao điểm vào mọi bất phương trình còn lại. (3) Chỉ khi tất cả đều đúng thì đó mới là đỉnh.
2.3 Hai điều có thể xảy ra với miền: rỗng hoặc không bị chặn
Không phải hệ nào cũng cho đa giác. Hệ x + y ≤ 2 và x + y ≥ 5 (hư cấu) có hai biên song song nằm ở hai phía ngược nhau, nên không điểm nào thỏa cả hai: miền rỗng , hệ vô nghiệm. Hệ 2x + y ≥ 8, x + 2y ≥ 7, x ≥ 0, y ≥ 0 cho miền không bị chặn : nó có đỉnh nhưng mở ra vô hạn. Hai trường hợp này được xét kĩ ở mục 5.
Phòng thí nghiệm 2 cho em tự bật, tắt từng bất phương trình để thấy miền co lại, và thấy ngay giao điểm nào là đỉnh, giao điểm nào bị loại.
PHÒNG 2 Từ hệ bất phương trình đến đa giác
Chọn một hệ (số hư cấu), rồi bấm vào từng ô để bật hoặc tắt bất phương trình. Hình vẽ miền và mọi giao điểm hai biên: chấm xanh là đỉnh, dấu X đỏ là giao điểm bị loại. Bảng bên dưới giải thích vì sao.
Hệ
Số bất phương trình bật
Hình dạng miền
Diện tích miền
Giao điểm hai biên
Các đỉnh
Cặp biên · Giao điểm · Kết luận
Vuốt ngang để xem hết bảng
Chốt ý mục 2: hệ = GIAO các nửa mặt phẳng; đỉnh = giao hai biên + thỏa mọi bất phương trình còn lại hệ P: 10 giao điểm, 5 đỉnh, diện tích 43 · hệ rỗng và hệ không bị chặn là hai kết cục khác của phép giao
với hệ x + y ≤ 6, 2x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0 (hư cấu), giao của 2x + y = 8 và x = 0 có là đỉnh không?
Gợi ý: tìm giao điểm rồi thử vào bất phương trình x + y ≤ 6.
Giải thích. Giao điểm là (0; 8). Thử x + y = 0 + 8 = 8 > 6, vi phạm, nên (0; 8) bị loại , không phải đỉnh. Trái lại, giao của x + y = 6 và x = 0 là (0; 6): 2·0 + 6 = 6 ≤ 8 đúng, và y ≥ 0 đúng, nên (0; 6) là đỉnh.