TOÁN 10 · MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP ③ — Phủ định đúng cách và những cái bẫy của phép toán tập hợp
Chuyên đề Toán 10 (mệnh đề và tập hợp): mệnh đề chứa biến và lượng từ ∀ ∃, phủ định đổi ∀↔∃ và đổi cả tính chất, mệnh đề kéo theo và phủ định của nó, điều…
[TOÁN 10 · MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP ③] · THPT AI LUKATO · BÀI KHÁI NIỆM
Phủ định đúng cách và những cái bẫy của phép toán tập hợp
Lượng từ ∀ ∃, kéo theo, điều kiện cần và đủ, giao – hợp – hiệu – phần bù, biểu đồ Venn, khoảng và đầu mút
Chương Mệnh đề và tập hợp mất điểm vì một thói quen: đoán thay vì kiểm tra. Phủ định sai vì viết "ý ngược lại" cho nhanh; tính tập hợp sai vì quên một đầu mút hoặc đếm trùng một miền. Bài này đổi thói quen ấy: mỗi bước bác ∀ hay khẳng định ∃ chỉ cần MỘT phần tử (một phản ví dụ hay một nhân chứng), còn mỗi đầu mút của khoảng chỉ cần hai câu hỏi "thuộc không". Bài không giải đề; mỗi mục có sơ đồ, phòng thí nghiệm và một câu "em thử xem". Mọi tình huống và con số trong bài đều là hư cấu.
11 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 3 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Đừng phủ định bằng cảm giác
Bài ① cho em một công cụ về bất phương trình hai ẩn, bài ② về hệ thức lượng. Bài ③ quay về nền móng của mọi chứng minh: mệnh đề và tập hợp . Hai nửa này là một: "∀" và "∃" nói về các phần tử, "∩" và "∪" nói về các tập chứa chúng, và câu "nếu P thì Q" chính là lời nói rằng một tập nằm trong tập kia.
Ba câu hỏi trước khi phủ định Phần mệnh đề (mục 1–3) Phần tập hợp (mục 4–5) Sợi chỉ xuyên suốt
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ bài ③: ba câu hỏi đặt ra trước khi phủ định, rồi năm mục đi từ lượng từ đến đầu mút của khoảng.
0.1 Ba câu hỏi trước khi phủ định
Trước khi viết "phủ định của …", em hãy hỏi ba câu, theo thứ tự:
Câu 1. Có lượng từ không? "Mọi", "tất cả", "với mọi", "bất kì" là ∀. "Tồn tại", "có ít nhất một", "có" là ∃. Nếu có thì phải đổi lượng từ : ∀ thành ∃, ∃ thành ∀.
Câu 2. Có "nếu … thì" không? Nếu có, mệnh đề dạng P ⇒ Q, và phủ định của nó là "P và không Q" chứ không phải một câu "nếu … thì" khác.
Câu 3. Tính chất cuối cùng là gì? Phủ định chính tính chất ấy: "≥" thành "<", "=" thành "≠", "chia hết" thành "không chia hết", "hoặc" thành "và … không".
Ví dụ (hư cấu): "Mọi học sinh lớp 10A đều có điểm ≥ 5". Câu 1: có "mọi", nên đổi thành "tồn tại". Câu 2: không có kéo theo. Câu 3: tính chất "điểm ≥ 5" đổi thành "điểm < 5". Kết quả: "Tồn tại một học sinh lớp 10A có điểm < 5" . Chú ý: không phải "mọi học sinh đều có điểm < 5".
0.2 Bảng kí hiệu dùng trong bài
Kí hiệu · Đọc là · Ví dụ ngắn hư cấu
∀ · với mọi · ∀n ∈ U: n < 13 (đúng)
∃ · tồn tại, có ít nhất một · ∃n ∈ U: n chia hết cho 6 (đúng, n = 6)
¬P · phủ định của P (sách giáo khoa viết P có gạch ngang trên đầu: P ) · P: "n chẵn"; ¬P: "n không chẵn"
P ⇒ Q · P kéo theo Q; nếu P thì Q · 6 | n ⇒ 3 | n
P ⇔ Q · P tương đương Q; P khi và chỉ khi Q · 6 | n ⇔ (2 | n và 3 | n)
∧, ∨ · và; hoặc (hoặc có thể cả hai) · P ∧ ¬Q; ¬P ∨ ¬Q
∈, ∉ · thuộc; không thuộc · 6 ∈ A; 5 ∉ A
A ⊂ B · A là tập con của B: mọi phần tử của A đều thuộc B · {6; 12} ⊂ {3; 6; 9; 12}
A ∩ B, A ∪ B · giao; hợp · {2; 4; 6} ∩ {3; 6} = {6}
A \ B · hiệu: phần tử thuộc A mà không thuộc B · {2; 4; 6} \ {3; 6} = {2; 4}
C E A · phần bù của A trong E (A ⊂ E) · C U {1; 2; 3} trong U = {1; 2; 3; 4} là {4}
∅ · tập rỗng, không có phần tử nào · (1; 1) = ∅
Vuốt ngang để xem hết bảng
Dấu câu theo sách giáo khoa Việt Nam. Các phần tử của một tập hợp cách nhau bằng dấu chấm phẩy: A = {2; 4; 6}. Tọa độ viết M(x; y) và khoảng viết (a; b) cũng dùng dấu chấm phẩy, vì dấu phẩy dành cho số thập phân (1,5). Trong bài, chữ U là vũ trụ hữu hạn {1; 2; …; 12}, còn E là tập nền nói chung.
0.3 Dữ kiện dùng xuyên suốt hư cấu
Vũ trụ hữu hạn U = {1; 2; …; 12}
Lớp học (mục 4) 40 em; cờ 24, vẽ 18, cả hai 9
Ba nhóm (mục 4) |A| = 20, |B| = 16, |C| = 14
Khoảng (mục 5) A = [−2; 5), B = (1; 7]
Mọi nhân vật, lớp học và con số trong bài là hư cấu, được tự soạn cho bài này và kiểm lại bằng máy tính; chúng chỉ dùng để làm rõ cơ chế.
MỤC 1 · MỆNH ĐỀ VÀ LƯỢNG TỪ
Câu chứa biến chỉ thành mệnh đề khi ta nói rõ "mọi" hay "có"
Để phủ định đúng, trước hết phải hiểu một mệnh đề có lượng từ đúng hay sai theo cách nào. Mỗi lượng từ có một chiều chỉ cần MỘT phần tử (một phản ví dụ bác ∀, một nhân chứng khẳng định ∃) và một chiều phải kiểm hết.
1.1 Mệnh đề chứa biến và hai cách biến nó thành mệnh đề
Mệnh đề là câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai (không thể vừa đúng vừa sai). Câu "n là số chẵn" chưa phải mệnh đề: với n = 6 thì đúng, với n = 7 thì sai. Ta gọi nó là mệnh đề chứa biến P(n). Có hai cách biến P(n) thành mệnh đề:
Cách 1. Gán giá trị cụ thể cho biến: P(6) đúng, P(7) sai.
Cách 2. Gắn lượng từ cho biến: nói rõ n chạy trong tập U nào và là "với mọi n" hay "tồn tại n".
∀n ∈ U: P(n) và ∃n ∈ U: P(n) "với mọi n thuộc U, P(n) đúng" và "có ít nhất một n thuộc U để P(n) đúng"
Tập U gọi là vũ trụ của biến. Đổi vũ trụ có thể đổi đúng thành sai: "∀n: n < 13" đúng trên U = {1; …; 12} nhưng sai trên ℕ.
1.2 Sáu tính chất trên U = {1; 2; …; 12} hư cấu
Với mỗi tính chất P, ta kiểm cả 12 số. Cột "phản ví dụ" là các số làm P sai ; cột "nhân chứng" là các số làm P đúng .
Tính chất P(n) · Nhân chứng (P đúng) · Phản ví dụ (P sai) · ∀n: P(n) · ∃n: P(n)
n chẵn · 2; 4; 6; 8; 10; 12 · 1; 3; 5; 7; 9; 11 · SAI · ĐÚNG
n lớn hơn 5 · 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12 · 1; 2; 3; 4; 5 · SAI · ĐÚNG
n chia hết cho 3 · 3; 6; 9; 12 · 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11 · SAI · ĐÚNG
n nguyên tố · 2; 3; 5; 7; 11 · 1; 4; 6; 8; 9; 10; 12 · SAI · ĐÚNG
n nhỏ hơn 13 · 1; 2; …; 12 (cả 12 số) · không có · ĐÚNG · ĐÚNG
n chia hết cho 6 · 6; 12 · 1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11 · SAI · ĐÚNG
Vuốt ngang để xem hết bảng
Hai điều đáng nhìn kỹ. Một: ∀ chỉ đúng với "n nhỏ hơn 13", tức là chỉ khi cột phản ví dụ trống . Hai: ∃ đúng với cả sáu tính chất, tức là chỉ cần cột nhân chứng không trống . Số 1 không phải số nguyên tố, nên nó nằm ở cột phản ví dụ của "n nguyên tố".
1.3 Kiểm hết hay một ví dụ? Hữu hạn và vô hạn
Trên vũ trụ hữu hạn như U, ta có thể kiểm hết 12 số nên kết luận nào cũng chắc chắn. Trên vũ trụ vô hạn như ℕ, không thể kiểm hết, nên mỗi lượng từ có một chiều chỉ cần MỘT phần tử và một chiều phải chứng minh tổng quát:
Muốn chứng tỏ · Cần làm gì
∀ sai · Chỉ cần một phản ví dụ
∃ đúng · Chỉ cần một nhân chứng (một ví dụ)
∀ đúng · Phải chứng minh cho mọi n; thử nhiều giá trị chưa đủ
∃ sai · Phải chứng minh rằng mọi n đều không thỏa (chính là ∀ đúng cho phủ định)
Vuốt ngang để xem hết bảng
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Bốn ô lượng từ cho cùng biểu thức n² + n + 1 trên ℕ (hư cấu): hai ô cần một phần tử, hai ô cần chứng minh tổng quát.
Ví dụ cho ô "∀ đúng". Xét n² + n + 1 với n = 0; 1; …; 9 (số liệu tự tính):
n · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9
n² + n + 1 · 1 · 3 · 7 · 13 · 21 · 31 · 43 · 57 · 73 · 91
số dư khi chia cho 5 · 1 · 3 · 2 · 3 · 1 · 1 · 3 · 2 · 3 · 1
Vuốt ngang để xem hết bảng
Mười giá trị không có số dư 0, nhưng mười lần thử chưa phải chứng minh . Chứng minh nằm ở chỗ khác: (n + 5)² + (n + 5) + 1 = (n² + n + 1) + 5(2n + 6), nên số dư theo 5 lặp lại sau mỗi 5 bước . Chỉ cần kiểm n = 0; 1; 2; 3; 4, và năm số dư ấy (1; 3; 2; 3; 1) đều khác 0. Vậy "∀n ∈ ℕ: n² + n + 1 không chia hết cho 5" ĐÚNG , còn phủ định của nó, "∃n ∈ ℕ: n² + n + 1 chia hết cho 5", SAI .
Với 3 thay cho 5 thì hoàn toàn khác: n = 1 cho n² + n + 1 = 3, chia hết cho 3, nên "∃n: 3 | n² + n + 1" đúng chỉ nhờ một nhân chứng; còn n = 0 cho giá trị 1, một phản ví dụ đủ để "∀n: 3 | n² + n + 1" sai.
Chốt ý mục 1: một phản ví dụ bác ∀; một nhân chứng khẳng định ∃ ∀ đúng và ∃ sai đòi hỏi kiểm hết (vũ trụ hữu hạn) hoặc chứng minh tổng quát (vũ trụ vô hạn)
"Mọi số nguyên tố trong U đều lẻ" đúng hay sai? Cần bao nhiêu phần tử để kết luận?
Hãy nhớ danh sách số nguyên tố trong U ở bảng 1.2 trước khi mở.
Giải thích. Các số nguyên tố trong U là 2; 3; 5; 7; 11. Số 2 là số nguyên tố chẵn, nên nó là một phản ví dụ và mệnh đề SAI. Chỉ cần đúng một phần tử (n = 2) là kết luận được, không cần xét tiếp 3; 5; 7; 11.
MỤC 2 · PHỦ ĐỊNH
Phủ định = đổi lượng từ và đổi tính chất
Phủ định không phải là "viết ý ngược lại". Nó có một định nghĩa dứt khoát và một phép thử không thể sai: mệnh đề và phủ định của nó luôn có giá trị trái nhau . Mọi quy tắc trong mục này đều suy ra từ đó.
2.1 Phủ định là gì, và phép thử "luôn trái nhau"
Phủ định của mệnh đề P, kí hiệu ¬P, đúng khi P sai và sai khi P đúng. Vì vậy, một câu chỉ có thể là phủ định của P nếu ở mọi tình huống nó có giá trị trái với P. Đó là phép thử mạnh nhất: nếu em tìm được một tình huống mà câu ứng viên và P cùng đúng hoặc cùng sai , câu ứng viên chắc chắn không phải phủ định.
¬(∀x P(x)) ⇔ ∃x ¬P(x) ; ¬(∃x P(x)) ⇔ ∀x ¬P(x) đổi lượng từ VÀ đổi tính chất: hai thao tác, thiếu một thao tác là sai
Vì sao đúng? "∀x P(x)" sai nghĩa là không phải mọi x đều có P, tức là có ít nhất một x làm P sai: đó chính là "∃x ¬P(x)". Còn "∃x P(x)" sai nghĩa là không có x nào có P, tức là mọi x đều làm P sai: "∀x ¬P(x)". Phản ví dụ của ∀ chính là nhân chứng của phủ định.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Phủ định hoán đổi ∀ và ∃ (bước ①) và đổi tính chất P thành ¬P (bước ②); bảng bên dưới là các cặp đổi tính chất thường gặp.
Mệnh đề gốc hư cấu · Giá trị · Phủ định đúng cách · Giá trị · Bằng chứng
∀n ∈ U: n chẵn · SAI · ∃n ∈ U: n không chẵn · ĐÚNG · n = 1 (hoặc 3, 5, …)
∃n ∈ U: n chia hết cho 6 · ĐÚNG · ∀n ∈ U: n không chia hết cho 6 · SAI · n = 6 là phản ví dụ
∀n ∈ U: n nhỏ hơn 13 · ĐÚNG · ∃n ∈ U: n ≥ 13 · SAI · kiểm hết 12 số, không số nào ≥ 13
Vuốt ngang để xem hết bảng
Quan sát cả ba hàng: giá trị hai bên luôn trái nhau, đúng như định nghĩa.
2.2 Phủ định không phải là "đối nghĩa"
Cái bẫy lớn nhất: viết ý trái ngược thay vì phủ định. "Mọi học sinh đều đạt" không có phủ định là "mọi học sinh đều không đạt". Hãy thử bằng hai kịch bản (hư cấu):
Kịch bản 1: cả lớp đều đạt. Câu gốc ĐÚNG, nên phủ định phải SAI. "Mọi học sinh đều không đạt" cũng SAI, đúng như yêu cầu, nên kịch bản này chưa loại được nó.
Kịch bản 2: có em đạt, có em không đạt. Câu gốc SAI, nên phủ định phải ĐÚNG. Nhưng "mọi học sinh đều không đạt" cũng SAI (vì có em đạt). Hai câu cùng sai : ứng viên bị loại.
Phủ định đúng cách: "Có ít nhất một học sinh không đạt" (SAI ở kịch bản 1, ĐÚNG ở kịch bản 2).
Phòng thí nghiệm bên dưới làm đúng việc ấy trên U: nó đặt cạnh nhau phủ định đúng cách và phủ định giả (giữ nguyên lượng từ, chỉ đổi tính chất), rồi cho em loại từng phần tử khỏi U để thấy hai kịch bản trên diễn ra.
PHÒNG 1 Máy phủ định
Vũ trụ U = {1; 2; …; 12} (hư cấu). Chọn tính chất P và lượng từ. Máy kiểm hết các phần tử, rồi cho ra mệnh đề, phủ định đúng cách và phủ định giả cùng giá trị đúng/sai. Ô viền cam là bằng chứng (phản ví dụ cho ∀, nhân chứng cho ∃). Bấm vào một ô để loại nó khỏi U , bấm lần nữa để đưa lại.
Tính chất P
Lượng từ
Đ: P(n) đúng S: P(n) sai viền cam: bằng chứng đã loại khỏi U
Vũ trụ hiện tại
Mệnh đề gốc
Bằng chứng (kiểm từng phần tử)
Phủ định ĐÚNG cách (đổi lượng từ và đổi tính chất)
Phủ định GIẢ (chỉ đổi tính chất, giữ nguyên lượng từ)
Phép thử "luôn trái nhau"
2.3 Phủ định của từng loại tính chất
Bước ② ở Hình 3 cần biết phủ định của chính tính chất. Bảng sau liệt kê các cặp hay gặp và chỗ hay sai:
Tính chất · Phủ định · Chỗ hay sai
x ≥ 3 · x < 3 · Viết "x ≤ 3" là giữ lại điểm x = 3, vốn thuộc tính chất gốc
x ≤ 3 · x > 3 · Viết "x ≥ 3" cũng giữ lại điểm x = 3
x = 3 · x ≠ 3 · Viết "x < 3" bỏ sót mọi x > 3
n chia hết cho 3 · n không chia hết cho 3 · Không phải "n chia dư 1": còn khả năng dư 2
x ∈ A · x ∉ A · Không phải "x ∈ một tập khác"
mọi / tất cả · có ít nhất một … không · Không phải "không có … nào" (đó là ∀ không)
có / tồn tại · mọi … đều không · Không phải "có … không"
Vuốt ngang để xem hết bảng
2.4 "Hoặc" và "và": luật De Morgan MỞ RỘNG
Khi tính chất là "P hoặc Q" hay "P và Q", phủ định đổi chéo: hoặc thành và , và thành hoặc , và mỗi vế được phủ định. Em chỉ cần nhớ cách làm; tên gọi "luật De Morgan" nằm ngoài chương trình bắt buộc.
¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q ; ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q "hoặc" ↔ "và"; mỗi vế đổi thành phủ định của nó
Kiểm trên U (hư cấu), với P: "n chẵn", Q: "n lớn hơn 5":
Mệnh đề về n · Các n ∈ U thỏa · Số phần tử
P ∧ Q: n chẵn và n > 5 · {6; 8; 10; 12} · 4
¬(P ∧ Q): không phải (chẵn và > 5) · {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9; 11} · 8
¬P ∨ ¬Q: n lẻ hoặc n ≤ 5 · {1; 3; 5; 7; 9; 11} ∪ {1; 2; 3; 4; 5} = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9; 11} · 8
P ∨ Q: n chẵn hoặc n > 5 · {2; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} · 9
¬P ∧ ¬Q: n lẻ và n ≤ 5 · {1; 3; 5} (và đúng là phần còn lại của 9 phần tử trên: 12 − 9 = 3) · 3
Vuốt ngang để xem hết bảng