Mô hình thực tế: lợi nhuận, chuyển động và tối ưu hình học
Chuyên đề Toán THPT về tối ưu lợi nhuận, vận tốc–gia tốc, hai bộ dây chữ Y và phân tích sơ đồ gấp bìa; lời giải đầy đủ, đơn vị minh bạch, phân biệt điều kiện…
LUKATO · TOÁN THPT · CHUYÊN ĐỀ 03/03
Mô hình thực tế: lợi nhuận, chuyển động và tối ưu hình học
Từ đơn vị và điều kiện đến một phương án tối ưu có thể kiểm chứng
Chuyên đề Toán THPT về tối ưu lợi nhuận, vận tốc–gia tốc, hai bộ dây chữ Y và phân tích sơ đồ gấp bìa; lời giải đầy đủ, đơn vị minh bạch, phân biệt điều kiện gốc với mô hình bổ sung.
7 Ý từ đề gốc · đầy đủ lời giải
12 Câu chẩn đoán · phân tích lựa chọn
6 Bài vận dụng · đổi dữ kiện
3 Mô hình · thử và giải thích
Giải có căn cứ: đọc điều kiện → chọn quy tắc → thử tự làm → đối chiếu từng bước → giải một tình huống mới.
HIỂU BẢN CHẤT · 01
Mô hình tốt bắt đầu từ biến, đơn vị và miền hợp lí
Bài toán thực tế gồm ba lớp: câu chuyện, quan hệ đại lượng và bài toán hàm số. Muốn đi từ lớp thứ nhất sang lớp thứ ba, hãy ghi rõ biến điều khiển, đại lượng cần tối ưu và điều kiện. Một giá bán không thể nhân trực tiếp với số tấn nếu đơn vị giá là “đồng mỗi sản phẩm” mà khối lượng một sản phẩm chưa được cho.
Trong mô hình nhà máy, chọn x là số tấn cung cấp mỗi tháng; P ( x ) là giá một tấn tính bằng triệu đồng mỗi tấn. Khi đó R ( x ) = x P ( x ) có đơn vị triệu đồng. Nếu chi phí C ( x ) đã là chi phí toàn tháng, không nhân thêm x vào C ( x ) .
Tình huống · Biến điều khiển · Miền cần kiểm tra · Mục tiêu
Sản xuất · x : số tấn/tháng · Giới hạn đặt hàng; giá không âm · H = R − C
Chuyển động · t : số giây · t ≥ 0 · Dấu của v , dấu của v ′
Dây treo · u : độ rơi của nút, theo mét · 0 ≤ u ≤ 1 · Tổng mọi đoạn dây
Gấp bìa · x : chiều sâu dải cắt, theo mét · Mọi cạnh hộp đều dương · Tích ba kích thước
Bước dừng bắt buộc: nếu đề thiếu một quy ước làm cho đáp án số không duy nhất, phải chỉ ra chỗ thiếu rồi nêu rõ cách hoàn thiện đang dùng. Một công thức đúng không bù được cho mô hình sai.
HIỂU BẢN CHẤT · 02
Doanh thu, chi phí và lợi nhuận: ba hàm khác nhau
Giá giảm khi số lượng tăng là một quan hệ về đơn giá, không phải về tổng tiền. Nếu P ( x ) = 45 − 0 , 001 x 2 , thì doanh thu là R ( x ) = 45 x − 0 , 001 x 3 . Hạng tử bậc ba xuất hiện vì đơn giá phụ thuộc số lượng và còn phải nhân với số lượng.
H ( x ) = x P ( x ) − C ( x ) = − 0 , 001 x 3 + 15 x − 100.
Chi phí cố định 100 làm lợi nhuận giảm cùng một lượng ở mọi sản lượng. Vì đạo hàm của hằng số bằng không, nó không đổi vị trí sản lượng tối ưu trong mô hình này; tuy nhiên nó ảnh hưởng giá trị lợi nhuận tối đa và điều kiện hòa vốn.
Khi x = 10 , một tấn có giá 44 , 9 triệu đồng, toàn bộ hàng có doanh thu 449 triệu đồng, chi phí 400 triệu đồng và lợi nhuận 49 triệu đồng. Hãy lập ba ô riêng cho ba kết quả để không đánh tráo doanh thu với lợi nhuận.
Với miền 0 ≤ x ≤ 100 , giá luôn dương vì P ( x ) ≥ 35 . Nếu bỏ giới hạn đặt hàng, điều kiện giá không âm là 0 ≤ x ≤ 150 2 ; đây là một miền khác. Không tự ý chuyển sang miền ấy khi giải câu đã cho miền cụ thể.
HIỂU BẢN CHẤT · 03
Cực trị khả thi: đạo hàm chỉ tạo ra danh sách ứng viên
Nghiệm của F ′ ( x ) = 0 chưa chắc là phương án tối ưu. Trên một đoạn đóng, phải xét nghiệm đạo hàm trong đoạn và hai đầu mút. Với bài toán hình học có các đầu suy biến, ta xét giới hạn ở các đầu, sau đó chứng minh nghiệm bên trong tạo giá trị lớn hơn.
H ′ ( x ) = 15 − 0 , 003 x 2 , H ′ ( x ) = 0 ⟺ x = ± 50 2 .
Chỉ 50 2 thuộc miền [ 0 ; 100 ] . Đạo hàm dương trước điểm này và âm sau điểm này nên lợi nhuận tăng rồi giảm. Kết luận phải phân biệt sản lượng tối ưu 50 2 tấn với lợi nhuận tối đa 500 2 − 100 triệu đồng.
Giữ giá trị chính xác để thay vào hàm mục tiêu. Số 70 , 7 tấn chỉ là giá trị làm tròn đến một chữ số thập phân; không xem nó là nghiệm chính xác của đạo hàm. Khi đơn vị hàng buộc nguyên, phải so sánh các số nguyên khả thi gần nghiệm liên tục, không chỉ lấy phép làm tròn mà bỏ kiểm tra.
Chuỗi kết luận: nghiệm nào khả thi → dấu đạo hàm thế nào → lớn nhất hay nhỏ nhất trên toàn miền → trả lời đại lượng nào → dùng đơn vị gì.
HIỂU BẢN CHẤT · 04
Vị trí, vận tốc, gia tốc và tốc độ
Với chuyển động một chiều có tọa độ S ( t ) , vận tốc là v ( t ) = S ′ ( t ) và gia tốc là a ( t ) = v ′ ( t ) = S ′′ ( t ) . Đơn vị lần lượt là mét, mét mỗi giây và mét mỗi giây bình phương. Một tọa độ có thể giảm, nên S ( t ) trong phương trình đã cho được đọc là tọa độ theo trục chọn; không xem nó là tổng quãng đường đã đi.
S ( t ) = − 3 1 t 3 + 2 3 t 2 − 2 t + 15 , v ( t ) = − t 2 + 3 t − 2 , a ( t ) = − 2 t + 3.
“Vận tốc giảm” nghĩa là giá trị có dấu của v giảm: dùng a < 0 . “Tốc độ giảm” nghĩa là ∣ v ∣ giảm: khi v = 0 , cần v và a trái dấu. Một vận tốc âm đang giảm, chẳng hạn từ − 1 xuống − 2 , cho tốc độ tăng từ 1 lên 2 .
Đồ thị vẽ đúng v ( t ) = − t 2 + 3 t − 2 trên khoảng minh họa 0 ≤ t ≤ 3 . Chuyển động gốc được xác định với mọi t ≥ 0 ; không suy ra thời gian kết thúc từ mép hình.
Ở t = 2 3 , gia tốc bằng không và vận tốc đạt cực đại 4 1 m/s . Vận tốc giảm trên ( 2 3 ; + ∞ ) . Các thời điểm t = 1 và t = 2 làm vận tốc bằng không; đó là những mốc đổi chiều, không phải thời điểm bắt đầu giảm vận tốc.
HIỂU BẢN CHẤT · 05
Dây chữ Y: đối xứng, định lí Pythagore và tổng số đoạn
Chọn mô hình minh bạch: sơ đồ gốc đặt nhãn 1 m giữa nút và giá, nhưng câu chữ nói giá thấp hơn thanh 1 m. Phần này chọn câu chữ và vẽ lại mô hình tương ứng; kết quả không được áp dụng cho cách hiểu nhánh đứng cố định dài 1 m.
Hai thanh treo cách nhau 3 m ; giá đỡ thấp hơn thanh 1 m và nằm giữa hai thanh. Với một bộ chữ Y đối xứng, gọi u là độ rơi thẳng đứng từ thanh đến nút. Hai nhánh xiên cùng có độ dài ( 3/2 ) 2 + u 2 , còn nhánh đứng dài 1 − u .
ℓ ( u ) = 2 4 9 + u 2 + 1 − u , 0 ≤ u ≤ 1.
Có hai bộ ở đầu và cuối giá đỡ nên tổng là L ( u ) = 2 ℓ ( u ) , gồm bốn nhánh xiên và hai nhánh đứng. Nếu hai nút được chọn độc lập, tổng vẫn nhỏ nhất khi từng bộ đạt cực tiểu; vì hai bài toán giống nhau, vị trí tối ưu cũng giống nhau. Không cần giả định chiều dài giá đỡ bằng khoảng cách giữa hai thanh.
Vì sao chọn nút trên đường giữa? Với một độ rơi cố định, hai điểm treo đối xứng; tổng hai đoạn xiên nhỏ nhất khi nút ở giữa theo phương ngang. Nhánh đứng nối tới tâm giá cũng không ngắn hơn khi nút lệch khỏi tâm. Do đó sự đối xứng không chỉ làm hình đẹp mà còn phù hợp với mục tiêu tổng chiều dài nhỏ nhất.
Mô hình đã làm rõ theo câu chữ: tổng độ cao thanh–giá là 1 m. Hai hình chiếu giúp đếm đủ hai bộ dây; khác với vị trí nhãn 1 m trên sơ đồ gốc. Hình dùng vị trí nút tối ưu; chiều ngang và chiều cao được vẽ theo cùng tỉ lệ. Chiều dài giá theo hướng đầu–cuối không tham gia bài toán.
HIỂU BẢN CHẤT · 06
Cực tiểu có căn: phương trình, góc và cách viết đáp án
ℓ ′ ( u ) = 9/4 + u 2 2 u − 1.
Đặt đạo hàm bằng không. Vì u ≥ 0 , hai vế của 2 u = 9/4 + u 2 không âm; bình phương được phép và cho 3 u 2 = 9/4 , tức u = 3 /2 . Điểm này thuộc ( 0 ; 1 ) .
ℓ ′′ ( u ) = ( 9/4 + u 2 ) 3/2 9/2 > 0.
Tính lồi nghiêm ngặt chứng minh chỉ có một vị trí tối ưu. Tại đó mỗi đoạn xiên dài 3 mét, nhánh đứng dài 1 − 3 /2 mét, vì vậy hai bộ cần 2 + 3 3 mét dây. Hai nhánh xiên tạo góc 12 0 ∘ tại nút; góc giữa mỗi nhánh hướng lên và nhánh đứng hướng xuống cũng bằng 12 0 ∘ . Đây là hệ quả, không phải điều được giả định sẵn.
Quy ước cần nói rõ: yêu cầu viết a + b c với a , b , c tự nhiên chưa tự bảo đảm a + b + c duy nhất. Chẳng hạn 2 + 3 3 = 2 + 27 . Để có đáp án duy nhất, dùng dạng căn tối giản: a , b nguyên không âm, b > 0 , c > 1 nguyên không chứa thừa số chính phương lớn hơn 1 . Khi ấy ( a , b , c ) = ( 2 , 3 , 3 ) và tổng là 8 .
HIỂU BẢN CHẤT · 07
Gấp bìa: đọc vùng cắt trước khi lập thể tích
Phải kiểm tra tính đủ dữ kiện: hình gốc chưa ghi đủ bề rộng giữa các nếp gấp/cách ghép đầu. Vì vậy chưa thể xác nhận một đáp án số duy nhất. Sơ đồ và phép tính sau là một mô hình bổ sung công khai để luyện phương pháp tối ưu, không phải lời khẳng định rằng đó là hộp kín của hình gốc.
Ở sơ đồ đang xét, phần xám không nằm ở bốn góc. Sau khi cắt, một dải ngang chạy hết chiều dài 1 , 5 m , còn hai tai sâu x nằm trên và dưới cột đầu rộng x . Ba nếp gấp dọc chia dải ngang thành bốn mặt xung quanh. Không thay sơ đồ này bằng mẫu hộp không nắp cắt bốn ô vuông.
Sơ đồ bổ sung giữ topology hai vùng xám; chủ động quy định bề rộng bốn phần gấp và nhãn b để diễn giải hai mặt đối diện bằng nhau; hình minh họa với x = 0 , 2 m , b = 0 , 55 m . Không phải sơ đồ cắt bốn ô vuông ở bốn góc.
Với quy ước bổ sung dải ngang quấn quanh hình hộp: hai mặt đối diện có bề rộng x , hai mặt còn lại có bề rộng b . Tổng bốn bề rộng là 1 , 5 , nên 2 x + 2 b = 1 , 5 , hay b = 0 , 75 − x . Chiều cao dải là h = 0 , 9 − 2 x . Thể tích hình hộp được bao bởi dải có số đo V ( x ) = x bh .
Giới hạn của sơ đồ: các tai giữ lại không tự chứng minh rằng toàn bộ hai đầu được phủ kín. Bài tối ưu dưới đây dùng kích thước hình hộp tạo bởi bốn mặt quanh, không tuyên bố đây là hộp kín hoàn toàn hoặc tính lượng bìa bổ sung để bịt hai đầu. Cách diễn giải hai cặp mặt đối diện được nêu tường minh để việc suy ra b có thể kiểm tra.
V ( x ) = x ( 0 , 75 − x ) ( 0 , 9 − 2 x ) , 0 < x < 0 , 45.
Hai điều kiện b > 0 và h > 0 lần lượt cho x < 0 , 75 và x < 0 , 45 ; điều kiện thứ hai chặt hơn. Vì x được đo theo mét, thể tích được đo theo mét khối.
HIỂU BẢN CHẤT · 08
Kiểm chứng kết quả bằng ba lớp độc lập
Lớp đại số: đạo hàm đúng, nghiệm đúng, miền đúng. Với bài bìa, khai triển V = 2 x 3 − 2 , 4 x 2 + 0 , 675 x , rồi kiểm tra đạo hàm từ cả dạng tích và dạng khai triển. Hai đường phải cho cùng V ′ = 6 x 2 − 4 , 8 x + 0 , 675 .
Lớp hình học: các cạnh dương, nhãn đúng nếp gấp, đoạn xiên dùng đúng nửa khoảng cách giữa hai thanh. Với dây chữ Y, chiều dài thấp nhất phải nhỏ hơn cấu hình nút ở giá: ở đó mỗi bộ có hai cạnh xiên dài 13 /2 và nhánh đứng bằng không, tổng hai bộ là 2 13 , lớn hơn 2 + 3 3 .
Lớp ý nghĩa: đại lượng trả lời khớp câu hỏi. “Kể từ thời điểm nào vận tốc giảm?” cần một thời điểm theo giây; “bán bao nhiêu để lãi lớn nhất?” cần số tấn; “tổng chiều dài dây?” cần mét; “giá trị biến khi thể tích lớn nhất?” cần mét, không phải mét khối.
Cuối cùng thử một số hai phía của nghiệm tối ưu. Đây là phép kiểm tra nhanh nhằm phát hiện nhầm dấu; chứng minh trên toàn miền vẫn phải dựa vào dấu đạo hàm, tính lồi hoặc một lập luận tương đương. Khi làm tròn, ghi cả dạng chính xác lẫn gần đúng để người đọc biết sai khác đến từ làm tròn, không phải từ một mô hình khác.
Học theo mục tiêu, không theo tốc độ của người khác
Lần học đầu: đọc các quy tắc và tự giải đề gốc. Chỉ mở gợi ý khi chưa xác định được bước tiếp theo. Lần học sau: làm 12 câu chẩn đoán, thử mô hình và chọn một bài vận dụng. Quay lại phần lý thuyết tương ứng khi em chưa giải thích được vì sao một bước đúng.
Bộ đề được cung cấp có 22 nhóm câu, gồm 34 quyết định trả lời: chuyên đề hàm số có 18 ý, chuyên đề vectơ có 9 ý, chuyên đề mô hình có 7 ý. Các bài vận dụng và mô hình là phần được biên soạn thêm, được ghi riêng; không làm thay đổi yêu cầu của đề.
ĐỀ GỐC · LỜI GIẢI ĐƯỢC PHÁT TRIỂN
Tự làm trước, đối chiếu sau
Giữ dữ kiện và yêu cầu của đề đã cung cấp. Những điểm thiếu hoặc mâu thuẫn trong dữ kiện được ghi rõ tại câu liên quan; kết luận có điều kiện không thay thế một đáp án xác định của đề gốc. Bảng tự kiểm giúp em xem lại điều kiện, mô hình, phép biến đổi và đơn vị; không phải thang điểm chính thức.
ĐỀ GỐC · P2-C1
Doanh thu và lợi nhuận của hai nhà máy
Yêu cầu và dữ kiện
Nhà máy A sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hằng tháng A cung cấp theo số lượng B đặt. Nếu đặt x tấn thì giá bán mỗi sản phẩm là P ( x ) = 45 − 0 , 001 x 2 (triệu đồng). Chi phí sản xuất x tấn trong tháng là C ( x ) = 100 + 30 x (triệu đồng). Xét các mệnh đề:
- Bán 10 tấn thu được 600 triệu đồng.
- Sản xuất 10 tấn tốn 400 triệu đồng.
- Muốn lợi nhuận lớn nhất, mỗi tháng bán khoảng 70 , 7 tấn, làm tròn đến hàng phần mười.
- Với 0 ≤ x ≤ 100 , lợi nhuận là H ( x ) = − 0 , 001 x 3 + 15 x − 100 (triệu đồng).
Giữ đủ bốn mệnh đề và toàn bộ hệ số. Cụm “giá mỗi sản phẩm” cần làm rõ đơn vị để tương thích với lượng tính theo tấn.
Làm rõ đơn vị trước khi chấm: lời giải dùng P ( x ) là giá mỗi tấn , đơn vị triệu đồng/tấn, và mô hình tháng có 0 ≤ x ≤ 100 như mệnh đề d. Nếu “mỗi sản phẩm” chỉ một món hàng mà khối lượng mỗi món chưa biết, doanh thu không xác định từ dữ kiện; khi ấy không thể áp dụng R = x P mà không bổ sung quy ước. Đây là cách hoàn thiện điều kiện, không phải thay hệ số.