Đối xứng để thẳng hàng, tổ hợp để thành phương trình: hai kỹ thuật cho Oxyz và xác suất có ẩn n
Chuyên đề Toán 12 nâng cao: lật điểm qua mặt phẳng để tìm tổng nhỏ nhất và hiệu lớn nhất, xử lý đường thẳng d bằng cách mở phẳng, lập phương trình theo n cho…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 NÂNG CAO
OXYZ · ĐỐI XỨNG QUA MẶT PHẲNG · XÁC SUẤT CÓ ẨN n · PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP
Đổi cái khó nhìn thành cái đã biết:
một phép đối xứng cho Oxyz,
một phương trình cho xác suất có ẩn n
Trong đề thi có hai kiểu câu khiến học sinh khá cũng đứng lại: điểm M chạy trên một mặt phẳng làm tổng khoảng cách MA + MB nhỏ nhất , và chiếc hộp bi có thêm n viên chưa biết số lượng . Hai kiểu ấy trông không liên quan, nhưng cách giải là một thói quen: không cố nhìn ra đáp án, mà đổi bài toán về một đối tượng đã biết cách tính . Với Oxyz, đó là một đoạn thẳng sau một phép đối xứng. Với xác suất, đó là một phương trình theo n sau một lần đếm đúng.
- 1. Biết hai điểm cùng phía hay khác phía
- 2. Phản xạ để biến đường gấp khúc thành đoạn thẳng
- 3. Dựng phương trình theo n, giải rồi kiểm
7 kỹ thuật
mỗi kỹ thuật có quy tắc, lý do, chỗ gãy
7 phòng lab
kéo, chọn, thấy quy luật rồi tự tính
14 bài
giải đủ bốn ô, có phân tích đáp án sai
01
Ý tưởng cốt lõi
Hai câu khó nhìn, một thói quen: đổi về đối tượng đã biết cách tính
Nhìn một bài Oxyz cực trị hay một bài xác suất có ẩn, phản xạ thường gặp là thử vài giá trị rồi hy vọng. Cách đó mất thời gian và không bao giờ chắc chắn. Cách của người làm tốt là hỏi một câu: mình biết cách tính đại lượng nào gần với cái đề hỏi nhất? Độ dài của một đoạn thẳng thì biết tính. Một phương trình theo n thì biết giải. Phần còn lại của bài là chuyển đề về hai thứ đó mà không đánh mất điều kiện.
Hai họ bài, hai phép chuyển đổi, cùng một vòng ba bước: đọc ràng buộc và đại lượng, đổi về đối tượng đã biết, kiểm lại bằng tính xuôi.
Hai bài mở đầu
Họ Oxyz
Điểm M chạy trên mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho A(2;1;3) và B(6;-3;-1). Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a+b+c.
Họ xác suất
Chiếc hộp có ẩn n
Một hộp chứa 4 bi đỏ, 5 bi xanh và n bi vàng (n nguyên dương), các bi cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Biết xác suất để 3 bi lấy ra có đủ ba màu là \dfrac{24}{91}. Tìm n.
Bài thứ nhất không có một con số nào để thử: M có vô số vị trí trên mặt phẳng. Bài thứ hai thử được vài giá trị của n, nhưng không biết dừng ở đâu. Hai bài này sẽ được giải trọn ở các mục sau; mục này chỉ đặt tên cho thói quen.
Bảng đọc cho họ Oxyz: ràng buộc nào, đại lượng nào, công cụ nào
M thuộc
Đại lượng cần cực trị
Vị trí của A và B
Công cụ và đáp số
Mặt phẳng (P)
MA+MB nhỏ nhất
Cùng phía
Lấy A' đối xứng với A qua (P); giá trị nhỏ nhất bằng A'B; M=A'B\cap(P)
Mặt phẳng (P)
MA+MB nhỏ nhất
Khác phía
Không cần phản xạ; giá trị nhỏ nhất bằng AB; M=AB\cap(P)
Mặt phẳng (P)
|MA-MB| lớn nhất
Cùng phía
Giá trị lớn nhất bằng AB (đạt khi M\in AB, ngoài đoạn AB)
Mặt phẳng (P)
|MA-MB| lớn nhất
Khác phía
Phản xạ một điểm; giá trị lớn nhất bằng A'B
Đường thẳng d
MA+MB nhỏ nhất
Bất kỳ
Gấp phẳng: \sqrt{(p-q)^2+(u+v)^2} với p,q là tọa độ hình chiếu trên d và u,v là khoảng cách tới d
Mặt phẳng (P)
MA^2+MB^2 nhỏ nhất
Bất kỳ
Trung điểm I của AB; M là hình chiếu của I; giá trị 2d^2(I,(P))+\dfrac{AB^2}{2}
Ghi chú: MA+MB trên một mặt phẳng không có giá trị lớn nhất, vì M chạy ra xa vô cùng thì tổng cũng lớn vô hạn. Đề chỉ hỏi cực trị nào thật sự tồn tại.
Bảng đọc cho họ xác suất có ẩn: biến cố nào, đếm thế nào, ra phương trình nào
Biến cố
Cách đếm số trường hợp thuận lợi
Dạng của ẩn
Phương trình thu được
Đủ ba màu
Nhân: chọn 1 bi mỗi màu, a\cdot b\cdot n
n là số bi của một màu
Bậc ba theo n (vì mẫu có \binom{n+s}{3})
Cùng màu
Cộng các trường hợp rời nhau: \binom{a}{k}+\binom{n}{k}
n là số bi của một màu
Bậc hai theo n khi k=2
Ít nhất một bi loại X
Phần bù: 1- (không có bi loại X)
n là số bi loại X
Hàm đơn điệu theo n: thường chỉ một nghiệm
Bất kỳ
Mọi đếm trên
n là cỡ mẫu (số bi lấy ra)
Phương trình theo k trong \binom{N}{k}, giải bằng thử và đơn điệu
Vòng ba bước dùng cho cả hai họ
1 · ĐỌC Ràng buộc là gì (mặt phẳng, đường thẳng, số bi)? Đại lượng cần cực trị hay giá trị cho trước là gì? A và B ở đâu?
2 · ĐỔI Phản xạ để thành đoạn thẳng; đếm đúng để thành phương trình theo n. Giữ nguyên điều kiện của bài, không đánh mất điều kiện nào.
3 · KIỂM Thay kết quả ngược về đề: M có thật nằm trên mặt phẳng không, MA+MB tính trực tiếp có bằng đáp số không, n có nguyên dương và tính xuôi ra đúng xác suất không?
Trước khi tính bài mở đầu thứ nhất (A(2;1;3), B(6;-3;-1), M\in(Oyz), tức mặt x=0): giá trị nhỏ nhất của MA+MB có thể bằng AB=4\sqrt3\approx6{,}93 không?
02
Kỹ thuật 1 · Phòng thí nghiệm 1
Trước khi phản xạ, hỏi: A và B ở cùng phía hay khác phía của mặt phẳng?
Mọi bài tổng nhỏ nhất trên mặt phẳng bắt đầu bằng một câu mà đề không hỏi to: hai điểm đã cho nằm cùng phía hay khác phía? Hai trường hợp dùng hai công cụ khác nhau, và nhầm một lần là sai cả bài. Việc kiểm tra mất đúng hai phép thế và một phép nhân.
Mặt phẳng được vẽ nằm ngang như một đường thẳng khi nhìn nghiêng. Cùng phía: hai giá trị f cùng dấu. Khác phía: trái dấu, và đoạn nối hai điểm cắt mặt phẳng.
Giá trị f(X) và hai điều nó cho biết
Mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0. Với mỗi điểm X(x_0;y_0;z_0) đặt f(X)=ax_0+by_0+cz_0+d. Số f(X) cho biết hai điều: dấu của nó cho biết X nằm ở phía nào, còn độ lớn cho biết khoảng cách:
d\bigl(X,(P)\bigr)=\dfrac{|f(X)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Với ba mặt phẳng tọa độ thì f chính là một tọa độ: (Oyz) ứng với f=x, (Oxz) ứng với f=y, (Oxy) ứng với f=z. Khi đó chỉ cần nhìn dấu của một tọa độ.
Cùng phía khi f(A)\cdot f(B)>0 Khác phía khi f(A)\cdot f(B)<0 f=0: điểm nằm trên mặt phẳng
Ba ví dụ đọc nhanh
Mặt phẳng, hai điểm
f(A), f(B)
Tích và kết luận
Công cụ tổng nhỏ nhất
(Oyz); A(2;1;3), B(6;-3;-1)
2 và 6 (hoành độ)
12>0: cùng phía
Phản xạ, A'B
(P):2x-y+2z-6=0; A(1;-2;3), B(4;3;-2)
4 và -5
-20<0: khác phía
Không phản xạ, AB
(Oxy); A(10;20;30), B(40;60;50)
30 và 50 (cao độ)
1500>0: cùng phía
Phản xạ, A'B
Công thức điểm đối xứng, một lần cho mọi mặt phẳng
Hình chiếu của A lên (P) là H=A-\dfrac{f(A)}{a^2+b^2+c^2}\,\vec n với \vec n=(a;b;c). Điểm đối xứng A' thỏa H là trung điểm của AA', tức A'=2H-A:
A'=A-\dfrac{2f(A)}{a^2+b^2+c^2}\,\vec n.
Với mặt phẳng tọa độ, công thức rút gọn thành «đổi dấu tọa độ tương ứng»: đối xứng qua (Oyz) đổi dấu x, qua (Oxz) đổi dấu y, qua (Oxy) đổi dấu z.
ĐỌC
Mặt phẳng (P):x+2y-2z-1=0, A(2;3;-1), B(6;1;-1). Hai điểm cùng hay khác phía? Tìm A'.
DỰNG
\vec n=(1;2;-2), |\vec n|^2=9. f(A)=2+6+2-1=9; f(B)=6+2+2-1=9.
GIẢI
Tích 81>0: cùng phía. A'=A-\dfrac{2\cdot9}{9}\vec n=(2;3;-1)-2(1;2;-2)=(0;-1;3).
KIỂM
Trung điểm AA'=(1;1;1) có f=1+2-2-1=0: nằm trên (P). AA'=(-2;-4;4)\parallel\vec n. Khớp.
Ba chỗ dễ sai
(1) Quên hằng số d khi tính f: với 2x-y+2z-6=0 phải trừ 6 ở cuối, nếu không f(A)=10 thay vì 4 và dấu có thể đảo. (2) Nhân hai vế phương trình với -1 đổi dấu cả f(A) lẫn f(B) nhưng không đổi dấu của tích, nên kết luận về phía vẫn đúng. Vì vậy hãy so sánh dấu của hai giá trị với nhau, đừng gán «dương là phía này» như một quy ước cố định. (3) Dùng công thức A' nhưng quên hệ số 2 trước f(A): khi đó ra điểm hình chiếu H chứ không phải điểm đối xứng.
Mặt phẳng (P):2x-y+2z-6=0, A(1;-2;3) và B(4;3;-2). Muốn tìm \min(MA+MB) với M\in(P), em cần làm gì?
Phòng 1 · Hai điểm và một mặt phẳng: đọc dấu, thấy phía CHỌN VÀ KÉO
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Mặt phẳng:
A: x = 2
A: y = 1
A: z = 3
B: x = 6
B: y = -3
B: z = -1
f(A)
f(B)
f(A) · f(B)
Khoảng cách A và B tới mặt phẳng
Thử ba thao tác
(1) Giữ (Oyz) và kéo hoành độ của B từ 6 xuống -2: tích đổi dấu đúng lúc B băng qua mặt phẳng, và kết luận đổi từ «cùng phía» sang «khác phía». (2) Chọn (P) và bấm «Đặt hai điểm cùng phía»: hai điểm luôn dương hoặc cùng âm. (3) Đưa A lên mặt phẳng (f=0): tích bằng 0 và bài trở thành trường hợp đặc biệt M=A.
Thử tay: viết ra cả hai giá trị rồi kết luận
Mặt phẳng (P):2x+2y-z+3=0, A(1;0;2), B(-1;-2;1). Hai điểm cùng hay khác phía? Nếu cùng phía, tìm điểm đối xứng A' của A.
Gợi ý 1 · Hai giá trị f
f(A)=2+0-2+3=3; f(B)=-2-4-1+3=-4.
Gợi ý 2 · Kết luận phía
Tích 3\cdot(-4)=-12<0: hai điểm khác phía . Với yêu cầu «tổng nhỏ nhất» thì không cần A': đáp số dùng thẳng AB.
Đáp án và kiểm
Bài cho điểm đối xứng A' dù không cần cho cực trị: |\vec n|^2=9, A'=A-\dfrac{2\cdot3}{9}(2;2;-1)=\left(\dfrac{-1}{3};-\dfrac43;\dfrac83\right). Kiểm: f(A')=-\dfrac23-\dfrac83-\dfrac83+3=-3 đối của f(A)=3, đúng như phép đối xứng đòi hỏi.
KỸ THUẬT 1
Xét dấu f(A)\cdot f(B) trước khi chọn công cụ
Quy tắc
(a) Đưa mặt phẳng về dạng ax+by+cz+d=0 (đủ hằng số d). (b) Tính f(A), f(B). (c) Tích dương: cùng phía; tích âm: khác phía; bằng 0: có điểm nằm trên mặt phẳng. (d) Chọn công cụ theo bảng ở mục 01.
Lý do
Đoạn nối hai điểm cắt mặt phẳng khi và chỉ khi hai điểm ở hai phía. Công thức A' đổi một điểm sang phía bên kia: nó cần khi hai điểm cùng phía và vô nghĩa khi khác phía.
Khi gãy
Khi mặt phẳng cho dưới dạng tham số hoặc qua ba điểm, phải lập phương trình tổng quát trước. Khi đề cho mặt cầu, đường cong hay đường thẳng thay vì mặt phẳng thì quy tắc phía không áp dụng (xem mục 05).
03
Kỹ thuật 2 · Phòng thí nghiệm 2
Phản xạ: biến đường gấp khúc MA + MB thành một đoạn thẳng A'B
Khi A và B cùng phía của (P), đoạn AB không chạm mặt phẳng, nên đường đi A\to M\to B bắt buộc gấp khúc tại M và luôn dài hơn AB. Mẹo là lật A sang bên kia mặt phẳng: đường gấp khúc mới A'\to M\to B có cùng độ dài, nhưng nối hai điểm ở hai phía nên có thể duỗi thẳng và chạm (P) đúng một lần.
Mặt cắt chứa A, B và pháp tuyến. Với mọi M trên (P) ta có MA=MA', nên MA+MB=MA'+MB\ge A'B; dấu bằng đạt khi M nằm trên đoạn A'B.
Vì sao phép lật không làm mất gì
Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AA'. Mọi điểm của một mặt phẳng trung trực cách đều hai đầu đoạn, nên với mọi M\in(P) có MA=MA'. Ta thay MA bằng MA' mà không đổi giá trị nào, rồi dùng bất đẳng thức tam giác:
MA+MB=MA'+MB\ \ge\ A'B.
Dấu bằng xảy ra khi M nằm trên đoạn A'B. Đoạn ấy cắt (P) vì A' và B ở hai phía (sau khi lật, A' sang phía kia, còn B vẫn ở phía cũ). Vậy giá trị nhỏ nhất là A'B và điểm đạt được là giao điểm M=A'B\cap(P).
Bốn bước, và một cách kiểm nhanh
1 · ĐỌC Xét dấu f(A)\cdot f(B). Cùng phía thì làm tiếp, khác phía thì đáp số là AB.
2 · LẬT Tính A'=A-\dfrac{2f(A)}{|\vec n|^2}\vec n. Với mặt phẳng tọa độ: đổi dấu một tọa độ.
3 · NỐI \min=A'B. Tham số hóa A'B và giải f=0 để tìm M.
4 · KIỂM M\in(P); MA+MB tính trực tiếp bằng A'B; \dfrac{MA}{MB}=\dfrac{d(A,(P))}{d(B,(P))}.
Cách kiểm cuối cùng đáng nhớ: vì M nằm trên đoạn A'B và hai tam giác vuông tạo bởi hai điểm với mặt phẳng đồng dạng, điểm M chia đoạn theo tỉ lệ khoảng cách tới mặt phẳng. Điểm nào gần mặt phẳng hơn thì gần M hơn.
Ví dụ 1: bài mở đầu, mặt phẳng tọa độ (Oyz)
ĐỌC
A(2;1;3), B(6;-3;-1), M(a;b;c)\in(Oyz) tức x=0. Hoành độ 2 và 6 cùng dấu: cùng phía.
LẬT
Đổi dấu hoành độ: A'(-2;1;3). \overrightarrow{A'B}=(8;-4;-4).
NỐI
A'B=\sqrt{64+16+16}=\sqrt{96}=4\sqrt6. Điểm M=A'+t(8;-4;-4) với x=0: -2+8t=0\Rightarrow t=\dfrac14, nên M(0;0;2).
KIỂM
MA=\sqrt{4+1+1}=\sqrt6, MB=\sqrt{36+9+9}=3\sqrt6; tổng 4\sqrt6. Tỉ lệ \dfrac{MA}{MB}=\dfrac13=\dfrac26, đúng bằng tỉ lệ hoành độ. a+b+c=0+0+2=\mathbf{2}.
Cách 2 · Không cần vẽ: bất đẳng thức vector
Với M(0;b;c), đặt \vec u=(2;1-b;3-c), có độ dài MA, và \vec v=(6;b+3;c+1), có độ dài MB (các thành phần chỉ khác \overrightarrow{MB}=(6;-3-b;-1-c) ở dấu của hai thành phần cuối, nên cùng bình phương). Tổng \vec u+\vec v=(8;4;4) không phụ thuộc M. Do |\vec u|+|\vec v|\ge|\vec u+\vec v| nên MA+MB\ge\sqrt{96}=4\sqrt6. Dấu bằng khi \vec u và \vec v cùng hướng: \dfrac{2}{6}=\dfrac{1-b}{b+3}=\dfrac{3-c}{c+1}, giải ra b=0, c=2. Cùng đáp số, không cần tính A'.
Vì sao không cần chọn điểm nào để lật
Lật B qua (P) rồi nối AB' cho đúng cùng một giá trị AB'=A'B và cùng điểm M. Chọn điểm có công thức dễ hơn, thường là điểm có f nhỏ hoặc hệ số đẹp.
Bài: (Oxz) là mặt y=0; A(3;2;1) và B(-3;6;9). Khi M\in(Oxz), hai điểm cùng phía hay khác phía, và giá trị nhỏ nhất của MA+MB là bao nhiêu?
Phòng 2 · Lật A, nối A'B, kéo M để thấy A'B là đáy KÉO ĐỂ THẤY
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Khoảng cách A tới mặt phẳng = 2
Khoảng cách B tới mặt phẳng = 6
Khoảng cách A và B dọc theo mặt phẳng = 4
Vị trí của M = 2,5
MA + MB tại vị trí M này
A'B (giá trị nhỏ nhất)
Chênh lệch
MA : MB so với hA : hB
Thử ba thao tác
(1) Kéo M khắp mặt phẳng: tổng MA+MB luôn lớn hơn A'B trừ đúng một vị trí. (2) Đặt h_A=h_B: vị trí tối ưu nằm chính giữa hình chiếu của A và B. (3) Bấm «Đặt M ở vị trí tối ưu» rồi so \dfrac{MA}{MB} với \dfrac{h_A}{h_B}: hai tỉ số bằng nhau.