Mọi bài toán thực tế đều là một hàm một biến: nghệ thuật dựng hàm mục tiêu
Bốn bước dựng hàm mục tiêu cho mọi đề tối ưu thực tế: hình khối, thời gian ngắn nhất, lợi nhuận và thuế, tốc độ liên đới, hàm đổi công thức và biến nguyên…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 NÂNG CAO
TỐI ƯU HÓA · TỐC ĐỘ LIÊN ĐỚI · TOÁN THỰC TẾ TRẢ LỜI NGẮN
Mọi bài toán thực tế
đều là một hàm một biến:
nghệ thuật dựng hàm mục tiêu
Một tấm tôn gấp thành hộp, một người chèo thuyền vào bờ rồi chạy bộ, một xưởng chịu thuế phụ thu, một chiếc thang trượt dọc tường, một quả khinh khí cầu bay theo đường cong. Năm câu chuyện, năm ngữ cảnh, nhưng đề thi chỉ hỏi một câu: đại lượng nào lớn nhất, nhỏ nhất, hoặc đang đổi nhanh đến mức nào? Chuyên đề này dạy em đúng một động tác để trả lời cả năm: chọn biến và miền, dựng một hàm một biến, rồi đọc đúng thứ đề hỏi . Đạo hàm chỉ là bước cuối, và là bước dễ nhất.
- 1. Chọn biến, ghi rõ miền xác định
- 2. Dựng hàm f(x) chỉ còn một biến
- 3. Xét điểm dừng, đầu mút, điểm gián đoạn, rồi đọc đáp số
8 dạng đề
dùng chung một quy trình bốn bước
6 phòng lab
kéo thanh trượt để thấy hàm mục tiêu và điểm tối ưu
16 bài
trả lời ngắn, giải đủ bốn ô, có phân tích đáp án sai
01
Ý tưởng cốt lõi
Khó nhất là dựng hàm, không phải đạo hàm
Bài toán thực tế trả lời ngắn có một cái bẫy chung: đề dài, nhiều số, nhiều đơn vị, nên học sinh lao vào đạo hàm quá sớm. Nhưng đạo hàm của một hàm đã dựng đúng thường chỉ mất ba dòng. Điểm bị mất nằm ở chỗ khác: chọn biến sai, quên miền xác định, hoặc tìm đúng cực trị nhưng trả lời sai đại lượng . Em hãy coi mỗi đề là một câu chuyện, và việc đầu tiên là dịch câu chuyện ấy thành một hàm số.
Cực trị trên một đoạn chỉ có thể nằm ở ba loại điểm. Đề thực tế rất hay đặt đáp án ở loại thứ hai và thứ ba, vì ở đó đạo hàm không bằng 0.
Bốn bước của mọi bài tối ưu
1 · ĐỌC Đề hỏi đại lượng nào, đơn vị gì, làm tròn ra sao? Gạch chân trước khi tính.
2 · CHỌN BIẾN Chọn đúng một biến x và viết miền, ví dụ 0<x<12. Mọi đại lượng khác phải biểu diễn qua x.
3 · DỰNG HÀM Viết đại lượng cần tối ưu thành f(x). Dùng ràng buộc của đề để khử các biến thừa.
4 · GIẢI VÀ KIỂM So sánh điểm dừng, đầu mút, điểm gián đoạn. Rồi trả lời đúng thứ đề hỏi, đúng đơn vị.
Ba nơi một cực trị có thể nằm
đạo hàm bằng 0
Điểm dừng
Hộp, chóp, cổng, lợi nhuận: hàm tăng rồi giảm trong miền, cực đại nằm ở bên trong. Giải f'(x)=0, loại nghiệm ngoài miền, rồi đối chiếu với đầu mút.
biên của miền
Đầu mút
Khi miền bị chặn bởi đề (thời gian tối đa, số máy tối thiểu, đoạn đường có hạn), hàm có thể chỉ tăng hoặc chỉ giảm và dừng ở biên. Nghiệm của f'=0 có thể rơi ngoài miền.
hàm nhảy
Điểm gián đoạn
Thuế bậc thang, giá theo khung, số nguyên. Hàm đổi công thức tại một điểm nên đạo hàm không tồn tại. Phải xét riêng từng khoảng và so các giá trị ở chỗ đổi mức.
Vì sao quy trình này gần như không sai
Mỗi bước có một kiểm tra rẻ. Bước 2 kiểm bằng câu hỏi: «biến này có chạy được hết miền thực tế không?». Bước 3 kiểm bằng cách thử một giá trị đặc biệt và tính tay bằng đề gốc. Bước 4 kiểm bằng cách tính đủ ba loại điểm. Học sinh giỏi không giải nhanh hơn ở bước đạo hàm, họ mất ít điểm hơn ở bước 2 và bước 4 .
Đoán trước khi tính
Cho f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+2 trên đoạn [0\,;5]. Giá trị lớn nhất của f trên đoạn này là bao nhiêu?
Bài học: trước khi viết đáp án, hãy viết ra danh sách đầy đủ các điểm cần so sánh. Một danh sách thiếu đầu mút là một bài sai.
Thử tay: hộp không nắp từ một tấm vuông
Số liệu: tấm tôn vuông cạnh 18 dm. Cắt bốn hình vuông nhỏ cạnh x dm ở bốn góc rồi gập lên thành hộp không nắp. Tìm x để thể tích hộp lớn nhất.
Gợi ý 1 · Biến và miền
Đáy hộp là hình vuông cạnh 18-2x, chiều cao là x. Cạnh đáy phải dương nên 0<x<9. Thể tích V(x)=x\,(18-2x)^{2}.
Gợi ý 2 · Đạo hàm
V'(x)=(18-2x)^{2}-4x\,(18-2x)=(18-2x)(18-6x). Nghiệm: x=9 (đầu mút, loại) và x=3.
Đáp án
x=3 dm, V=3\cdot12^{2}=432 dm^{3}. Kiểm: V(2)=2\cdot14^{2}=392 và V(4)=4\cdot10^{2}=400, cả hai nhỏ hơn 432, đúng là cực đại. Hai đầu mút cho V=0.
02
Bảy kỹ thuật
Bảy động tác, mỗi động tác có một lý do và một chỗ gãy
Mỗi kỹ thuật dưới đây gồm ba dòng: Quy tắc (làm gì), Lý do (vì sao nó đúng và vì sao đề hay thử nó), Khi gãy (trường hợp nó cho đáp án sai). Phần thực chiến ở mục 9 gọi lại từng kỹ thuật bằng số, nên em hãy đọc kỹ một lượt trước khi vào các phòng lab.
KỸ THUẬT 1
Chọn một biến và viết miền ngay từ đầu
Quy tắc
Chọn biến là một độ dài mà đề cho phép thay đổi: phần cắt ở góc, khoảng cách từ chân thang đến tường, điểm cập bờ. Viết miền từ điều kiện thực tế: mọi độ dài dương, mọi chi phí không vượt ngân sách. Ví dụ tấm chữ nhật 40\times24 cắt góc cạnh x thì 0<x<12, vì nửa cạnh ngắn là 12.
Lý do
Miền quyết định có phải xét đầu mút hay không, và nghiệm nào của f'=0 bị loại. Đề thực tế gần như luôn có một nghiệm đẹp nằm ngoài miền để bẫy.
Khi gãy
Nếu chọn biến mà các đại lượng khác phải viết qua căn lồng nhau, hãy thử một biến khác (một góc, một tỉ số). Hai biến cùng chọn mà chỉ có một ràng buộc là dấu hiệu chưa khử hết biến thừa.
KỸ THUẬT 2
Dựng hàm từ công thức gốc, rồi thử bằng tay
Quy tắc
Viết đại lượng cần tối ưu bằng công thức gốc: thể tích bằng diện tích đáy nhân chiều cao, lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí. Thay ràng buộc để còn một biến. Sau đó chọn một giá trị cụ thể của biến , tính tay theo đúng câu chuyện của đề, và so với giá trị hàm. Hai kết quả phải trùng nhau.
Lý do
Một hàm sai nhưng đạo hàm đúng vẫn cho đáp án sai. Phép thử bằng tay mất ba mươi giây và bắt được lỗi quên một hệ số (ví dụ quên \tfrac13 trong thể tích chóp) hoặc nhầm biến.
Khi gãy
Đơn vị không thống nhất: nghìn đồng cộng với triệu đồng, phút cộng với giờ, mét cộng với kilômét. Quy hết về một đơn vị ngay ở dòng đầu tiên.
KỸ THUẬT 3
Ba công cụ tìm cực trị: đạo hàm, bất đẳng thức, bảng giá trị
Quy tắc
(a) Đạo hàm, lập bảng biến thiên: dùng được mọi lúc. (b) Bất đẳng thức Cauchy: khi hàm có dạng ax+\dfrac{b}{x} với a,b>0 thì ax+\dfrac bx\ge2\sqrt{ab}, dấu bằng tại x=\sqrt{b/a}. (c) Bảng giá trị bằng chức năng TABLE của máy tính: dùng để kiểm lại, đặc biệt khi hàm có căn hoặc mũ.
Lý do
Chuyên đề chọn công cụ nhanh nhất cho từng hàm: tổng hai số hạng có tích không đổi thì dùng Cauchy, hàm bậc ba thì dùng đạo hàm, hàm bậc hai thì dùng đỉnh parabol. Công cụ nhanh còn là công cụ ít sai nhất.
Khi gãy
Cauchy chỉ cho giá trị nhỏ nhất nếu dấu bằng đạt được trong miền . Với C(n)=15n+\dfrac{960}{n} dấu bằng ở n=8 và giá trị nhỏ nhất là 240. Nếu đề buộc n\ge10{,}5 thì bất đẳng thức vẫn đúng nhưng 240 không còn là đáp án.
KỸ THUẬT 4
Biên, miền chặn và biến nguyên
Quy tắc
Nếu nghiệm tối ưu của hàm liên tục nằm ngoài miền, đáp số ở đầu mút gần nhất (hàm đơn điệu trên đoạn còn lại). Nếu biến phải là số nguyên, so hai số nguyên kề hai phía nghiệm, nhưng chỉ những số thoả mọi ràng buộc mới được so .
Lý do
Đề hay chặn miền bằng một điều kiện ẩn trong chữ: «mỗi máy làm việc không quá 8 giờ», «hộp phải cao ít nhất 2 cm». Điều kiện ấy đổi nghiệm tối ưu.
Khi gãy
Làm tròn nghiệm liên tục về số nguyên gần nhất có thể không thoả ràng buộc: với ràng buộc n\ge10{,}5, số nguyên khả thi nhỏ nhất là 11, không phải số 8 của nghiệm liên tục.
KỸ THUẬT 5
Bình phương khoảng cách và thời gian nhiều đoạn
Quy tắc
Khoảng cách nhỏ nhất đạt cùng lúc với bình phương khoảng cách nhỏ nhất, và bình phương là tam thức bậc hai nên tìm bằng đỉnh parabol. Với thời gian đi nhiều đoạn bằng tổng (đường)/(vận tốc), mỗi đoạn xiên cho một căn \sqrt{w^{2}+x^{2}}. Đạo hàm cho điều kiện \sin i=\dfrac{v_{1}}{v_{2}}, quen thuộc như định luật khúc xạ.
Lý do
Bỏ căn đi thì không làm thay đổi vị trí cực trị nhưng làm phép tính nhẹ hơn rất nhiều. Còn khi không bỏ được căn (thời gian), điều kiện hình học cho em phép kiểm miễn phí.
Khi gãy
Đừng bình phương một hiệu có thể âm khi đề hỏi đại lượng có dấu. Với thời gian, đừng bình phương cả tổng nhiều căn: (\sqrt{A}+B)^{2}\neq A+B^{2}.
KỸ THUẬT 6
Tốc độ liên đới: đạo hàm theo t trước, thay số sau
Quy tắc
(1) Viết hệ thức hình học giữa các đại lượng, ví dụ x^{2}+h^{2}=L^{2}. (2) Đạo hàm hai vế theo t: 2x\,x'+2h\,h'=0. (3) Chỉ lúc này mới thay số tại thời điểm đề hỏi. (4) Kiểm dấu: đại lượng giảm thì đạo hàm âm, và kiểm đơn vị.
Lý do
Các đại lượng đều đổi theo thời gian. Nếu thay số trước, x và h thành hằng số và đạo hàm biến mất. Đây là lỗi số một của dạng bài này.
Khi gãy
Đề hỏi «tốc độ» thì lấy độ lớn, còn đề hỏi «vận tốc» hoặc «tốc độ thay đổi» thì giữ dấu. Nếu một đại lượng cần để thay số mà đề không cho, tìm nó từ hệ thức gốc (ví dụ tìm x=\sqrt{L^{2}-h^{2}}).
KỸ THUẬT 7
Dựng hàm từ dữ kiện: đếm ẩn, đếm điều kiện
Quy tắc
Đếm số hệ số chưa biết của hàm dạng đã cho, rồi đếm điều kiện đề cung cấp. Một điểm thuộc đồ thị cho một phương trình f(x_0)=y_0. Một điểm cực trị cho hai điều kiện: f'(x_0)=0 và giá trị f(x_0). Viết hàm ở dạng có sẵn nghiệm, như a\,x(x-p)(x-q), để bớt ẩn. Thứ tự: dùng điều kiện về giá trị trước, điều kiện về đạo hàm sau.
Lý do
Đề dạng đồ thị thường ẩn dữ kiện trong hình: các giao điểm với trục, đỉnh đồi, đáy hồ. Đếm ẩn cho biết đề đã đủ dữ kiện chưa, và tránh viết thừa phương trình.
Khi gãy
Phân thức có ẩn ở mẫu cho hệ phi tuyến: khử dần từ phương trình đơn giản nhất. Sau khi tìm xong, luôn thay ngược để kiểm từng điều kiện của đề.
Đọc đề: dấu hiệu nào, việc gì
Dấu hiệu trong đề
Việc cần làm trước tiên
Kỹ thuật
Bài tiêu biểu
«lớn nhất», «nhỏ nhất», «tối đa»
Xác định đại lượng, viết hàm mục tiêu một biến, ghi miền
1, 2, 3
Bài 1, 2, 3
«ngân sách», «chỉ có … mét dây»
Một ràng buộc: giải một biến theo biến kia rồi thay vào hàm mục tiêu
1, 2
Bài 3
«thời gian ngắn nhất», «hai tàu»
Tổng (đường)/(vận tốc), hoặc bình phương khoảng cách
Bài 4, 5, 6
«thuế mỗi sản phẩm», «phụ thu»
Hàm lợi nhuận có tham số thuế, rồi tối ưu hai tầng
2, 3
Bài 7
«ít nhất bao nhiêu», «số nguyên», «làm tròn»
Kiểm khả thi, so các số nguyên kề, xét điểm gián đoạn
Bài 8, 9
«tốc độ thay đổi», «đang tăng»
Hệ thức giữa các đại lượng, đạo hàm theo t, rồi thay số
Bài 10, 11, 12
«đi qua điểm», «cực đại tại»
Đếm ẩn, đếm điều kiện, dựng hàm rồi thay ngược
Bài 13, 14
«theo cấp số nhân», «lãi kép», «mũ»
Hàm mũ: đạo hàm của e^{u}, hoặc công thức lãi kép
3, 2
Bài 15, 16
03
Hình khối · Phòng thí nghiệm 1
Một tấm phẳng, một ràng buộc, một biến
Đề hình khối thực tế luôn bắt đầu bằng một vật liệu phẳng: tấm tôn, tấm bìa, một đoạn dây hay một ngân sách cho viền. Em cắt, gấp hoặc uốn nó thành một vật có thể tích hoặc diện tích, rồi hỏi khi nào vật ấy lớn nhất. Khâu khó là nhìn ra biến : đó là độ dài mà em được quyền chọn, và mọi kích thước khác đều suy ra từ nó.
Ví dụ 1: chóp tứ giác đều từ một tấm vuông
Từ tấm tôn hình vuông cạnh 2s, người ta giữ lại hình vuông nhỏ ở giữa làm đáy chóp, bốn đỉnh của nó nằm trên hai đường trung trực của tấm và cách tâm một đoạn d. Bốn tam giác cân còn lại có đỉnh là bốn góc của tấm, gập lên gặp nhau thành đỉnh chóp.
Bên trái: tấm vuông và đáy chóp nằm trong nó. Bên phải: mặt cắt qua đỉnh chóp và trung điểm một cạnh đáy cho tam giác vuông với ba cạnh h, x/2 và l.
Biến là d, miền 0<d<s. Đáy là hình vuông có đường chéo 2d nên cạnh đáy x=d\sqrt{2} và diện tích đáy 2d^{2}. Đường cao của mặt bên là khoảng cách từ góc tấm đến trung điểm một cạnh đáy: l=\sqrt{2}\left(s-\dfrac d2\right). Trong tam giác vuông của mặt cắt, h^{2}=l^{2}-\left(\dfrac x2\right)^{2}, nên
h=\sqrt{2s\,(s-d)},\qquad V(d)=\dfrac13\cdot2d^{2}\cdot h=\dfrac23\,d^{2}\sqrt{2s\,(s-d)}.
Cực đại của V trùng với cực đại của V^{2}\propto d^{4}(s-d). Đạo hàm là d^{3}(4s-5d), nên d^{*}=\dfrac45s không phụ thuộc cỡ tấm , và V_{\max}=\dfrac{32}{75}\sqrt{\dfrac25}\;s^{3}\approx0{,}26985\,s^{3}.
Ví dụ 2: hộp không nắp từ tấm chữ nhật
Tấm L\times W (L\ge W) cắt bốn hình vuông cạnh x ở góc, miền 0<x<\dfrac W2. Thể tích là một đa thức bậc ba, và đạo hàm là tam thức bậc hai:
V(x)=x\,(L-2x)(W-2x),\qquad V'(x)=12x^{2}-4(L+W)\,x+LW.
Hai nghiệm là \dfrac{(L+W)\mp\sqrt{L^{2}-LW+W^{2}}}{6}. Chỉ nghiệm với dấu trừ nằm trong miền, nghiệm còn lại rơi ra ngoài. Đây là ví dụ kinh điển của kỹ thuật 1: loại nghiệm bằng miền . Với tấm vuông (L=W=a) công thức thu về x^{*}=\dfrac a6.
Ví dụ 3: cổng có ngân sách
Cổng gồm hình chữ nhật rộng 2r, cao h, phía trên ghép nửa hình tròn bán kính r. Viền gồm hai cột thẳng, giá p mỗi mét, và một cung tròn dài \pi r, giá q mỗi mét, tổng không quá ngân sách B. Ràng buộc 2p\,h+q\,\pi r=B cho phép khử h. Với p=200, q=320 (đơn vị nghìn đồng mỗi mét):
h=\dfrac{B}{400}-0{,}8\pi r,\qquad S(r)=2rh+\dfrac{\pi r^{2}}2=\dfrac{B}{200}\,r-1{,}1\pi\,r^{2},\qquad r^{*}=\dfrac{B}{440\pi}.
S là tam thức bậc hai theo r nên cực đại ở đỉnh parabol. Miền là 0<r<\dfrac{B}{320\pi}, vì h phải dương. Em sẽ thấy trong phòng lab rằng r^{*} luôn chiếm đúng \tfrac{320}{440}\approx72{,}7\% miền, bất kể B.