Góc hai đường chéo nhau và điểm di động
Chuyên đề hình học không gian với 5 bài giải, 8 quy tắc và 3 phòng khám phá: tích vô hướng, tham số điểm và điều kiện tồn tại trên đoạn mở.
LUKATO
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Góc hai đường chéo nhau
Từ hai điểm chuyển động đến một khoảng độ dài. Làm chủ tích vô hướng, điều kiện tồn tại và ý nghĩa của đầu mút bị loại.
- 3 phòng khám phá
- 5 bài giải
- 8 quy tắc
30
độ: góc cố định trong bài trung tâm
0,82
kết quả sau khi làm tròn
Mở
hai cận đều không được nhận
01
Không gian - vectơ - điều kiện tồn tại
Một góc, hai điểm chuyển động, một khoảng mở
Mục tiêu: chuyển điều kiện hình học thành một phương trình có tham số, rồi xác định chính xác những giá trị độ dài thực sự đạt được.
Bài toán trung tâm
Điểm nào thực sự được phép?
Cho hình chóp , đáy là hình vuông cạnh . Tam giác vuông cân tại , có cạnh huyền ; đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . Điểm nằm trong đoạn , khác cả và .
Chỉ giữ lại các vị trí của mà trên đoạn có một điểm , khác và , sao cho góc giữa hai đường thẳng chéo nhau và bằng .
Tập các độ dài là khoảng . Hãy tìm , làm tròn đến hàng phần trăm.
Điều kiện vuông góc với mặt phẳng cho ta một trục tọa độ rất thuận tiện. Hình vẽ giúp theo dõi điểm, không quyết định số đo góc.
Đơn vị kiến thức
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian; tích vô hướng; tham số hóa đoạn thẳng; tìm miền giá trị dưới điều kiện tồn tại. Mức độ: vận dụng. Thời gian gợi ý: 25 phút cho phần lập mô hình và 15 phút cho các bài chuyển giao.
ĐỌC Giữ cả hai điều kiện điểm ở trong đoạn.
DỰNG Đặt tọa độ theo ba hướng vuông góc.
BIẾN ĐỔI Góc trở thành phương trình theo hai tham số.
LỌC Chọn những tham số cho phép tồn tại F.
KẾT LUẬN Đổi sang PE và xét hai đầu khoảng.
Một vị trí của E có được nhận chỉ vì nằm trong PD không?
Ba câu hỏi dẫn đường
Góc của hai đường
Tại sao đổi chiều vectơ chỉ phương không làm đổi góc giữa hai đường thẳng? Ta sẽ thấy dấu giá trị tuyệt đối giữ đúng ý nghĩa này.
Tồn tại một điểm
Từ một phương trình, cần tìm được ít nhất một nghiệm nằm trong miền đã cho. Nghiệm âm và nghiệm ở đầu mút đều không được giữ.
Đầu mút của khoảng
Một giá trị có thể được tiến đến tùy ý mà không được đạt tới. Phân biệt hai việc này là chìa khóa để viết khoảng mở.
02
Không gian - vectơ - điều kiện tồn tại
Đặt hệ trục để hình học tự đơn giản
Không cần đoán chiều cao của hình chóp. Tam giác vuông cân và cạnh huyền đã xác định vị trí của P.
Đặt A làm gốc
Chọn trục thứ nhất dọc theo , trục thứ hai dọc theo , trục thứ ba trong mặt phẳng và vuông góc với . Ba trục vuông góc vì . Chọn chiều của trục thứ ba hướng về .
Gọi là trung điểm của . Do , đường là trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác . Khi cạnh huyền bằng , hai cạnh góc vuông đều bằng .
Trong mặt phẳng này, tọa độ thứ hai luôn bằng 0. Vị trí P phía dưới AD có thể được phản xạ lên trên mà không đổi các độ dài hay góc.
Quy tắc 1 - Hệ trục đi theo điều kiện vuông góc
Vì sao? Đường AB vuông góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng PAD đi qua A. Vì vậy nó trở thành trục độc lập với hai hướng trong mặt phẳng.
Dùng khi: Có một cạnh hoặc đường thẳng vuông góc với cả mặt phẳng.
Giới hạn: Không được suy ra PA vuông góc với đáy. Ở cấu hình này PA nghiêng; chỉ AB vuông góc với mặt phẳng PAD.
Kiểm tra mô hình trước khi tham số hóa
Từ các tọa độ đã đặt, và . Tích vô hướng của chúng bằng , độ dài đều bằng , nên tam giác thật sự vuông cân tại . Các điểm tạo một hình vuông cạnh , với và nằm trên hai trục vuông góc. Mọi giả thiết đều được thể hiện ngay trong tọa độ.
Nhìn hình không đủ
Không được đặt rồi vẫn giữ : khi đó PA vuông góc với AD, còn đề yêu cầu góc vuông ở P. Cách đặt này biến bài toán thành một hình khác.
Với cạnh huyền AD bằng 2, tọa độ P nào đúng trong hệ trục đã chọn?
Một lựa chọn tọa độ khác có làm đổi đáp án?
Đổi chiều trục thứ ba cho . Khi ấy các tọa độ thứ ba cùng đổi dấu. Tích vô hướng và độ dài vẫn giữ nguyên, nên công thức góc và tập giá trị không đổi. Ta chọn để các phép tính về sau dễ đọc.
03
Không gian - vectơ - điều kiện tồn tại
Từ đoạn thẳng đến hai tham số
Tọa độ của E và F không phải hai bộ số tự do. Mỗi điểm chỉ cần đúng một tham số, với miền mở đi kèm.
Tham số vị trí E
Viết . Ở , E trùng P; ở , E trùng D. Do cả hai đầu đều bị loại, miền đúng là .
Vì E nằm trên tia PD với cùng hướng, độ dài cần tìm là . Tham số s đo phần của cạnh PD tính từ P, không phải tính từ D.
Tham số vị trí F
Đường AB là trục thứ hai. Đặt . Khi , F trùng A; khi , F trùng B. Do đó .
Trong hệ này y cũng bằng độ dài AF. Chỉ có nghiệm dương dưới 2 mới biểu diễn một F được phép; nghiệm âm nằm trên đường AB kéo dài theo chiều ngược.
Quy tắc 2 - Tham số hóa một đoạn mở
Vì sao? Phép tổ hợp này đi từ P đến D với tỉ lệ s. Khi s chạy trong khoảng mở, E chạy qua toàn bộ phần trong của đoạn.
Dùng khi: Điểm chuyển động trên một đoạn và đề loại cả hai đầu.
Giới hạn: Độ dài PE không phải s nếu PD chưa được chuẩn hóa về 1; phải nhân với độ dài PD.
Các nhãn E và F minh họa một vị trí bên trong mỗi đoạn. Không thể kéo E đến D mà vẫn giữ điều kiện góc đã cho.
Chéo nhau là một điều kiện hình học thật
Với và , đường EF không thể cắt PA: một điểm trên PA có tọa độ thứ hai bằng 0; trên EF, điều đó chỉ xảy ra tại E. Nhưng E nằm trên PD và khác P nên không thuộc PA. Hai đường cũng không song song, vì vectơ chỉ phương EF có thành phần y khác 0 còn PA có thành phần đó bằng 0. Vì vậy chúng thật sự chéo nhau ở mọi vị trí hợp lệ.
Có thể xác nhận bằng tích hỗn tạp: lấy , và . Trị tuyệt đối của định thức tạo bởi ba vectơ bằng , khác 0 trong miền mở. Đây là phép kiểm tra phụ; lập luận bằng tọa độ thứ hai đã đủ.
Nếu chọn s = 1/3 và y = 1/2, PE bằng bao nhiêu? Hai đường có chéo nhau không?
Bước 1
Từ E = P + s(D-P), có và . Cả hai tham số nằm trong miền mở.
Bước 2
Độ dài . Đừng lấy độ dài AE hoặc DE thay cho PE.
Bước 3
F có tọa độ thứ hai dương. EF chỉ gặp mặt phẳng PAD tại E, còn E không nằm trên PA. Vì vậy PA và EF chéo nhau. Góc của cặp này chưa chắc là 30 độ; điều đó cần tính riêng.
Đọc tên đoạn trước khi chọn biến
Nếu thay bằng , ta có , nên . Hai cách đều đúng nhưng không được lấy tọa độ theo t rồi dùng công thức độ dài theo s.
04
Không gian - vectơ - điều kiện tồn tại
Góc giữa hai đường là góc giữa hai hướng
Chỉ phương quyết định góc, còn vị trí trong không gian quyết định giao nhau hay chéo nhau. Hai thông tin này được xử lý riêng.
Chọn vectơ chỉ phương
Dùng cho PA, và cho EF. Ta chọn các chiều này để tích vô hướng là số dương rất đơn giản.
Hai số hạng chứa s triệt tiêu trong tử số. Đó là dấu hiệu rằng hệ trục đã tận dụng tốt tam giác vuông cân.
Sơ đồ chỉ minh họa định nghĩa tịnh tiến hướng. Góc số phải lấy từ tích vô hướng, không lấy từ hình chiếu lên màn hình.
Quy tắc 3 - Góc giữa hai đường không định hướng
Vì sao? Một đường thẳng có hai chiều chỉ phương đối nhau. Giá trị tuyệt đối làm cho kết quả không đổi khi đổi chiều một vectơ.
Dùng khi: Hai vectơ đều khác vectơ không, đại diện cho hai đường thẳng.
Giới hạn: Nếu đề hỏi góc giữa hai vectơ có hướng thì không tự thêm trị tuyệt đối. Góc vectơ có thể lớn hơn 90 độ.
Công thức góc trong mô hình
Đẳng thức thứ hai đến từ . Nó đặc biệt thuận tiện khi tìm miền giá trị, vì ta chỉ cần một tổng các bình phương. Trong miền , góc dương và nhỏ hơn , nên không có mơ hồ khi lấy căn hoặc dùng hàm ngược.
Quy tắc 4 - Bình phương sau khi kiểm tra dấu
Vì sao? Hai vế của công thức cos đều dương. Bình phương không sinh thêm nhánh dấu; thay cos 30 độ bằng căn 3 chia 2 rồi rút gọn.
Dùng khi: Đã dùng trị tuyệt đối đúng và biết góc là góc nhọn.
Giới hạn: Bình phương một phương trình có hai vế trái dấu có thể sinh nghiệm ngoại lai. Luôn ghi điều kiện trước khi biến đổi.
Phòng khám phá 1 - hai điểm tự do Góc thật trong không gian
Kéo E và F độc lập. Đổi góc nhìn chỉ xoay hình chiếu; số đo góc tính từ vectơ giữ nguyên. Các đầu mút được hiển thị để so sánh, với thông báo khi chúng không thuộc bài toán.
s = PE / PD
y = AF
Góc nhìn ngang, đơn vị độ
Độ nghiêng hình chiếu, đơn vị độ
Phép chiếu trực giao sau khi xoay không bảo toàn góc giữa hai đường. Khi chạy, chỉ E thay đổi; nút dừng giữ lại vị trí hiện tại để bạn kiểm tra số.
Nếu thay vectơ FE bằng EF, góc giữa hai đường thay đổi thế nào?
Tính tay một vị trí để kiểm tra phòng khám phá
Ở và , ta có . Suy ra , gần . E và F đều ở trong đoạn, nhưng góc lớn hơn . Điều này cho thấy miền vị trí của hai điểm rộng hơn rất nhiều so với tập cấu hình thỏa góc.
05
Không gian - vectơ - điều kiện tồn tại
Tồn tại F: lọc đúng miền, giữ đúng đầu mút
Một phương trình đúng chưa đủ. Bây giờ phải chứng minh chiều thuận và chiều đảo để lấy được toàn bộ khoảng.
Từ phương trình đến nghiệm y
Vì F nằm trong AB, cần . Do đó vế phải phải dương, tương đương . Kết hợp với , ta được . Giới hạn này tự mạnh hơn , nên E vẫn nằm trong PD.
Trong khoảng vừa tìm, chọn nhánh dương . Nó luôn nhỏ hơn , mà . Vì vậy điều kiện phía B cũng được thỏa. Ta không bỏ quên ; ta đã chứng minh rằng điều kiện đó tự đúng trong bài này.
Quy tắc 5 - Tồn tại trên đoạn mở cần hai bất đẳng thức
Vì sao? Nhánh dương duy nhất đưa F về phía B. Để F thật sự thuộc phần trong AB, cần kiểm tra cả dấu dương và chặn trên.
Dùng khi: Phương trình bình phương cho tọa độ một điểm trên đoạn.
Giới hạn: Nếu thay cạnh AB hoặc góc, chặn trên có thể không còn tự đúng. Không được mặc định nghiệm dương nào cũng nằm trong đoạn.
Chiều cần
Giả sử đã có F hợp lệ. Từ góc , có . Vì , suy ra ; vì E nằm trong PD, có . Vậy bất kỳ nghiệm hình học nào cũng phải có .
Chiều đủ
Lấy tùy ý . Dựng và . Cả hai điểm đều ở trong đoạn, hai đường chéo nhau, và công thức cos cho đúng . Mọi s trong khoảng đều tạo một nghiệm thật.
Đây là sơ đồ định tính của nhánh elip. Phòng khám phá phía dưới vẽ đường nghiệm theo đúng tọa độ s và y. Đầu trái bị loại bởi E = P; đầu phải bị loại bởi F = A.
Quy tắc 6 - Chặn của tập không nhất thiết là giá trị đạt được
Vì sao? Nhân một khoảng mở với hằng số dương giữ thứ tự và tính mở. Hai đầu được tiến đến nhưng không được nhận.
Dùng khi: Đã chứng minh mọi giá trị bên trong đều có cấu hình tương ứng.
Giới hạn: Không gọi 0 là giá trị nhỏ nhất hoặc căn 2/3 là giá trị lớn nhất của PE. Đây là cận dưới và cận trên, không phải cực trị đạt được.
Phòng khám phá 2 - giữ góc 30 độ Có F hay chỉ có giới hạn?
Đặt . Khi , có đúng một F hợp lệ. Tại q = 100, phương trình chỉ cho F = A; ngoài mốc đó, không có nghiệm thực. Chọn đúng mốc bằng nút để phân biệt giới hạn và nghiệm.
q, tỉ lệ so với cận của s
Khi q vượt 100, phòng khám phá không thay căn âm bằng 0. Nó bỏ điểm F và báo rằng phương trình không có nghiệm thực.
Tại s = 1/căn 3, điều gì ngăn E được nhận?
Đừng nhầm khoảng của E với khoảng của PE
Ta tìm s trước vì phương trình góc viết đơn giản theo s. Sau đó mới nhân với để ra độ dài. Nếu giữ nguyên đầu trên cho PE thì đã quên đơn vị của tham số. Một phép thử nhanh: s có nghĩa là phần của cạnh, còn PE là một độ dài thực trong hình.
06
Không gian - vectơ - điều kiện tồn tại
Bốn bài giải để chuyển giao phương pháp
Không chỉ nhớ đáp số: hãy luyện cách đi từ một điều kiện mới đến đúng miền của tham số.
Ví dụ 1 - bài trung tâm
Tìm tổng hai đầu khoảng
Bước 1: dựng mô hình. Với đáy vuông cạnh 2 và tam giác PAD vuông cân có AD là cạnh huyền, lấy , , , trong đó , .
Bước 2: dùng góc. Công thức tích vô hướng cho . Khi , suy ra .
Bước 3: xét tồn tại. Một y dương tồn tại đúng khi . Khi đó , nên F thuộc phần trong AB. Hai đường là chéo nhau vì s và y đều dương.
Bước 4: đổi độ dài. , nên tập độ dài là . Do đó , .
Giải thích làm tròn. Chữ số ở hàng phần nghìn là 6, nên tăng chữ số hàng phần trăm từ 1 lên 2. Việc viết m = 0 không nói rằng PE có thể bằng 0; m chỉ là đầu trái của khoảng mở.
Mọi độ dài ở giữa hai cận đều đạt được; hai cận không được nhận vì các điều kiện vị trí.
Ví dụ 2 - biết vị trí E
E đi được một phần ba cạnh PD
Giữ nguyên hình chóp. Cho . Tìm F trong AB sao cho góc giữa PA và EF bằng .
Bước 1. Từ tỉ lệ độ dài, . Giá trị này thuộc , nên trước khi tính ta đã biết một F hợp lệ tồn tại.
Bước 2. Thay vào phương trình: . Vì F ở phía B, chọn , loại nghiệm .
Bước 3. , , . Kiểm tra , nên F đúng miền. Với , có , , cho cos góc bằng .
Kết luận. Có đúng một F trong AB. Nghiệm âm của phương trình bình phương không tạo thêm một F được phép.
Ví dụ 3 - biết vị trí F
AF bằng một phần tư AB
Giữ nguyên hình chóp và góc . Cho . Tìm PE.
Bước 1. Tọa độ của F là , nên . Dùng đúng y là độ dài AF, không dùng tỉ lệ AF/AB = 1/4 thay cho tọa độ.
Bước 2. Từ , có , suy ra . Do E nằm từ P về D, chọn .
Bước 3. nằm giữa 0 và , vì . Do đó E hợp lệ và hai đường chéo nhau.