Phương trình tọa độ có dấu: chọn trục, điểm gặp nhau, giây thứ n
Chuyên đề Vật lí 10: ba lựa chọn tự do (gốc, chiều dương, t = 0) quyết định dấu của x0, v0, a; điểm gặp nhau là một phương trình cùng bộ lọc ba câu hỏi; độ…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ VẬT LÍ 10
ĐẶC BIỆT · VẬT LÍ 10
Một dấu sai,
cả bài sai
Chọn trục, tìm điểm gặp nhau, đọc giây thứ n
Vật lí của chuyển động chỉ có một. Thứ em được tự do chọn là cách mô tả: gốc ở đâu, chiều nào dương, đồng hồ bắt đầu lúc nào. Chọn xong, dấu của x 0 , v 0 , a không còn là chuyện đoán. Bài này biến “một dấu sai” thành một thói quen kiểm tra.
3 lựa chọn
tự do: gốc O, chiều dương, t = 0
1 phương trình
x 1 = x 2 , một trục, một đồng hồ
3 câu hỏi lọc
thời điểm hợp lệ, vị trí trong đoạn, vật còn chuyển động
01
Khái niệm lõi · Mô tả chuyển động thẳng
Ba lựa chọn tự do định ra mọi dấu
Chiếc xe leo dốc là một sự thật vật lí, không biết đến trục tọa độ của em. Để viết nó thành phương trình, em phải chọn gốc tọa độ O , chiều dương và gốc thời gian (lúc t = 0). Ba lựa chọn này hoàn toàn tự do; còn dấu của x 0 , v 0 , a thì do chúng quyết định , không phải để đoán.
BƯỚC 1 · CHỌN GỐC O Đặt O ở một điểm cố định trên đường. Tọa độ x là khoảng cách có dấu từ O tới vật.
BƯỚC 2 · CHỌN CHIỀU DƯƠNG Chọn một hướng làm dương. Đại lượng nào hướng cùng chiều dương thì mang dấu cộng, ngược lại mang dấu trừ.
BƯỚC 3 · CHỌN t = 0 Chọn lúc bắt đầu bấm đồng hồ. Tọa độ và vận tốc lúc ấy là x 0 và v 0 .
BƯỚC 4 · ĐỌC DẤU Nhìn hình thật rồi gán dấu: x 0 theo vị trí so với O, v 0 và a theo hướng so với chiều dương.
x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 · v = v 0 + a t · d = x - x 0
Các đại lượng x, x 0 , v, v 0 , a, d là số đại số (có dấu): x là tọa độ, x 0 là tọa độ lúc t = 0, v 0 và a là hình chiếu của vận tốc và gia tốc lên trục đã chọn, d là độ dịch chuyển (có dấu). Riêng quãng đường s là độ dài thật của đường đi, không bao giờ âm. Vì vậy câu “vật chuyển động với a = -2” chưa có nghĩa gì nếu chưa nói trục hướng nào.
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Hình 1. Cùng một chiếc xe, ba cách đặt trục: các con số x 0 , v 0 , a đổi, nhưng xe vẫn ở chỗ cũ và vẫn chậm dần. Màu xanh là số dương, màu cam đỏ là số âm; dấu luôn được viết kèm bằng chữ số, màu chỉ để hỗ trợ.
Nhanh dần hay chậm dần: nhìn tích v 0 ·a, không nhìn riêng dấu của a
Vật nhanh dần khi gia tốc cùng hướng với vận tốc, chậm dần khi ngược hướng . Với số đại số, “cùng hướng” nghĩa là hai số cùng dấu , tức tích v 0 · a dương. Bảng dưới đây cho biết lúc t = 0 và cho tới khi v đổi dấu (tại t* = -v 0 /a); sau đó v và a cùng dấu nên vật nhanh dần. Nếu a = 0: chuyển động thẳng đều (đứng yên nếu v 0 = 0).
· a dương (hướng theo chiều dương) · a âm (hướng ngược chiều dương)
v 0 dương (đi theo chiều dương) · cùng dấu: nhanh dần · trái dấu: chậm dần
v 0 âm (đi ngược chiều dương) · trái dấu: chậm dần · cùng dấu: nhanh dần
v 0 = 0 (xuất phát từ nghỉ) · tích bằng 0: vật bắt đầu nhanh dần theo hướng của a
Bẫy lớn nhất: “a âm nghĩa là chậm dần”
Hai vật cùng có a = -2 m/s 2 . Vật thứ nhất có v 0 = +6 m/s: sau 1 s vận tốc còn +4 m/s, tốc độ giảm từ 6 xuống 4, chậm dần . Vật thứ hai có v 0 = -6 m/s: sau 1 s vận tốc là -8 m/s, tốc độ tăng từ 6 lên 8, nhanh dần . Cùng a âm, hai kết luận trái ngược, vì dấu của a chỉ có nghĩa khi đặt cạnh dấu của v 0 .
Vì sao tích v 0 ·a là phép thử đúng
Từ v = v 0 + a t suy ra v 2 = v 0 2 + 2 v 0 a t + a 2 t 2 . Số hạng đầu tiên phụ thuộc t là 2 v 0 a t: dương thì tốc độ tăng ngay từ đầu (nhanh dần), âm thì giảm lúc đầu (chậm dần tới khi v = 0, sau đó số hạng a 2 t 2 thắng và vật nhanh dần theo chiều ngược lại). Đảo trục nhân cả v 0 và a với -1, tích giữ nguyên: kết luận không phụ thuộc cách đặt trục.
Lựa chọn 1
Gốc tọa độ O
Đổi: tọa độ x của mọi điểm cùng bị cộng hoặc trừ một hằng số, nên x 0 đổi. Ở hình 1, dời gốc từ chân lên đỉnh làm x 0 từ +40 thành -210.
Không đổi: v, a, độ dịch chuyển d = x - x 0 , quãng đường, thời điểm hai vật gặp nhau.
Lựa chọn 2
Chiều dương
Đổi: khi đổi chiều dương, x, v, a đều nhân với -1 (giữ nguyên O): (x 0 , v 0 , a) = (+40; +8; -0,5) thành (-40; -8; +0,5).
Không đổi: tốc độ |v|, quãng đường, thời điểm gặp nhau, và tích v 0 ·a (vẫn là -4), nên vẫn chậm dần.
Lựa chọn 3
Gốc thời gian
Đổi: nếu bắt đầu bấm giờ muộn hơn 4 s, thì x 0 và v 0 mới là giá trị lúc đó: xe ở 68 m với v 0 = +6 m/s.
Không đổi: gia tốc a = -0,5 m/s 2 và khoảng thời gian giữa hai sự kiện.
02
Hình dung bằng chuyển động thật
Cùng một chuyển động, nhiều cách mô tả
Xe chạy trên dốc dài 250 m, vật lí của nó do ba thanh trượt và hai nhóm nút “Xe đi”, “Tốc độ” quyết định . Còn hai nhóm nút “Chiều dương” và “Gốc O” chỉ đổi cách ghi số . Hãy đổi trục thật nhiều lần và để ý: xe không hề chạy khác đi, chỉ có x 0 , v 0 , a, phương trình và đồ thị đổi.
Phòng lab 1: một xe, bốn cách đặt trục TƯƠNG TÁC · MÔ PHỎNG CHUYỂN ĐỘNG
Mặc định: xe cách chân dốc 40 m, leo dốc 8 m/s, chậm dần 0,5 m/s 2 . Bấm “Chạy” để xem xe và con trỏ đỏ trên đồ thị x theo t.
Chiều dương: Gốc O ở:
Xe đi: Tốc độ:
Vuốt ngang để xem toàn bộ sơ đồ.
Xe xuất phát cách chân dốc: 40 m
Tốc độ đầu: 8,0 m/s
Độ lớn gia tốc: 0,50 m/s 2
Thời gian: 0,0 s
Tọa độ đầu x 0
Vận tốc đầu v 0
Gia tốc a
Tích v 0 ·a
Tọa độ x lúc này
Vận tốc v lúc này
Cách chân dốc (không đổi theo trục)
Thời điểm quay đầu t*
Phương trình tọa độ
Phương trình vận tốc
Mô hình: chất điểm trượt trên dốc nhẵn, gia tốc không đổi (kể cả sau khi dừng một thoáng rồi chạy ngược), chuyển động thẳng dọc dốc; dừng khi xe rời hai đầu dốc hoặc sau 20 s.
Thử ngay
Đổi chiều dương: x 0 , v 0 , a đổi dấu nhưng tích v 0 ·a và kết luận không đổi. Chọn “Xe đi xuống dốc” và “Nhanh dần”: ở trục dương lên dốc, a âm mà xe nhanh dần . Kéo tốc độ đầu về 0: tích bằng 0, quy tắc “cùng dấu” không còn áp dụng.
03
Quy luật · Điểm gặp nhau
Gặp nhau là một phương trình, nhưng nghiệm toán học chưa chắc là nghiệm vật lí
Hai vật gặp nhau khi chúng có cùng tọa độ tại cùng một thời điểm . Câu này chỉ có nghĩa khi hai tọa độ được đo trên cùng một trục , từ cùng một gốc , bằng cùng một đồng hồ . Khi đó điều kiện gặp nhau chỉ là một phương trình: x 1 ( t ) = x 2 ( t ) , một ẩn là t.
BƯỚC 1 · MỘT TRỤC Viết x 1 (t) và x 2 (t) trên cùng một trục, cùng một gốc thời gian.
BƯỚC 2 · CÂN BẰNG Cho x 1 = x 2 , chuyển về dạng p t 2 + q t + r = 0.
BƯỚC 3 · BIỆT THỨC D D cho biết có 0, 1 hay 2 nghiệm toán học.
BƯỚC 4 · BỘ LỌC Mỗi nghiệm phải trả lời ba câu hỏi vật lí mới được coi là một lần gặp.
BƯỚC 5 · BÁO CÁO Nói vị trí từ đúng mốc đề hỏi: x hay L - x.
x 2 - x 1 = 0 suy ra a 2 - a 1 2 t 2 + ( v 02 - v 01 ) t + ( x 02 - x 01 ) = 0
tức p t 2 + q t + r = 0 với p = ( a 2 - a 1 )/2, q = v 02 - v 01 , r = x 02 - x 01 ; D = q 2 - 4 p r ; t = (- q + căn D )/(2 p ) hoặc t = (- q - căn D )/(2 p )
Thật ra vế trái x 2 - x 1 là tọa độ của một chuyển động tưởng tượng : “vật hiệu” có tọa độ đầu x 02 - x 01 , vận tốc đầu v 02 - v 01 và gia tốc a 2 - a 1 . Hai vật gặp nhau đúng lúc vật hiệu đi qua gốc. Biệt thức (thường viết bằng chữ đen-ta, ở đây viết là D) chỉ trả lời một câu hỏi: theo công thức, vật hiệu có chạm tới gốc không?
D lớn hơn 0: hai nghiệm, hai đường x theo t cắt nhau ở hai điểm. D = 0: nghiệm kép, hai đường tiếp xúc, “vừa kịp chạm”, lúc đó hai vận tốc bằng nhau. D nhỏ hơn 0: vô nghiệm theo công thức ban đầu (nếu có vật dừng giữa chừng, phải xét thêm giai đoạn sau khi nó dừng: tọa độ của vật dừng là hằng số, giải lại). p = 0: phương trình bậc nhất, tối đa một nghiệm.
Bộ lọc ba câu hỏi cho mỗi nghiệm
Câu hỏi 1
Thời điểm có hợp lệ không?
Phải có t lớn hơn hoặc bằng 0 . Nếu vật thứ hai xuất phát muộn t 0 giây, tọa độ của nó viết theo t - t 0 và chỉ có nghĩa khi t lớn hơn hoặc bằng t 0 ; nghiệm nhỏ hơn t 0 bị loại.
Câu hỏi 2
Vị trí có nằm trong đoạn đường không?
Con đường chỉ dài L. Tọa độ gặp nhau phải thỏa 0 nhỏ hơn hoặc bằng x nhỏ hơn hoặc bằng L, và hai vật phải chưa ra khỏi đoạn đường trước đó. Giá trị x âm hay lớn hơn L là vật đã ở ngoài mô hình.
Câu hỏi 3
Vật còn chuyển động theo công thức không?
Vật hãm tới lúc v = 0, tức t = -v 0 /a, rồi có hai khả năng: (1) vật đứng yên hẳn (ví dụ xe phanh): công thức chỉ đúng tới lúc đó, về sau vị trí của nó là hằng số x = x dừng , phải giải lại; (2) trên dốc nhẵn, vật trượt ngược lại với cùng gia tốc: công thức vẫn đúng cho tới khi vật rời đoạn đường. Phải biết mô hình nào trước khi nhận một nghiệm lớn.
Thói quen sai: “nghiệm nhỏ lấy, nghiệm lớn bỏ”
Nghiệm lớn có thể hợp lệ (trên dốc nhẵn vật quay lại và gặp lần hai), nghiệm nhỏ có thể bị loại (âm, hoặc nhỏ hơn t 0 ). Chỉ bộ lọc ba câu hỏi mới quyết định.
Ví dụ xuất phát muộn
Phải dùng t - t 0
Đường dài 100 m, trục dương lên đỉnh. A xuất phát lúc t = 0 từ chân, chạy đều 4 m/s: x 1 = 4t. B xuất phát từ đỉnh sau 5 s, chạy xuống đều 6 m/s: x 2 = 100 - 6( t - 5) với t lớn hơn hoặc bằng 5. Cân bằng: 4t = 130 - 6t, nên t = 13 s , x = 52 m (cách chân), cách đỉnh 48 m. Nếu quên dời t 0 và viết x 2 = 100 - 6t, em được t = 10 s, x = 40 m: sai cả thời điểm lẫn vị trí.
Đường tắt khi a 1 = a 2
Số hạng t 2 triệt tiêu
Nếu hai vật có cùng giá trị đại số của gia tốc trên cùng một trục , và cả hai cùng bắt đầu chuyển động lúc t = 0, thì p = 0 và phương trình chỉ còn q t + r = 0, tức t = ( x 02 - x 01 )/( v 01 - v 02 ) . Chuyển động của vật hiệu là chuyển động thẳng đều : nó đi qua gốc tối đa một lần, và thời điểm gặp không phụ thuộc gia tốc chung , miễn là cả hai còn chuyển động theo công thức.
Cuối cùng là báo cáo đúng mốc : nếu x tính từ chân dốc thì điểm gặp cách chân x mét và cách đỉnh L - x mét; đọc kĩ đề hỏi mốc nào.
Phòng lab 2: phòng thí nghiệm điểm gặp nhau TƯƠNG TÁC · MÔ PHỎNG CHUYỂN ĐỘNG
Hai vật trên dốc dài 250 m: vật 1 là A (xuất phát từ chân dốc, x = 0), vật 2 là B; trục dương lên dốc, O ở chân. Dòng chữ dưới mỗi nhóm thanh trượt đọc lại bằng lời. Đường liền là chuyển động thật, đường đứt là công thức kéo dài; chấm vàng là lần gặp hợp lệ, dấu chéo đỏ là nghiệm bị loại.
Ví dụ có sẵn:
Sau khi v = 0:
Vuốt ngang để xem toàn bộ sơ đồ.
v 0A : 12,0 m/s
a A : -0,50 m/s 2
x 0B : 250 m
v 0B : -3,0 m/s
a B : -0,25 m/s 2
Thời gian: 0,0 s
Tọa độ của A
Tọa độ của B
Phương trình gặp nhau x 2 - x 1 = 0
Biệt thức
Mô hình: hai chất điểm trên dốc thẳng, gia tốc không đổi. “Xe dừng hẳn”: vật hãm giữ nguyên vị trí từ lúc v = 0. “Vật tiếp tục trượt”: gia tốc không đổi mãi (dốc nhẵn), vật có thể quay lại. Vật ra khỏi đoạn [0; 250] m thì rời mô hình. Mô phỏng chuyển động dừng ở lần gặp đầu tiên.
Thử trong lab
“Hai nghiệm”: ở chế độ “xe dừng hẳn” chỉ có lần gặp lúc A đi lên; chuyển sang “trượt” thì A quay lại và gặp lần hai. “Vừa kịp chạm”: D = 0, A tới B đúng lúc dừng. Một ca khó: ở “xe dừng hẳn”, đặt a B = 0 trong “Ví dụ chuẩn”: phương trình vô nghiệm, nhưng B vẫn tới chạm chiếc xe A đã dừng ở 144 m. Đó là lần gặp thuộc giai đoạn sau khi A dừng, mà phương trình ban đầu không bắt được.
04
Tự dự đoán trước khi xem đáp án
Bốn tình huống nhanh
Xe có (x 0 ; v 0 ; a) = (+40 m; +8 m/s; -0,5 m/s 2 ) khi chiều dương lên dốc, O ở chân dốc. Em đảo chiều dương thành xuống dốc, vẫn giữ O ở chân dốc. Điều gì xảy ra?
Phương trình gặp nhau t 2 - 120t + 2000 = 0 (dạng nhân 8 của 0,125t 2 - 15t + 250 = 0 mà phòng lab 2 hiển thị cho A và B của “Ví dụ chuẩn”) có hai nghiệm t = 20 s và t = 100 s. Vật A (đi lên 12 m/s, hãm 0,5 m/s 2 ) dừng lúc 24 s trên dốc dài 250 m. Nghiệm nào là lúc hai vật gặp nhau?
Hai vật trên cùng một trục, cùng xuất phát lúc t = 0 và có cùng gia tốc a (cùng giá trị đại số). Chúng gặp nhau tối đa mấy lần, và thời điểm gặp có phụ thuộc a không (miễn là cả hai còn chuyển động theo công thức)?
Vật xuất phát từ nghỉ, nhanh dần với gia tốc không đổi. Tỉ số độ dịch chuyển trong giây thứ nhất và giây thứ hai là bao nhiêu?
05
Tư duy nguyên lí · Tự nghĩ trước rồi mới mở
Một tình huống, tám bước, không bước nào đoán dấu
Tình huống khái niệm: một dốc dài 250 m. Vật A ở chân dốc đi lên với 12 m/s và hãm với gia tốc không đổi có độ lớn 0,5 m/s 2 . Cùng lúc đó, vật B ở đỉnh dốc đi xuống với 3 m/s và nhanh dần với gia tốc không đổi có độ lớn 0,25 m/s 2 . Hai vật gặp nhau lúc nào, cách chân dốc và cách đỉnh dốc bao nhiêu?
Trước khi mở gợi ý, em hãy tự viết bốn thứ ra giấy: (1) trục em chọn; (2) bộ ba dấu của mỗi vật; (3) phương trình gặp nhau; (4) nghiệm nào qua bộ lọc. Rồi mở từng phần để đối chiếu.
Gợi ý 1 · Trục trước, công thức sau
Hãy trả lời bằng lời trước khi viết chữ nào: gốc O đặt ở đâu, chiều dương hướng nào, mỗi vật đi cùng chiều hay ngược chiều dương, gia tốc của mỗi vật cùng hướng hay ngược hướng với vận tốc của chính nó? “Hãm” và “nhanh dần” là thông tin về quan hệ giữa a và v , chưa phải dấu của a.