Dao động tắt dần, cưỡng bức và cộng hưởng: ma sát, đường cong cộng hưởng, tốc độ nguy hiểm và cân bằng công suất
Chuyên đề Vật lí 11: dao động riêng, tắt dần (ma sát trượt giảm theo cấp số cộng, cản nhớt giảm theo cấp số nhân), dao động duy trì, dao động cưỡng bức và…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ VẬT LÍ 11
TẮT DẦN · CƯỠNG BỨC · CỘNG HƯỞNG
Một nhịp riêng,
một nhịp ép buộc , một cú cộng hưởng
Từ hai câu hỏi (năng lượng đi đâu, ai quyết định nhịp), bạn suy ra quy luật tắt dần, đường cong cộng hưởng, giai đoạn chuyển tiếp, tốc độ nguy hiểm của xe và cân bằng công suất.
- 1. Ma sát giảm cấp số cộng, cản nhớt giảm cấp số nhân
- 2. Cưỡng bức ổn định theo nhịp của lực, cộng hưởng khi f = f0
- 3. Đỉnh cao và hẹp tỉ lệ nghịch với cản: A = Q·F0/k
phòng thí nghiệm tương tác
bí kíp có chỗ vỡ
hiểu lầm được phản ví dụ
01
Khái niệm lõi
Hai câu hỏi cho mọi loại dao động
Một hệ dao động có nhịp riêng f0 do chính nó quyết định (khối lượng m, độ cứng k). Mọi chuyện về tắt dần, duy trì, cưỡng bức và cộng hưởng chỉ là trả lời hai câu hỏi: năng lượng đi đâu và ai bù lại? và ai quyết định nhịp? . Nắm hai câu này, bạn không cần học thuộc từng loại.
f0 = (1/(2·pi))·căn(k/m) | T0 = 2·pi·căn(m/k) | Q = 2·pi·f0·m/b
m: khối lượng (kg), k: độ cứng (N/m), b: hệ số cản nhớt (kg/s), g = 9,8 m/s 2 . Q là hệ số phẩm chất: Q càng lớn, cản càng nhỏ so với quán tính và độ cứng.
DAO ĐỘNG RIÊNG Không cản: biên độ không đổi, nhịp f0
TẮT DẦN Có cản: cơ năng thành nhiệt, biên độ giảm
DUY TRÌ Hệ tự đóng mở nguồn, bù đúng phần mất, nhịp vẫn f0
CƯỠNG BỨC Ngoại lực tuần hoàn từ ngoài: nhịp theo ngoại lực
CỘNG HƯỞNG Nhịp ngoại lực trùng f0: biên độ cực đại
Loại · Năng lượng · Biên độ · Tần số dao động · Ví dụ
Dao động riêng (lí tưởng) · bảo toàn · không đổi · f0 · lò xo không ma sát (mô hình)
Tắt dần · mất dần thành nhiệt · giảm dần · gần như f0 khi cản nhỏ · con lắc trong không khí, xe nhún sau ổ gà
Duy trì · nguồn bù vừa đủ phần mất · không đổi · đúng f0 · đồng hồ quả lắc
Cưỡng bức (ổn định) · nạp vào bằng hao đi · không đổi, tùy f, F0, cản · bằng tần số ngoại lực · màng loa, máy giặt rung, xe qua rãnh
Cộng hưởng · nạp vào lớn nhất · cực đại · f = f0 · xích đu đẩy đúng nhịp, hộp đàn
Vì sao chia như vậy
Có ba đại lượng độc lập: năng lượng bị lấy đi (cản), năng lượng được nạp (nguồn) và nhịp của nguồn . Tắt dần chỉ có phần đầu. Duy trì thêm một nguồn do hệ điều khiển nên nhịp giữ nguyên. Cưỡng bức thêm một nguồn độc lập với hệ , nên nhịp là của nguồn; và chỉ khi nhịp ấy trùng f0, mỗi cú đẩy cộng thẳng vào chuyển động, ta có cộng hưởng.
02
Tắt dần
Ma sát trượt và cản nhớt cho hai quy luật khác nhau
Kéo thanh thời gian hoặc bấm Phát. Chuyển giữa hai kiểu cản và nhìn đường bao (nét vàng đứt): với ma sát trượt đó là đường thẳng , với cản nhớt là đường cong mũ . Hai kiểu cản cho hai quy luật giảm hoàn toàn khác nhau.
ma sát trượt: x0 = mu·m·g/k | A mỗi chu kì = 4·mu·m·g/k | S = k·A 2 /(2·mu·m·g)
x0 là vị trí cân bằng tạm: mỗi nửa chu kì vật dao động quanh x0 hoặc -x0 (tùy chiều chuyển động), nên mỗi nửa chu kì biên độ giảm 2·x0.
Phòng thí nghiệm 1 · Tắt dần: ma sát trượt và cản nhớt LAB 1
li độ x(t) đường bao biên độ thời điểm đang xem
Thời điểm t
Độ cứng k
Khối lượng m
Biên độ ban đầu A
Hệ số ma sát mu
Hệ số cản nhớt b
Cách đọc lab
Đặt mặc định (k = 40 N/m, m = 0,10 kg, mu = 0,10, A = 8 cm, g = 9,8 m/s 2 ). Ma sát trượt: x0 = 2,45 mm , biên độ giảm 9,80 mm mỗi chu kì, vật dừng sau 16 nửa chu kì (8 chu kì trọn) tại 1,60 mm cách O, đã đi quãng đường 130,56 cm . Chuyển sang cản nhớt với b = 0,10 kg/s: Tc = 2,00 s , mỗi chu kì biên độ còn 0,855 lần, cơ năng mất 27,0% .
Vì sao giảm 2·x0 mỗi nửa chu kì
Đi từ biên độ A sang phía đối diện A', công của ma sát là mu·m·g·(A + A'). Độ giảm thế năng đàn hồi là k·(A 2 - A' 2 )/2 = k·(A + A')·(A - A')/2. Cân bằng hai vế: A - A' = 2·mu·m·g/k = 2·x0 , không phụ thuộc A.
Quãng đường tổng
Toàn bộ cơ năng ban đầu k·A 2 /2 bị ma sát tiêu hao trên quãng đường S: S = k·A 2 /(2·mu·m·g) = 130,61 cm (mặc định). Giá trị chính xác 130,56 cm vì cuối cùng lò xo còn giữ một chút thế năng ở vị trí dừng; hai số lệch nhau chưa tới 0,1%.
Giới hạn của mô hình
Lab dùng ma sát trượt không đổi và coi lực ma sát nghỉ cực đại bằng ma sát trượt. Vật dừng hẳn khi k·|x| không vượt quá mu·m·g, tức là tại một vị trí lệch khỏi O , không phải ở O. Cản nhớt thật (nhớt, không khí chậm) tỉ lệ vận tốc; ở tốc độ lớn cản không khí tỉ lệ v 2 và đường bao nằm giữa hai kiểu.
03
Cộng hưởng
Biên độ theo tần số lực, theo cản và theo pha
Hệ cố định m = 0,5 kg; bạn chọn f0, cản b và lực F0. Đặt r = f/f0 : toàn bộ đường cong chỉ phụ thuộc r và Q.
A = A tĩnh / căn( (1 - r 2 ) 2 + (r/Q) 2 ) | A tĩnh = F0/k
Tại r = 1: A = Q·A tĩnh = F0/(b·2·pi·f0). Dải cộng hưởng có độ rộng khoảng f0/Q. Đỉnh thật nằm ở f0·căn(1 - 1/(2·Q 2 )), nhỏ hơn f0 một chút khi cản không quá bé.
Phòng thí nghiệm 2 · Đường cong cộng hưởng và trễ pha LAB 2
so sánh với cản b/2 và 2b
cản b (đang chọn) cản b/2 cản 2b vạch f0
Tần số lực f
Tần số riêng f0
Hệ số cản b
Biên độ lực F0
Biên độ A tại f (cm)
Trễ pha của x so với lực (độ)
Biên độ cực đại (cm)
Tần số đỉnh (Hz)
Hệ số phẩm chất Q
Biên độ tĩnh F0/k (cm)
Công suất trung bình nạp vào (W)
f (Hz) · r = f/f0 · Biên độ A (cm) · Trễ pha (độ) · Vùng
0,5 · 0,25 · 0,68 · 1,2 · vật đi theo lực: A gần F0/k = 0,63 cm
1,4 · 0,70 · 1,23 · 6,2 · đang tăng, A gấp 1,95 lần A tĩnh
2,0 · 1,00 · 7,96 · 90,0 · cộng hưởng : A = Q·A tĩnh , chậm pha 90 độ
3,0 · 1,50 · 0,50 · 174,5 · trên f0: giảm nhanh, trễ pha tiến về 180 độ
4,0 · 2,00 · 0,21 · 177,0 · xa f0: A nhỏ, xấp xỉ A tĩnh /r 2
Bảng ứng với m = 0,5 kg, f0 = 2 Hz, b = 0,5 kg/s, F0 = 0,5 N: Q = 12,57.
Cản làm gì với đỉnh
Giảm b một nửa: đỉnh cao gấp đôi, dải hẹp một nửa. Với b = 0,5 kg/s đỉnh là 7,96 cm tại 1,997 Hz; tăng b lên 10 kg/s (Q = 0,63) thì đỉnh biến mất, biên độ chỉ giảm dần theo f.
Lực lớn hay nhỏ
F0 chỉ nhân cả đường cong lên hoặc xuống: gấp đôi F0 thì mọi biên độ gấp đôi, vị trí đỉnh và hình dạng không đổi . Điều kiện cộng hưởng nói về tần số, không nói về độ lớn của lực.
Thử ngay
Kéo f từ 0,2 đến 5 Hz và nhìn điểm cam: biên độ tăng, vượt đỉnh rồi rơi nhanh. Đặt b = 0,1 và để f lệch f0 chỉ 0,1 Hz: biên độ đã giảm rất nhiều, vì dải cộng hưởng chỉ rộng f0/Q = 0,03 Hz.
04
Cưỡng bức theo thời gian
Chuyển tiếp rồi ổn định ở nhịp của lực
Vật nặng 0,5 kg bắt đầu đứng yên tại O rồi chịu lực F0 cos(2·pi·f·t) với F0 = 0,5 N. Ban đầu có hai dao động chồng lên nhau : dao động riêng tắt dần (nhịp gần f0) và dao động ổn định (nhịp f). Sau chừng 3·Tc phần riêng biến mất, chỉ còn nhịp của lực.
Phòng thí nghiệm 3 · Dao động cưỡng bức theo thời gian: chuyển tiếp rồi ổn định LAB 3
phần ổn định (tần số của lực) phần dao động riêng (chuyển tiếp)
li độ thực x(t) phần ổn định phần riêng tắt dần biên độ ổn định
Tần số lực f
Tần số riêng f0
Hệ số cản b
Thời gian quan sát
Tần số lực f (Hz)
Tần số riêng f0 (Hz)
Biên độ ổn định theo lí thuyết (cm)
Biên độ đo ở cuối (cm)
Tần số đo ở cuối (Hz)
Hằng số tắt Tc = 2m/b (s)
Phần riêng tắt hết sau khoảng 3·Tc (s)
Mặc định: f = 3 Hz, f0 = 2 Hz
Tc = 2,00 s . Trong vài giây đầu đường thực vẽ ra phách (hai tần số lệch nhau 1 Hz). Sau khoảng 6 s phần cam gần như tắt, đường thực trùng đường ổn định ở 0,50 cm , dao động đúng 3 Hz chứ không phải 2 Hz.
Cộng hưởng: f = f0
Đặt f = f0 = 2 Hz: biên độ không nhảy ngay lên đỉnh mà tăng dần , xấp xỉ A res ·(1 - e -t/Tc ). Sau một khoảng Tc, tức Tc·f0 = Q/pi = 4,0 chu kì , biên độ đạt khoảng 63% giá trị cực đại. Cản càng nhỏ, cầu sập càng cần nhiều chu kì để đạt biên độ phá hoại.
Vì sao có giai đoạn chuyển tiếp
Phương trình của hệ tuyến tính: nghiệm tổng quát = nghiệm riêng (ổn định, theo lực) + nghiệm của phương trình thuần nhất (dao động riêng tắt dần). Điều kiện đầu ban đầu chưa khớp với phần ổn định nên phần riêng xuất hiện để bù. Cản chỉ cần vài Tc để làm nó biến mất, còn phần ổn định tồn tại chừng nào lực còn tác dụng.
Khi nào đọc kết quả đo
Số đo "ở cuối" chỉ đáng tin khi phần cam đã gần bằng 0 (lab sẽ báo). Với b rất nhỏ, ví dụ b = 0,1 và f gần f0, phần riêng sống tới hàng chục giây: hãy tăng thời gian quan sát lên 40 s trước khi kết luận về tần số và biên độ.
05
Ghép lại
Một chuỗi suy luận cho xe qua dãy rãnh
Đây là chuỗi suy luận cho bài toán cộng hưởng kinh điển trong thực tế: xe chạy trên mặt đường có các rãnh ngang cách đều. Mỗi lần bánh gặp rãnh là một cú đẩy; nhịp các cú đẩy là f = v/L. Mọi số liệu dưới đây là mô hình minh họa: phần treo m = 1000 kg trên hệ lò xo tổng k = 1,0·10 5 N/m.
1 · Nhịp riêng f0 = (1/(2·pi))·căn(k/m) = (1/(2·pi))·căn(100) = 1,59 Hz (T0 = 0,628 s)
2 · Nhịp ngoại lực Rãnh cách đều L = 8 m, xe chạy tốc độ v: f = v/L
3 · Điều kiện cộng hưởng f = f0 suy ra v = f0·L = 1,592·8 = 12,73 m/s = 45,8 km/h
4 · Thêm tải 250 kg m = 1250 kg: f0 = 1,42 Hz, v = 11,39 m/s = 41,0 km/h (nhỏ hơn)
5 · Chạy nhanh hơn nhiều v = 2·v res = 25,5 m/s: r = 2, biên độ chỉ còn khoảng 1/3 biên độ tĩnh
Tốc độ (km/h) · v (m/s) · r = f/f0 · A / A tĩnh (Q = 10) · Nhận xét
22,9 · 6,37 · 0,50 · 1,33 · chậm: xe nhún theo mặt đường
36,7 · 10,19 · 0,80 · 2,71 · bắt đầu rung mạnh dần
41,3 · 11,46 · 0,90 · 4,76 · rất gần vùng cộng hưởng
45,8 · 12,73 · 1,00 · 10,00 · tốc độ nguy hiểm : A = Q·A tĩnh
50,4 · 14,01 · 1,10 · 4,22 · vừa vượt qua đỉnh
57,3 · 15,92 · 1,25 · 1,74 · giảm nhanh
91,7 · 25,46 · 2,00 · 0,33 · êm hơn cả lúc chậm
Tại sao chạy 92 km/h qua dãy rãnh này lại êm hơn chạy 46 km/h?
Gợi ý 1: so r
46 km/h cho r = 1 (cộng hưởng), 92 km/h cho r = 2. Biên độ phụ thuộc r qua A = A tĩnh / căn((1 - r 2 ) 2 + (r/Q) 2 ).
Gợi ý 2: tính
Với r = 2 và Q = 10: căn((1 - 4) 2 + 0,04) = 3,003, nên A = A tĩnh /3,003 = 0,333 A tĩnh . Với r = 1: A = Q·A tĩnh = 10 A tĩnh .
Giải thích
Ở tần số cao, mỗi cú đẩy đổi chiều quá nhanh nên vật chưa kịp đi theo đã bị kéo ngược lại: biên độ rơi theo 1/r 2 . Xe êm hơn, nhưng để chạm tới tốc độ ấy xe vẫn phải đi qua vùng cộng hưởng: tăng tốc nhanh qua vùng này tránh biên độ kịp lớn lên (lab 3).
Bẫy đơn vị và phép chia
f = v/L (Hz = m/s chia m). Cộng hưởng khi v = f0·L , tức nhân, không phải L/f0. Đổi đơn vị: km/h = m/s nhân 3,6. Quên nhân 3,6 là lỗi hay gặp nhất: 12,73 m/s là 45,8 km/h chứ không phải 12,73 km/h.
06
Bộ khung suy luận
Tám bí kíp: quy tắc, lí do và chỗ vỡ
Tám bí kíp theo trình tự của chuỗi: tắt dần, nhịp, cộng hưởng, năng lượng. Mỗi bí kíp có quy tắc, lí do và điều kiện khiến nó vỡ.
Cản làm biên độ giảm, nhịp gần như đứng yên
Quy tắc Tắt dần: cơ năng giảm nên biên độ giảm; chu kì vẫn gần T = 2·pi·căn(m/k). Với ma sát trượt, chu kì đúng bằng T. Mặc định lab 1: T = 0,314 s.
Vì sao Cản chỉ lấy năng lượng đi; nhịp do m và k quyết định.
Khi nào vỡ Vỡ khi cản nhớt lớn: chu kì dài ra; tới b = 2·căn(m·k) (cản tới hạn) vật không còn dao động mà trườn về O.
Ma sát trượt: mỗi chu kì giảm đúng 4·mu·m·g/k
Quy tắc x0 = mu·m·g/k; mỗi nửa chu kì giảm 2·x0; A = 4·x0; số chu kì N = A/ A; S = k·A 2 /(2·mu·m·g). Mặc định: A = 9,8 mm, N = 8,16, S = 130,6 cm.
Vì sao Công ma sát mu·m·g·(A + A') bằng độ giảm thế năng k·(A 2 - A' 2 )/2.
Khi nào vỡ Vỡ khi A không lớn hơn x0 (vật đứng yên); vật dừng tại |x| không vượt quá x0 chứ không ở O; N = A/ A chỉ chính xác nếu coi là số thực.
Ma sát giảm cấp số cộng, cản nhớt giảm cấp số nhân
Quy tắc Ma sát trượt: biên độ trừ một lượng cố định mỗi chu kì, dừng hẳn sau hữu hạn chu kì. Cản nhớt: biên độ nhân một tỉ số cố định mỗi chu kì (0,855 ở mặc định), không bao giờ dừng hẳn.
Vì sao Lực ma sát trượt không đổi; lực cản nhớt nhỏ đi khi vật chậm lại.
Khi nào vỡ Vỡ khi có cả hai loại cản, hoặc cản không khí ở tốc độ lớn tỉ lệ v 2 : đường bao nằm giữa hai kiểu.
Cơ năng tỉ lệ bình phương biên độ
Quy tắc W = k·A 2 /2. Biên độ giảm p% mỗi chu kì thì cơ năng mất 1 - (1 - p) 2 : giảm 2% mất 3,96%, giảm 3% mất 5,91%.
Vì sao Biên độ nhân với hệ số (1 - p) thì cơ năng nhân (1 - p) 2 .
Khi nào vỡ Vỡ khi cản rất lớn: biên độ giảm đáng kể ngay trong một chu kì nên "phần trăm mỗi chu kì" chỉ là số xấp xỉ.
Ai quyết định nhịp: duy trì là hệ, cưỡng bức là ngoại lực
Quy tắc Duy trì (đồng hồ quả lắc): hệ tự đóng mở nguồn đúng pha để bù phần mất, nhịp vẫn là f0. Cưỡng bức: ngoại lực tuần hoàn độc lập với hệ, nhịp là của ngoại lực.
Vì sao Trong duy trì, dao động điều khiển nguồn; trong cưỡng bức, nguồn điều khiển dao động.
Khi nào vỡ Vỡ lúc mới đặt lực: giai đoạn chuyển tiếp còn cả nhịp f0 (lab 3). Cũng vỡ khi nguồn bù sai pha: không còn duy trì.
Cưỡng bức ổn định: tần số lấy của lực, biên độ so f với f0
Quy tắc Hỏi "dao động với tần số nào" thì đáp tần số của lực. Hỏi "biên độ lớn hay nhỏ" thì tính r = f/f0: r nhỏ hơn 1 thì A gần F0/k; r gần 1 thì cao; r lớn hơn 1 thì A xấp xỉ A tĩnh /r 2 .