Mọi dao động nhỏ đều là lò xo: nghệ thuật tìm độ cứng hiệu dụng
Một ý tưởng dùng cho năm cỗ máy: dịch nhỏ khỏi cân bằng, khai triển thế năng đến bậc hai, đọc độ cứng hiệu dụng và khối lượng hiệu dụng. Sáu kỹ thuật, sáu…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ VẬT LÝ 12 NÂNG CAO
DAO ĐỘNG NHỎ · THẾ NĂNG · BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN LÝ
Mọi dao động nhỏ
đều là lò xo:
nghệ thuật tìm độ cứng hiệu dụng
Một hạt trượt trong máng nghiêng, một màng micro, một cảm biến gia tốc cỡ micromet, một cột khí dưới pít-tông. Năm cỗ máy, năm cuốn sách giáo khoa khác nhau, nhưng đề thi chỉ hỏi một câu: dao động nhỏ quanh cân bằng có tần số bao nhiêu? Chuyên đề này dạy em đúng một động tác để trả lời cả năm: dịch một chút, khai triển đến bậc hai, đọc độ cứng hiệu dụng .
- 1. Cân bằng: tìm chỗ lực bằng 0, hay U'=0
- 2. Dịch nhỏ: khai triển thế năng đến bậc hai
- 3. Đọc k_{\mathrm{hd}} và m_{\mathrm{hd}}, rồi kiểm dấu
1 ý tưởng
dùng được cho cả năm cỗ máy
6 phòng lab
kéo thanh trượt, xem parabol, tần số và điểm mất ổn định
16 bài
giải từng bước, có kiểm đơn vị và giới hạn
01
Ý tưởng cốt lõi
Gần cân bằng, mọi giếng thế năng đều là một parabol
Đề thi chuyên và đề học sinh giỏi rất hay cho một hệ trông rất lạ: bi trượt trong máng nửa trụ nghiêng, màng micro treo bằng nhiều lò xo, bản kim loại giữa hai bản tụ điện, khí van der Waals dưới pít-tông. Em không cần học thuộc năm lời giải. Em chỉ cần nhận ra rằng với dịch chuyển đủ nhỏ, hệ nào cũng là một con lắc lò xo , rồi tìm cho ra độ cứng và khối lượng của con lắc lò xo ấy.
Quanh đáy giếng, đường cong thật và parabol gần như trùng nhau. Độ cong của parabol tại đáy chính là độ cứng hiệu dụng của hệ.
Vì sao thế năng gần cân bằng luôn là parabol
Gọi q là toạ độ mô tả trạng thái (một độ dài, một góc, một thể tích, một điện tích) và q_0 là vị trí cân bằng. Khai triển Taylor thế năng quanh q_0:
U(q)=U(q_0)+U'(q_0)\,(q-q_0)+\tfrac12\,U''(q_0)\,(q-q_0)^{2}+\tfrac16\,U'''(q_0)\,(q-q_0)^{3}+\cdots
Tại cân bằng lực tổng hợp bằng không, tức U'(q_0)=0, nên số hạng bậc nhất biến mất. Hằng số U(q_0) không ảnh hưởng đến chuyển động. Nếu độ dịch x=q-q_0 đủ nhỏ thì số hạng bậc ba trở đi nhỏ hơn rất nhiều so với số hạng bậc hai, và còn lại
U\approx U(q_0)+\tfrac12\,k_{\mathrm{hd}}\,x^{2},\qquad k_{\mathrm{hd}}=U''(q_0).
Động năng cũng vậy. Tại bậc thấp nhất nó có dạng T=\tfrac12\,m_{\mathrm{hd}}\,\dot x^{2} với m_{\mathrm{hd}} là khối lượng (hay mômen quán tính) hiệu dụng. Thế năng parabol cộng động năng bậc hai chính là dao động điều hoà:
\omega=\sqrt{\dfrac{k_{\mathrm{hd}}}{m_{\mathrm{hd}}}},\qquad T=2\pi\sqrt{\dfrac{m_{\mathrm{hd}}}{k_{\mathrm{hd}}}}.
1 · CÂN BẰNG Giải U'(q_0)=0, hoặc cho tổng lực bằng không. Nếu có nhiều nghiệm, chọn nghiệm đề hỏi.
2 · DỊCH NHỎ Đặt q=q_0+x và khai triển mọi thứ đến đúng bậc hai theo x.
3 · ĐỌC Hệ số của \tfrac12x^{2} là k_{\mathrm{hd}}, hệ số của \tfrac12\dot x^{2} là m_{\mathrm{hd}}. Suy ra \omega.
4 · KIỂM Dấu của k_{\mathrm{hd}}, đơn vị, và giới hạn quen thuộc (tắt một hiệu ứng thì về công thức cũ).
Ba kết cục có thể xảy ra
k hd lớn hơn 0
Cân bằng bền
Giếng thế năng lõm lên. Vật dao động điều hoà quanh q_0 với tần số góc \omega=\sqrt{k_{\mathrm{hd}}/m_{\mathrm{hd}}}. Đây là trường hợp của hầu hết đề bài.
k hd bằng 0
Điểm tới hạn
Số hạng bậc hai biến mất, phải xét tiếp bậc bốn. Dao động không còn điều hoà và chu kì phụ thuộc biên độ . Màng lò xo không có sức căng trước là ví dụ.
k hd nhỏ hơn 0
Mất ổn định
Giếng thành đỉnh đồi. Vật rời xa q_0 theo hàm mũ: con lắc ngược đổ, thanh bị cong vênh, bản tụ bị kéo sập. Đề thường hỏi điều kiện ngưỡng.
Vì sao em không cần giải phương trình đầy đủ
Phương trình chuyển động đầy đủ thường là phi tuyến và không giải được bằng công thức. Nhưng đề chỉ hỏi dao động nhỏ . Khi đó mọi sai khác giữa phương trình thật và phương trình tuyến tính đều là vô cùng bé bậc cao. Tuyến tính hóa không phải là gần đúng cho dễ, mà là đúng đến bậc thấp nhất, và bậc thấp nhất là thứ đề hỏi.
Đoán trước khi tính
Một thanh nhẹ dài \ell có bản lề ở đầu dưới và quả cầu khối lượng m ở đầu trên. Một lò xo nằm ngang độ cứng k nối thanh với giá ở độ cao a tính từ bản lề (a<\ell), lò xo không biến dạng khi thanh thẳng đứng. Thanh đứng thẳng bền khi k vượt một ngưỡng. Theo em ngưỡng đó là gì?
Hai nguồn năng lượng cạnh tranh nhau: lò xo làm k_{\mathrm{hd}} tăng, trọng lực của vật nằm trên cao làm k_{\mathrm{hd}} giảm. Cân bằng bền khi tổng vẫn dương.
Thử tay: độ cứng hiệu dụng của con lắc ngược có lò xo
Số liệu: m=0{,}20 kg, \ell=0{,}50 m, a=0{,}30 m, k=40 N/m, g=9{,}8 m/s^{2}. Quả cầu coi là chất điểm, thanh nhẹ.
Gợi ý 1 · Cân bằng
Thanh thẳng đứng là cân bằng: U'(0)=ka^{2}\sin\theta\cos\theta-mg\ell\sin\theta bằng 0 tại \theta=0.
Gợi ý 2 · Đọc k_{\mathrm{hd}} và m_{\mathrm{hd}}
k_{\mathrm{hd}}=ka^{2}-mg\ell=40\cdot0{,}09-0{,}2\cdot9{,}8\cdot0{,}5=3{,}6-0{,}98=2{,}62 N·m/rad. Động năng là \tfrac12(m\ell^{2})\dot\theta^{2} nên m_{\mathrm{hd}}=m\ell^{2}=0{,}05 kg·m^{2}.
Đáp án
\omega=\sqrt{2{,}62/0{,}05}\approx7{,}24 rad/s, tức f\approx1{,}15 Hz và chu kì T\approx0{,}868 s. Kiểm: không có trọng lực thì \omega=\sqrt{ka^{2}/(m\ell^{2})}=8{,}49 rad/s, lớn hơn, đúng với chiều "trọng lực làm mềm hệ".
02
Sáu kỹ thuật · Phòng thí nghiệm 1
Parabol chạm đường cong: thấy tận mắt rồi mới học kỹ thuật
Trước khi học quy tắc, hãy tự tay kéo. Phòng lab dưới đây dùng đúng con lắc ngược có lò xo ở phần đoán trước. Em sẽ thấy ba điều: parabol bám sát đường cong thật khi biên độ nhỏ, chu kì thật lớn hơn chu kì parabol khi biên độ lớn, và khi lò xo yếu đi thì giếng thế năng bị lật thành đỉnh đồi.
Phòng thế năng · con lắc ngược có lò xo ngang KÉO ĐỂ THỬ
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Độ cứng lò xo k = 40 N/m
Biên độ góc = 10 độ
k hd
2,62 N·m/rad
Tần số góc
7,24 rad/s
Chu kì parabol
0,868 s
Chu kì thật
0,87 s
Chênh lệch
0,3 %
Thử ba thao tác
(1) Giữ k=40 và kéo biên độ từ 5 độ lên 55 độ: chênh lệch chu kì tăng từ gần 0 đến vài chục phần trăm, vì thế năng thật mềm hơn parabol ở xa. (2) Kéo k về 10,9 N/m: độ cứng hiệu dụng bằng 0 và parabol thành đường nằm ngang, chu kì thật phụ thuộc mạnh vào biên độ. (3) Kéo k xuống dưới 10,9: parabol lật xuống, cân bằng thẳng đứng mất ổn định.
KỸ THUẬT 1
Đọc k_{\mathrm{hd}} bằng đạo hàm bậc hai của thế năng
Quy tắc
Viết thế năng toàn phần U(q) gồm mọi nguồn: đàn hồi, trọng lực, điện, khí. Giải U'(q_0)=0 để tìm cân bằng. Khi đó k_{\mathrm{hd}}=U''(q_0), và nếu q là góc thì k_{\mathrm{hd}} có đơn vị N·m/rad.
Lý do
Thế năng gom mọi lực bảo toàn vào một hàm vô hướng, nên em không phải phân tích lực, vẽ hình chiếu hay lo dấu từng thành phần. Chỉ cần viết đúng U rồi lấy đạo hàm.
Khi gãy
Khi hệ có ma sát hoặc cản: chúng không có thế năng. Phần bảo toàn vẫn cho k_{\mathrm{hd}}, còn phần cản chỉ làm biên độ tắt dần (xem micro ở mục 7).
KỸ THUẬT 2
Tuyến tính hóa lực hồi phục
Quy tắc
Viết lực dọc theo toạ độ dịch chuyển F(x), kiểm F(0)=0, rồi lấy k_{\mathrm{hd}}=-F'(0). Cách này tương đương khai triển F\approx-k_{\mathrm{hd}}x.
Lý do
Với màng treo bằng lò xo ngang hay cột khí, lực dễ viết hơn thế năng. Chỉ cần một lần đạo hàm, và đã chứa sẵn dấu: lực hồi phục thì F'(0)<0.
Khi gãy
Nếu F(0)\ne0 thì chưa phải cân bằng: phải tìm x_0 rồi dịch gốc toạ độ. Nếu F'(0)=0 thì độ cứng hiệu dụng bằng 0 và phải xét bậc ba của lực (bậc bốn của thế năng).
KỸ THUẬT 3
Khối lượng hiệu dụng từ động năng
Quy tắc
Viết động năng theo tốc độ của toạ độ đã chọn, rồi đưa về dạng T=\tfrac12m_{\mathrm{hd}}\dot x^{2}. Ví dụ trụ đặc khối lượng m lăn không trượt, tâm gắn lò xo: T=\tfrac12mv^{2}+\tfrac12\cdot\tfrac12mr^{2}\cdot\dfrac{v^{2}}{r^{2}}=\tfrac12\cdot\tfrac32m\,v^{2}, nên m_{\mathrm{hd}}=\tfrac32m và \omega=\sqrt{2k/(3m)}.
Lý do
Tần số phụ thuộc cả độ cứng lẫn quán tính. Nhiều bài sai không phải vì thế năng mà vì quên phần quay, phần khí chuyển động theo, hay phần khối lượng của lò xo.
Khi gãy
Chọn toạ độ khác thì k_{\mathrm{hd}} và m_{\mathrm{hd}} cùng đổi, nhưng tỉ số của chúng không đổi. Đừng lấy k_{\mathrm{hd}} theo toạ độ góc rồi chia cho m_{\mathrm{hd}} theo toạ độ dài: tần số sai ngay.
KỸ THUẬT 4
Cộng các đóng góp, mỗi nguồn một dấu
Quy tắc
Thế năng là tổng nên k_{\mathrm{hd}} là tổng đạo hàm bậc hai của từng thành phần. Trước khi tính, dự đoán dấu từng phần theo bảng bên dưới, rồi đối chiếu với kết quả cuối.
Lý do
Dự đoán dấu bắt được ngay các lỗi nhầm dấu, loại phương án vô lý trong trắc nghiệm, và cho em biết hiệu ứng nào làm hệ mềm đi, hiệu ứng nào làm hệ cứng lên.
Khi gãy
Các thành phần phải cùng một toạ độ suy rộng và cùng hệ đơn vị. Cộng N/m với N·m/rad là lỗi chí mạng.
Nguồn năng lượng
Dạng thế năng theo độ dịch
Đóng góp vào k_{\mathrm{hd}}
Ví dụ trong chuyên đề
Lò xo kéo giãn có sức căng
Độ giãn tăng bậc hai theo dịch chuyển ngang
dương
Màng đỡ bằng lò xo ngang, mục 4
Trọng lực, vật nằm trên điểm tựa
mg\ell\cos\theta giảm khi lệch
âm
Con lắc ngược, hạt ngọc trên vòng quay
Trọng lực, vật treo dưới điểm tựa
-mg\ell\cos\theta tăng khi lệch
dương
Hạt trong máng, con lắc đơn
Khí bị nén trong bình kín
Áp suất tăng khi thể tích giảm
dương
Cột khí dưới pít-tông, mục 6
Tụ điện nối nguồn điện áp không đổi
-\tfrac12CV^{2}, giảm khi hai bản lại gần
âm
Cảm biến MEMS, mục 5
Điện tích cố định đẩy nhau
\propto 1/r lớn khi lại gần nhau
dương theo phương nối
Hai điện tích cố định, bài 14
KỸ THUẬT 5
Kiểm: dấu, đơn vị và giới hạn
Quy tắc
Ba phép thử, mỗi phép vài giây. Dấu: k_{\mathrm{hd}}>0 thì mới có dao động. Đơn vị: k_{\mathrm{hd}}/m_{\mathrm{hd}} phải có đơn vị s^{-2}. Giới hạn: cho một hiệu ứng yếu dần về 0 (điện áp, sức căng, trọng lực) thì công thức phải trở về kết quả quen thuộc.
Lý do
Biểu thức dài nên khó soát bằng mắt. Giới hạn là phép kiểm rẻ nhất: nó bắt được cả sai số dấu, thiếu hệ số 2 và nhầm bán kính với đường kính.
Khi gãy
Giới hạn chỉ cho phép loại công thức sai, không chứng minh công thức đúng. Hai công thức cùng về đúng ở giới hạn thì vẫn có thể khác nhau ở giữa.
KỸ THUẬT 6
Khi k_{\mathrm{hd}}=0: xét bậc bốn
Quy tắc
Khai triển tiếp: U\approx U_0+\tfrac14\,\lambda\,x^{4}. Chuyển động vẫn tuần hoàn nhưng không điều hoà : lực tỉ lệ với x^{3} nên tần số góc tỉ lệ với biên độ, và chu kì tỉ lệ nghịch với biên độ.
Lý do
Đây là chỗ đề hay đặt bẫy: một đại lượng được tinh chỉnh để triệt tiêu đúng số hạng bậc hai (sức căng bằng không, điện áp ngưỡng). Khi đó công thức 2\pi\sqrt{m/k} không còn dùng được.
Khi gãy
Nếu cả bậc bốn cũng âm thì hệ mất ổn định ngay cả khi lệch rất nhỏ so với tưởng tượng, và phải xét đồng thời các số hạng bậc cao hơn.
03
Ứng dụng 1 · Phòng thí nghiệm 2
Máng nghiêng: hai chuyển động tách rời và một con số không có g
Một máng thủy tinh nửa trụ bán kính R, dài L, đặt nghiêng góc \alpha so với mặt ngang, trục máng nằm theo đường dốc nhất. Thả một hạt nhỏ ở đỉnh máng, hơi lệch khỏi đáy, bỏ qua ma sát. Hạt vừa trượt xuống vừa lắc ngang. Đề hỏi: hạt lắc được bao nhiêu lần trước khi tới chân máng?
Trọng lực phân tích thành hai phần: dọc trục máng chỉ còn g\sin\alpha, còn trong mặt cắt ngang chỉ còn g\cos\alpha. Hai phần này không ảnh hưởng nhau.
Bước 1 và 2: toạ độ, thế năng, động năng
Chọn x là toạ độ dọc trục (tính từ đỉnh, chiều xuống dốc) và \varphi là góc lệch ngang so với đường đáy máng. Vị trí hạt: x dọc trục, còn trong mặt cắt thì hạt cách đáy một cung R\varphi, độ cao so với đường đáy là R(1-\cos\varphi) đo vuông góc với trục máng. Chiếu trọng lực lên hai phương:
U=-mg\sin\alpha\;x+mg\cos\alpha\;R\,(1-\cos\varphi),\qquad T=\tfrac12m\dot x^{2}+\tfrac12\,mR^{2}\dot\varphi^{2}.
Hai toạ độ không xuất hiện chung trong bất kỳ số hạng nào. Vì vậy hai chuyển động độc lập và đúng tuyệt đối, không chỉ gần đúng: dọc trục là chuyển động nhanh dần đều với gia tốc g\sin\alpha, còn góc \varphi là một con lắc đơn có gia tốc rơi hiệu dụng g\cos\alpha.
Bước 3: đọc độ cứng hiệu dụng
Quanh \varphi=0: U\approx\tfrac12\,(mgR\cos\alpha)\,\varphi^{2} và T=\tfrac12\,(mR^{2})\,\dot\varphi^{2}. Do đó
k_{\mathrm{hd}}=mgR\cos\alpha,\qquad m_{\mathrm{hd}}=mR^{2},\qquad \omega=\sqrt{\dfrac{g\cos\alpha}{R}},\qquad T_{\varphi}=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g\cos\alpha}}.
Mặt cắt máng là một cung tròn nên đáy máng giống một bát tròn bán kính R. Nếu mặt cắt không tròn thì chỉ cần thay R bằng bán kính cong tại đáy , vì parabol xấp xỉ chỉ nhìn thấy độ cong ở đáy.
Bước 4: số lần lắc và phép kiểm
Thời gian trượt hết chiều dài: \tfrac12\,(g\sin\alpha)\,t_L^{2}=L nên t_L=\sqrt{2L/(g\sin\alpha)}. Số lần lắc toàn phần là N=t_L/T_{\varphi}:
N=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{g\cos\alpha}{R}}\cdot\sqrt{\dfrac{2L}{g\sin\alpha}}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{2L\cot\alpha}{R}}.
Gia tốc g triệt tiêu hoàn toàn : số lần lắc chỉ phụ thuộc hình học của máng. Kiểm bằng giới hạn: máng dựng đứng (\alpha=90^{\circ}) thì \cot\alpha=0, hạt rơi tự do và không kịp lắc, đúng. Máng gần nằm ngang (\alpha nhỏ) thì \cot\alpha rất lớn, hạt lắc rất nhiều lần, đúng. Số liệu mẫu: R=5{,}0 cm, L=5{,}0 m, \alpha=30^{\circ} cho \omega\approx13{,}0 rad/s, T_{\varphi}\approx0{,}482 s, t_L\approx1{,}43 s và N\approx2{,}96.