Con lắc trong điện trường: Cân bằng mới, năng lượng và giới hạn điều hòa
Chuyên đề tương tác về lực điện có dấu, trọng lực hiệu dụng, bước đổi điện trường, lực căng và chu kì phi tuyến. Ba phòng thí nghiệm, tám bí quyết kèm điều…
LUKATO MASTERCLASS
VẬT LÍ • TƯ DUY VECTƠ
Con lắc trong điện trường
Đổi phương cân bằng. Giữ đúng năng lượng. Nhìn rõ giới hạn của dao động điều hòa.
- Cân bằng có dấu
- Điện trường ngang
- Dây căng và phi tuyến
03
phòng thí nghiệm tương tác
08
bí quyết có điều kiện
01
Bản đồ khái niệm
Một cân bằng mới, một cách nhìn mới
Một con lắc không nhất thiết dao động quanh phương thẳng đứng. Khi vật mang điện nằm trong điện trường ngang, điều cần thay đổi trước tiên là phương cân bằng . Chỉ sau đó mới nói đến biên độ, chu kì và tốc độ.
Nhìn lực trước
Trọng lực luôn hướng xuống. Lực điện đi theo điện trường khi điện tích dương và ngược chiều khi điện tích âm. Dây kéo vật về điểm treo; lực căng không phải là một thành phần của trọng lực hiệu dụng.
Tìm phương cân bằng
Ở trạng thái nghỉ, dây thẳng hàng với hợp lực của trọng lực và lực điện. Phương mới có thể lệch nhiều khỏi phương thẳng đứng mà mô hình dao động nhỏ vẫn hợp lệ.
Đo độ lệch đúng chỗ
Biên độ góc được đo từ phương cân bằng mới. Một con lắc nghiêng nhiều nhưng chỉ rung rất nhẹ quanh hướng nghiêng ấy vẫn có thể dao động gần điều hòa.
Mục tiêu học tập
Sau chuyên đề này, bạn có thể lập sơ đồ lực có dấu, xác định cân bằng mới, phân biệt độ nghiêng với biên độ, xử lí điện trường đổi đột ngột và kiểm tra xem dây còn căng hay không. Bạn cũng biết khi nào công thức chu kì dao động nhỏ cần được thay bằng mô hình phi tuyến.
Từ sơ đồ lực đến hướng cân bằng: hãy cộng vectơ, không cộng độ lớn tùy tiện.
Mô hình của cả chuyên đề
Vật nhỏ có khối lượng không đổi, điện tích không đổi; dây nhẹ, không dãn, điểm treo cố định. Điện trường luôn nằm ngang, đồng đều trong toàn vùng chuyển động và không đổi theo thời gian trong mỗi giai đoạn. Bỏ qua cản không khí, lực nổi, phân cực và các lực ngoài khác. Dây phải còn căng. Giá trị trọng trường dùng trong ví dụ là Không giả định rằng điện tích luôn dương.
Nếu đổi điện tích từ dương sang âm nhưng giữ nguyên độ lớn, khối lượng và điện trường, điều gì thay đổi?
02
Từ lực đến cân bằng
Vectơ có dấu dẫn đường
Chọn chiều ngang sang phải là chiều dương. Góc của dây đo từ phương thẳng đứng hướng xuống; góc dương khi vật lệch sang phải. Giữ quy ước này xuyên suốt giúp tránh lỗi dấu khi đổi điện tích hoặc đổi chiều điện trường.
Ở biểu thức vectơ trên, tọa độ thứ hai được quy ước dương xuống dưới. Kí hiệu là thành phần có dấu của điện trường ngang. Không thay bằng trị tuyệt đối trước khi tìm phương cân bằng. Bạn chỉ dùng trị tuyệt đối khi câu hỏi yêu cầu độ lớn lực.
Vì trọng trường hướng xuống và có độ lớn dương, góc cân bằng nằm giữa hai hướng ngang. Hàm hai đối số giúp giữ đúng dấu khi viết mã; trong bài tính tay, hàm arctan thông thường cũng đủ với quy ước đang dùng.
Hai dấu điện tích: cùng độ lớn hiệu dụng, hai phương cân bằng đối xứng.
Bí quyết 01: Cộng vectơ trước khi lấy độ lớn
Quy tắc. .
Vì sao. Hai thành phần ngang và dọc vuông góc; định lí Pythagore áp dụng cho độ lớn vectơ.
Điều kiện. Điện trường phải ngang. Khối lượng dương và trọng trường đồng nhất.
Khi nào phải đổi cách làm? Nếu điện trường có thành phần dọc, phải cộng thêm thành phần ấy vào gia tốc dọc rồi mới lấy độ lớn; công thức trên không còn đủ.
Bí quyết 02: Dấu điện tích quyết định phía nghiêng
Quy tắc. .
Vì sao. Hợp lực có thành phần ngang cùng dấu với tích điện tích và thành phần điện trường.
Điều kiện. Điểm treo cố định, vật đứng yên, dây căng.
Khi nào phải đổi cách làm? Một vị trí đang lệch sang phải không chứng minh điện tích dương: đó có thể là một thời điểm của chuyển động, hoặc điện trường đang hướng sang trái.
Ví dụ tự xây dựng: cảm biến treo nghiêng về phía nào?
Một quả cầu nhỏ có , điện tích , đặt trong điện trường ngang sang phải . Tính phương cân bằng và lực căng khi nghỉ.
Vật nghiêng sang trái. Hai lực ngoài tạo một hợp lực lớn hơn trọng lực riêng; dây phải cung cấp lực căng cân bằng hợp lực ấy. Dùng góc dương sẽ đặt vật sai phía dù tính độ lớn gia tốc vẫn đúng.
Ghép lực, đổi dấu và tìm cân bằng PHÒNG THÍ NGHIỆM 1
Khối lượng (g)
Điện tích có dấu (microcoulomb)
Điện trường ngang có dấu (kV/m)
Góc cân bằng
Gia tốc hiệu dụng
Lực điện có dấu
Lực căng khi nghỉ
Bạn có thể kéo điện tích hoặc điện trường qua giá trị không. Khi một trong hai bằng không, phương cân bằng trở về thẳng đứng và gia tốc hiệu dụng trở về trọng trường. Đổi đồng thời dấu của cả hai giữ nguyên lực điện.
03
Động lực học
Đổi trục để thấy dao động
Một phép quay hệ trục biến bài toán có hai lực thành bài toán con lắc quen thuộc. Trục mới đi theo trọng lực hiệu dụng; độ lệch góc đo từ trục mới mới là biến động lực học.
Lực căng hướng dọc dây nên không tạo mômen đối với điểm treo. Hợp lực ngoài tạo thành phần tiếp tuyến phục hồi. Chiếu vào tiếp tuyến hoặc lấy mômen đều dẫn đến cùng phương trình. Dấu âm của gia tốc góc cho biết nó kéo vật về cân bằng khi độ lệch chưa vượt quá miền ổn định.
Phân biệt góc nghiêng của trục cân bằng với độ lệch của vật khỏi trục ấy.
Suy luận nhỏ nhưng quyết định
Nếu phương cân bằng lệch lớn khỏi phương thẳng đứng mà vật chỉ rung một góc nhỏ quanh phương ấy, phép gần đúng dao động nhỏ vẫn tốt. Ngược lại, con lắc có phương cân bằng thẳng đứng nhưng biên độ lớn thì không được coi là điều hòa.
Bí quyết 03: Biên độ đo từ cân bằng đang có
Quy tắc. .
Vì sao. Đó là độ lệch có mômen phục hồi; phương thẳng đứng chỉ là mốc hình học ban đầu.
Điều kiện. Điện trường không đổi trong một chu kì, điểm treo không chuyển động.
Khi nào phải đổi cách làm? Nếu điện trường đổi theo thời gian, vị trí cân bằng cũng đổi và phải giải phương trình cưỡng bức; một biên độ cố định chưa đủ mô tả.
Bí quyết 04: Điều hòa nhỏ, không phải nghiêng nhỏ
Quy tắc. Chỉ thay bằng khi độ lệch tính bằng radian đủ nhỏ.
Vì sao. Độ cong của hàm sin quyết định sai số; góc nghiêng của toàn trục không có trong sai số này.
Điều kiện. Chọn mức chính xác rồi kiểm tra biên độ. Với biên độ khoảng sai số chu kì so với vào khoảng trong mô hình lí tưởng.
Khi nào phải đổi cách làm? Biên độ lớn cần phương trình sin đầy đủ. Không dùng tỉ lệ phần trăm sai số của chu kì để khẳng định sai số mọi đại lượng khác.
Con lắc có cân bằng nghiêng và biên độ quanh cân bằng . Có thể dùng mô hình điều hòa nhỏ không?
04
Điều kiện đầu
Khi điện trường đổi đột ngột
Điện trường đổi tức thời không có nghĩa là vị trí và tốc độ cũng đổi tức thời. Trong mô hình không có xung lực, tại khoảnh khắc chuyển trường, vật giữ nguyên vị trí và vận tốc; phương cân bằng và thế năng mới thay đổi.
Giả sử vật ban đầu nghỉ ở cân bằng của trường cũ. Ngay khi chuyển sang trường mới, độ lệch so với cân bằng mới đóng vai trò góc thả. Nếu dây còn căng trong suốt quỹ đạo, giá trị tuyệt đối của góc này là biên độ chính xác về hình học, không chỉ là biên độ của gần đúng điều hòa.
Bước nhảy của điện trường tạo độ lệch khỏi cân bằng mới, không tạo bước nhảy vị trí.
Hai biên của dao động
Một biên là vị trí thả ban đầu. Biên còn lại đối xứng qua phương cân bằng mới trong mô hình không có cản: Không lấy đối xứng qua phương thẳng đứng, trừ khi cân bằng mới nằm đúng trên phương ấy.
Bí quyết 05: Đổi trường, giữ điều kiện đầu
Quy tắc. Ở bước đổi trường lí tưởng, giữ nguyên vị trí và vận tốc rồi lập năng lượng với trường mới.
Vì sao. Lực hữu hạn trong thời gian cực ngắn không tạo một độ biến thiên vận tốc hữu hạn.
Điều kiện. Trường đổi nhanh so với chu kì nhưng không có xung lực cơ học; mô hình vật có điện tích cố định.
Khi nào phải đổi cách làm? Nếu nguồn tạo xung lực, điện tích thay đổi hoặc điểm treo chuyển động, điều kiện nối này không còn đủ. Một quá trình đổi trường chậm lại là bài toán khác.
Bí quyết 06: Biên độ là hiệu góc có dấu
Quy tắc. khi bắt đầu từ nghỉ.
Vì sao. Vật đã đứng ở cân bằng cũ; cân bằng mới là tâm đối xứng của dao động sau bước chuyển.
Điều kiện. Dây phải căng và lực ngoài không đổi sau bước chuyển.
Khi nào phải đổi cách làm? Nếu vật đã có vận tốc trước bước chuyển, cần cộng động năng đầu. Hiệu góc khi ấy chỉ là độ lệch ban đầu, không phải biên độ.
Ví dụ tự xây dựng: giảm trường của con lắc dương
Vật , , dây , ban đầu nghỉ trong điện trường ngang sang phải . Chuyển tức thời sang , cùng hướng.
Vật ban đầu ở phía phải của cân bằng mới. Gia tốc tiếp tuyến ban đầu hướng về trái. Biên còn lại nằm tại góc so với phương thẳng đứng, vẫn về phải: dao động hoàn toàn có thể không đi qua phương thẳng đứng.
Bước đổi trường: biên độ, năng lượng và dây căng PHÒNG THÍ NGHIỆM 2
Trường cũ có dấu (kV/m)
Trường mới có dấu (kV/m)
Chiều dài dây (m)
Giữ cố định khối lượng 25 g, điện tích dương 5 microcoulomb. Vật bắt đầu nghỉ tại cân bằng cũ.
Biên độ quanh cân bằng mới
Tốc độ qua cân bằng
Chu kì dao động nhỏ
Kiểm tra lực căng nhỏ nhất
Thử đặt trường mới bằng trường cũ: biên độ và tốc độ cực đại về không. Đặt trường mới bằng không: vật dao động quanh phương thẳng đứng. Đổi dấu trường mới: hai cân bằng nằm hai phía, biên độ có thể rất lớn; khi đó phải kiểm tra dây, không tự động dùng mô hình con lắc dây căng.
05
Tốc độ và lực căng
Năng lượng đúng, ràng buộc đúng
Năng lượng sau bước chuyển phải được xây dựng theo trường mới . Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng mới khiến biểu thức ngắn gọn và luôn không âm trong miền dao động quanh cân bằng ổn định.
Đây là năng lượng cơ học của vật trong lực trường tĩnh ở từng giai đoạn. Nó gồm động năng, thế năng trọng trường và thế năng điện, sau khi chọn lại mốc. Tại bước chuyển nguồn điện có thể trao đổi năng lượng; không bảo toàn một biểu thức dùng trường cũ xuyên qua bước chuyển.
Tốc độ lớn nhất ở cân bằng mới vì thế năng thấp nhất ở đó. Công thức tốc độ qua cân bằng là chính xác trong mô hình dây căng, ngay cả khi biên độ không nhỏ. Công thức tuyến tính chỉ là gần đúng với biên độ tính bằng radian.
Minh họa định tính giếng thế năng đối xứng quanh cân bằng mới; đường ngang là năng lượng.
Lực căng là điều kiện tồn tại của mô hình
Một sợi dây chỉ kéo, không đẩy. Nếu bắt đầu nghỉ ở biên và , lực căng nhỏ nhất ở hai biên và dương: Nếu , công thức yêu cầu lực căng âm ngay lúc thả; dây chùng và quỹ đạo tiếp theo không còn là cung tròn lí tưởng. Ở ngưỡng lực căng ban đầu bằng không, là tình huống biên cần xử lí riêng.
Bí quyết 07: Tốc độ chính xác đến từ chênh thế năng
Quy tắc. .
Vì sao. Ở biên vật nghỉ; tại cân bằng thế năng mất đi chuyển thành động năng.
Điều kiện. Trường mới tĩnh, bỏ cản, dây căng, không có công ngoài sau bước chuyển.
Khi nào phải đổi cách làm? Nếu có ma sát hoặc điện trường thay đổi, phải thêm công của lực không bảo toàn hoặc giải phương trình theo thời gian.
Bí quyết 08: Kiểm tra dây trước khi chạy công thức
Quy tắc. Với thả từ nghỉ, yêu cầu để lực căng dương trên toàn quỹ đạo.
Vì sao. Lực hướng tâm gồm thành phần của hợp lực ngoài và lực căng. Sợi dây không cung cấp lực đẩy ra xa điểm treo.
Điều kiện. Đang xét sợi dây mềm, không phải thanh cứng.
Khi nào phải đổi cách làm? Một thanh cứng có thể chịu nén và giữ quỹ đạo trong miền mà dây bị chùng; đó là mô hình vật lí khác, không phải một mẹo bỏ qua điều kiện.
Hoàn tất ví dụ giảm trường: tốc độ, lực căng và chu kì
Lực căng nhỏ nhất dương nên mô hình dây căng hợp lệ. Chu kì chính xác dài hơn một ít, khoảng . Không gắn nhãn “chính xác” cho vì biên độ hữu hạn.
Sau khi đổi trường, có được bảo toàn tổng năng lượng tính bằng trường cũ để tìm tốc độ mới không?
06
Phi tuyến
Điều hòa chỉ là giới hạn
Khi biên độ tăng, con lắc nấn ná lâu hơn gần các biên. Chu kì dài hơn dự đoán của mô hình điều hòa. Điện trường thay đổi thang thời gian; biên độ quyết định phần hiệu chỉnh phi tuyến.
Công thức dùng tích phân elliptic với đối số là môđun , không phải tham số . Đây là phần mở rộng để kiểm tra độ chính xác, không phải công thức bắt buộc thuộc lòng. Với biên độ không lớn, một khai triển gọn cho cảm giác về sai số:
Đồ thị định tính: hiệu chỉnh phi tuyến tăng dần; không phải một đường thẳng.
So sánh dao động điều hòa và con lắc phi tuyến PHÒNG THÍ NGHIỆM 3
Biên độ quanh cân bằng (độ)
Chiều dài dây (m)
Gia tốc hiệu dụng (m/s2)
Trục cân bằng được đặt thẳng đứng để so sánh dễ hơn. Hai mô hình bắt đầu cùng góc và vận tốc bằng không. Mô hình phi tuyến tích phân phương trình sin bằng bước thời gian nhỏ. Hoạt ảnh chỉ chạy khi bạn chủ động bấm nút.
Chu kì dao động nhỏ
Chu kì phi tuyến
Phần tăng chu kì
Thời gian mô phỏng
Phòng thí nghiệm tính chu kì chính xác của mô hình bằng trung bình cộng và trung bình nhân lặp đến hội tụ, tránh điểm kì dị ở biên của tích phân thời gian trực tiếp. Chuyển động trên màn hình được tích phân riêng; bạn không nên nhầm độ mượt của hoạt ảnh với bằng chứng rằng công thức đã chính xác.