Cân bằng lực và mô-men: hai điều kiện, một cách nghĩ
Chuyên đề Vật lí: hai điều kiện cân bằng của vật rắn (hợp lực bằng 0, tổng mô-men bằng 0), ma sát nghỉ và ma sát trượt khi khối bị kẹp giữa hai ván, tam giác…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ VẬT LÍ 10 – 12
CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN · LỰC VÀ MÔ-MEN
Cân bằng lực và mô-men:
hai điều kiện, một cách nghĩ
Một chiếc thước nằm thăng bằng trên mép bàn, một khối bị kẹp giữa hai tấm ván, một quả cầu tựa vào tường: ba cảnh khác nhau nhưng cùng được giải thích bằng hai câu hỏi . Các lực có triệt tiêu nhau không? Các mô-men có triệt tiêu nhau không?
- 1. Hiểu hợp lực bằng 0 và mô-men bằng 0
- 2. Phân biệt ma sát nghỉ và ma sát trượt
- 3. Biết chọn trục để bỏ ẩn không cần
2 điều kiện
hợp lực bằng 0 và tổng mô-men bằng 0
3 phòng lab
ma sát hai mặt, tam giác lực, thước cân bằng
6 bẫy
hiểu lầm kinh điển được phản ví dụ
01
Khái niệm lõi · Hai điều kiện
Cân bằng nghĩa là: không tăng tốc và cũng không quay nhanh dần
Vật rắn cân bằng khi nó không có gia tốc tịnh tiến và cũng không có gia tốc quay. Hai điều này độc lập với nhau, nên cần hai điều kiện . Điều kiện thứ nhất nói về lực , điều kiện thứ hai nói về mô-men .
BƯỚC 1 Cô lập vật và vẽ đủ lực: trọng lực P , phản lực N , lực căng T , ma sát F ms , lực kéo F
BƯỚC 2 Điều kiện 1: tổng các vectơ lực bằng 0. Chọn hệ trục rồi chiếu lên từng trục
BƯỚC 3 Điều kiện 2 (nếu vật có thể quay): chọn một trục, viết tổng mô-men bằng 0
BƯỚC 4 Kiểm tra dấu, đơn vị, độ lớn hợp lí; thử đổi trục để chắc kết quả
Điều kiện 1
Tổng vectơ lực bằng 0
F 1 + F 2 + ... + F n = 0
Chiếu lên hai trục vuông góc ta được hai phương trình: tổng các thành phần theo x bằng 0 và theo y bằng 0. Với đúng ba lực, ba vectơ nối đầu với đuôi sẽ khép kín thành một tam giác lực .
Điều kiện 2
Tổng mô-men bằng 0
M = F · d
d là cánh tay đòn : khoảng cách vuông góc từ trục quay đến giá của lực. Đơn vị N·m. Vật không quay nhanh dần khi tổng mô-men làm quay thuận chiều kim đồng hồ bằng tổng mô-men làm quay ngược chiều.
Mẹo chọn trục
Đặt trục ở nơi các ẩn gặp nhau
Lực có giá đi qua trục thì cánh tay đòn bằng 0, nên mô-men bằng 0 và biến mất khỏi phương trình . Đặt trục tại điểm có nhiều lực chưa biết thì phương trình chỉ còn đúng ẩn cần tìm.
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Cánh tay đòn là đoạn vuông góc hạ từ trục O xuống đường thẳng chứa lực (đường nét đứt màu vàng), không phải khoảng cách từ O đến điểm đặt lực.
Vì sao cần cả hai điều kiện
Đặt hai lực 10 N bằng nhau, ngược chiều ở hai đầu một thanh dài 0,4 m (một ngẫu lực ): hợp lực bằng 0 nhưng thanh vẫn quay, mô-men bằng 10 · 0,4 = 4 N·m với mọi trục. Ngược lại, nếu chỉ có mô-men triệt tiêu mà hợp lực khác 0 thì vật bị trượt đi. Một điều kiện không đủ.
Trọng tâm của thanh đồng chất
Với thanh đồng chất, trọng tâm nằm ở trung điểm . Khi tính mô-men, ta dồn toàn bộ trọng lượng vào điểm đó: thanh dài 90 cm, nặng 200 g có trọng lực 2 N đặt cách mỗi đầu 45 cm.
02
Ma sát · Khối kẹp giữa hai tấm ván
Ma sát nghỉ là lực biết tự điều chỉnh, không phải một con số cố định
Kẹp một khối giữa hai tấm ván thẳng đứng, mỗi tấm ép vào khối bằng lực N . Khối chạm hai mặt ván, nên có hai lực ma sát. Tình huống để suy nghĩ: khối nặng m = 4 kg, lấy g = 10 m/s 2 , N = 50 N mỗi bên, hệ số ma sát mu = 0,5 (đọc là muy). Trọng lực P = mg = 40 N.
Ma sát nghỉ
Chỉ xuất hiện khi chưa trượt
Độ lớn bằng đúng lượng cần để vật không trượt, nằm trong khoảng từ 0 đến mức tối đa. Tối đa tổng cộng là 2 mu · N , tức 50 N ở đây.
Ma sát trượt
Chống lại chuyển động
Khi khối đang trượt, ma sát ngược chiều chuyển động và (mô hình đơn giản) có độ lớn F ms = mu · N trên mỗi mặt. Hai mặt cho tổng 2 mu · N .
Hai mặt, hai lần
Đừng tính một lần
Mỗi ván tạo ma sát mu · N = 25 N. Hai ván cho 50 N , không phải 25 N. Quên một mặt là lỗi kinh điển.
Giữ yên
Cân bằng tĩnh
F + f = P với | f | nhỏ hơn hoặc bằng 2 mu · N . Suy ra F nằm trong khoảng từ P - 2 mu · N = -10 N đến P + 2 mu · N = 90 N . Số âm nghĩa là có thể còn ấn xuống 10 N.
Kéo lên đều
Ma sát trượt hướng xuống
F = P + 2 mu · N = 40 + 50 = 90 N . Kéo lên thì ma sát cùng chiều với trọng lực, phải thắng cả hai.
Hạ xuống đều
Ma sát trượt hướng lên
F = P - 2 mu · N = 40 - 50 = -10 N , nghĩa là phải ấn xuống 10 N (bằng 2 mu · N - P ). Nếu 2 mu · N nhỏ hơn P thì kết quả dương: phải kéo lên một phần.
Phòng lab 1: kẹp giữa hai tấm ván TƯƠNG TÁC
Chọn chế độ rồi kéo thanh trượt. Ở chế độ “Giữ yên”, bạn tự chọn F : trong vùng xanh khối đứng yên, ra ngoài vùng xanh khối trượt nhanh dần. Mũi tên: trọng lực (xanh đậm), lực kéo (vàng), ma sát (xanh lam).
Vuốt ngang để xem toàn bộ sơ đồ.
Chế độ:
Hệ số ma sát mu : 0,50
Lực ép mỗi bên N : 50 N
Khối lượng m : 4,0 kg
Lực kéo lên F (âm là ấn xuống): 70 N
Trọng lực P
Ma sát tối đa 2mu·N
Ma sát đang tác dụng
Lực F đang dùng
F giữ yên được trong khoảng
Gia tốc a
Mô hình: hai ván cố định, mỗi ván ép bằng lực N không đổi; ma sát trượt trên mỗi mặt bằng mu · N và ma sát nghỉ tối đa cũng bằng mu · N (cùng một mu ); g = 10 m/s 2 . Tốc độ vẽ ở hai chế độ “đều” chỉ là minh họa.
03
Khái niệm sâu hơn · Ba lực và tam giác lực
Ba lực cân bằng thì ba vectơ khép thành một tam giác
Quả cầu khối lượng m , bán kính R , tựa vào tường nhẵn và được giữ bởi sợi dây AB buộc vào tường tại B (điểm A là chỗ dây nối vào mặt quả cầu). Quả cầu chịu ba lực: trọng lực P , phản lực N của tường và lực căng T của dây.
Hướng của từng lực
Tường nhẵn nên không có ma sát
Phản lực N vuông góc với tường (nằm ngang), đi qua tiếp điểm và cũng đi qua tâm O vì pháp tuyến của mặt cầu hướng vào tâm. Trọng lực P đặt ở tâm O .
Ba lực đồng quy
Dây kéo dài đi qua tâm
Ba lực không song song mà cân bằng thì giá của chúng phải cắt nhau tại một điểm . P và N cắt nhau tại O , nên giá của T cũng đi qua O : đường dây kéo dài đi thẳng vào tâm quả cầu.
Tam giác lực
Nối đầu với đuôi
Vẽ P hướng xuống, nối tiếp N nằm ngang, rồi T khép lại về gốc: được tam giác vuông với hai cạnh góc vuông P , N và cạnh huyền T .
Từ hình học đến công thức
HÌNH HỌC Tâm O cách tường đúng R ; điểm B cách O một đoạn AB + R (dây dài AB cộng bán kính, vì dây kéo dài tới tâm)
GÓC Gọi a (đọc là anpha) là góc giữa dây và tường: sin a = R AB + R
ĐIỀU KIỆN 1 Chiếu thẳng đứng: T cos a = P . Chiếu nằm ngang: T sin a = N
KẾT QUẢ T = P /cos a và N = P tan a
sin a = R AB + R = 15 15 + 15 = 1 2 → a = 30 độ với AB = R = 15 cm
T = P cos a = 40 0,866 = 46,19 N; N = P tan a = 23,09 N với m = 4 kg, P = 40 N
Viết lại theo độ dài dây
Từ cos a = căn[( AB + R ) 2 - R 2 ] / ( AB + R ) và ( AB + R ) 2 - R 2 = AB ( AB + 2 R ), ta có:
T = P · AB + R căn[ AB ( AB + 2 R )] ; N = P · R căn[ AB ( AB + 2 R )]
Công thức cho thấy góc a chỉ phụ thuộc AB và R , không phụ thuộc khối lượng . Khối lượng chỉ nhân cả T lẫn N lên theo tỉ lệ.
Phòng lab 2: quả cầu tựa tường TƯƠNG TÁC
Kéo các thanh trượt hoặc bấm “Quét chiều dài dây”. Bên phải: tam giác lực khép kín (có dòng chảy chiều lực) và đồ thị tỉ số T / P , N / P theo chiều dài dây (điểm đang xét là chấm tròn).
Vuốt ngang để xem toàn bộ sơ đồ.
Chiều dài dây AB : 15 cm
Bán kính R : 15 cm
Khối lượng m : 4,0 kg
Góc a (dây - tường)
Lực căng T
Phản lực N của tường
Trọng lực P
T so với P
Phần dư tổng lực
Mô hình: tường nhẵn (không ma sát), dây nhẹ không giãn, quả cầu đồng chất; g = 10 m/s 2 . “Phần dư tổng lực” là độ lệch của các phương trình T cos a = P và T sin a = N khi tính bằng máy; đáng ra phải bằng 0.
Một vài giá trị đã được kiểm chứng bằng máy tính ( R = 15 cm, m = 4 kg, g = 10 m/s 2 ):
Dây AB (cm)
Góc a (độ)
Lực căng T (N)
Phản lực N (N)
48,59
60,47
45,36
10
36,87
50,00
30,00
15
30,00
46,19
23,09
25
22,02
43,15
16,18
35
17,46
41,93
12,58
50
13,34
41,11
9,49
Dây dài hơn
Góc a nhỏ dần, T giảm dần về P và N giảm dần về 0 (dây dài vô hạn thì quả cầu gần như treo thẳng). Dây ngắn thì a lớn, cả T và N đều lớn.
Bẫy về khối lượng
Quả cầu nặng hơn không cần dây ngắn hơn: góc a giữ nguyên, chỉ T và N tăng theo tỉ lệ. Thử kéo thanh khối lượng và nhìn góc a .
04
Tự dự đoán trước khi xem đáp án
Bốn tình huống nhanh
Khối 4 kg bị kẹp giữa hai ván ( mu = 0,5; mỗi bên ép 50 N; g = 10 m/s 2 ). Muốn kéo khối lên với tốc độ không đổi cần lực F bằng bao nhiêu?
Vẫn khối đó, ta giữ nó đứng yên bằng lực kéo F đúng bằng trọng lực (40 N). Ma sát nghỉ tác dụng lên khối khi đó bằng bao nhiêu?
Quả cầu tựa tường treo bằng dây. Nếu tăng chiều dài dây AB (giữ nguyên R và khối lượng) thì lực căng T và phản lực N thay đổi thế nào?
Mô-men của một lực đối với một trục quay bằng 0 trong trường hợp nào?
05
Tư duy nguyên lý · Không cần con số
Vì sao đặt trục tại điểm tựa, và khi nào thanh giữ thăng bằng suốt quá trình?
Một thanh đồng chất tựa trên một điểm tựa, có một vật đặt ở mỗi đầu. Bằng nguyên lý, hãy giải thích: (a) vì sao đặt trục quay tại điểm tựa làm phương trình gọn hơn mà không mất thông tin; (b) trọng lượng của thanh đồng chất được đưa vào phương trình như thế nào; (c) nếu hai vật cùng chạy đều về phía điểm tựa thì điều kiện nào giữ thanh nằm ngang ở mọi thời điểm.
Hãy tự viết ba ý trên giấy, mỗi ý một câu nguyên lý, rồi mở từng phần để đối chiếu.
Gợi ý 1 · Chọn trục ở đâu
Phản lực của điểm tựa chưa biết độ lớn. Mô-men của một lực đối với trục đi qua điểm đặt của nó bằng bao nhiêu? Và nếu thanh đã cân bằng thì tổng mô-men bằng 0 đối với trục nào?
Gợi ý 2 · Viết theo thời gian
Hãy viết mô-men của mỗi vật theo thời gian t: mỗi cánh tay đòn là một hằng số cộng hoặc trừ một số hạng tỉ lệ với t. Một phương trình đúng với mọi t thì hệ số của t phải thế nào?
Chuỗi suy luận
BƯỚC 1 Hai điều kiện cân bằng: tổng lực bằng 0 và tổng mô-men bằng 0. Tổng mô-men bằng 0 đối với mọi trục, nên được tự do chọn trục
BƯỚC 2 Chọn trục tại điểm tựa: phản lực có cánh tay đòn bằng 0, biến mất khỏi phương trình, không cần biết độ lớn của nó
BƯỚC 3 Thanh đồng chất: toàn bộ trọng lượng đặt tại trung điểm; cánh tay đòn là khoảng cách từ trục đến trung điểm, thường khác 0
BƯỚC 4 Vật chạy đều: mô-men của mỗi vật là hằng số + hệ số · t . Đúng với mọi t khi cả hai phần cùng bằng 0: phần hằng là cân bằng ban đầu, phần hệ số cho m 1 v 1 = m 2 v 2
Giải thích mẫu
Điểm tựa tác dụng một phản lực chưa biết. Nếu đặt trục quay ngay tại điểm tựa thì cánh tay đòn của nó bằng 0 và nó biến mất khỏi phương trình mô-men, mà không mất thông tin vì thanh cân bằng thì tổng mô-men bằng 0 với trục bất kỳ. Thanh đồng chất có trọng tâm ở trung điểm, nên trọng lượng của nó được đặt tại đó với cánh tay đòn tính từ trục; bỏ qua nó chỉ đúng khi trung điểm trùng điểm tựa. Khi hai vật chạy đều về phía điểm tựa, cánh tay đòn của chúng giảm tuyến tính theo thời gian, nên tổng mô-men có dạng (hằng số) + (hệ số) · t. Tổng này phải bằng 0 ở mọi thời điểm, nên hằng số bằng 0 (điều kiện ban đầu) và hệ số bằng 0, tức m 1 v 1 = m 2 v 2 . Số minh họa, chỉ để cảm nhận: nếu vật 1 nặng gấp 4 lần vật 2 thì vật 2 phải chạy nhanh gấp 4 lần vật 1; vật càng nhẹ càng phải chạy nhanh để bù mô-men.
Ba lỗi hay gặp
Bỏ mô-men của thanh vì coi thanh nhẹ, trong khi thanh đồng chất có trọng lượng đặt ở trung điểm. Tính cánh tay đòn từ một đầu thanh thay vì từ trục đã chọn: cánh tay đòn là khoảng cách vuông góc từ trục đến giá của lực. Đảo tỉ số: viết v 2 = (m 2 /m 1 ) v 1 ; kiểm tra bằng trực giác, vật nhẹ phải chạy nhanh hơn.
Bí kíp Đặt trục tại điểm có lực chưa biết
Quy tắc. Đặt trục quay tại điểm đặt của lực chưa biết nhiều nhất rồi viết tổng mô-men bằng 0. Mỗi trục chọn đúng loại bỏ một ẩn. Khi các đại lượng thay đổi theo thời gian, hãy so sánh hệ số của từng lũy thừa của t.
Vì sao đúng. Mô-men của lực đối với trục đi qua điểm đặt của nó bằng 0. Vì vật cân bằng nên tổng mô-men bằng 0 với mọi trục, chọn trục nào cũng không làm mất thông tin.
Khi nào gãy. Chỉ dùng khi vật thật sự cân bằng hoặc quay đều. Nếu thanh quay nhanh dần thì tổng mô-men khác 0 và phải dùng phương trình động lực học của chuyển động quay.
06
Mô-men trong thực tế · Thước trên điểm tựa
Thước cân bằng: nhìn mô-men của từng bên, rồi nhìn theo thời gian
Thước đặt trên mép bàn có một trục quay tại điểm tựa O . Chọn trục đúng tại O là bước thông minh nhất: phản lực chưa biết của điểm tựa biến mất khỏi phương trình mô-men, chỉ còn trọng lực của thanh và của hai bi.
Phản lực ở O
Không có mặt trong phương trình mô-men
Giá của N đi qua trục nên mô-men bằng 0. Độ lớn N lấy từ điều kiện 1: N bằng tổng trọng lượng = (0,2 + 0,2 + 0,05) · 10 = 4,5 N .
Thanh có trọng lượng
Dồn vào trọng tâm giữa thanh
Thanh dài 90 cm, trọng tâm cách A 45 cm, tức cách O 15 cm về phía B . Bản thân thanh đã làm thước “nặng” về phía B : mô-men 2 · 0,15 = 0,3 N·m.
Theo thời gian
Mô-men là hàm bậc nhất của t
Hai bi lăn đều nên khoảng cách đến O đổi theo t bậc nhất. Muốn cân bằng với mọi t , hệ số của t phải bằng 0 và phần tự do cũng bằng 0 .