VẬT LÍ 12 · PIT-TÔNG & XI LANH ③ — Khi pit-tông chuyển động: lò xo, vận tốc cực đại, năng lượng
Chuyên đề Vật lí 12 (khí lí tưởng): hợp lực F_net(x) lên pit-tông, vị trí cân bằng bền, vận tốc cực đại ở nơi gia tốc bằng 0, sổ cái năng lượng của pit-tông…
[VẬT LÍ 12 · PIT-TÔNG & XI LANH ③] · THPT AI LUKATO · BÀI KHÁI NIỆM
Khi pit-tông chuyển động: lò xo, vận tốc cực đại, năng lượng
Hợp lực F net (x), vị trí cân bằng, sổ cái năng lượng, khí như lò xo và pit-tông nối lò xo
Ở Bài ① ta bắt pit-tông đứng yên để tính áp suất. Ở Bài ② ta ràng buộc nhiều phần khí với nhau. Bài này buông tay: lực không còn cân bằng và pit-tông chạy. Câu hỏi đổi hẳn: hợp lực thay đổi thế nào theo vị trí, pit-tông nhanh nhất ở đâu, và năng lượng đi về đâu? Bài không giải đề; mỗi mục có sơ đồ, phòng thí nghiệm và một câu "em thử xem". Mọi tình huống và con số trong bài đều là hư cấu.
10 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 3 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Từ "đứng yên" sang "đang chạy"
Bài ① cho em một công cụ: viết ΣF = 0 cho pit-tông rồi suy ra áp suất khí. Bài ② dùng công cụ ấy cho khí bị ràng buộc. Bài ③ hỏi điều tiếp theo: nếu ΣF khác 0 thì sao? Khi đó ΣF không còn là một con số mà là một hàm của vị trí, và ba câu hỏi lớn đều trả lời được từ hàm ấy: pit-tông cân bằng ở đâu, nhanh nhất ở đâu, và đã tiêu bao nhiêu năng lượng.
Bài ① · cân bằng lực Bài ② · ràng buộc Bài ③ · chuyển động Sợi chỉ xuyên suốt
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ bài ③: năm mục đều xuất phát từ hợp lực F net (x) lên pit-tông.
0.1 Thiết bị dùng xuyên suốt hư cấu
Một xi lanh thẳng đứng, miệng hở lên trên. Khí lí tưởng bị nhốt phía dưới pit-tông. Tiết diện S = 10 cm² = 1,0·10 −3 m². Pit-tông khối lượng M = 2 kg trượt kín khít và (trừ khi ta bật ở phòng thí nghiệm) không ma sát. Áp suất khí quyển p 0 = 1,0·10 5 Pa, g = 10 m/s². Gọi x là chiều cao cột khí tính từ đáy xi lanh; x cũng là vị trí của pit-tông và thể tích khí là V = S·x.
Ban đầu pit-tông được giữ ở x 0 = 0,20 m bằng một sợi dây kéo lên với lực T s . Tại t = 0 ta cắt dây. Khí được giữ ở nhiệt độ không đổi (mô hình đẳng nhiệt), trừ những chỗ có nhãn MỞ RỘNG .
Kí hiệu · Ý nghĩa · Đơn vị · Ghi chú
x, x 0 , x e · Chiều cao cột khí; vị trí thả; vị trí cân bằng · m · Trục hướng lên; V = S·x
T s · Lực dây giữ pit-tông tại x 0 (hướng lên) · N · T s âm nghĩa là giữ bằng lực đẩy xuống
p 1 , p e · Áp suất khí lúc giữ; áp suất khí ở vị trí cân bằng · Pa · p 1 = (p 0 S + Mg − T s )/S; p e = p 0 + Mg/S
F net · Hợp lực lên pit-tông, dương khi hướng lên · N · F net = pS − p 0 S − Mg
K, W · Động năng của pit-tông; công của một lực · J · ΣW = ΔK
k khí · Độ cứng hiệu dụng của khí quanh vị trí cân bằng · N/m · k khí = −dF net /dx
y, a, b · Cột khí khi có lò xo; hệ số của đường p = aV + b · m; Pa/m³; Pa · Mục 4
Vuốt ngang để xem hết bảng
Nhắc ngắn. Từ Bài ①: ΣF = 0 cho pit-tông đứng yên, và khí bị nén hay giãn chậm hành xử như lò xo có k = p 0 S/L. Từ phần nhiệt học: ΔU = A + Q (Nguyên lí I), khí lí tưởng đẳng nhiệt có ΔU = 0. Bài này dùng cả hai, không chứng minh lại.
Về mô hình đẳng nhiệt. Nghĩa là khí luôn kịp trao đổi nhiệt với môi trường để nhiệt độ không đổi. Đó là một cực giới hạn ("chậm về nhiệt"). Cực kia là đoạn nhiệt (không kịp trao đổi nhiệt); quá trình thật nằm giữa hai cực. Mọi tình huống và số liệu ở đây là hư cấu, chỉ để hiểu cơ chế.
MỤC 1 · HỢP LỰC
Hợp lực phụ thuộc vị trí: F net (x)
Ở Bài ① ta chỉ hỏi "ΣF có bằng 0 không". Bây giờ ta hỏi "ΣF bằng bao nhiêu ở mỗi vị trí", vì chính hàm đó quyết định pit-tông tăng tốc hay giảm tốc, và dừng ở đâu.
1.1 Ba lực, hai nhóm
Lên pit-tông có ba lực theo phương thẳng đứng: lực khí pS hướng lên; lực khí quyển p 0 S hướng xuống; trọng lực Mg hướng xuống. Chọn trục hướng lên, hợp lực là
F net = pS − p 0 S − Mg dương khi hướng lên; a = F net /M
Hai lực p 0 S và Mg không đổi khi pit-tông dịch chuyển, nên gộp thành một "tải" không đổi p 0 S + Mg = 100 N + 20 N = 120 N hư cấu . Chỉ lực khí pS thay đổi theo vị trí. Hình 2 vẽ ba thời điểm của cùng một lần thả.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Ba thời điểm khi thả (T s = 30 N): vừa thả, đi qua vị trí cân bằng x e , và đi quá x e . Lực khí tăng dần khi cột khí ngắn lại.
1.2 Lực khí đổi theo x thế nào?
Với khí đẳng nhiệt, pV = nRT không đổi. Vì V = S·x nên p = nRT/(S·x), tức pS = nRT/x : cột khí càng ngắn, lực khí càng lớn. Gọi C = nRT. Khi còn giữ ở x 0 , dây cân bằng với phần còn lại: p 1 S + T s = p 0 S + Mg, nên C = p 1 S·x 0 .
F net (x) = C/x − (p 0 S + Mg) C = nRT = p 1 Sx 0 = 18 J; p 0 S + Mg = 120 N; p 1 = 0,90·10 5 Pa với T s = 30 N (hư cấu)
Ngay lúc thả (x = x 0 ) hợp lực chính là phần dây vừa mất: F net (x 0 ) = −T s = −30 N, hướng xuống, nên a = −15 m/s².
x (m) · p (10 5 Pa) · F net (N) · a (m/s²) · Ý nghĩa
0,20 · 0,90 · −30 · −15 · Vừa thả
0,18 · 1,00 = p 0 · −20 · −10 · Khí đã bằng p 0 , vẫn tăng tốc xuống với a = −g
0,15 · 1,20 = p 0 + Mg/S · 0 · 0 · Vị trí cân bằng x e
0,12 · 1,50 · +30 · +15 · Hợp lực hướng lên, giảm tốc
Vuốt ngang để xem hết bảng
Bảng dùng số hư cấu (T s = 30 N, M = 2 kg). Chú ý hàng thứ hai: khi p = p 0 , hợp lực chỉ còn −Mg, nên pit-tông chưa hề ở trạng thái cân bằng.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Đồ thị F net theo x, vẽ với trục x thẳng đứng cho khớp với xi lanh bên trái. Điểm cam cắt trục F = 0 tại x e .
1.3 Vị trí cân bằng và vì sao nó bền
Cân bằng là chỗ F net = 0, tức C/x = p 0 S + Mg:
x e = C/(p 0 S + Mg) = p 1 x 0 /p e p e = p 0 + Mg/S = 1,2·10 5 Pa; x e = 0,90·0,20/1,20 = 0,150 m
Lực giữ T s hư cấu · p 1 (10 5 Pa) · x e (m) · Pit-tông đi
10 N · 1,10 · 0,1833 · xuống một đoạn ngắn
30 N · 0,90 · 0,1500 · xuống
60 N · 0,60 · 0,1000 · xuống một đoạn dài
Vuốt ngang để xem hết bảng
Đây là cân bằng bền . Độ dốc dF net /dx = −C/x² luôn âm: nếu pit-tông lệch lên (x > x e ) thì F net < 0 kéo xuống; lệch xuống thì F net > 0 đẩy lên. Hợp lực luôn hướng về x e . Vì thế thả ra thì pit-tông không dừng ngay ở x e mà chạy qua nó và dao động quanh nó.
1.4 Tốc độ lớn nhất nằm ở đâu?
Theo dõi dấu của hợp lực trên đường đi xuống từ x 0 đến x e : F net < 0 cùng chiều chuyển động, nên tốc độ tăng. Qua x e , F net > 0 ngược chiều chuyển động, nên tốc độ giảm. Tốc độ đạt cực đại đúng lúc hợp lực đổi dấu, tức lúc F net = 0, a = 0.
v max ⇔ a = 0 ⇔ F net = 0 ⇔ pit-tông qua x e tại đó p = p 0 + Mg/S, không phải p = p 0
tăng T s từ 30 N lên 60 N (M giữ 2 kg), vị trí cân bằng dịch lên hay xuống?
Hãy dự đoán trước, rồi đối chiếu với bảng ở mục 1.3.
Giải thích. Dây kéo mạnh hơn nên ở x 0 khí loãng hơn: p 1 giảm từ 0,90 xuống 0,60·10 5 Pa, và C = nRT = p 1 Sx 0 giảm từ 18 J xuống 12 J. Muốn lực khí C/x bằng 120 N thì x e = 12/120 = 0,10 m. Vị trí cân bằng dịch xuống (từ 0,15 m xuống 0,10 m) vì khí phải bị nén nhiều hơn mới đỡ nổi tải 120 N.
Sổ cái mục 1: ba câu hỏi đọc một lần thả
Câu hỏi · Trả lời
Lực nào đổi theo vị trí? · Chỉ pS = nRT/x; p 0 S và Mg không đổi
Cân bằng ở đâu? · F net = 0: x e = nRT/(p 0 S + Mg), và nó bền
Nhanh nhất ở đâu? · Cũng tại x e (a = 0), áp suất lúc đó là p 0 + Mg/S
MỤC 2 · NĂNG LƯỢNG
Sổ cái năng lượng của pit-tông
Biết F net (x) là biết gia tốc ở từng vị trí. Nhưng muốn biết "nhanh nhất là bao nhiêu" mà không giải phương trình chuyển động, ta dùng năng lượng: công của mọi lực lên pit-tông cộng lại bằng độ tăng động năng.
2.1 Mỗi lực một dòng của sổ cái
Với pit-tông là vật khảo sát, định lí động năng viết ΣW = ΔK. Từ x 0 đến x, ba lực sinh công:
- Khí: W khí = ∫ pS dx. Lực khí hướng lên mà pit-tông đi xuống nên W khí âm ; với khí đẳng nhiệt, W khí = C·ln(x/x 0 ).
- Khí quyển: W = p 0 S(x 0 − x), dương khi pit-tông đi xuống.
- Trọng lực: W = Mg(x 0 − x), dương khi pit-tông đi xuống.
½Mv² = C·ln(x/x 0 ) + (p 0 S + Mg)(x 0 − x) công của khí âm khi pit-tông đi xuống; hai lực còn lại sinh công dương
Dòng sổ cái, từ x 0 = 0,20 m đến x e = 0,15 m hư cấu · Công (J)
Khí: 18·ln(0,15/0,20) · −5,178
Khí quyển: p 0 S(x 0 − x e ) = 100 N × 0,05 m · +5,000
Trọng lực: Mg(x 0 − x e ) = 20 N × 0,05 m · +1,000
Tổng = động năng K của pit-tông · +0,822
Vuốt ngang để xem hết bảng
Từ ½Mv² = 0,822 J suy ra v max = √(2K/M) = √(0,822) ≈ 0,9065 m/s , đúng tại x e vì đó là nơi F net = 0.
2.2 Công là diện tích
Công của một lực biến đổi bằng diện tích dưới đường lực theo x. Lực ngoài p 0 S + Mg là đường nằm ngang, diện tích dưới nó là hình chữ nhật 6,000 J. Lực khí là đường cong C/x nằm bên dưới; diện tích dưới nó là 5,178 J. Phần chênh giữa hai đường chính là động năng.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Sổ cái bằng diện tích: khung nét đứt (6,000 J) trừ vùng xanh dương (5,178 J) còn vùng xanh lá (0,822 J) là động năng. Phía dưới là dòng năng lượng đi qua khí.
2.3 "Đẳng nhiệt" không có nghĩa là không trao đổi năng lượng
Pit-tông đi xuống nén khí: khí nhận công A = −W khí = +5,178 J. Khí lí tưởng đẳng nhiệt có ΔU = 0, nên theo Nguyên lí I: 0 = A + Q, tức Q = −5,178 J. Khí tỏa 5,178 J nhiệt ra môi trường, nhờ vậy nhiệt độ không đổi. Trong 6,000 J do khí quyển và trọng lực sinh ra, chỉ 0,822 J thành động năng; phần còn lại 5,178 J đi qua khí và ra ngoài dưới dạng nhiệt.
PHÒNG 1 Thả pit-tông
Xi lanh thẳng đứng như ở mục 0.1 (số liệu hư cấu). Chọn lực giữ T s và khối lượng pit-tông, rồi xem pit-tông chạy. Máy tính giải phương trình chuyển động bằng RK4 (bước 0,2 ms) và so v max , vị trí cân bằng, điểm dừng với công thức giải tích ở trên. Vùng tô xanh lá trên đồ thị F net (x) có diện tích bằng động năng hiện tại (khi không ma sát).
Lực giữ T s (N)
Khối lượng pit-tông M (kg)
Khí
Ma sát
Tốc độ
Thời gian t
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Áp suất khí lúc giữ p 1
Hợp lực và gia tốc lúc thả
Vị trí cân bằng x e (giải tích)
v max số (RK4)
v max giải tích √(2K/M)
Đối chiếu
Vị trí lúc v cực đại (số)
Điểm dừng thấp nhất và cao nhất (số)
Điểm dừng giải tích
Tại thời điểm t: vị trí, vận tốc
Tại thời điểm t: lực, gia tốc
Sổ cái công từ lúc thả đến t
Khí (Nguyên lí I)
Kiểm tra sổ cái
2.4 So với đoạn nhiệt MỞ RỘNG
Nếu xi lanh cách nhiệt và pit-tông chạy nhanh hơn thời gian khí kịp tỏa nhiệt, thì Q = 0. Công nén làm tăng nội năng: ΔU = A = −W khí , khí nóng lên , áp suất tăng nhanh hơn mức p ∝ 1/x. Với khí đơn nguyên tử, pV γ = hằng số và γ = 5/3 (ngoài chương trình bắt buộc). Khí nóng đẩy lại mạnh hơn nên pit-tông chạy chậm hơn và dừng cao hơn.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Lực khí đẳng nhiệt (xanh dương) và đoạn nhiệt (tím) cùng điểm xuất phát x 0 = 0,20 m; diện tích giữa mỗi đường và lực ngoài 120 N là động năng K tương ứng.
Số liệu hư cấu (T s = 30 N) · Đẳng nhiệt · Đoạn nhiệt (MỞ RỘNG)
Vị trí cân bằng x e · 0,1500 m · 0,1683 m
Động năng cực đại K · 0,822 J · 0,512 J
v max · 0,9065 m/s · 0,7156 m/s
Nhiệt Q khí nhận · −5,178 J (tỏa nhiệt) · 0
Độ tăng nội năng ΔU · 0 · +3,29 J (khí nóng lên)
Vuốt ngang để xem hết bảng
Nếu sau đó thành xi lanh dẫn nhiệt, khí đoạn nhiệt nóng sẽ tỏa nhiệt dần ra ngoài và cột khí (sau khi dao động đã tắt dần) tụt từ 0,1683 m xuống 0,1500 m, vì áp suất cân bằng p e và nhiệt độ môi trường không đổi.
Chốt ý mục 2: ΣW = ΔK; W khí < 0 khi nén 6,000 J (khí quyển + trọng lực) = 5,178 J (đi qua khí, ra ngoài thành nhiệt) + 0,822 J (động năng)
nén đẳng nhiệt từ x 0 xuống x e , khí nhận hay tỏa nhiệt, bao nhiêu?
Hãy dự đoán dấu của Q rồi tự tính độ lớn.
Giải thích. Khí bị nén nên nhận công A = +5,178 J. Đẳng nhiệt khí lí tưởng có ΔU = 0, nên Q = −A = −5,178 J: khí tỏa 5,178 J. Con số này khác 6,000 J, vì 0,822 J trong 6,000 J đã thành động năng của pit-tông chứ không đi qua khí.
MỤC 3 · KHÍ NHƯ LÒ XO
Gần cân bằng, khí là một lò xo
Gần vị trí cân bằng, mọi lực hồi phục trơn đều có dạng F ≈ −kδ, giống lò xo. Khí cũng vậy, chỉ có độ cứng k không cố định mà phụ thuộc trạng thái.
3.1 Độ cứng hiệu dụng của khí
Đặt δ = x − x e . Độ cứng là độ dốc của đường hợp lực: k khí = −dF net /dx = C/x². Tại x e ta có C = p e S·x e , nên
k khí = p e S/x e = (p 0 S + Mg)/x e = 120/0,15 = 800 N/m (hư cấu, T s = 30 N); đoạn nhiệt (MỞ RỘNG): k = γ·pS/x
Công thức cùng dạng k = pS/x với Bài ①: ở đó khí đang ở áp suất p 0 nên k = p 0 S/L. Ở đây pit-tông mang tải, khí cân bằng ở p e = p 0 + Mg/S nên phải dùng p e . Cột khí càng ngắn (áp suất càng cao) thì khí càng cứng.
T s hư cấu · x e (m) · k khí (N/m) · Chu kì dao động nhỏ T = 2π√(M/k)
10 N · 0,1833 · 654,5 · 0,3473 s
30 N · 0,1500 · 800,0 · 0,3142 s
60 N · 0,1000 · 1200,0 · 0,2565 s
Vuốt ngang để xem hết bảng
3.2 Chu kì dao động nhỏ
Pit-tông khối lượng M gắn với "lò xo khí" k nên ω = √(k/M) = √(800/2) = 20 rad/s và T = 2π/ω = 0,3142 s (bỏ qua khối lượng khí). Hình 6 đặt đường hợp lực thật cạnh tiếp tuyến −kδ.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ