VẬT LÍ 12 · PIT-TÔNG & XI LANH ② — Chất khí bị ràng buộc: cột thủy ngân, xi lanh bậc, hai ngăn khí
Chuyên đề Vật lí 12 (khí lí tưởng): cột thủy ngân như pit-tông lỏng, phương pháp đường đẳng cao, xi lanh bậc (thể tích bảo toàn), hệ hai ngăn khí và pit-tông…
[VẬT LÍ 12 · KHÍ LÍ TƯỞNG] · THPT AI LUKATO · PIT-TÔNG & XI LANH ②
Chất khí bị ràng buộc
Cột thủy ngân, xi lanh bậc và hai ngăn khí
Ở Bài 1, một pit-tông duy nhất đã đủ để em học cách đọc áp suất khí từ cân bằng lực. Nhưng bài toán khí hiếm khi gọn như vậy: pit-tông bị thay bằng một cột thủy ngân, ống đổi tiết diện giữa chừng, hay hai ngăn khí nằm chung một xi lanh. Bài này không giải đề. Nó dạy một thói quen: gặp một hệ phức tạp, hãy tìm những ràng buộc nối các phần của hệ với nhau, rồi đếm xem đã đủ phương trình để tính hay chưa.
10 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 3 PHÒNG THÍ NGHIỆM 6 HIỂU NHẦM KINH ĐIỂN 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Ba bước cũ, một bước mới
Bài 1 cho em ba bước: (1) chọn vật khảo sát (một pit-tông); (2) liệt kê lực ở hai phía của nó, với lực do khí là F = pS và đừng quên áp suất khí quyển p 0 ; (3) nối kết quả với trạng thái của khối khí. Bài này giữ nguyên ba bước ấy và thêm một bước thứ tư: viết ràng buộc nối các phần của hệ , rồi đếm ẩn và phương trình. Có ba loại ràng buộc thường gặp.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ bài: ba bước của Bài 1, ba loại ràng buộc (mục 1, 2, 3) và bước đếm ẩn (mục 4).
0.1 Ba loại ràng buộc và công cụ tương ứng
Ràng buộc · Nó cho ta điều gì · Công cụ · Mục
Cột thủy ngân (pit-tông lỏng) · Áp suất khí, từ cân bằng của cột thủy ngân · p = p 0 ± h·sinα, tính bằng cmHg; "đường đẳng cao" · 1
Tiết diện đổi (xi lanh bậc) · Chiều cao thủy ngân mới và độ dịch pit-tông, từ bảo toàn thể tích · h = H + (n − 1)a; d = a + (L 1 − L 2 ) · 2
Ngăn cách (pit-tông giữa, vách) · Quan hệ giữa hai áp suất và hai chiều cao · p A = p B nếu pit-tông nhẹ; p B = p A + m 2 g/S nếu có khối lượng · 3
Đếm · Biết hệ đã đủ dữ kiện để giải hay chưa · số ẩn = số phương trình · 4
Vuốt ngang để xem hết bảng
0.2 Kí hiệu, đơn vị và giả thiết dùng xuyên suốt
Kí hiệu · Ý nghĩa · Đơn vị, giá trị
p 0 · Áp suất khí quyển · 76 cmHg ≈ 1,0 × 10 5 Pa; 1 cmHg ≈ 1333 Pa (xem lưu ý về g bên dưới)
h, H, ℓ · Chiều dài cột thủy ngân (h, đo dọc ống), chiều cao ban đầu H ở xi lanh bậc, chiều dài cả ống ℓ · cm (h, H cũng là áp suất do cột đó gây ra, tính bằng cmHg)
α · Góc của trục ống so với phương ngang · độ
L, L 0 , L 1 , L 2 · Chiều dài cột khí (L 0 : lúc ống nằm ngang; L 1 , L 2 : trước và sau ở xi lanh bậc) · cm
n, f, a, d · Tỉ số tiết diện; tỉ lệ dâng f = a/H; độ dâng mặt dưới thủy ngân; độ dịch pit-tông · n, f không có đơn vị; a, d tính bằng cm
L A , L B , L A ′, L B ′ · Chiều dài (chiều cao) cột khí của ngăn A, B ở mục 3, lúc đầu và lúc sau · cm
p, p′, r · Áp suất khí; áp suất lúc sau; tỉ lệ giãn r = L′/L = p ban đầu /p′ · cmHg hoặc Pa; r không có đơn vị
F, m 1 , m 2 · Lực ngoài kéo pit-tông trên (hướng lên là dương); khối lượng pit-tông trên và pit-tông giữa · N; kg
S · Tiết diện · cm² (đổi sang m² khi dùng Pa và N: 1 cm² = 10 −4 m²)
g · Gia tốc trọng trường · 10 m/s² (chỉ dùng khi tính trọng lượng pit-tông, mục 3)
Vuốt ngang để xem hết bảng
Lưu ý về g. 1 cmHg ≈ 1333 Pa là giá trị chuẩn, ứng với g = 9,81 m/s² (nếu lấy g = 10 thì ρg·1 cm ≈ 1360 Pa). Bài này dùng 1333 Pa khi đổi cmHg sang Pa, còn g = 10 m/s² cho tròn số khi tính trọng lượng pit-tông (mục 3). Hai phép tính ấy không bao giờ nằm chung một phương trình (phần cmHg không có pit-tông nặng, phần pit-tông nặng chỉ dùng Pa), nên không số nào bị ảnh hưởng.
Giả thiết chung. Khí là khí lí tưởng và quá trình đủ chậm để khí luôn ở cân bằng nhiệt với môi trường, nên mỗi khối khí đi theo quá trình đẳng nhiệt pV = hằng số. Thủy ngân không nén được; bỏ qua ma sát, sức căng bề mặt và hơi thủy ngân; ống có tiết diện đều trên từng đoạn. Mọi tình huống và con số trong bài là hư cấu , chỉ dùng để hiểu cơ chế.
vì sao áp suất dùng đơn vị cmHg lại tiện?
Hãy thử viết lực lên một cột thủy ngân dài 15 cm, tiết diện 2 cm², ở tư thế thẳng đứng, bằng đơn vị SI. Em cần khối lượng riêng của thủy ngân, gia tốc g và đổi cm sang m.
Đối chiếu cơ chế. Áp suất do cột chất lỏng cao h là ρgh; với thủy ngân, ρg·1 cm chính là 1 cmHg (≈ 1333 Pa). Đổi mọi áp suất ra cmHg thì ρ, g và S biến mất khỏi phương trình, chỉ còn các độ cao tính bằng cm; ta chỉ đổi sang Pa ở bước cuối khi cần tính lực.
MỤC 1 · CỘT THỦY NGÂN
Cột thủy ngân là một pit-tông lỏng
Một ống thẳng, đầu kín, đầu hở. Một cột thủy ngân dài h chặn ở giữa và giam một cột khí ở đầu kín. Cột thủy ngân làm đúng việc của pit-tông: ngăn khí trong ống với khí quyển bên ngoài, và trượt dọc ống khi lực hai phía chưa cân bằng. Chỉ khác ở một điều: nó có trọng lượng , nên khi ống nghiêng, trọng lượng ấy có thành phần dọc theo trục ống.
1.1 Cân bằng của cột thủy ngân dọc theo ống
Áp dụng ba bước của Bài 1 cho cột thủy ngân. Chọn cột thủy ngân làm vật khảo sát. Xét các lực theo trục ống , vì lực vuông góc với trục được thành ống cân bằng. Hướng dương là hướng từ đầu kín ra miệng ống. Gọi α là góc giữa trục ống và phương ngang, ρ là khối lượng riêng của thủy ngân, S là tiết diện ống:
Khí trong ống đẩy cột ra phía miệng: pS.
Khí quyển đẩy cột vào phía đầu kín: p 0 S.
Trọng lượng của cột là ρg(hS). Thành phần dọc ống là ρg(hS)·sinα, hướng xuống dốc: về phía đầu kín nếu miệng ống hướng lên, về phía miệng nếu miệng ống hướng xuống.
Miệng ống hướng lên: pS = p 0 S + ρghS·sinα ⟹ p = p 0 + h·sinα Miệng hướng xuống: đổi dấu, p = p 0 − h·sinα. Mọi số hạng đo bằng cmHg, với ρg·(1 cm) = 1 cmHg.
Hai điều đáng để ý. Thứ nhất, tiết diện S biến mất : lực khí, lực khí quyển và trọng lượng đều tỉ lệ với S, nên áp suất do cột thủy ngân gây ra không phụ thuộc ống to hay nhỏ. Thứ hai, chiều dài cột h đo dọc ống , còn áp suất chỉ quan tâm đến độ cao thẳng đứng h·sinα. Khi ống nằm ngang, α = 0 và cột thủy ngân dài đến đâu cũng không làm áp suất khí khác p 0 .
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Pit-tông cứng và cột thủy ngân có cùng sơ đồ lực dọc trục; khi ống nghiêng, cột thủy ngân có thêm thành phần trọng lực Mg·sinα (M là khối lượng cột thủy ngân).
1.2 Năm tư thế ống, một lượng khí
Tình huống (hư cấu): p 0 = 76 cmHg; cột thủy ngân dài h = 15 cm; khi ống nằm ngang, cột khí dài L 0 = 20 cm. Lượng khí không đổi và nhiệt độ không đổi, nên mọi tư thế đều có pL = p 0 L 0 = 76 × 20 = 1520 (cmHg·cm); tiết diện đều nên chiều dài L tỉ lệ với thể tích.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Cùng cột thủy ngân 15 cm: hình vẽ bốn trong năm tư thế (tư thế nghiêng 30° miệng xuống có trong bảng bên dưới và Hình 5), mỗi tư thế một cặp (p, L); vẽ theo tỉ lệ chiều dài.
Tư thế (hư cấu) · Áp suất khí p (cmHg) · Chiều dài cột khí L = 1520 / p
Miệng hướng lên (α = 90°) · 76 + 15 = 91 · 16,70 cm
Nghiêng 30°, miệng lên · 76 + 15·sin30° = 83,5 · 18,20 cm
Nằm ngang · 76 · 20,00 cm
Nghiêng 30°, miệng xuống · 76 − 15·sin30° = 68,5 · 22,19 cm
Miệng hướng xuống (α = 90°) · 76 − 15 = 61 · 24,92 cm
Vuốt ngang để xem hết bảng
Để ý chiều biến thiên: càng úp miệng ống xuống, phần trọng lượng cột thủy ngân kéo về phía miệng càng lớn, nên khí chỉ cần áp suất nhỏ hơn p 0 là giữ được cột; áp suất nhỏ thì cột khí dài ra.
1.3 Phương pháp "đường đẳng cao"
Trong một khối chất lỏng nằm yên và liền nhau, hai điểm ở cùng độ cao có cùng áp suất. Từ đó có một quy trình ngắn, dùng được cho cả ống nghiêng lẫn ống chữ U:
- Kẻ một đường nằm ngang đi qua mặt phân cách giữa khí và thủy ngân.
- Đường ấy cắt khối thủy ngân (hoặc kéo dài tới mặt thoáng) tại một điểm có áp suất bằng áp suất của khí .
- Đo độ cao thẳng đứng Δh từ đường ấy tới mặt thoáng, nơi áp suất là p 0 . Mặt thoáng nằm cao hơn thì p = p 0 + Δh; thấp hơn thì p = p 0 − Δh.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Trái: ống nghiêng, độ cao đứng của cột là h·sinα. Phải: ống chữ U, mặt thoáng bên hở cao hơn mặt bên khí 8 cm (số hư cấu) nên p = 76 + 8 = 84 cmHg.
Cách nghĩ này tránh được lỗi lớn nhất của dạng bài: nhân hay không nhân sinα. Em không cần nhớ "ống nghiêng thì nhân sin"; em chỉ cần đo độ cao đứng giữa hai đường nằm ngang.
1.4 Đổi hướng ống chỉ trượt trạng thái dọc một đường đẳng nhiệt
Lật ống, nghiêng ống, hay đặt nằm ngang, khí đều đi qua những trạng thái (p, L) nằm trên cùng một nhánh hypebol pL = 1520. Cột thủy ngân chỉ quyết định điểm nào trên nhánh ấy; nó không làm khí rời khỏi nhánh.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Năm tư thế của ống trong tình huống hư cấu nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt p·L = 1520.
CHỐT Ý p = p 0 ± h·sinα (cmHg); h đo dọc ống, sinα đổi nó thành độ cao đứng; L = p 0 L 0 /p Dấu + khi miệng ống hướng lên, dấu − khi hướng xuống; nằm ngang thì p = p 0 .
cột thủy ngân dài 24 cm, ống nghiêng 30° miệng hướng xuống, áp suất khí là bao nhiêu?
Dự đoán trước: lớn hơn hay nhỏ hơn 76 cmHg? Độ giảm là 24 cmHg hay nhỏ hơn?
Đối chiếu cơ chế. Miệng xuống nên p nhỏ hơn p 0 , và chỉ độ cao đứng 24·sin30° = 12 cm mới tính: p = 76 − 12 = 64 cmHg . (Ống thẳng đứng mới cho 76 − 24 = 52 cmHg.)
1.5 Úp ngược ống thì thủy ngân có rơi không?
Khí quyển đang ấn thủy ngân vào ống, nên cột thủy ngân không tự rơi ra khi p = p 0 − h·sinα còn dương. Nhưng khi úp miệng xuống, áp suất khí giảm nên khí nở ra , và cột thủy ngân bị đẩy dần ra phía miệng. Câu hỏi đúng không phải "thủy ngân có nặng không" mà là: cột khí nở ra có làm đẩy mép thủy ngân vượt khỏi miệng ống không?
Không tràn khi L + h ≤ ℓ , với L = p 0 L 0 /(p 0 − h·sinα) ℓ là chiều dài ống. Nếu L + h > ℓ, thủy ngân chảy ra cho đến khi cột còn lại h′ khớp với L′ = ℓ − h′ và p′L′ = p 0 L 0 .
Tình huống (hư cấu): ống dài ℓ = 50 cm, úp thẳng đứng, p 0 = 76 cmHg, L 0 = 20 cm khi nằm ngang, cột thủy ngân h thay đổi:
h (cm) · p = 76 − h (cmHg) · L = 1520 / p (cm) · L + h (cm) · So với ℓ = 50 cm
5 · 71 · 21,41 · 26,41 · không tràn
10 · 66 · 23,03 · 33,03 · không tràn
15 · 61 · 24,92 · 39,92 · không tràn
20 · 56 · 27,14 · 47,14 · không tràn
25 · 51 · 29,80 · 54,80 · tràn
30 · 46 · 33,04 · 63,04 · tràn
Vuốt ngang để xem hết bảng
Ngưỡng nằm giữa h = 20 và h = 25: giải L + h = 50 cho h ≈ 21,9 cm . Cột thủy ngân dài hơn ngưỡng ấy thì úp thẳng đứng sẽ bị tràn, và sau khi tràn chỉ còn lại đúng khoảng 21,9 cm trong ống. Ngưỡng này phụ thuộc cả chiều dài ống ℓ, chiều dài L 0 và góc nghiêng; hãy tự kiểm trong phòng thí nghiệm dưới đây.
PHÒNG 1 Xoay ống thủy ngân
Ống dài 50 cm (hư cấu), đầu kín bên trái, p 0 = 76 cmHg; khi nằm ngang cột khí dài 20 cm. Kéo thanh trượt góc θ để xoay ống quanh tâm (θ dương: miệng ống hướng lên; θ âm: hướng xuống) và chọn chiều dài cột thủy ngân h. Hai đường nét đứt là "đường đẳng cao" qua mặt phân cách khí–thủy ngân và qua mặt thoáng.
Tư thế nhanh
Góc θ (độ)
Chiều dài cột thủy ngân h (cm)
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Độ cao đứng h·sinθ
Áp suất khí p = 76 + h·sinθ
Áp suất khí (Pa)
Chiều dài cột khí L = 1520 / p
L + h (nếu ống đủ dài)
Thủy ngân còn trong ống
Thủy ngân đã chảy ra
Sổ cái mục 1: đọc một ống thủy ngân trong ba câu hỏi
Câu hỏi · Trả lời cho biết
Miệng ống hướng lên hay xuống? Độ cao đứng của cột là bao nhiêu? · Dấu và độ lớn của h·sinα, suy ra p = p 0 ± h·sinα
Lượng khí và nhiệt độ có đổi không? · Nếu không, pL = hằng số, tính được L từ một trạng thái tham chiếu (thường là nằm ngang)
Mép thủy ngân có chạm miệng ống không? · So L + h với chiều dài ống ℓ: vượt thì tràn, và phải tính lại với h′
ống dài 50 cm úp thẳng đứng, cột thủy ngân dài 25 cm, còn lại bao nhiêu?
Số liệu như trong phòng thí nghiệm: p 0 = 76 cmHg, L 0 = 20 cm. Dự đoán trước: thủy ngân mất đi nhiều hay ít?
Đối chiếu cơ chế. Giữ nguyên 25 cm thì L + h = 54,80 cm > 50 cm nên tràn. Sau khi tràn, mép thủy ngân ngang miệng ống (L′ + h′ = 50, h′ là thủy ngân còn lại) và p′L′ = 1520, cho h′ ≈ 21,9 cm ; thủy ngân chảy ra khoảng 3,1 cm. Phòng 1 với θ = −90° và h = 25 cho cùng kết quả.
MỤC 2 · XI LANH BẬC
Khi tiết diện đổi, thể tích thủy ngân mới là thứ được giữ
Cột thủy ngân không nén được. Nếu nó bị đẩy từ phần ống rộng sang phần ống hẹp thì thể tích được bảo toàn, còn chiều cao thì không. Chiều cao thay đổi, áp suất do cột gây ra thay đổi theo, và khí bên dưới bị nén thêm. Mục này dựng mô hình ấy từng bước, vì một hình học mơ hồ là nguồn gốc của hầu hết lỗi tính.
2.1 Mô hình hình học (nêu tường minh)
- Xi lanh thẳng đứng, hở hai đầu. Phần dưới có tiết diện lớn S lớn = n·S, phần trên có tiết diện nhỏ S, hai phần nối nhau bằng một bậc .
- Pit-tông không khối lượng, trượt kín ở phần lớn. Mặt dưới của nó thông với khí quyển (áp suất p 0 ); một lực ngoài F hướng lên giữ hoặc đẩy nó.
- Phía trên pit-tông là cột khí dài L 1 ; trên cột khí là cột thủy ngân cao H nằm trong phần lớn, mặt trên của thủy ngân ngang đúng bậc; trên cùng là khí quyển.