🔭 Vật lí · Quang học · Hội tụ ánh sáng qua mặt cong · Bán kính cong tại đỉnh quyết định tiêu điểm gần trục; gương parabol hội tụ hoàn hảo còn gương cầu có quang sai; và khúc xạ chỉ hoàn hảo trên mặt elipsoid có tâm sai bằng n₀/n
Chuyên đề hệ thống hội tụ ánh sáng qua mặt cong cho học sinh lớp 11 và 12, thường gặp trong các bài toán quang học về gương parabol, gương cầu và khúc xạ qua…
LUKATO AI · VẬT LÍ · QUANG HỌC HÌNH HỌC
Vật lí · Bán kính cong tại đỉnh · Gương và quang sai · Khúc xạ qua mặt cong
Gần trục, ánh sáng chỉ thấy bán kính cong tại đỉnh : hội tụ hoàn hảo hay có quang sai là do dạng của mặt cong
Chuyên đề này gom bài toán hội tụ ánh sáng qua mặt cong về một câu hỏi: cái gì chỉ cần biết ở đỉnh, cái gì phải biết cả dạng mặt . Thứ nhất, gần trục chỉ có bán kính cong tại đỉnh R là quan trọng : mọi mặt có cùng R tại đỉnh, dù là đường tròn, elip, parabol hay hypebol, cho cùng tiêu điểm gần trục, f = R/2 với gương và f₀ = R/(1 − η) với mặt khúc xạ, η = n₀/n. Thứ hai, xa trục thì dạng mặt quyết định : gương parabol hội tụ mọi tia song song trục vào đúng một điểm, còn gương cầu chỉ đúng gần trục và có quang sai cầu, tia xa trục cắt trục sớm hơn khoảng ξ²/4 lần R (ξ = y/R). Thứ ba, khúc xạ có đáp án tương tự : mặt elipsoid có tâm sai e = η hội tụ hoàn hảo, còn mặt cầu thì không. Cả ba đều gói trong một nguyên lí: hội tụ hoàn hảo nghĩa là mọi tia có cùng quang lộ tới điểm hội tụ. Ba mô hình minh họa do bài tự đặt cho bạn tự thử từng bước.
Cùng R, cùng tiêu điểm gần trục R = 5 cm: đường tròn, elip e = 0,6, parabol và hypebol e = 1,5 đều cho f = 2,5 cm gần trục; nhưng ở ξ = 0,5 điểm của elip lệch khỏi đường tròn −176 μm và hypebol lệch −873 μm: dạng mặt chỉ lộ ra khi ra xa trục
Parabol hội tụ hoàn hảo, mặt cầu thì không Tia ở ξ = 0,7 (y = 3,5 cm) trên gương R = 5 cm cắt trục ở 2,5 cm với parabol, đúng tiêu điểm, nhưng ở 1,499 cm với mặt cầu: sớm hơn 1,001 cm, tức 20,01% của R
Khúc xạ: elipsoid e = η hội tụ hoàn hảo Từ không khí vào kính n = 1,5 (η = 0,667), R = 5 cm: tiêu điểm gần trục f₀ = 15 cm; mặt elipsoid e = η cắt trục đúng 15 cm với tia ξ = 0,95, còn mặt cầu chỉ cắt ở 10,892 cm
01
Khái niệm lõi
Từ một chùm tia song song đến cả quang học mặt cong: đỉnh, dạng mặt, quang lộ
Hãy hình dung một chùm sáng song song với trục tới một mặt cong có đỉnh nằm trên trục: lòng một gương lõm, hoặc mặt trước của một khối kính. Câu hỏi quen thuộc là mặt ấy có đưa cả chùm về một điểm hay không. Câu trả lời tách thành hai tầng. Tầng thứ nhất: với các tia rất gần trục, mọi mặt trơn đều hội tụ về một điểm, và vị trí điểm ấy chỉ phụ thuộc bán kính cong tại đỉnh . Tầng thứ hai: với các tia xa trục, điểm cắt trục bắt đầu phụ thuộc vào dạng của mặt , và chỉ một số dạng đặc biệt mới giữ được một điểm duy nhất cho mọi tia. Gần trục là chuyện của R, xa trục là chuyện của hình dạng; quang sai chính là phần chênh giữa hai tầng ấy.
1 · Đỉnh Gần đỉnh mặt trông như đường tròn bán kính R: x ≈ y²/(2R)
2 · Gần trục Chỉ R có mặt: f = R/2 với gương, f₀ = R/(1 − η) với khúc xạ
3 · Xa trục Tia ở độ cao y = ξR cắt trục ở nơi phụ thuộc dạng mặt
4 · Hoàn hảo Mọi tia cùng quang lộ tới một điểm: gương parabol, mặt elipsoid e = η
5 · Quang sai Mặt cầu: tia xa trục cắt trục sớm hơn, độ lệch cỡ ξ² chia 4 lần R
Để thấy cơ chế, bài dựng ba mô hình minh họa do bài tự đặt; chúng không phải số đo thật mà chỉ làm lộ các đánh đổi. Mô hình thứ nhất là chính hình học của đỉnh. Một mặt có đỉnh ở gốc, mở về phía x dương, được đo bằng bán kính cong tại đỉnh R, tức độ cong 1/R = |x″(0)|; các đường cônic có cùng R tại đỉnh cùng một phương trình, với tâm sai e (e = 0 là đường tròn, e = 1 là parabol):
\begin{gathered}x(y)=\dfrac{y^{2}}{2R}+o(y^{2})\\ \dfrac{1}{R}=\left|x''(0)\right|\\ y^{2}=2Rx-(1-e^{2})x^{2}\end{gathered}
Mô hình thứ hai là gương lõm. Gần trục, tiêu điểm chỉ do R quyết định. Xa trục, đặt ξ = y/R là độ cao tương đối của tia: gương cầu cho quang sai dọc l (hiệu giữa tiêu điểm gần trục và điểm cắt trục của tia), còn gương parabol cho l = 0 ở mọi độ cao:
\begin{gathered}f=\dfrac{R}{2}\\ \xi=\dfrac{y}{R}\\ s=\sqrt{1-\xi^{2}}\\ \dfrac{l}{R}=\dfrac{1-s}{2s}\\ \dfrac{l}{R}\approx\dfrac{(1-e^{2})\,\xi^{2}}{4}\end{gathered}
Mô hình thứ ba là khúc xạ. Ánh sáng đi từ môi trường n₀ vào môi trường n qua mặt lồi về phía nguồn, đặt η = n₀/n. Gần trục mọi mặt cùng R cho cùng f₀. Mặt elipsoid có tâm sai đúng bằng η, với A là bán trục lớn, hội tụ hoàn hảo; các mặt khác (cầu, paraboloid) có quang sai, với hệ số bậc hai (η² − e²)/(2(1 − η)):
\begin{gathered}f_{0}=\dfrac{R}{1-\eta}\\ e=\eta=\dfrac{n_{0}}{n}\\ A=\dfrac{R}{1-e^{2}}\\ f_{0}=(1+e)A\\ \dfrac{l}{R}\approx\dfrac{\eta^{2}-e^{2}}{2(1-\eta)}\,\xi^{2}\end{gathered}
Ba nguyên lí cần nhớ (1) Gần trục chỉ có bán kính cong tại đỉnh: mọi mặt cùng R cho cùng tiêu điểm gần trục, f = R/2 với gương và f₀ = R/(1 − η) với khúc xạ; các đường cong cùng R chỉ lệch nhau cỡ y⁴ nên khó phân biệt gần đỉnh. (2) Xa trục thì dạng mặt quyết định: gương parabol hội tụ hoàn hảo cho chùm song song trục; gương cầu chỉ đúng gần trục và có quang sai l/R ≈ ξ²/4 (tia xa trục cắt trục sớm hơn); với tâm sai e quang sai bậc hai là (1 − e²)ξ²/4, đổi dấu qua parabol (e = 1). (3) Hội tụ hoàn hảo là chuyện quang lộ: mọi tia có cùng quang lộ tới điểm hội tụ; khúc xạ từ n₀ sang n hoàn hảo khi mặt là elipsoid có e = n₀/n, tại f₀ = (1 + e)A = R/(1 − η), và mặt cầu thì không bao giờ hoàn hảo.
02
Hệ thống khái niệm
Tám khái niệm cần phân biệt
Bán kính cong tại đỉnh Gần đỉnh, một mặt trơn khớp với đường tròn mật tiếp: x(y) = y²/(2R) + o(y²), và 1/R là độ cong tại đỉnh. Đó là thứ duy nhất ánh sáng gần trục cảm nhận được. Với các đường cônic có đỉnh ở trục lớn: elip x²/A² + y²/b² = 1 có R = b²/A, parabol y² = 2px có R = p, hypebol x²/a² − y²/B² = 1 có R = B²/a. Ví dụ elip A = 5, b = 3 có R = 1,8; parabol với p = 1,8 và hypebol a = 3, B² = 5,4 cũng có đúng R = 1,8.
Họ cônic cùng R: một phương trình, một tâm sai Đặt đỉnh ở gốc, mở về phía x dương: y² = 2Rx − (1 − e²)x². Cho e đổi từ 0 lên: e = 0 là đường tròn, e nhỏ hơn 1 (và lớn hơn 0) là elip với A = R/(1 − e²) và b=R/\sqrt{1-e^{2}}, e = 1 là parabol với p = R, e lớn hơn 1 là hypebol với a = R/(e² − 1). Với R = 5 cm: elip e = 0,6 có A = 7,81 cm, b = 6,25 cm; hypebol e = 1,5 có a = 4 cm, b = 4,47 cm. Tất cả đều đi qua đỉnh với cùng độ cong; chúng chỉ tách nhau khi ra xa.
Các đường cùng R chỉ lệch nhau cỡ y⁴ Khai triển x(y) = y²/(2R) + (1 − e²)y⁴/(8R³) + …, nên đường cônic lệch khỏi đường tròn cùng R một đoạn Δx ≈ −e²y⁴/(8R³): gấp đôi độ cao thì độ lệch gấp 16. Với R = 5 cm và elip e = 0,6: ở ξ = 0,1 độ lệch chỉ −0,227 μm (mắt thường không thấy), ở ξ = 0,5 đã là −176 μm, ở ξ = 0,9 là −4297 μm. Đó là lí do mọi chuyện gần trục chỉ phụ thuộc R.
Tia gần trục và tiêu điểm gần trục Tia gần trục là tia song song trục ở độ cao rất nhỏ so với R (ξ nhỏ): góc tới nhỏ nên có thể thay sin bằng góc. Khi đó gương lõm hội tụ về điểm cách đỉnh f = R/2 (với R = 5 cm là 2,5 cm) cho mọi e; mặt khúc xạ từ n₀ sang n hội tụ về f₀ = R/(1 − η), η = n₀/n (từ không khí vào kính n = 1,5 và R = 5 cm là 15 cm). Công thức chỉ chứa R và η, không chứa tâm sai: đó là nội dung của bán kính cong tại đỉnh.
Hội tụ hoàn hảo và gương parabol Hội tụ hoàn hảo là mọi tia song song trục, gần hay xa, đều qua đúng một điểm. Gương parabol y² = 2px làm được điều đó: tiêu điểm F ở x = p/2 và đường chuẩn x = −p/2, nên với mọi điểm M trên gương, MF = x + p/2. Quang lộ từ một mặt sóng phẳng x = X₀ tới M rồi tới F là (X₀ − x) + (x + p/2) = X₀ + p/2, không phụ thuộc M: mọi tia cùng quang lộ, nên theo nguyên lí Fermat mọi tia qua F. Với R = p = 5 cm, tia ở ξ = 0,7 cắt trục đúng 2,5 cm, cũng như tia ở ξ = 0,05.
Quang sai cầu của gương cầu Mặt cầu bán kính R phản xạ tia ở độ cao y = ξR với góc tới θ, sin θ = ξ, và tia phản xạ cắt trục tại điểm cách tâm R/(2 cos θ). Quang sai dọc l = R/2 − (hoành độ điểm cắt) có l/R = ½(1/cos θ − 1) ≈ ξ²/4: tia xa trục cắt trục sớm hơn. Với R = 5 cm: ξ = 0,5 cho điểm cắt ở 2,113 cm (l = 0,387 cm, tức 7,74% R); ξ = 0,7 cho 1,499 cm (l = 1,001 cm, tức 20,01% R). Quang sai này không do gia công kém; nó là hình học của mặt cầu hoàn hảo.
Quang lộ, nguyên lí Fermat và tâm sai Chênh lệch quang lộ ΔL = (đường đi tới tiêu điểm gần trục của tia ở độ cao y) − (đường đi của tia trục) bằng 0 với mọi tia khi và chỉ khi hội tụ hoàn hảo. Gương cầu R = 5 cm, tia ξ = 0,5 có ΔL = −716 μm, cỡ 1302 bước sóng 550 nm. Với tâm sai e, quang sai bậc hai là l/R ≈ (1 − e²)ξ²/4: dương với elip, bằng 0 với parabol (hoàn hảo cho chùm song song), âm với hypebol (tia xa trục cắt trục muộn hơn). Gương elip cho tia xuất phát từ một tiêu điểm đi qua tiêu điểm kia, nhưng đó là chùm phát từ tiêu điểm, không phải chùm song song.
Khúc xạ qua mặt cong: elipsoid e = n₀/n Tia song song trục từ môi trường n₀ vào môi trường n (η = n₀/n nhỏ hơn 1), gần trục hội tụ ở f₀ = R/(1 − η). Mặt hoàn hảo là elipsoid có tâm sai e = η: với tiêu điểm xa F cách đỉnh f₀ = (1 + e)A thì MF = f₀ − e·x, nên quang lộ n₀·x + n(f₀ − e·x) không phụ thuộc x khi e = n₀/n. Với n = 1,5, R = 5 cm: e = η = 0,667, A = 9 cm, f₀ = (1 + e)A = 15 cm; mặt cầu cùng R chỉ hội tụ gần trục (tia ξ = 0,95 cắt ở 10,892 cm), còn paraboloid (e = 1) lệch theo chiều ngược lại. Khi ánh sáng đi từ kính ra không khí (η = 1,5), mặt hoàn hảo là hypeboloid e = η = 1,5.
03
Phòng thực hành A
Bán kính cong tại đỉnh: cùng R, các đường cônic chỉ tách nhau khi ra xa trục
Phòng dựng họ cônic y² = 2Rx − (1 − e²)x² do bài tự đặt, không phải số đo thật. Ba thanh trượt chọn bán kính cong tại đỉnh R (2 đến 10 cm), tâm sai e (0 đến 2, bước 0,1: 0 là đường tròn, 1 là parabol, nhỏ hơn 1 là elip, lớn hơn 1 là hypebol) và độ cao tương đối ξ = y/R (0 đến 0,95, bước 0,05). Sáu nút đặt sẵn các tình huống tiêu biểu. Hình trên: đường cong đang chọn (xanh lục), đường tròn mật tiếp bán kính R (xanh dương đứt), parabol cùng R (vàng đứt); vòng tròn rỗng xanh dương là điểm của đường tròn ở độ cao đang xét và hình thoi là điểm của đường cong. Hình giữa: hiệu Δx giữa đường cong và đường tròn cùng R, tính bằng phần nghìn của R; đường đỏ chấm là xấp xỉ bậc bốn. Hình dưới: bán kính cong ρ tại từng điểm của đường cong, chia R. Tám ô thông tin và bảng kiểm tra bên dưới cho cùng một kết quả bằng hai cách tính khác nhau.
Đoán trước khi chọn Mặc định: R = 5 cm, e = 0,6 (elip), ξ = 0,5. (1) Đường cong có bán trục A và b bằng bao nhiêu, và b²/A là gì? (2) Tại y = 2,5 cm điểm của elip có x bằng bao nhiêu, so với điểm của đường tròn cùng R? (3) Đổi e sang 1 (parabol) rồi 1,5 (hypebol): x và độ lệch Δx thay đổi thế nào? (4) Kéo ξ về 0,1: độ lệch của elip còn bao nhiêu? (5) Tỉ số giữa Δx ở ξ = 0,2 và ở ξ = 0,1 (cùng e = 0,6) gần số nào? (6) Bán kính cong tại điểm đang xét lớn hơn hay nhỏ hơn R, và với đường tròn thì sao? (7) Tiêu điểm gần trục của gương mặt này là bao nhiêu, và đổi e thì có đổi không?
Bán kính cong tại đỉnh R (2 đến 10 cm) R = 5 cm
Tâm sai e (0 đến 2, bước 0,1) e = 0,6
Độ cao tương đối ξ = y/R (0 đến 0,95, bước 0,05) ξ = 0,5
━ đường cong đang chọn ━ đường tròn cùng R ━ parabol cùng R ◆ điểm đang xét
━ Δx của đường đang chọn ━ Δx của parabol ━ xấp xỉ bậc bốn
━ ρ/R của đường đang chọn ━ đường tròn: luôn bằng 1 ━ parabol
Kiểm tra dự đoán (1) A = R/(1 − e²) = 7,81 cm và b=R/\sqrt{1-e^{2}} = 6,25 cm; b²/A đúng bằng R = 5 cm, đó là bán kính cong tại đỉnh của elip. (2) Điểm của elip có x = 0,652 cm, điểm của đường tròn là 0,67 cm: elip nằm gần mặt phẳng đỉnh hơn −176 μm (−2,63% của x). (3) Parabol: x = 0,625 cm, Δx = −449 μm; hypebol e = 1,5: x = 0,583 cm, Δx = −873 μm. Tâm sai càng lớn, đường cong càng thoải ra xa đỉnh. (4) Ở ξ = 0,1 độ lệch của elip chỉ −0,227 μm, cỡ một phần mười bước sóng ánh sáng; parabol là −0,628 μm và hypebol −1,4 μm: cùng R thì gần đỉnh không phân biệt được. (5) Tỉ số Δx(ξ = 0,2)/Δx(ξ = 0,1) = 16,41, gần 16 theo quy luật bậc bốn. (6) ρ = 5,69 cm, lớn hơn R, với elip, 6,988 cm với parabol, 9,766 cm với hypebol: các đường này thoải dần nên bán kính cong lớn lên; đường tròn luôn có ρ = R = 5 cm. Chỉ tại đỉnh mọi đường đều có ρ = R. (7) f = R/2 = 2,5 cm cho mọi e: tiêu điểm gần trục không biết đến tâm sai.
04
Phòng thực hành B
Gương lõm: tia gần trục chỉ biết R, tia xa trục biết cả dạng mặt
Phòng dựng chùm tia song song trục tới gương lõm có mặt y² = 2Rx − (1 − e²)x², do bài tự đặt, không phải số đo thật. Ba thanh trượt chọn bán kính cong tại đỉnh R (2 đến 10 cm), tâm sai e (0 là gương cầu, 1 là parabol, từ 0 đến 2, bước 0,1) và độ cao tương đối của tia ξ = y/R (0,05 đến 0,70, bước 0,05; cắt ở góc tới 45° để tia phản xạ không quay ngược). Sáu nút đặt sẵn các tình huống tiêu biểu. Hình trên: gương ở bên trái, ánh sáng đi từ phải sang; các tia xanh nhạt ứng với ξ = 0,1 đến 0,7, tia đỏ là tia đang chọn, vòng tròn vàng là tiêu điểm gần trục và hình thoi là điểm cắt trục của tia đang chọn. Hình dưới: quang sai l/R theo ξ cho gương cầu (xanh dương đứt), parabol (vàng, nằm trên số không) và gương đang chọn (xanh lục). Tám ô thông tin và bảng kiểm tra bên dưới cho cùng một kết quả bằng hai cách tính khác nhau.