📈 Toán 12 · Ứng dụng đạo hàm 3 · Tiệm cận của đồ thị: so bậc tử và mẫu, nghiệm chung tạo lỗ hổng, hai phía của căn thức và cách đếm tiệm cận theo tham số
Chuyên đề gom phần tiệm cận của đồ thị hàm số thành ba nguyên lí kiểm tra được. Một, với phân thức, so bậc tử và bậc mẫu cho biết đường ở vô cực: bậc tử nhỏ…
LUKATO AI · TOÁN 12 · KHẢO SÁT HÀM SỐ
Toán · Giải tích · Đường tiệm cận
Tiệm cận là đường mà đồ thị áp sát : quy tắc so sánh bậc, vì sao nghiệm của mẫu chưa chắc cho tiệm cận đứng, vì sao căn thức có hai tiệm cận ngang, và cách đếm số tiệm cận theo tham số
Chuyên đề này gom phần đường tiệm cận của khảo sát hàm số thành ba nguyên lí kiểm tra được. Thứ nhất, tiệm cận được định nghĩa bằng giới hạn : đường x = a là tiệm cận đứng khi f tiến tới vô cực ở một phía của a, đường y = L là tiệm cận ngang khi f tiến tới L ở vô cực, và đường y = ax + b là tiệm cận xiên khi hiệu f − (ax + b) tiến tới 0. Thứ hai, với hàm hữu tỉ chỉ cần so bậc tử với bậc mẫu : bậc tử nhỏ hơn thì ngang y = 0, bằng nhau thì ngang y bằng tỉ số hệ số cao nhất, hơn đúng một bậc thì xiên, hơn từ hai bậc thì không có đường thẳng nào; nhưng nghiệm của mẫu chỉ cho tiệm cận đứng khi tử không triệt tiêu nó, nên phải rút gọn trước khi đếm. Thứ ba, hai phía vô cực phải xét riêng : hàm chứa căn của x² hay giá trị tuyệt đối có thể có hai tiệm cận ngang khác nhau, và đếm tiệm cận theo tham số thì chia trường hợp theo biệt thức và theo việc tử có triệt tiêu nghiệm của mẫu. Mọi hàm trong bài do bài tự đặt để minh họa; bài không chép lại một đề thi cụ thể.
Bậc quyết định đường thẳng ở vô cực (2x² + 1)/(x² − 1) cùng bậc nên có tiệm cận ngang y = 2; x³/(x² − 1) hơn một bậc nên có tiệm cận xiên y = x; x⁴/(x² − 1) hơn hai bậc nên không có đường thẳng nào ở vô cực
Nghiệm của mẫu chưa chắc là tiệm cận đứng (x − 1)/(x² − 1) bằng 1/(x + 1) khi x khác 1: x = 1 chỉ là lỗ hổng, f tiến tới 0,5 ở đó, và tiệm cận đứng duy nhất là x = −1
Căn thức có hai tiệm cận ngang (x + 1)/\sqrt{x^{2}+1} tiến tới 1 khi x tiến tới +∞ và tiến tới −1 khi x tiến tới −∞, nên có hai tiệm cận ngang y = 1 và y = −1, trong khi hàm hữu tỉ chỉ cho tối đa một
01
Khái niệm lõi
Từ giới hạn đến đường tiệm cận, từ so bậc đến đường thẳng ở vô cực, và từ rút gọn đến số tiệm cận
Hãy hình dung một chiếc thuyền chạy ra xa bờ: càng đi xa nó càng áp sát đường chân trời mà không bao giờ chạm tới, và trên đường đi nó có thể lướt sát một vách đá dựng đứng mà nó không thể vượt qua. Đường chân trời ấy là một tiệm cận ngang, vách đá là một tiệm cận đứng. Nhiều người học ghi nhớ máy móc “mẫu bằng 0 thì có tiệm cận đứng” rồi vấp khi tử cũng bằng 0, vấp khi quên rằng bậc tử hơn mẫu đúng một bậc mới cho tiệm cận xiên, vấp khi gặp căn thức mà chỉ tìm được một tiệm cận ngang, hoặc vấp khi đề cho tham số và số tiệm cận phải đếm theo trường hợp. Bài này không dạy thêm một mẹo mà dạy cách nhìn qua ba việc. Một là định nghĩa bằng giới hạn: tiệm cận đứng cần giới hạn vô cực ở một phía của một điểm hữu hạn, tiệm cận ngang và xiên cần xét x tiến tới vô cực; thấy giới hạn là thấy đường. Hai là so bậc và rút gọn: với hàm hữu tỉ, đường thẳng ở vô cực đọc được từ so bậc và từ phép chia đa thức, còn tiệm cận đứng chỉ nằm ở nghiệm của mẫu còn sót lại sau khi rút gọn. Ba là tách hai phía: x tiến tới +∞ và x tiến tới −∞ là hai giới hạn khác nhau; với hàm hữu tỉ hai phía trùng nhau, còn với căn thức và giá trị tuyệt đối chúng có thể khác.
1 · Giới hạn Tiệm cận được định nghĩa bằng giới hạn, không bằng cách nhìn đồ thị
2 · Rút gọn Triệt tiêu nhân tử chung của tử và mẫu trước, phần bị triệt tiêu chỉ để lại lỗ hổng
3 · Đứng: nghiệm còn sót của mẫu Giới hạn vô cực ở một phía của một điểm hữu hạn
4 · Ngang hoặc xiên: so bậc Chia đa thức để lấy thương; thương là hằng hay bậc nhất quyết định loại đường
5 · Hai phía vô cực Xét riêng x tiến tới +∞ và −∞, nhất là với căn của x²
Ba định nghĩa bằng giới hạn, mỗi định nghĩa cho một loại đường:
\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)=\pm\infty\ \Rightarrow\ x=a
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L\ \Rightarrow\ y=L
\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-ax-b\right)=0\ \Rightarrow\ y=ax+b
Với hàm hữu tỉ P/Q, chia P cho Q được thương và dư; phần dư chia Q luôn tiến về 0 ở vô cực:
\dfrac{P}{Q}=\text{thương}+\dfrac{\text{dư}}{Q}
Ba nguyên lí cần nhớ (1) Tiệm cận được định nghĩa bằng giới hạn: đứng khi f tiến tới vô cực ở một phía của một điểm hữu hạn, ngang khi f tiến tới một số ở vô cực, xiên khi f − (ax + b) tiến tới 0 ở vô cực. (2) Với hàm hữu tỉ, thương của phép chia tử cho mẫu quyết định đường ở vô cực: thương là hằng thì ngang, thương bậc nhất thì xiên, thương bậc hai trở lên thì không có đường thẳng; tiệm cận đứng chỉ ở nghiệm của mẫu mà tử không triệt tiêu, nên phải rút gọn trước khi đếm. (3) Hai phía vô cực là hai giới hạn riêng: hàm hữu tỉ cho cùng một đường ở hai phía, còn hàm có căn của x² có thể cho hai tiệm cận ngang khác nhau; đếm theo tham số thì chia trường hợp theo biệt thức và theo việc nghiệm của mẫu có bị tử triệt tiêu.
02
Hệ thống khái niệm
Tám khái niệm cần phân biệt
Tiệm cận đứng Đường x = a là tiệm cận đứng của đồ thị y = f(x) nếu ít nhất một trong các giới hạn của f khi x tiến tới a từ bên trái hoặc từ bên phải bằng +∞ hoặc −∞. Điểm a hữu hạn, nên chỉ cần một phía. Ví dụ: f(x) = x/(x² − 4) có tiệm cận đứng x = 2 và x = −2. Điều kiện: a thuộc biên hay điểm bị loại khỏi tập xác định. Bẫy hay gặp: tìm tiệm cận đứng ở một điểm mà f vẫn có giới hạn hữu hạn.
Tiệm cận ngang Đường y = L là tiệm cận ngang nếu f(x) tiến tới L khi x tiến tới +∞ hoặc khi x tiến tới −∞. Mỗi phía là một giới hạn riêng, và đồ thị có thể cắt tiệm cận ngang ở những điểm hữu hạn. Ví dụ: f(x) = (2x² + 1)/(x² − 1) tiến tới 2 ở cả hai phía nên có tiệm cận ngang y = 2. Điều kiện: giới hạn phải hữu hạn. Bẫy hay gặp: nghĩ rằng đồ thị không bao giờ cắt tiệm cận ngang.
Tiệm cận xiên Đường y = ax + b với a khác 0 là tiệm cận xiên nếu hiệu f(x) − (ax + b) tiến tới 0 khi x tiến tới vô cực. Hệ số a bằng giới hạn của f(x)/x và b bằng giới hạn của f(x) − ax. Ví dụ: f(x) = x³/(x² − 1) có f(x) − x = x/(x² − 1) tiến tới 0, nên y = x là tiệm cận xiên. Điều kiện: a hữu hạn và khác 0, b hữu hạn. Bẫy hay gặp: viết y = ax mà quên tính hằng số b.
Quy tắc bậc cho hàm hữu tỉ Với f = P/Q có bậc tử là n và bậc mẫu là m: nếu n nhỏ hơn m thì ngang y = 0; nếu n bằng m thì ngang y bằng tỉ số hai hệ số cao nhất; nếu n hơn m đúng một bậc thì xiên, đường là phần thương của phép chia; nếu n hơn m từ hai bậc thì không có đường thẳng nào ở vô cực. Ví dụ: x⁴/(x² − 1) có thương x² + 1, là một đường cong chứ không phải đường thẳng. Điều kiện: xét sau khi rút gọn. Bẫy hay gặp: thấy bậc tử lớn hơn là kết luận có tiệm cận xiên.
Lỗ hổng và sự triệt tiêu Khi tử và mẫu có nhân tử chung (x − a), ta rút gọn và f có giới hạn hữu hạn tại a: điểm a chỉ là lỗ hổng của đồ thị, không phải tiệm cận đứng. Nếu bội của nghiệm trong mẫu vẫn lớn hơn bội trong tử sau khi rút gọn thì tiệm cận đứng vẫn còn. Ví dụ: (x − 1)/(x² − 1) = 1/(x + 1) với x khác 1; x = 1 là lỗ hổng với f tiến tới 0,5. Điều kiện: so bội của nghiệm ở tử và mẫu. Bẫy hay gặp: kết luận có tiệm cận đứng chỉ từ việc mẫu bằng 0.
Hai phía vô cực với căn thức Với hàm chứa căn của x² hoặc giá trị tuyệt đối, giới hạn khi x tiến tới +∞ và −∞ có thể khác nhau vì căn của x² bằng |x|, nghĩa là x ở phía dương và −x ở phía âm. Ví dụ: f(x) = (x + 1)/\sqrt{x^{2}+1} tiến tới 1 ở +∞ và tiến tới −1 ở −∞, nên có hai tiệm cận ngang. Điều kiện: tính hai giới hạn riêng. Bẫy hay gặp: chỉ tính giới hạn ở +∞ rồi kết luận có một tiệm cận ngang, hoặc nghĩ rằng hai phía luôn trùng nhau.
Đếm số tiệm cận Số tiệm cận bằng số tiệm cận đứng cộng số đường ngang cộng số đường xiên, đếm sau khi rút gọn. Mỗi phía vô cực có tối đa một đường ngang hoặc xiên, và hàm hữu tỉ chỉ có tối đa một đường ở vô cực cho cả hai phía. Ví dụ: x/(x² − 4) có hai tiệm cận đứng và một ngang y = 0, tổng cộng ba. Điều kiện: không đếm lỗ hổng và không đếm đường cong thương. Bẫy hay gặp: lấy số nghiệm của mẫu cộng một.
Tham số và chia trường hợp Khi hàm chứa tham số, số tiệm cận đổi theo biệt thức của mẫu và theo việc nghiệm của mẫu có trùng nghiệm của tử. Ví dụ: f(x) = (x − 2)/(x² − 2x + m) có ba tiệm cận khi m nhỏ hơn 1 và m khác 0, hai khi m = 0 vì x = 2 là nghiệm chung, hai khi m = 1 vì mẫu có nghiệm kép x = 1, và một khi m lớn hơn 1 vì mẫu vô nghiệm. Điều kiện: kiểm từng trường hợp, kể cả các giá trị đặc biệt. Bẫy hay gặp: chỉ xét biệt thức mà quên kiểm nghiệm chung của tử và mẫu.
03
Phòng thực hành A
So bậc và rút gọn: đường thẳng ở vô cực, tiệm cận đứng và lỗ hổng của hàm hữu tỉ
Phòng chạy họ hàm hữu tỉ f(x) = (a·xⁿ + b)/(x² − p²) với mẫu có hai nghiệm ±p. Sáu nút đặt sẵn các trạng thái để so sánh. Bốn thanh trượt đổi bậc tử n từ 1 đến 4, hệ số a trong bốn giá trị −2, −1, 1, 2, hằng số b từ −2 đến 2 và số p từ 1 đến 3. Hình trên vẽ đồ thị f trong khung từ −7 đến 7: vạch đỏ đứt là tiệm cận đứng, vạch tím đứt là tiệm cận ngang hoặc xiên, vòng trắng là lỗ hổng. Hình dưới vẽ phần dư g = f − thương của phép chia tử cho mẫu: nó tiến về 0 ở hai phía vô cực, và đó là lí do f áp sát phần thương. Dưới hình là tám ô số: mẫu hàm, bậc tử và mẫu, tiệm cận đứng, lỗ hổng, đường ngang hoặc xiên, kết quả phép chia, tổng số tiệm cận và đánh giá. Bảng cuối kiểm tám điều bằng hai cách độc lập: hệ số góc của đường ở vô cực theo quy tắc bậc và theo f(10⁷)/10⁷, hằng số của đường ấy theo phép chia và theo f(10⁷) trừ phần có hệ số góc, phần dư f − thương tại ±10⁷, số tiệm cận đứng theo nghiệm mẫu không triệt tiêu và theo quét |f| lớn sát nghiệm với bước 10⁻⁷, số lỗ hổng theo nghiệm chung và theo quét f hữu hạn, giá trị giới hạn tại lỗ hổng theo N′(x₀)/(2x₀) và theo trung bình hai phía, dấu của f bên phải mỗi tiệm cận đứng, và tổng số tiệm cận theo quy tắc và theo quét; mọi hàng phải khớp. Phòng chỉ xét họ hàm có mẫu x² − p², nên nó cho thấy quy luật về bậc và triệt tiêu chứ không thay cho việc xét mọi hàm.
Đoán trước khi chọn Mặc định: n = 1, a = 1, b = 0, p = 2, tức f(x) = x/(x² − 4). (1) Bậc tử, bậc mẫu và loại đường ở vô cực? (2) Tiệm cận đứng ở đâu? (3) Tổng số tiệm cận là bao nhiêu? (4) Bấm nút bậc bằng nhau, f = (2x² + 1)/(x² − 1): đường ngang nào, và phép chia cho thương và dư bằng bao nhiêu? (5) Bấm nút tiệm cận xiên, f = x³/(x² − 1): phương trình đường xiên là gì? (6) Bấm nút bậc tử hơn 2, f = x⁴/(x² − 1): có đường thẳng ở vô cực không, và thương là gì? (7) Bấm nút triệt tiêu, f = (x − 1)/(x² − 1): lỗ hổng ở đâu, f tiến tới bao nhiêu và còn bao nhiêu tiệm cận? (8) Bấm nút rút gọn thành hằng, f = (−x² + 1)/(x² − 1): có tiệm cận đứng không, và đường ngang nào? (9) Đặt n = 3, a = 1, b = −1, p = 1, tức f = (x³ − 1)/(x² − 1): có lỗ hổng không, giá trị giới hạn bao nhiêu và tổng số tiệm cận?
Bậc tử n (1 đến 4) n = 1
Hệ số a (bốn giá trị: −2, −1, 1, 2) a = 1
Hằng số b (−2 đến 2) b = 0
Số p của mẫu x² − p² (1 đến 3) p = 2
■ đồ thị f ■ tiệm cận đứng ■ ngang hoặc xiên ○ lỗ hổng
Kiểm tra dự đoán (1) Bậc tử 1 nhỏ hơn bậc mẫu 2 nên tiệm cận ngang là y = 0, không có xiên. (2) Mẫu x² − 4 bằng 0 tại x = ±2 và tử x khác 0 ở đó, nên có hai tiệm cận đứng x = −2 và x = 2. (3) Hai đứng cộng một ngang bằng 3 tiệm cận; lưu ý đồ thị cắt chính tiệm cận ngang tại gốc tọa độ vì f(0) = 0. (4) Bậc bằng nhau nên ngang y = 2; chia ra thương 2 và dư 3, tức f = 2 + 3/(x² − 1), tiến về 2 khi x lớn; cộng hai đứng x = ±1 được 3 tiệm cận. (5) x³ = x·(x² − 1) + x nên thương là x và dư là x; f = x + x/(x² − 1) có tiệm cận xiên y = x, kèm hai đứng x = ±1, tổng 3. (6) Thương là x² + 1 và dư là 1, một đường cong nên không có đường thẳng ở vô cực; còn hai đứng x = ±1, tổng 2. (7) Tử x − 1 triệt tiêu nhân tử (x − 1) của mẫu: f = 1/(x + 1) khi x khác 1; x = 1 là lỗ hổng với f tiến tới 0,5, tiệm cận đứng chỉ còn x = −1, cộng đường ngang y = 0 được 2 tiệm cận. (8) Tử −x² + 1 bằng −(x² − 1) nên f = −1 khi x khác ±1: hai lỗ hổng, không tiệm cận đứng; theo định nghĩa giới hạn y = −1 vẫn là tiệm cận ngang, tổng 1. (9) Tử bằng 0 tại x = 1 nên có lỗ hổng tại x = 1 với giá trị giới hạn N′(1)/2 = 3/2 = 1,5; x = −1 giữ tiệm cận đứng vì tử bằng −2; thương là x nên có xiên y = x; tổng 2 tiệm cận.
04
Đoán trước, rồi kiểm
Năm tình huống: chọn đáp án trước khi xem giải thích
Mỗi câu có bốn đáp án; hãy tự suy luận trên giấy trước khi chọn. Sau khi chọn, lời giải nói rõ vì sao đúng, vì sao sai và cách kiểm bằng phòng thực hành tương ứng.
05
Phòng thực hành B
Hàm có căn của x²: hai tiệm cận ngang khác nhau và tiệm cận đứng ở điểm biên của tập xác định
Phòng chạy họ hàm f(x) = (p·x + q)/\sqrt{x^{2}+r}. Sáu nút đặt sẵn các trạng thái để so sánh. Ba thanh trượt đổi hệ số p trong bốn giá trị −2, −1, 1, 2, hằng số q từ −3 đến 3 và số r từ −4 đến 4. Khi r dương mẫu luôn dương; khi r bằng 0 mẫu là |x| và x = 0 bị loại; khi r âm tập xác định chỉ còn |x| lớn hơn √(−r) và hai điểm biên x = ±√(−r) là nơi có thể có tiệm cận đứng. Hình trên vẽ đồ thị f trong khung từ −8 đến 8: hai vạch tím đứt là hai tiệm cận ngang y = p và y = −p, vạch đỏ đứt là tiệm cận đứng, vòng trắng là điểm biên nơi tử bằng 0. Hình dưới nhìn xa hơn, từ −60 đến 60, để thấy đồ thị áp sát y = p ở phía phải và y = −p ở phía trái. Dưới hình là tám ô số: mẫu hàm, tập xác định, tiệm cận ngang, giá trị ở vô cực, tiệm cận đứng, điểm biên đặc biệt, tổng số tiệm cận và đánh giá. Bảng cuối kiểm tám điều bằng hai cách: tiệm cận ngang bên phải và bên trái theo công thức và theo f(±10⁷), khoảng cách giữa hai tiệm cận ngang, số tiệm cận đứng theo giá trị của tử tại điểm biên và theo quét |f| lớn sát điểm biên với bước 10⁻⁹, điểm biên theo √(−r) và theo chia đôi, dấu của f sát tiệm cận đứng, f(0) theo q/√r và theo tính trực tiếp, và khai triển f(1000) − p; mọi hàng phải khớp. Phòng chỉ xét họ hàm có một căn của x² + r, nên nó cho thấy quy luật về hai phía và điểm biên chứ không thay cho việc xét mọi hàm.