📈 Toán 11 · Mô hình hóa hiện tượng tuần hoàn · Một sóng chuẩn vặn bốn núm: mức giữa, biên độ, chu kì và pha đọc từ dữ kiện nhiệt độ, đu quay, thủy triều; rồi hỏi công thức «lúc nào» và «mấy lần» bằng nghiệm đầu, nghiệm đối xứng và họ nghiệm, và vì sao bóng của cột là hàm cot chứ không phải sóng sin
Chuyên đề hệ thống mô hình hóa hiện tượng tuần hoàn bằng hàm số lượng giác cho học sinh lớp 11, thường gặp trong các bài toán nhiệt độ trong ngày, độ cao…
LUKATO AI · TOÁN 11 · LƯỢNG GIÁC · MÔ HÌNH HÓA
Toán 11 · Hàm số lượng giác · Mô hình hóa hiện tượng tuần hoàn bằng sóng sin, cos và cot
Một hiện tượng tuần hoàn là một sóng chuẩn vặn bốn núm : mức giữa, biên độ, chu kì và pha; đọc bốn số từ dữ kiện, rồi hỏi công thức «lúc nào» và «mấy lần»
Nhiệt độ trong ngày, độ cao một cabin đu quay, mực nước thủy triều, bóng của một cột trong ngày nắng: những bài toán thực tế này trông rất khác nhau, nhưng cách làm đều quy về cùng một thứ. Một hiện tượng lặp lại đều đặn được mô tả bằng sóng chuẩn sin (hoặc cos), rồi vặn bốn núm: mức giữa B kéo sóng lên xuống, biên độ A kéo giãn theo chiều dọc, chu kì T (hay tần số góc ω = 2π/T) kéo giãn theo chiều ngang, và pha trượt sóng sang trái hoặc phải. Bốn số ấy không phải đoán: B và A đọc từ giá trị cao nhất và thấp nhất, ω từ chu kì, pha từ một mốc đã biết. Có công thức rồi, mọi câu hỏi «lúc nào» là một phương trình lượng giác trên một khoảng thời gian, câu hỏi «mấy lần» là đếm nghiệm trong khoảng ấy, và nhiều bài còn có tính đối xứng cho nghiệm thứ hai miễn phí. Không phải sóng nào cũng là sin: bóng của cột là hàm cot của góc nắng, có tiệm cận và hai thời điểm đối xứng quanh trưa. Ba phòng thực hành tương tác dưới đây cho bạn tự vặn từng núm.
Bốn số từ bốn dữ kiện Nhiệt độ cao nhất 35, thấp nhất 23, đỉnh lúc 14 giờ, chu kì 24 giờ cho mức giữa 29, biên độ 6, tần số góc π/12, gốc pha 8; lúc 11 giờ nhiệt độ là 33,24, làm tròn 33
Lúc nào, mấy lần Cabin đu quay bán kính 12, đáy cách đất 3, một vòng 16 phút: lần đầu lên tới độ cao 21 lúc 5,33 phút, lần kế lúc 10,67 phút; đến phút 40 đã đạt mức ấy 5 lần; mức đỉnh chỉ chạm 3 lần; mức 32 vượt miền nên không bao giờ chạm
Không phải sóng nào cũng là sin Cột cao 50 trong ngày nắng 12 giờ: bóng dài đúng 50 lúc 3 và 9 giờ kể từ 6 giờ sáng, đối xứng quanh trưa; bóng ngắn hơn cột suốt 6 giờ, bằng 0 đúng trưa và dài vô hạn ở hai đầu ngày
01
Khái niệm lõi
Từ một bảng số đo đến một công thức: bốn núm vặn, rồi hỏi «lúc nào»
Hãy bắt đầu từ thứ mà đề bài luôn đưa ra: vài con số đo được. Nhiệt độ ngoài trời một thành phố đạt cao nhất 35 độ vào 14 giờ và thấp nhất 23 độ vào 2 giờ sáng; diễn biến ấy lặp lại sau mỗi 24 giờ. Chỉ từ bốn dữ kiện ấy (giá trị cao nhất, giá trị thấp nhất, chu kì, và một mốc thời gian) ta dựng được cả công thức của hiện tượng. Cách nghĩ là thế này: sóng chuẩn y = sin x có mức giữa 0, biên độ 1 và chu kì 2π, đi qua mức giữa theo chiều tăng tại x = 0. Muốn biến nó thành hiện tượng cần mô hình hóa, ta làm bốn việc theo đúng thứ tự: co giãn ngang để chu kì đúng bằng T, co giãn dọc để biên độ đúng bằng A, trượt ngang để đỉnh rơi đúng mốc, rồi nâng lên mức giữa B. Mỗi việc ứng với một núm vặn, và mỗi núm đọc từ một dữ kiện riêng.
1 · Đọc dữ kiện Cao nhất M, thấp nhất m, chu kì T và một mốc (đỉnh, đáy hay lúc đi qua mức giữa)
2 · Dựng bốn số B, A, ω và gốc pha t 0 rồi viết công thức
3 · Kiểm bằng mốc Thay đỉnh, đáy và một giá trị đã biết vào công thức trước khi dùng
4 · Hỏi công thức Giá trị tại một lúc; lúc nào đạt một mức (phương trình); mấy lần trong khoảng
5 · Trả lời đúng miền Chọn nghiệm thuộc khoảng thời gian của bài, đúng đơn vị, làm tròn ở bước cuối
Ghi lại bốn núm: giá trị cao nhất M và thấp nhất m cho mức giữa B là trung bình hai cực trị và biên độ A là nửa khoảng cách giữa chúng; chu kì T cho tần số góc ω = 2π/T; và vì hàm sin tăng qua mức giữa tại góc 0 rồi đạt đỉnh sau một phần tư chu kì, nếu đỉnh ở lúc t M thì sóng đi qua mức giữa theo chiều tăng ở t 0 = t M − T/4. góc đang xét tại thời điểm t là φ = ω(t − t 0 ), và công thức dạng sin là h(t) = A sin φ + B, tức A sin[ω(t − t 0 )] + B:
\begin{gathered}B=\tfrac{M+m}{2}\\ A=\tfrac{M-m}{2}\\ \omega=\tfrac{2\pi}{T}\\ t_{0}=t_{M}-\tfrac{T}{4}\\ \varphi=\omega(t-t_{0})\\ h(t)=A\sin\varphi+B\end{gathered}
Đề thường cho sẵn dạng cos: một cabin xuất phát ở đáy (thấp nhất) có độ cao h(t) = B − R cos(ωt), vì −cos(ωt) bằng sin[ω(t − T/4)]. Tính «lúc nào đạt mức c» là giải phương trình B − R cos(ωt) = c. Đặt u là (B − c) chia R; phương trình có nghiệm khi và chỉ khi u nằm trong đoạn từ −1 đến 1, tức c nằm giữa thấp nhất và cao nhất. Gọi t 1 là nghiệm đầu tiên (từ vòng đầu), t 2 là nghiệm kế tiếp trong cùng chu kì (đối xứng với t 1 qua nửa vòng) và k là số nguyên; mọi nghiệm có dạng ±t 1 cộng bội của T, và khi chỉ lấy những thời điểm không âm trong khoảng của bài thì đếm được số lần:
\begin{gathered}h(t)=B-R\cos(\omega t)\\ u=\tfrac{B-c}{R},\ |u|\le 1\\ t_{1}=\tfrac{T}{2\pi}\arccos u\\ t_{2}=T-t_{1}\\ t=\pm t_{1}+kT\end{gathered}
Không phải mọi hiện tượng đều là sin hay cos. Bóng của một cột thẳng đứng cao H trong ngày nắng D giờ (kể từ 6 giờ sáng) phụ thuộc vào góc nắng θ, và Mặt Trời quét góc đều theo thời gian nên θ = πt/D. Từ tam giác vuông, bóng dài H|cot θ|; hai thời điểm bóng đạt mức c nằm đối xứng quanh trưa. Gọi t a là thời điểm buổi sáng và t b buổi chiều:
\begin{gathered}\theta=\tfrac{\pi t}{D}\\ S(t)=H\left|\cot\theta\right|\\ t_{a}=\tfrac{D}{\pi}\arctan\tfrac{H}{c}\\ t_{b}=D-t_{a}\end{gathered}
Ba nguyên lí cần nhớ (1) Bốn số của sóng đọc ra từ dữ kiện chứ không đoán: B và A từ hai cực trị, ω từ chu kì, pha từ một mốc; luôn kiểm công thức bằng cách thay đỉnh, đáy và một giá trị đã biết. (2) Công thức chỉ là cái bản đồ: «giá trị lúc t» là thay vào, «lúc nào» là giải phương trình trên khoảng của bài, «mấy lần» là đếm nghiệm của họ nghiệm trong khoảng đó; mỗi mức nằm giữa hai cực trị được đạt hai lần mỗi chu kì, mức đúng ở cực trị chỉ một lần, mức ngoài miền không lần nào. (3) Hình dạng quyết định tính chất: sin và cos đối xứng qua mỗi cực trị và lặp mãi; bóng của cột dạng cot chỉ dùng trong khoảng giữa hai tiệm cận, đối xứng quanh trưa và đơn điệu từng nửa.
02
Hệ thống khái niệm
Tám khái niệm cần phân biệt
Hiện tượng tuần hoàn và chu kì Một đại lượng tuần hoàn khi nó lặp lại đúng y như cũ sau một khoảng thời gian cố định, và chu kì T là khoảng ngắn nhất như vậy. Nhiệt độ ngoài trời lặp theo ngày (T = 24 giờ), mực nước thủy triều lặp theo chu kì khoảng nửa ngày, cabin đu quay lặp theo vòng quay (T = 16 phút trong bài mẫu). Hàm số y = sin x có chu kì 2π: sin(x + 2π) = sin x. Muốn mô hình hóa, bước đầu tiên là nhìn ra chu kì từ dữ kiện đề bài, vì nó quyết định núm co giãn ngang.
Mức giữa B: núm kéo lên xuống Sóng chuẩn dao động quanh mức 0; thực tế dao động quanh một mức giữa B, bằng trung bình của cao nhất và thấp nhất. Nhiệt độ cao nhất 35 và thấp nhất 23 dao động quanh 29. Cộng thêm B nâng cả đường lên mà không đổi hình dạng. Nhầm hay gặp: lấy B bằng giá trị cao nhất; thực ra nếu lấy B = 35 thì sóng sẽ dao động quanh 35, tức đỉnh ở 35 + A, vượt dữ kiện.
Biên độ A: núm kéo giãn dọc Biên độ là khoảng từ mức giữa tới đỉnh, bằng nửa khoảng cách giữa cao nhất và thấp nhất: với 35 và 23 thì A = (35 − 23)/2 = 6, không phải 12. Nhân A vào sóng chuẩn kéo đỉnh lên A và đáy xuống −A, rồi cộng B đặt đỉnh ở B + A = 35 và đáy ở B − A = 23. Đây là chỗ kiểm nhanh: thay vào, đỉnh phải ra đúng M và đáy phải ra đúng m.
Chu kì T và tần số góc ω: núm kéo giãn ngang Sin lặp sau 2π, hiện tượng lặp sau T, nên cần ω sao cho ωT = 2π, tức ω = 2π/T. Chu kì 24 giờ cho ω = π/12 (đúng cái «π/12» thường gặp trong đề), chu kì 16 phút cho π/8, chu kì 12 cho π/6. Đọc ngược cũng được: thấy sin(πt/8) thì ω = π/8 và T = 2π chia π/8 bằng 16. Ngược lại với trực giác, ω lớn nghĩa là chu kì ngắn, sóng dày hơn.
Pha: neo sóng bằng một mốc Dạng sin A sin[ω(t − t 0 )] + B có hai điểm đáng nhớ: đi qua mức giữa theo chiều tăng tại t 0 , và đạt đỉnh tại t 0 + T/4. Vì vậy từ đỉnh lúc t M suy ra t 0 = t M − T/4. Với nhiệt độ: đỉnh lúc 14 giờ, T = 24 nên t 0 = 14 − 6 = 8, chính là «t − 8» trong công thức mẫu; lúc 8 giờ nhiệt độ đúng bằng mức giữa 29 chứ chưa phải 35. Mốc không bắt buộc là đỉnh: đáy hoặc lúc đi qua mức giữa đều neo được.
Cùng một sóng, nhiều cách viết Dạng sin, dạng cos (A cos[ω(t − t M )] + B, neo ở đỉnh) và dạng trừ cos (B − A cos[ω(t − t m )], neo ở đáy) cho cùng giá trị tại mọi thời điểm; chúng chỉ khác nhau ở mốc neo. Cabin xuất phát ở đáy nên đề viết −12cos(πt/8) + 15, tương đương 12 sin[π/8 (t − 4)] + 15 vì T/4 = 4. Khi đọc công thức, việc đầu là nhận ra mình đang nhìn dạng nào, rồi mới đọc A, B, ω và mốc.
Hỏi «lúc nào» và «mấy lần»: giải phương trình trên khoảng Đạt mức c nghĩa là cos(ωt) = u với u = (B − c)/R. Phương trình chỉ có nghiệm khi u nằm trong đoạn từ −1 đến 1 (c nằm giữa thấp nhất và cao nhất). Nghiệm dương nhỏ nhất là «lần đầu tiên» t 1 ; nghiệm kế tiếp là T − t 1 ; mọi nghiệm là ±t 1 + kT. Với mức 21 của cabin, t 1 = 5,33 và nghiệm kế là 10,67, (nghiệm đầu tiên viết chính xác là 16/3 phút). «Mấy lần» là đếm những nghiệm rơi trong khoảng; cabin ở trên mức c trong T − 2t 1 = 5,33 phút mỗi vòng.
Không phải sóng nào cũng là sin: hình dạng quyết định tính chất Bóng của một cột là H|cot θ| với góc nắng θ = πt/D, nên không có biên độ, không lặp trong ngày và dài vô hạn ở hai đầu (t = 0 và t = D); mô hình chỉ dùng trong khoảng mở từ 0 đến D. Vẫn có tính chất cần nhớ: bóng đối xứng quanh trưa S(D − t) = S(t), giảm dần tới 0 đúng trưa rồi tăng dần, và mỗi mức c dương đạt đúng hai lần. Cột 50 có bóng 50 lúc t = 3 và t = 9 (góc nắng 45 độ). Luôn kiểm miền của mô hình và thử một giá trị đã biết (bóng bằng cột lúc θ = 45 độ) trước khi dùng.
03
Phòng thực hành A
Bốn núm vặn: từ giá trị cao nhất, thấp nhất, đỉnh và chu kì đến công thức
Phòng dựng sóng từ bốn dữ kiện do bài tự đặt. Năm thanh trượt chọn giá trị thấp nhất m (0 đến 30), độ chênh d giữa cao nhất và thấp nhất (2 đến 24, bước 2, nên biên độ A = d/2 luôn nguyên), lúc đỉnh t M (0 đến 23 giờ), chu kì T (6 đến 24 giờ) và thời điểm hỏi q (0 đến 24). Sáu nút đặt sẵn các tình huống tiêu biểu. Hình trên là đồ thị h(t) với mức giữa, các đỉnh, đáy và điểm giữa tăng; hình dưới dựng sóng qua bốn bước từ sóng chuẩn. Tám ô thông tin và bảng kiểm tra bên dưới cho cùng một kết quả bằng hai cách tính khác nhau.
Đoán trước khi chọn Mặc định: nhiệt độ cao nhất 35, thấp nhất 23, đỉnh lúc 14 giờ, chu kì 24 giờ, hỏi lúc 11 giờ. (1) Mức giữa B và biên độ A là bao nhiêu? (2) Tần số góc ω và gốc pha t 0 là gì? (3) Nhiệt độ lúc 11 giờ là bao nhiêu, và làm tròn đến đơn vị là mấy? (4) Chọn nút «Đu quay» (cao nhất 27, thấp nhất 3, chu kì 16, đỉnh lúc 8, hỏi lúc 5): B, A, ω, t 0 và giá trị lúc 5 là bao nhiêu? (5) Chọn nút «Đỉnh đúng 0 giờ»: t 0 là bao nhiêu (âm hay dương) và giá trị lúc 3 giờ là bao nhiêu? (6) Chọn nút «Dao động nhỏ và nhanh» (T = 6): có bao nhiêu đỉnh và bao nhiêu đáy trong 0 đến 24 giờ? (7) Chọn nút «Thủy triều»: giá trị lúc 5 giờ và số đỉnh trong ngày? (8) Chọn nút «Đỉnh muộn lúc 20 giờ»: giá trị lúc 8 giờ là bao nhiêu, và lúc ấy sóng đang ở đỉnh, đáy hay mức giữa?
Giá trị thấp nhất m (0 đến 30) m = 23
Độ chênh d giữa cao nhất và thấp nhất (2 đến 24; cao nhất M = m + d) M − m = 12
Lúc đạt đỉnh tM (0 đến 23 giờ) tM = 14
Chu kì T (6 đến 24 giờ) T = 24
Thời điểm hỏi q (0 đến 24 giờ) q = 11
━ h(t) ━ mức giữa B (nét đứt) ● đỉnh ● đáy ○ điểm giữa tăng ◆ thời điểm hỏi q
━ 1. sóng chuẩn với chu kì T ━ 2. nhân biên độ A ━ 3. dịch pha t 0 (nét đứt) ━ 4. nâng lên mức giữa B
Kiểm tra dự đoán (1) Mức giữa B = (35 + 23)/2 = 29 và biên độ A = (35 − 23)/2 = 6. (2) ω = 2π/24 = π/12 và t 0 = 14 − 24/4 = 8, nên h(t) = 6 sin[π/12 (t − 8)] + 29. (3) Lúc 11 giờ: 6 sin(π/4) + 29 = 33,24, làm tròn đến đơn vị là 33; chỉ làm tròn ở bước cuối. (4) Đu quay: B = (27 + 3)/2 = 15, A = 12, ω = π/8, t 0 = 8 − 16/4 = 4; lúc 5: 12 sin(π/8) + 15 = 19,59. (5) Đỉnh lúc 0 giờ cho t 0 = 0 − 12/4 = −3 (âm: công thức viết thành sin[π/6 (t + 3)]); lúc 3 giờ sóng đang đi xuống qua mức giữa: 10. (6) T = 6: đỉnh ở 2, 8, 14, 20, tức 4 đỉnh, và đáy ở 5, 11, 17, 23, tức 4 đáy. (7) Thủy triều (cao nhất 5, thấp nhất 1, đỉnh lúc 3, T = 12): h(t) = 2 sin(πt/6) + 3 vì t 0 = 0; lúc 5 giờ h = 4, và có 2 đỉnh trong 0 đến 24 giờ (lúc 3 và 15). (8) Đỉnh lúc 20, T = 24: đáy cách đỉnh nửa chu kì, tức lúc (20 + 12) − 24 = 8; h(8) = 18 đúng bằng giá trị thấp nhất 18, vậy lúc 8 giờ sóng ở đáy.
04
Phòng thực hành B
Lúc nào và mấy lần: đu quay, nghiệm đầu tiên, nghiệm đối xứng và đếm nghiệm trong khoảng
Phòng dựng một đu quay do bài tự đặt, xuất phát từ vị trí thấp nhất và quay đều. Năm thanh trượt chọn bán kính R (2 đến 16), khoảng cách g từ đáy tới mặt đất (0 đến 20), chu kì một vòng T (4 đến 24 phút), mức độ cao c cần tìm (0 đến 52) và thời điểm đang xét t (0 đến 48 phút). Sáu nút đặt sẵn các tình huống tiêu biểu: mức bình thường, mức đúng ở đỉnh, mức đúng ở đáy, mức ngoài miền, mức tâm và vòng quay nhanh. Hình trên: đu quay nhìn thẳng, đường vàng đứt là mức c, cung xanh lục là phần vòng nằm trên mức c, hai vòng trắng viền vàng là hai vị trí đúng mức c, chấm đỏ là cabin. Hình dưới: độ cao theo thời gian; vòng vàng đặc là các lần đã đạt đến thời điểm t, vòng trắng là các lần sắp tới. Tám ô thông tin và bảng kiểm tra bên dưới cho cùng một kết quả bằng hai cách tính khác nhau.