Toán 12: Tốc độ tỉ lệ với lượng hiện có, y′ = k·y và hàm mũ, sáu chìa khóa (hệ thống khái niệm)
Chuyên đề khái niệm Toán 12: khi tốc độ thay đổi tỉ lệ với chính lượng hiện có thì đó là hàm mũ. Sáu chìa khóa (đọc, nghiệm, thời gian đặc trưng, tính với mô…
Cảnh 1/5 · Thuốc trong máu
LUKATO AI · Toán 12 · Chuyên đề khái niệm
Tốc độ tỉ lệ với lượng hiện có: y′ = k·y và hàm mũ, sáu chìa khóa mô hình tăng trưởng và suy giảm
Một câu hỏi duy nhất chạy khắp vi khuẩn, chất phóng xạ, thuốc trong máu, tách trà nguội, nạp tụ và lãi kép: tốc độ thay đổi tỉ lệ với chính lượng hiện có . Bài này dạy bạn đọc câu ấy thành phương trình, hiểu vì sao nghiệm là hàm mũ, đo thời gian đặc trưng, tính với hai số đo và trung bình theo thời gian, biết khi nào mô hình sai, rồi kiểm dữ liệu. Chủ đề xuất hiện ở một câu đúng–sai của đề chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh. Mọi ví dụ và câu hỏi đều do LUKATO AI tự soạn với số liệu giả định để học.
Máy tốc độ ↔ lượng
Rê chuột hoặc chạm vào một cụm màu để thấy mảnh công thức cùng màu.
Cảnh 1 · Tốc độ giảm tỉ lệ với lượng còn lại
Mỗi giờ, tốc độ giảm của lượng thuốc trong máu tỉ lệ với lượng thuốc còn lại ; lúc 40 mg tốc độ là 6 mg mỗi giờ .
y'= ky
k=-6/ 40 =-0{,}15 giờ −1
y(t)= 40 e^{-0{,}15\,t}
y: lượng thuốc (mg); t: thời gian (giờ), lấy t=0 lúc còn 40 mg; y'=ky với k Cứ mỗi 5 ngày , khối lượng chất phóng xạ giảm một nửa .
T_{1/2}= \dfrac{\ln 2}{|k|} =5
\Rightarrow\ k=- \dfrac{\ln 2}{5} \approx-0{,}139 ngày −1
m(t)=m_0\cdot2^{-t/5}
m: khối lượng (đơn vị tùy ý), t: ngày; m'=k\,m với k 90 °C đặt trong phòng 25 °C ; mỗi phút nhiệt độ chênh lệch giảm 8% so với phút trước .
\theta(t)= 25 + 65 \cdot 0{,}92^{t}
\theta'=k(\theta-25)
k=\ln0{,}92\approx-0{,}0834 phút −1 k\ne-0{,}08
\theta: nhiệt độ trà (°C), t: phút; 65=90-25 là độ chênh ban đầu.
Cảnh 4 · Thời gian gấp đôi thành hằng số k
Quần thể vi khuẩn gấp đôi sau mỗi 3 giờ khi còn nhiều thức ăn .
N(t)=N_0 \cdot 2^{t/3}
k=\dfrac{\ln 2}{3}\approx0{,}231 giờ −1 k không đổi
N: số vi khuẩn, N_0: số ban đầu, t: giờ; N'=kN với k>0.
Cảnh 5 · Hai mốc: tỉ số giữ nguyên, hiệu thì đổi
Nồng độ một chất giảm theo hàm mũ : tại hai thời điểm cách nhau Δt , tỉ số hai nồng độ luôn như nhau .
y(t)=y_0e^{kt}
\dfrac{y(t+\Delta t)}{y(t)} = e^{k\Delta t} không chứa t
k<0 cho nồng độ giảm; \Delta t cố định, hai mốc trượt dọc đường cong.
Đang tự chạy
6 chìa khóa đọc, dựng, tính, kiểm
35 phòng lab kéo, đặt, đoán rồi kiểm chứng
Đề tự sinh ngẫu nhiên, tự chấm
Kiểm bằng máy đáp án của các bộ sinh đề đều được tính lại độc lập
Bắt đầu: đọc câu văn › Xem bản đồ bài học Nhảy tới trung bình theo thời gian Tổng kết
Bản đồ bài học
Một câu hỏi, sáu chìa khóa
Một câu chuyện “tốc độ tỉ lệ với lượng hiện có” mở ra sáu cánh cửa. Cửa ĐỌC dịch lời văn thành phương trình, với dấu và đơn vị của k. Cửa DỰNG và NGHIỆM cho thấy vì sao nghiệm là hàm mũ. Cửa TÍNH đo thời gian đặc trưng, tính với hai thời điểm và với trung bình theo thời gian. Cửa KIỂM đối chiếu dữ liệu, đơn vị và giới hạn của mô hình. Bốn bước này cùng tên với bài “Mô hình hóa” của Toán 12 đã có trên nền tảng (liên kết ở cuối trang), nhưng ở đây chỉ xoay quanh một họ mô hình. Bấm một chủ đề để tới chìa khóa tương ứng.
Mỗi ô chỉ ghi tên một chủ đề, không ghi dữ kiện. Màu ô là màu của chìa khóa mà nó dẫn tới.
Về đề tham chiếu
Đề chỉ là bản đồ chủ đề; bài này không giải đề.
① ĐỌC Dịch “tốc độ … tỉ lệ với …” thành phương trình; xét dấu và đơn vị của k.
② DỰNG Chọn mô hình y'=ky và các biến thể; nghiệm là hàm mũ vì sao, và điều kiện ban đầu.
③ TÍNH Thời gian gấp đôi, nửa chu kì, hai thời điểm, ngưỡng và trung bình theo thời gian.
④ KIỂM Đơn vị, dấu và độ lớn có hợp lí không; dữ liệu có theo mô hình không; mô hình hết đúng khi nào.
TIẾN ĐỘ TOÀN BÀI 0%
Chủ đề xuất hiện ở một câu đúng–sai của đề
Tốc độ tỉ lệ với cái gì? Đọc lời văn để viết đúng phương trình
Chỉ cần đổi một chữ trong câu “tốc độ thay đổi tỉ lệ với …” là ta được một phương trình khác hẳn: đường thẳng, hàm mũ, hay một đường cong “nổ” sau hữu hạn thời gian. Chìa khóa đầu tiên dạy bạn ĐỌC : tìm ra cái mà tốc độ tỉ lệ với , xác định dấu và đơn vị của hệ số, và phân biệt “tăng đều” với “tăng theo phần trăm”.
Ý tưởng cốt lõi Đạo hàm y' là tốc độ thay đổi tức thời của y. Mọi câu dạng “tốc độ … tỉ lệ thuận với X” đều dịch thành y'=k\,X với k là một hằng số. Toàn bộ khác biệt nằm ở X: nếu X là hằng số thì lượng tăng đều; nếu X là chính lượng hiện có y thì y'=ky, và (các chìa khóa sau sẽ chứng minh) y là hàm mũ. Cả bài giảng đi theo bốn bước ĐỌC – DỰNG – TÍNH – KIỂM ; chìa khóa này lo bước ĐỌC và bước KIỂM đầu tiên (dấu, đơn vị).
Đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời
Trong khoảng thời gian từ t đến t+\Delta t, lượng y đổi từ y(t) sang y(t+\Delta t). Tốc độ thay đổi trung bình là \dfrac{\Delta y}{\Delta t}=\dfrac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}. Cho \Delta t\to0, ta được tốc độ thay đổi tức thời
y'(t)=\lim_{\Delta t\to0}\dfrac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t},
chính là hệ số góc của tiếp tuyến. Nếu y đo bằng “nghìn tế bào” và t bằng giờ thì y' đo bằng nghìn tế bào mỗi giờ : đơn vị của y' luôn là (đơn vị của y) chia (đơn vị của t).
Hai câu hỏi khi đọc một đề
Câu 1. Tốc độ của cái gì? Xác định đại lượng y, đơn vị của nó và đơn vị thời gian; y' là tốc độ thay đổi của chính y.
Câu 2. Tỉ lệ với cái gì? Tìm đại lượng X đứng sau cụm “tỉ lệ thuận với”; viết
y'=k\,X,\qquad \dfrac{y'}{X}=k,
trong đó k là hằng số (không đổi theo thời gian).
“Tỉ lệ thuận” nghĩa là: gấp đôi X thì gấp đôi tốc độ , tại mọi thời điểm, với cùng một hệ số k.
ĐỌC tốc độ của cái gì? tỉ lệ với cái gì?
DỰNG viết y'=k\,X, điền điều kiện
TÍNH tìm k, lượng, thời điểm
KIỂM dấu, đơn vị, độ lớn, phạm vi
Lời văn thường giấu X sau những cụm quen thuộc: “lượng hiện có”, “lượng còn lại”, “chênh lệch so với môi trường”, “bình phương”, “thời gian đã trôi qua”. Bảng dưới đây là từ điển dịch những cụm đó.
Thử tận tay: từ tốc độ trung bình đến tốc độ tức thời
Đường đậm là lượng y(t)=50\,e^{0{,}3t} (nghìn tế bào, t tính bằng giờ). Kéo t_0 rồi thu nhỏ \Delta t: cát tuyến (đỏ) có hệ số góc là tốc độ trung bình \dfrac{\Delta y}{\Delta t}, và nó dần chồng lên tiếp tuyến (xanh, nét đứt) có hệ số góc y'(t_0).
Hãy để ý ô cuối cùng: ở mọi t_0, tỉ số y'(t_0)/y(t_0) đều bằng cùng một số 0{,}3. Đó chính là dấu hiệu của y'=k\,y với k=0{,}3 mỗi giờ: tốc độ tỉ lệ với lượng hiện có.
Từ điển: lời văn → phương trình
Lời văn
Tốc độ tỉ lệ với
Phương trình
Dạng hàm số (xem các chìa khóa sau)
“Mỗi giờ tăng đều thêm c đơn vị”
không phụ thuộc y (hằng số)
y'=c
y=y_0+ct: hàm bậc nhất
“Tốc độ tăng tỉ lệ thuận với lượng hiện có”
chính y
y'=ky,\ k\gt0
y=y_0e^{kt}: hàm mũ tăng
“Phân hủy (phân rã) với tốc độ tỉ lệ với lượng còn lại”
chính y
y'=-\lambda y,\ \lambda\gt0
y=y_0e^{-\lambda t}: hàm mũ giảm
“Mỗi giờ tăng p\% so với giờ trước”
rời rạc: nhân hệ số cố định mỗi bước
y_{n+1}=\left(1+\tfrac{p}{100}\right)y_n
y_n=y_0\left(1+\tfrac{p}{100}\right)^{n}; liên tục tương đương: k=\ln\!\left(1+\tfrac{p}{100}\right)
“Tỉ lệ với chênh lệch so với môi trường” (trà nguội dần)
hiệu y-A
y'=k(y-A)
y=A+(y_0-A)e^{kt} (chìa khóa h5)
“Nguồn vào đều a, thải tỉ lệ với lượng hiện có”
a và y
y'=a-ky
y=\dfrac{a}{k}+\left(y_0-\dfrac{a}{k}\right)e^{-kt} (h5)
“Tốc độ tỉ lệ với bình phương lượng hiện có”
y^2
y'=ky^2
y=\dfrac{y_0}{1-ky_0t}: không phải hàm mũ
“Tốc độ tỉ lệ với thời gian đã trôi qua”
y'=kt
y=y_0+\tfrac12kt^2: parabol
“Tỉ lệ với y và với phần chỗ còn trống”
y và 1-\frac{y}{K}
y'=ky\left(1-\dfrac{y}{K}\right)
logistic (h5)
Hai hàng tô màu cam là họ y'=ky mà cả bài giảng xoay quanh. Hàng đỏ nhạt nhắc rằng “tỉ lệ với bình phương ” cho một đường cong khác hẳn. Cột cuối chỉ để định hướng: việc chứng minh nghiệm có dạng đó thuộc về các chìa khóa sau; ở đây ta chỉ luyện đọc.
Dấu của k: tăng hay giảm?
Với lượng y\gt0, y'=ky cho y' cùng dấu với k :
- k\gt0: y'\gt0, lượng tăng (và tăng ngày càng nhanh vì y lớn dần);
- k=0: y'=0, lượng không đổi ;
- k\lt0: y'\lt0, lượng giảm (và giảm ngày càng chậm vì y nhỏ dần).
Cùng giá trị ban đầu: dấu của k quyết định chiều của đường cong.
Khi lượng đang giảm , ta thường viết y'=-\lambda y với \lambda\gt0 để dấu trừ nói lên “giảm” và \lambda là một số dương dễ đọc.
Tính k từ một lần đo. Nếu y'=ky thì k=\dfrac{y'(t_1)}{y(t_1)} (với y(t_1)\ne0): chỉ cần biết một cặp (lượng, tốc độ) tại cùng một thời điểm. Thương này gọi là tốc độ thay đổi tương đối : mỗi đơn vị của lượng hiện có tăng (hay giảm) bao nhiêu mỗi đơn vị thời gian.
Đơn vị của k và bước KIỂM
Hai vế của một phương trình phải cùng đơn vị . Vì y' có đơn vị (đơn vị của y)/(đơn vị của t), nên trong y'=ky:
[k]=\dfrac{[y']}{[y]}=\dfrac{[y]/[t]}{[y]}=\dfrac{1}{[t]}.
Vậy k có đơn vị “ mỗi đơn vị thời gian ” (1/giờ, 1/ngày, …), và tích kt không có thứ nguyên . Đổi đơn vị thời gian thì số k đổi theo, còn kt thì không.
Ví dụ. k=0{,}6 mỗi giờ. Một giờ có 60 phút nên mỗi phút chỉ “tích lũy” một phần sáu mươi: k=\dfrac{0{,}6}{60}=0{,}01 mỗi phút. Kiểm: trong 1 giờ, kt=0{,}6\cdot1=0{,}01\cdot60.
Mỗi mô hình có đơn vị riêng cho hệ số: trong y'=c thì [c]=[y]/[t] (một tốc độ); trong y'=ky^2 thì [k]=\dfrac{1}{[y]\,[t]}; trong y'=kt thì [k]=[y]/[t]^2. Nếu đơn vị không khớp, bạn đã dịch sai lời văn.
Bước KIỂM: (1) đơn vị hai vế khớp; (2) dấu của y' khớp với việc lượng tăng hay giảm; (3) độ lớn hợp lí (tốc độ tương đối |k| cỡ vài phần trăm hay vài trăm phần trăm mỗi đơn vị thời gian?).
Tăng đều khác tăng theo phần trăm
Hai cách “tăng 20 trong giờ đầu” có thể dẫn đến hai tương lai khác nhau. Khi tăng đều , mỗi giờ cộng cùng một số: hiệu hai lần đo liên tiếp không đổi, y'=c. Khi tăng theo phần trăm , mỗi giờ nhân cùng một hệ số: tỉ số hai lần đo liên tiếp không đổi, và phần tăng của giờ sau lớn hơn phần tăng của giờ trước vì nó tính trên một lượng lớn hơn.
Tăng đều: mỗi giờ thêm 20; hiệu liên tiếp bằng nhau (hoành độ: giờ).
Tăng 20% mỗi giờ: mỗi giờ nhân 1{,}2; phần tăng lớn dần (hoành độ: giờ; các số đã làm tròn đến đơn vị).
Quy ước của bài giảng. “Mỗi giờ tăng p\%” nghĩa là sau mỗi giờ lượng được nhân với \rho=1+\dfrac{p}{100}. Nếu muốn mô tả bằng y'=ky (liên tục) sao cho sau mỗi giờ lượng cũng nhân với \rho, ta cần e^{k}=\rho, tức
k=\ln\rho=\ln\!\left(1+\dfrac{p}{100}\right).
(đơn vị: mỗi giờ)
Hai con số p/100 và k chỉ gần nhau khi p nhỏ , vì \ln(1+x)\approx x khi x nhỏ, nhưng luôn \ln(1+x)\lt x với x\gt0.
Mỗi giờ
Hệ số \rho
k=\ln\rho (mỗi giờ)
So với p/100
tăng 5\%
1{,}05
0{,}0488
nhỏ hơn 0{,}05
tăng 20\%
1{,}2
0{,}1823
nhỏ hơn 0{,}2
tăng 100\%
0{,}6931
chỉ bằng khoảng 0{,}69 lần
giảm 5\%
0{,}95
-0{,}0513
âm hơn -0{,}05
giảm 20\%
0{,}8
-0{,}2231
âm hơn -0{,}2
Số liệu làm tròn đến 4 chữ số thập phân. Dùng k=-0{,}05 cho “giảm 5\% mỗi giờ” là một sai lầm tinh vi: khi đó sau 1 giờ lượng nhân e^{-0{,}05}\approx0{,}9512, tức chỉ giảm khoảng 4{,}88\%.
Bẫy khi đọc đề
- “Tăng 5\% mỗi giờ nên k=0{,}05”: sai về chữ nghĩa. 5\% mỗi giờ là hệ số 1{,}05 cho mỗi bước một giờ; k=\ln1{,}05\approx0{,}0488. Hai số chỉ gần nhau khi phần trăm nhỏ.
- “Tốc độ tỉ lệ với y thì y tỉ lệ với t”: sai. y'\propto y cho hàm mũ, còn y\propto t nghĩa là y' là hằng số (tăng đều).
- Nhầm “y' tỉ lệ với y” với “y tỉ lệ với y'” hay đảo thương: k=\dfrac{y'}{y}, không phải \dfrac{y}{y'} (kiểm bằng đơn vị: k phải là 1/thời gian).
- Khác nhau về nghĩa: ‘giảm với tốc độ R’ nghĩa là y'=-R (hằng); ‘giảm tỉ lệ với y’ mới là y'=ky, k\lt0.
- Coi k là “số thuần”: k có đơn vị 1/thời gian, nên 0{,}6 mỗi giờ và 0{,}01 mỗi phút là cùng một quá trình.
- Thêm một hằng số: “tỉ lệ thuận” đòi y'=kX không có số hạng tự do . Nếu y'=ky+b với b\ne0 thì tốc độ không còn tỉ lệ thuận với y (mô hình y'=a-ky ở chìa khóa h5).
Cách nhớ Hỏi hai lần: tốc độ của cái gì và tỉ lệ với cái gì . Hằng số → tăng đều; chính y → y'=ky (hàm mũ); y^2 → không phải hàm mũ. Dấu của k là dấu của y' (khi y\gt0); đơn vị của k là 1/thời gian; “p\% mỗi bước” là k=\ln(1+p/100), không phải p/100.
Mở rộng cho học sinh giỏi
1. Tốc độ tăng tương đối là đạo hàm của logarit
Nếu y\gt0 khả vi thì (\ln y)'=\dfrac{y'}{y}. Vì vậy y'=ky tương đương (\ln y)'=k: logarit của y thay đổi đều với tốc độ k. Đây là hạt giống của hai ý lớn ở sau: nghiệm của y'=ky (h2) và việc “làm thẳng” dữ liệu bằng thang logarit để kiểm tra mô hình (h4, h6).