📐 Toán 10 · Hệ thức lượng ① · Giá trị lượng giác của góc từ 0° đến 180° · Một góc là một điểm trên nửa đường tròn đơn vị: sin là tung độ, cos là hoành độ, góc bù đối xứng qua trục tung; biết một giá trị thì chọn nhánh và đếm góc; biểu thức đồng bậc chia cho cos; và tổng sin α + cos α = k thành phương trình bậc hai phải lọc sin không âm
Chuyên đề hệ thống giá trị lượng giác của góc từ 0° đến 180° cho học sinh lớp 10, thường gặp trong các bài kiểm tra về tính giá trị lượng giác, biểu thức…
LUKATO AI · TOÁN 10 · HỆ THỨC LƯỢNG ① · GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Toán 10 · Giá trị lượng giác của góc từ 0° đến 180° · Nửa đường tròn đơn vị, góc bù, biết một giá trị tìm các giá trị còn lại
Một góc từ 0° đến 180° là một điểm trên nửa đường tròn đơn vị : hoành độ là cos, tung độ là sin; dấu, góc bù, hệ thức sin² + cos² = 1 và bài «biết một giá trị, tìm các giá trị còn lại» đều đọc ra từ một hình
Mỗi đề kiểm tra về giá trị lượng giác của góc từ 0° đến 180° hỏi những câu rất giống nhau: cho sin α bằng 3/5 và α tù, hãy tính cos α và tan α; tính giá trị của một biểu thức theo tan α; cho tổng sin α + cos α, hãy tìm tích sin α cos α. Bạn có thể học thuộc từng công thức, nhưng cách nhớ lâu hơn là nhìn mọi thứ trên cùng một hình. Lấy nửa đường tròn tâm O, bán kính 1, nằm phía trên trục hoành; quay tia OA (A có tọa độ 1; 0) ngược chiều kim đồng hồ một góc α thì được điểm M, và cos α là hoành độ của M, sin α là tung độ của M . Từ hình ấy: sin α không bao giờ âm; cos α âm đúng khi M bên trái trục tung, tức α tù; hai góc bù nhau cho hai điểm đối xứng qua trục tung nên cùng sin và đối cos; M nằm trên đường tròn bán kính 1 nên sin² + cos² = 1. Biết một giá trị thì chưa chắc đã biết góc: sin cho hai góc bù nhau, còn cos cho đúng một góc, nên phải chọn nhánh. Ba phòng thực hành tương tác dưới đây cho bạn tự kéo góc, tự chọn nhánh và tự thử phương trình sin α + cos α = k.
Một điểm, hai tọa độ Góc 120° ứng với điểm có hoành độ cos 120° = −1/2 và tung độ sin 120° = √3/2, nên tan 120° = −√3; góc bù 60° có cùng sin √3/2 nhưng cos đổi dấu thành 1/2; dây từ A(1; 0) đến M dài 1,732
Biết một giá trị thì phải chọn nhánh sin α = 3/5 cho hai góc bù nhau, 36,87° và 143,13°: góc nhọn có cos α = 4/5, góc tù có cos α = −4/5 và tan α = −3/4; còn cos α = −4/5 chỉ cho một góc, và sin α = 5/4 không cho góc nào
Tổng sin α + cos α = k Bình phương cho tích sin α cos α = (k² − 1)/2, và sin α, cos α là hai nghiệm của phương trình bậc hai: với k = 1,4 tích là 12/25 và có hai góc, 36,87° và 53,13°; với k = −1,4 có Δ = 1/25 dương mà không có góc nào, vì hai nghiệm −3/5 và −4/5 đều âm
01
Khái niệm lõi
Từ một hình đến mọi công thức: nửa đường tròn đơn vị
Hãy bắt đầu từ một hình duy nhất. Vẽ trục hoành và trục tung, rồi nửa đường tròn tâm O, bán kính 1, nằm phía trên trục hoành. Đặt A là điểm (1; 0). Quay tia OA ngược chiều kim đồng hồ một góc α, với α chạy từ 0° đến 180°: tia ấy cắt nửa đường tròn tại đúng một điểm M. Định nghĩa trong chương trình lớp 10 đọc thẳng từ tọa độ của M: cos α là hoành độ của M, sin α là tung độ của M ; khi cos α khác 0 thì tan α bằng sin α chia cos α (đây cũng là hệ số góc của đường thẳng OM); khi sin α khác 0 thì cot α bằng cos α chia sin α. Vì M nằm trên nửa đường tròn phía trên trục hoành nên tung độ không âm: sin α ≥ 0 với mọi α trong đoạn này. Hoành độ dương khi M ở bên phải trục tung (α nhọn), âm khi M ở bên trái (α tù), và bằng 0 khi M ở đỉnh (α = 90°). Mọi quy tắc về dấu, góc bù và hệ thức bên dưới đều là hệ quả của hình này, bạn không cần học thuộc từng quy tắc rời rạc.
1 · Đặt góc lên nửa đường tròn M có tọa độ (cos α; sin α), OM = 1
2 · Đọc dấu và nhánh sin α không âm; dấu của cos α cho biết nhọn hay tù
3 · Dùng quan hệ có sẵn Góc bù đối xứng qua trục tung; sin² + cos² = 1; góc phụ khi α không quá 90°
4 · Biết một giá trị Tìm các giá trị còn lại, chọn nhánh theo điều kiện của α, đếm số góc thỏa
5 · Tính biểu thức Đồng bậc thì chia cho cos α (hoặc sin α); có sin + cos thì bình phương, lập phương trình bậc hai rồi lọc sin ≥ 0
Công thức đầu tiên chỉ là cách viết hình ấy bằng ký hiệu (điểm M thỏa OM = 1; với tan có điều kiện α khác 90°, với cot có điều kiện α khác 0° và 180°). Điểm M có tọa độ (cos α; sin α) và OM = 1 nên cos² α + sin² α = 1 (đây chính là phương trình đường tròn đơn vị). Hai thương sin chia cos và cos chia sin cho tan và cot, mỗi thương có một chỗ không xác định: tan không có nghĩa khi cos α = 0, tức α = 90°; cot không có nghĩa khi sin α = 0, tức α = 0° hoặc α = 180°.
\begin{gathered}M(\cos\alpha;\ \sin\alpha)\\ \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\\ \tan\alpha=\tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\ \cot\alpha=\tfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\end{gathered}
Hai góc bù nhau, α và 180° − α, cho hai điểm đối xứng qua trục tung: cùng tung độ, đối nhau hoành độ. Vì vậy sin giữ nguyên, còn cos, tan, cot đổi dấu. Hai góc phụ nhau (tổng 90°, nên cả hai không quá 90°) cho hai điểm đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất: tung độ góc này bằng hoành độ góc kia, nên sin của góc này bằng cos của góc kia (công thức cuối chỉ dùng khi α không quá 90°):
\small\begin{gathered}\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\\ \cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha\\ \tan(180^{\circ}-\alpha)=-\tan\alpha\\ \cot(180^{\circ}-\alpha)=-\cot\alpha\\ \sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha\end{gathered}
Từ sin² + cos² = 1, chia hai vế cho cos² α (khi cos α khác 0) hoặc cho sin² α (khi sin α khác 0) sẽ được hai hệ thức còn lại. Chúng cho phép đi từ tan hoặc cot sang cos hoặc sin: biết tan α thì cos² α = 1 chia (1 + tan² α), rồi dấu của cos α do α nhọn hay tù quyết định:
\begin{gathered}1+\tan^{2}\alpha=\tfrac{1}{\cos^{2}\alpha}\\ 1+\cot^{2}\alpha=\tfrac{1}{\sin^{2}\alpha}\\ \tan\alpha\cdot\cot\alpha=1\end{gathered}
Biết một giá trị thì cũng chưa đủ nếu chưa biết nhánh. Với sin α = v, hình cho thấy đường ngang y = v cắt nửa đường tròn tại hai điểm đối xứng qua trục tung khi 0 nhỏ hơn v nhỏ hơn 1, nên có hai góc bù nhau và hai giá trị cos đối nhau. Với cos α = v, đường đứng x = v cắt nửa đường tròn tại một điểm khi v nằm trong đoạn từ −1 đến 1. Cuối cùng, tổng sin α + cos α = k dẫn tới một phương trình bậc hai: bình phương hai vế cho 1 + 2 sin α cos α = k², nên tích p = sin α cos α = (k² − 1)/2, và vì tổng là k, tích là p nên sin α và cos α là hai nghiệm của t² − kt + p = 0, với biệt thức Δ = k² − 4p = 2 − k². Phương trình bậc hai cho cặp số; cặp nào dùng được còn phải thỏa sin α ≥ 0:
\begin{gathered}\sin\alpha+\cos\alpha=k\\ \sin\alpha\cos\alpha=\tfrac{k^{2}-1}{2}\\ t^{2}-kt+\tfrac{k^{2}-1}{2}=0\\ \Delta=2-k^{2}\end{gathered}
Ba nguyên lí cần nhớ (1) Mọi giá trị lượng giác là tọa độ trên nửa đường tròn đơn vị: sin là tung độ nên không âm, cos là hoành độ nên đổi dấu tại 90°; góc bù đối xứng qua trục tung, nên cùng sin và đối cos, tan, cot. (2) Một giá trị chưa đủ nếu chưa biết nhánh: sin α = v (0 nhỏ hơn v nhỏ hơn 1) cho hai góc bù nhau, còn cos α = v, cot α = v và tan α = v (v khác 0) cho đúng một góc; luôn kiểm miền của v và điều kiện của α trước khi chọn dấu căn. (3) Biểu thức đồng bậc thì chia tử và mẫu cho cos α (nhớ kiểm cos α khác 0); có tổng sin + cos thì lập phương trình bậc hai từ tổng và tích, rồi lọc nghiệm bằng điều kiện sin α ≥ 0.
02
Hệ thống khái niệm
Tám khái niệm cần phân biệt
Nửa đường tròn đơn vị và điểm M Nửa đường tròn tâm O, bán kính 1, phía trên trục hoành; góc α đo từ tia OA (A có tọa độ 1; 0) ngược chiều kim đồng hồ. Điểm M ứng với α có tọa độ (cos α; sin α). Góc 120° cho M có hoành độ −1/2 và tung độ √3/2. Vì OM = 1 nên cos² + sin² = 1. Độ dài dây AM bằng 2 sin(α/2): với α = 60° là 1 (tam giác OAM đều), với α = 90° là 1,414 (căn của 2), với α = 180° là 2 (đường kính).
Dấu: nhọn hay tù Tung độ của M không âm nên sin α ≥ 0 trên cả đoạn từ 0° đến 180°; không có góc nào của đoạn này có sin âm. Hoành độ cho nhánh: α nhọn thì cos, tan, cot đều dương; α tù thì cos, tan, cot đều âm; tại 90° cos bằng 0. Góc 150° có sin dương 1/2, cos âm −√3/2 (khoảng −0,866), tan −√3/3 và cot −√3, cả hai đều âm. Quy tắc nhớ nhanh: nhìn M nằm bên phải hay bên trái trục tung.
Góc bù và góc phụ Hai góc bù nhau (tổng 180°) cho hai điểm đối xứng qua trục tung: sin bằng nhau, cos đối nhau, tan đối nhau, cot đối nhau. 30° và 150°: sin cùng bằng 1/2; cos là √3/2 và −√3/2; tan là √3/3 và −√3/3. Hai góc phụ nhau (tổng 90°, nên cả hai không quá 90°) thì sin góc này bằng cos góc kia: sin 30° = 1/2 = cos 60° = 1/2. Góc phụ chỉ có nghĩa với α không quá 90°; với góc tù, 90° − α âm, nằm ngoài đoạn đang xét.
tan và cot: thương, hệ số góc và chỗ không xác định tan α = sin α chia cos α là hệ số góc của đường thẳng OM; cot α = cos α chia sin α. Hai thương ấy có điểm không xác định: tan không xác định tại 90° (cos α = 0; gần 90° giá trị rất lớn: tan 89° ≈ 57,29 còn tan 91° ≈ −57,29, nhảy dấu qua 90°); cot không xác định tại 0° và 180° (sin α = 0). Điều ngược với trực giác: tan 0° và tan 180° cùng bằng 0 (hai góc có cùng tan), còn cot 90° = 0. Nên khi gặp «tan α = 0» phải nghĩ ngay đến hai góc 0° và 180°.
Hệ thức sin² + cos² = 1 và hai hệ quả Hệ thức này là phương trình đường tròn đơn vị viết cho điểm M. Chia hai vế cho cos² α (α khác 90°) được 1 + tan² α = 1 chia cos² α; chia cho sin² α (α khác 0° và 180°) được 1 + cot² α = 1 chia sin² α. Kiểm với α = 60°: tan 60° = √3 nên 1 + tan² = 4 và 1 chia cos² 60° = 1 chia (1/2)² = 4. Đây là ba hệ thức nền tảng; hai hệ quả dùng khi biết tan hoặc cot mà cần cos hoặc sin, nhưng chúng chỉ cho bình phương nên luôn phải thêm dấu theo nhánh.
Biết một giá trị và nhánh: tìm các giá trị còn lại và đếm góc Cho sin α = 3/5: cos² α = 1 − 9/25 = 16/25 nên cos α bằng 4/5 (α nhọn) hoặc −4/5 (α tù): có 2 góc, 36,87° và 143,13°, tan α tương ứng 3/4 và −3/4. Quy tắc đếm: sin α = v có hai góc khi 0 nhỏ hơn v nhỏ hơn 1 hoặc v = 0 (hai góc 0° và 180°), một góc khi v = 1 (1 góc, 90°), không góc khi v nhỏ hơn 0 hoặc lớn hơn 1 (0 góc với v = 5/4). cos α = v có một góc khi v thuộc đoạn từ −1 đến 1 (cos α = −4/5 cho 1 góc). cot α = v luôn có đúng một góc (1 góc với v = 3/4). tan α = v có một góc khi v khác 0 và hai góc 0°, 180° khi v = 0 (2 góc).
Biểu thức đồng bậc: chia cho cos Biểu thức mà mọi số hạng cùng bậc theo sin và cos (tử và mẫu cùng bậc) chỉ phụ thuộc vào tan α: chia tử và mẫu cho cos α (hoặc cos² α nếu bậc hai) để chỉ còn tan α. Ví dụ E = (3 sin α − 2 cos α)/(sin α + 2 cos α) trở thành (3 tan α − 2)/(tan α + 2). Với tan α = 2: E = (6 − 2)/(2 + 2) = 1. Với sin α = 3/5 và α tù: tan α = −3/4 nên E = −17/5; còn với α nhọn cùng sin ấy, tan α = 3/4 và E = 1/11. Hai chỗ phải kiểm: cos α khác 0 trước khi chia (với α = 90° phải thay trực tiếp), và mẫu khác 0 (với tan α = −2 mẫu bằng 0).
sin α + cos α = k: tích, bậc hai và bộ lọc sin ≥ 0 (sin α + cos α)² = 1 + 2 sin α cos α cho tích p = (k² − 1)/2; sin α và cos α là hai nghiệm của t² − kt + p = 0 với Δ = 2 − k². Với k = 1,4: p = 12/25, Δ = 1/25, hai nghiệm 4/5 và 3/5, cả hai dương nên có hai cặp (sin; cos) và 2 góc: 36,87° và 53,13°. Với k = −0,2: p = −12/25, hai nghiệm 3/5 và −4/5, và chỉ cặp sin = 3/5, cos = −4/5 có sin không âm: 1 góc tù 143,13°. Với k = −1,4: Δ = 1/25 dương nhưng hai nghiệm −3/5 và −4/5 đều âm, nên sin α âm và 0 góc. Với k = 1,8: Δ âm, vô nghiệm. Nhận xét: sin α + cos α luôn nằm trong đoạn từ −1 đến √2 trên đoạn từ 0° đến 180°.
03
Phòng thực hành A
Nửa đường tròn đơn vị: kéo góc, đọc sáu giá trị, nhìn góc bù và góc phụ
Phòng đặt một góc α lên nửa đường tròn đơn vị. Hai thanh trượt chọn góc α và góc thứ hai β (cùng từ 0° đến 180°, bước 1°); sáu nút đặt sẵn các tình huống tiêu biểu; bốn nút phía dưới hình thứ nhất chọn hàm vẽ ở hình thứ hai. Hình trên là nửa đường tròn: vùng xanh nhạt là góc nhọn, vùng hồng là góc tù, đoạn xanh lục là sin α, đoạn xanh dương là cos α, vòng vàng là điểm của góc bù. Hình dưới là đồ thị của hàm đang chọn. Tám ô thông tin và bảng kiểm tra bên dưới cho cùng một kết quả bằng hai cách tính khác nhau.
Đoán trước khi chọn Mặc định: α = 30°, β = 150°. (1) Điểm M có tọa độ nào, và sin, cos, tan, cot của 30° là gì? (2) Góc bù của 30° là bao nhiêu, và sin, cos, tan của nó là gì? (3) Chọn nút «Hai góc phụ nhau: 30° và 60°»: sin 30° và cos 60° so với nhau thế nào? (4) Chọn nút «Góc vuông 90°»: giá trị nào không xác định, giá trị nào bằng 0? (5) Chọn nút «Góc tù 120°»: dấu của sin, cos, tan, cot và giá trị chính xác của chúng? (6) Chọn nút «Góc bẹt 180° và góc không 0°»: tan và cot của hai góc này? (7) Chọn nút «Góc 135°»: tan bằng bao nhiêu, và sin, cos là gì? (8) Chuyển hình dưới sang tan, rồi kéo α từ 89° sang 91°: tan thay đổi thế nào qua 90°?
Góc α (0° đến 180°) α = 30°
Góc thứ hai β (0° đến 180°) β = 150°
● điểm M của góc α ━ sin α (tung độ) ━ cos α (hoành độ) ○ điểm của góc bù 180° − α ○ điểm của góc β