Toán 10: Mô hình hóa, từ lời văn đến phương trình, sáu chìa khóa dịch bài toán thực tế (hệ thống khái niệm)
Chuyên đề khái niệm Toán 10 về mô hình hóa: sáu chìa khóa (đọc đề, bảng tài nguyên và tối ưu, biểu giá bậc thang, hàm bậc hai trong kinh doanh và kiến trúc…
Cảnh 1/5 · Tài nguyên thành bất phương trình
LUKATO AI · Toán 10 · Chuyên đề khái niệm
Mô hình hóa: từ lời văn đến phương trình, sáu chìa khóa dịch bài toán thực tế
Đề chọn học sinh giỏi Toán 10 cấp trường (Trường THPT Mỹ Đình, Hà Nội, năm học 2025–2026) chỉ là bản đồ chủ đề . Bài này không chữa đề . Bài dạy một việc khác, khó hơn và dùng được mãi: dịch một câu chuyện thành toán . Bạn chọn biến , đơn vị , miền , dựng quan hệ , giải, rồi quay về câu chuyện để kiểm tra xem đáp số còn hợp lí không. Mỗi chìa khóa có phòng lab để bạn tự kéo, tự đặt, tự đoán rồi kiểm chứng.
Máy dịch lời văn
Rê chuột hoặc chạm vào một cụm màu để thấy mảnh công thức cùng màu.
Cảnh 1 · Tài nguyên thành bất phương trình
Mỗi ngày xưởng có tối đa 40 giờ máy . Một chiếc áo cần 2 giờ máy , một chiếc váy cần 3 giờ máy . Số chiếc làm ra là số tự nhiên .
2x + 3y \le 40 , x,y\in\mathbb N
x: số áo, y: số váy mỗi ngày.
Cảnh 2 · Biểu giá bậc thang thành hàm theo khúc
15 m³ nước đầu giá 7 nghìn đồng mỗi m³ , phần vượt mức giá 10 nghìn đồng mỗi m³ .
C(q)= 7 \min(q,15) + 10 \max(q-15,0)
q: số m³ nước đã dùng; C(q): tiền phải trả, đơn vị nghìn đồng; \min,\max: lấy số nhỏ hơn, số lớn hơn.
Cảnh 3 · Giá và lượng thành hàm bậc hai
Giá gốc 200 nghìn đồng , bán 60 sản phẩm mỗi tuần ; cứ giảm giá 10 nghìn đồng thì bán thêm 6 sản phẩm .
R(k)= ( 200 {}-10k ) ( 60 {}+6k )
k: số lần giảm 10 nghìn (k nguyên, 0\le k lệch hướng 8° so với đường thẳng tới đích , bay một lúc rồi chỉnh hướng .
CB^2 = AC^2 + AB^2 {}-2 AC \cdot AB \cos 8^\circ
A: nơi xuất phát; C: nơi chỉnh hướng; B: đích. Góc tại A là 8^\circ.
Cảnh 5 · Số liệu thành khoảng tứ phân vị
Sắp xếp số liệu, chia đôi (n lẻ: bỏ Q_2 ra ngoài), lấy trung vị của mỗi nửa . Hiệu hai trung vị ấy cho biết nửa giữa số liệu trải rộng đến đâu.
\Delta_Q = Q_3 - Q_1
Q_1,Q_3: tứ phân vị thứ nhất, thứ ba (quy ước của SGK); \Delta_Q: khoảng tứ phân vị.
Đang tự chạy
6 chìa khóa từ đọc đề tới dữ liệu và đếm
35 phòng lab kéo, đặt, đoán rồi kiểm chứng
Đề tự sinh ngẫu nhiên, tự chấm
Kiểm bằng máy đáp án của các bộ sinh đề đều được tính lại độc lập
Bắt đầu: đọc đề › Xem bản đồ bài học Nhảy tới hàm bậc hai Tổng kết
Bản đồ bài học
Một đề thi, sáu mạch dịch bài toán
Mỗi câu của đề là một cánh cửa. Phía sau các cánh cửa ấy là cùng một cách học, gồm bốn bước: ĐỌC (biến, đơn vị, miền), DỰNG (chọn họ mô hình), TÍNH (dùng đúng công cụ, giữ giá trị chính xác, làm tròn ở bước cuối) và KIỂM (quay về câu chuyện xem kết quả có hợp lí không). Bốn bước này cùng tên với bài “Mô hình hóa” của Toán 12 đã có trên nền tảng (liên kết ở cuối trang); ở đây mọi nội dung đều ở mức lớp 10. Bấm một chủ đề để tới chìa khóa tương ứng.
Mỗi ô chỉ ghi chủ đề của một câu trong đề, không ghi dữ kiện. Ô đầu nhắc rằng hầu hết các câu ứng dụng đều bắt đầu từ việc đọc đề cho đúng; màu ô là màu của chìa khóa mà nó dẫn tới.
Đề thi nói về những chủ đề nào (chỉ dùng làm bản đồ, không chữa đề)
Mười bốn câu của đề chạm tới các chủ đề sau: tập hợp và đếm số nguyên thỏa điều kiện chứa tham số; biểu đồ Venn ba tập hợp; bài toán sản xuất hai loại sản phẩm; đường bay lệch hướng; vectơ trong hình vuông; góc vuông với điểm trên trục tọa độ; tập hợp điểm; khoảng tứ phân vị; biểu giá bậc thang; hệ số của parabol xác định từ dữ kiện; cổng parabol và chi phí; quan hệ giữa giá, lượng bán và doanh thu; hệ thức giữa sin và côsin trong tam giác; phân tích vectơ và diện tích.
Bài học không chữa lại câu nào của đề và không dùng lại số liệu, bảng hay hình của đề. Mọi ví dụ, phòng lab và câu hỏi đều do LUKATO AI tự soạn. Bản đề nhận được là ảnh chụp, không kèm đáp án chính thức, nên bài cũng không dựa vào đáp án nào.
① ĐỌC Tìm biến, đơn vị và miền của biến; đổi từ khóa thành ký hiệu.
② DỰNG Chọn họ mô hình: bất phương trình, hàm theo khúc, hàm bậc hai, hình học, đếm.
③ TÍNH Dùng đúng công cụ, giữ giá trị chính xác, làm tròn ở bước cuối.
④ KIỂM Quay về câu chuyện: đơn vị, miền và độ lớn có hợp lí không.
TIẾN ĐỘ TOÀN BÀI 0%
Chủ đề xuất hiện ở hầu hết các câu ứng dụng của đề (câu 3, 4, 9, 11, 12)
ĐỌC: một câu chuyện có bao nhiêu ẩn số, mỗi ẩn nhận những giá trị nào, và “không quá” là dấu gì?
Phần lớn lỗi của bài toán thực tế xảy ra trước khi ta giải phương trình nào: đọc nhầm một từ khóa, quên đổi đơn vị, hoặc quên rằng số bàn không thể âm hay lẻ. Chìa khóa này dạy bước đầu tiên và quan trọng nhất của mô hình hóa: đọc một câu chuyện bằng lời thành các biến (có đơn vị và miền), rồi dịch từng cụm từ khóa thành ký hiệu đúng.
Ý tưởng cốt lõi Mọi mô hình toán học của một câu chuyện đều gồm ba thành phần: biến (đại lượng chưa biết, kèm đơn vị và miền giá trị), quan hệ (phương trình, bất phương trình, hàm số nối các biến) và câu hỏi (đại lượng cần tìm, hoặc cần lớn nhất/nhỏ nhất). Quy trình gồm bốn bước ĐỌC – DỰNG – TÍNH – KIỂM ; chìa khóa này làm chủ bước ĐỌC và chuẩn bị cho bước KIỂM. Nhớ rằng mô hình là bản đồ, không phải lãnh thổ : đúng toán học vẫn có thể sai thực tế nếu giả thiết hay miền sai.
Ba thành phần của một mô hình
Hình 1. Biến, quan hệ, câu hỏi; nghiệm tìm được luôn phải quay về kiểm với câu chuyện (nét đứt).
Bốn bước ĐỌC – DỰNG – TÍNH – KIỂM
- ĐỌC. Liệt kê các ẩn , ghi đơn vị và miền (số nguyên? không âm? có cận trên?), tìm từ khóa , xác định câu hỏi . Đây là bước của chìa khóa này.
- DỰNG. Viết quan hệ (hệ thức, bất phương trình, hàm số), mọi hạng tử cùng đơn vị . (Các chìa khóa h2 – h5.)
- TÍNH. Giải bằng công cụ toán, chưa làm tròn kết quả trung gian.
- KIỂM. Đối chiếu nghiệm với miền, đơn vị, độ lớn và thử một giá trị biên; làm tròn đúng yêu cầu ở bước cuối.
Một mô hình luôn đơn giản hóa thế giới: ta nói rõ giả thiết (đơn giá không đổi, bỏ qua hao hụt…) và phạm vi hợp lệ của nó.
Bảng từ khóa → ký hiệu (so sánh với một mốc)
Cụm từ khóa trong đề
Ký hiệu
Chú ý
tối đa, nhiều nhất, không quá, không vượt quá, không nhiều hơn
x\le m
có thể xảy ra dấu bằng
tối thiểu, ít nhất, không ít hơn, không dưới
x\ge m
có thể xảy ra dấu bằng
đúng, vừa đủ, chính xác, bằng
x=m
một mức cụ thể, không còn dư thiếu
vượt quá, lớn hơn, trên
x\gt m
không gồm mốc m
dưới, nhỏ hơn
x\lt m
không gồm mốc m
từ a đến b
a\le x\le b
quy ước: gồm cả hai đầu
từ a trở lên / trở xuống
x\ge a / x\le a
gồm mốc a
Hình 2. Chấm đặc: mốc được gồm (có dấu bằng). Chấm rỗng: mốc bị loại (dấu chặt).
Hai nghĩa của chữ “hơn”
Chữ “hơn” xuất hiện trong hai vai trò hoàn toàn khác nhau; hãy nhìn xem sau nó là một đại lượng khác hay một con số mốc .
- so sánh hai đại lượng “An nhiều hơn Bình 5 quyển” ⇒ a=b+5 (một đẳng thức , vì biết chính xác độ chênh).
- so với một mốc “An có nhiều hơn 5 quyển” ⇒ a\gt5 (một bất đẳng thức , vì chỉ biết An vượt qua mốc).
- “kém” đổi dấu của phép cộng: “An ít hơn Bình 5 quyển” hoặc “An kém Bình 5 quyển” ⇒ a=b-5.
Dấu hiệu nhận biết: có hai đối tượng và một con số chênh ⇒ phép cộng/trừ; chỉ có một đối tượng và một mốc ⇒ bất đẳng thức.
Từ khóa của phép toán
Cụm từ khóa
Phép toán
Ví dụ (đại lượng y so với x)
hơn a / kém a
+a / -a
y=x+a, y=x-a
gấp k lần
\times k
y=kx
tăng p\% / giảm p\%
\times(1\pm\frac{p}{100})
y=x(1\pm\frac{p}{100})
cứ mỗi u cần v
hệ số tỉ lệ \frac vu
y=\frac vu\,x
trung bình mỗi
tổng chia số lượng
\overline{x}=\frac{S}{n}
Quy ước của bài này: “gấp k lần” luôn là \times k. Cụm “tăng k lần” trong lời nói hằng ngày hay bị dùng cả hai nghĩa (\times k hoặc \times(1+k)), nên khi gặp ta phải hỏi lại hoặc ghi rõ cách hiểu.
Phần trăm luôn tính trên giá trị hiện tại
Hình 3. Giảm 10% rồi tăng 10% cho hệ số 0,9 × 1,1 = 0,99: tức là giảm 1% , không về lại mức cũ.
Vì sao không “triệt tiêu” nhau?
Mỗi lần tăng hay giảm p\% lấy giá trị ngay trước đó làm gốc. Giảm 10% của 100 là 10; nhưng tăng 10% của 90 chỉ là 9. Vì vậy hai bước không cộng trừ phần trăm với nhau mà nhân hệ số :
(1-0{,}10)(1+0{,}10)=1-0{,}10^2=0{,}99.
Hệ quả: đổi thứ tự (tăng rồi giảm) vẫn cho \times0{,}99, vì phép nhân giao hoán; còn “tăng p\% rồi tăng q\%” là \times(1+\frac p{100})(1+\frac q{100}), không phải \times(1+\frac{p+q}{100}).
Đáng nhớ: phần trăm là một hệ số nhân , không phải một đại lượng cộng được.
Đơn vị cũng là một phép tính
Một đại lượng thực tế là số kèm đơn vị , và đơn vị tuân theo đại số: ta có thể nhân, chia và triệt tiêu chúng. Đổi đơn vị là nhân với một phân số bằng 1 , chẳng hạn 60 phút 1 giờ (tử và mẫu là cùng một khoảng thời gian).
2 giờ ×
60 phút 1 giờ ×
90 lít 1 phút = 10 800 lít
Vòi chảy 90 lít mỗi phút trong 2 giờ: giờ triệt tiêu giờ, phút triệt tiêu phút, chỉ còn lít . Nếu sau khi triệt tiêu mà đơn vị còn lại không phải đơn vị cần tìm, chuỗi sai.
Ba luật đơn vị
- Cộng, trừ, so sánh chỉ làm được với các số cùng đơn vị : 5 giờ +\ 30 phút không phải 35 gì cả.
- Nhân, chia sinh ra đơn vị mới (đồng/kg \times kg = đồng).
- Quy ước của bài toán thắng quy ước đời thường: “1 ngày công = 8 giờ công”, “1 đơn vị diện tích = 100 m²” hay “số liệu tính bằng nghìn đồng” là dữ kiện của đề, ta phải đọc và dùng đúng.
Các cặp hay gặp: giờ ↔ phút (60), ngày công ↔ giờ công (theo đề), m² ↔ trăm m² (100), đồng ↔ nghìn đồng ↔ triệu đồng (1 000), kg ↔ tạ (100), lít ↔ ml (1 000).
Miền của biến
Mỗi biến thuộc một tập số do câu chuyện quy định. Cùng bất phương trình 3x\le20 nhưng:
- x\in\mathbb{R}: x\le\frac{20}{3}, vô số nghiệm;
- x\in\mathbb{N} (đếm sản phẩm, gồm cả 0): x\in\{0;1;\dots;6\}, có 7 nghiệm, lớn nhất là 6;
- x\in\mathbb{R} và x\ge0 (khối lượng): 0\le x\le\frac{20}{3}.
Điều kiện của ẩn (không âm, nguyên, có cận trên theo tài nguyên) là thông tin của câu chuyện ; nó không tự xuất hiện trong biểu thức và là một phần của mô hình.
Điều kiện của ẩn khác nghiệm
Giải x^2-3x-10=0 cho x=5 hoặc x=-2. Nếu x là độ dài một cạnh thì điều kiện x\gt0 loại x=-2: nó đúng về đại số nhưng vô nghĩa về thực tế.
Quy trình: (1) đặt điều kiện của ẩn ngay khi chọn ẩn; (2) giải; (3) đối chiếu từng nghiệm với điều kiện; (4) nếu tối ưu theo biến nguyên, kiểm các số nguyên gần nghiệm thực, vì nghiệm tối ưu không phải lúc nào cũng là làm tròn nghiệm thực.
Đếm số nguyên trong một khoảng
Hình 4. Hai đầu 3 và 11 đều nguyên: đoạn [3;11] có 11-3+1=9 số; mỗi đầu bị loại (nửa khoảng, khoảng) làm mất 1 số.
Với a\le b nguyên: [a;b] có b-a+1 số nguyên, (a;b] và [a;b) có b-a số, (a;b) có b-a-1 số (khi b-a\ge1). Khi đầu mút không nguyên , đếm bằng phần nguyên: x\le c với x nguyên ⇔ x\le\lfloor c\rfloor; x\ge c ⇔ x\ge\lceil c\rceil.
Giả thiết và phạm vi của mô hình
Mô hình là bản đồ : giản lược để dùng được, và chỉ đúng trong vùng nó vẽ. Mỗi lần dựng mô hình ta nên viết ra giả thiết của nó.
- Tuyến tính: “chi phí = đơn giá \times số lượng” giả định đơn giá không đổi ; nếu có chiết khấu khi mua nhiều thì công thức hỏng ngoài vùng ban đầu.
- Bỏ qua hao hụt: 10 kg nguyên liệu cho đúng 10 kg thành phẩm chỉ khi không rơi vãi.
- Phạm vi: chiều cao cây h=80+5t (cm, t tuần) có thể hợp lí cho 0\le t\le10; dùng cho t=100 cho 580 cm là vô lí. Công thức đúng, vùng sai.
Ba câu hỏi trước khi tin kết quả
- Kết quả có đúng đơn vị và đúng cỡ độ lớn không?
- Kết quả có thuộc miền của biến (không âm, nguyên, trong cận tài nguyên) không?
- Giả thiết của mô hình còn đúng ở giá trị này không?
Đây chính là bước KIỂM: nó chỉ làm được nếu bước ĐỌC đã ghi rõ đơn vị, miền và giả thiết.
Bẫy mô hình (1) Gặp chữ “hơn” là viết ngay \gt: sai khi đó là “hơn a” của phép so sánh hai đại lượng. (2) Coi “không quá” là \lt: ngược lại, dấu bằng được phép xảy ra nên là \le. (3) Cộng phần trăm: giảm 10% rồi tăng 10% không về lại gốc. (4) Quên đổi đơn vị trước khi cộng hoặc so sánh. (5) Làm tròn nghiệm thực 6{,}67 thành 7 khi ràng buộc là x\le6{,}67: số nguyên lớn nhất thỏa là 6 , không phải 7.
Cách nhớ Đọc đề ba lượt. Lượt 1 : gạch chân các ẩn và ghi đơn vị. Lượt 2 : khoanh từ khóa , hỏi hai điều, “so với cái gì?” và “có gồm mốc không?”. Lượt 3 : hỏi “giá trị nào của ẩn thì có nghĩa?” để viết miền . Xong ba lượt thì mới đặt bút viết phương trình.
Mở rộng cho học sinh giỏi
- Phủ định của từ khóa. Phủ định của “ít nhất m” (x\ge m) là “dưới m” (x\lt m), không phải “nhiều nhất m”. Tương tự phủ định của “không quá m” là “vượt quá m”. Mỗi cặp chia đường thẳng thành hai nửa rời nhau và phủ kín.