📈 Toán 12 · Ứng dụng đạo hàm 2 · Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: danh sách ứng viên trên đoạn, vì sao cực đại chưa phải giá trị lớn nhất, khi nào bất đẳng thức Cauchy dùng được và cách chia trường hợp với tham số
Chuyên đề gom phần giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ứng dụng đạo hàm thành ba nguyên lí kiểm tra được. Một, trên đoạn đóng hàm liên tục luôn có giá trị lớn…
LUKATO AI · TOÁN 12 · ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Toán · Giải tích · Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
So sánh danh sách ứng viên : giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn, trên khoảng và theo tham số, vì sao cực đại chưa phải giá trị lớn nhất, và khi nào bất đẳng thức Cauchy dùng được
Chuyên đề này gom phần giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ứng dụng đạo hàm thành ba nguyên lí kiểm tra được. Thứ nhất, trên một đoạn đóng, hàm liên tục luôn có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, và chúng chỉ có thể nằm ở hai đầu mút hoặc ở điểm tới hạn trong khoảng mở , nên việc tìm chúng thu về so sánh một danh sách hữu hạn. Thứ hai, cực trị và giá trị lớn nhất là hai chuyện khác nhau : cực đại chỉ lớn nhất trong một lân cận, còn giá trị lớn nhất trên đoạn có thể nằm ở đầu mút dù cực đại ở ngay bên trong, và đổi đoạn thì đáp án đổi dù hàm vẫn thế. Thứ ba, khi tập xét không phải đoạn đóng thì không còn bảo đảm nào : trên khoảng mở hay nửa khoảng có thể có giá trị nhỏ nhất mà không có giá trị lớn nhất, bất đẳng thức Cauchy chỉ cho đáp án khi điểm đạt dấu bằng thuộc tập, và với tham số thì đáp án chia trường hợp theo vị trí của điểm tới hạn so với đoạn. Mọi hàm trong bài do bài tự đặt để minh họa; bài không chép lại một đề thi cụ thể.
Cực đại chưa phải giá trị lớn nhất f(x) = x³ − 3x có cực đại 2 tại x = −1; trên đoạn [−2; 3] giá trị lớn nhất lại là f(3) = 18 ở đầu mút, và giá trị nhỏ nhất là −2 đạt tại hai điểm x = −2 và x = 1
Khoảng mở không có bảo đảm f(x) = x + 4/x trên (0; +∞) có giá trị nhỏ nhất 4 tại x = 2 nhưng không có giá trị lớn nhất; trên [3; +∞) giá trị nhỏ nhất đổi thành f(3) = 4,3333 vì x = 2 không thuộc tập
Tham số dời điểm tới hạn f(x) = x² − 2mx trên [0; 3] có giá trị nhỏ nhất −m² chỉ khi đỉnh x = m nằm giữa 0 và 3; khi m ≥ 3 nó là f(3) = 9 − 6m, và khi m ≤ 0 nó là f(0) = 0
01
Khái niệm lõi
Từ danh sách ứng viên đến giá trị lớn nhất, từ cực đại đến giá trị toàn cục, và từ đoạn đóng đến tập tùy ý
Hãy hình dung một người đi bộ trên con đường lên xuống đồi nhưng chỉ được phép đi trong một đoạn có rào chắn ở hai đầu. Điểm cao nhất mà người ấy chạm tới có thể là đỉnh đồi nằm giữa đoạn, cũng có thể là chính chỗ đứng sát hàng rào nếu đường cứ dốc lên đến tận đó. Nhiều người học ghi nhớ máy móc “giá trị lớn nhất là cực đại” rồi vấp khi đoạn đổi, vấp khi quên tính giá trị ở hai đầu mút, vấp khi dùng bất đẳng thức Cauchy cho điểm nằm ngoài tập, hoặc vấp khi đề cho tham số và đáp án phải chia trường hợp. Bài này không dạy thêm một mẹo mà dạy cách nhìn qua ba việc. Một là danh sách ứng viên: trên đoạn đóng, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất chỉ có thể xuất hiện ở hai đầu mút hoặc ở điểm tới hạn nằm trong khoảng mở, nên chỉ cần tính f tại những điểm ấy rồi so sánh. Hai là phân biệt cục bộ với toàn cục: cực đại, cực tiểu là so sánh trong lân cận; giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là so sánh trên cả tập đang xét, nên đổi tập thì đáp án đổi. Ba là loại tập: đoạn đóng thì có đảm bảo tồn tại; khoảng mở, nửa khoảng hay tập vô hạn thì phải tự kiểm tra tồn tại bằng bảng biến thiên, giới hạn hoặc bất đẳng thức; còn với tham số, vị trí của điểm tới hạn so với đoạn quyết định công thức.
1 · Tập xét Đoạn đóng, khoảng mở, nửa khoảng hay cả trục: mọi kết luận phụ thuộc vào tập này
2 · Điểm tới hạn trong khoảng Nghiệm của f′ hoặc điểm f′ không tồn tại, chỉ lấy những điểm nằm trong khoảng mở
3 · Danh sách ứng viên Hai đầu mút cộng các điểm tới hạn trong khoảng; tính f tại từng ứng viên
4 · So sánh và nêu nơi đạt Lớn nhất là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất, kèm điểm x nơi đạt
5 · Tập không phải đoạn đóng Dùng bảng biến thiên với giới hạn, hoặc bất đẳng thức khi điểm dấu bằng thuộc tập
Với f liên tục trên [a; b] và x₁, …, xₙ là các điểm tới hạn nằm trong khoảng mở (a; b), tức f′ bằng 0 hoặc không tồn tại tại đó:
M=\max\{f(a),\,f(b),\,f(x_i)\}
m=\min\{f(a),\,f(b),\,f(x_i)\}
Với x dương và k dương, bất đẳng thức Cauchy cho cận dưới mà chỉ đạt khi điểm dấu bằng thuộc tập xét:
x+\dfrac{k}{x}\ \ge\ 2\sqrt{k},\quad \text{dấu bằng khi}\ x=\sqrt{k}
Ba nguyên lí cần nhớ (1) Trên đoạn đóng [a; b], hàm liên tục có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất; chúng nằm trong danh sách gồm hai đầu mút và các điểm tới hạn trong khoảng mở (a; b), nên chỉ cần so sánh f tại những điểm ấy. (2) Cực trị là so sánh cục bộ, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là so sánh trên cả tập: giá trị lớn nhất trên đoạn có thể ở đầu mút dù hàm có cực đại bên trong, và đổi đoạn thì đáp án đổi. (3) Trên tập không phải đoạn đóng không có bảo đảm tồn tại: phải lập bảng biến thiên với giới hạn hoặc dùng bất đẳng thức đúng chỗ; với tham số, đáp án chia trường hợp theo vị trí của điểm tới hạn so với hai đầu mút.
02
Hệ thống khái niệm
Tám khái niệm cần phân biệt
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Số M là giá trị lớn nhất của f trên tập D nếu hai điều kiện cùng đúng: f(x) ≤ M với mọi x thuộc D, và có ít nhất một x₀ thuộc D để f(x₀) = M. Giá trị nhỏ nhất định nghĩa đối xứng. Ví dụ: f(x) = x + 4/x trên [1; 4] có M = 5, đạt tại cả x = 1 và x = 4. Điều kiện: phải đạt được thật, không chỉ bị chặn. Bẫy hay gặp: thấy f bị chặn trên rồi tuyên bố có giá trị lớn nhất, trong khi số chặn ấy chưa chắc đạt được.
Đoạn đóng và tính liên tục Nếu f liên tục trên đoạn đóng [a; b] thì f có cả giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất trên đoạn ấy. Đây là điều kiện bảo đảm tồn tại; thiếu một trong hai điều kiện là liên tục và đoạn đóng thì không còn bảo đảm. Ví dụ: f(x) = 1/x liên tục trên [1; 3] nên có M = 1 và m = 1/3; nhưng trên (0; 3] thì không có giá trị lớn nhất vì f lớn vô hạn khi x tiến về 0. Bẫy hay gặp: áp dụng cho đoạn chứa điểm gián đoạn, chẳng hạn 1/x trên [−1; 1].
Điểm tới hạn nằm trong khoảng mở Điểm tới hạn là điểm thuộc tập xác định mà f′ bằng 0 hoặc không tồn tại. Với bài toán trên đoạn [a; b] chỉ những điểm nằm trong khoảng mở (a; b) mới vào danh sách ứng viên; điểm nằm ngoài đoạn bị loại, còn điểm trùng đầu mút vốn đã là ứng viên. Ví dụ: f(x) = x³ − 3x có điểm tới hạn x = ±1; trên [0; 2] chỉ x = 1 vào danh sách, x = −1 bị loại. Bẫy hay gặp: đưa vào cả điểm tới hạn nằm ngoài đoạn.
Quy trình bốn bước trên đoạn Bước một: tìm điểm tới hạn trong (a; b). Bước hai: tính f tại hai đầu mút và tại các điểm ấy. Bước ba: lấy số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các giá trị vừa tính. Bước bốn: kết luận bằng cả giá trị lẫn nơi đạt, nêu cả khi đạt tại hai điểm. Ví dụ: f(x) = x³ − 3x trên [−2; 1] có ba ứng viên −2, −1, 1 với giá trị −2, 2, −2, nên M = 2 tại x = −1 và m = −2 tại hai điểm. Điều kiện: không cần xét dấu f′ hay phân loại cực trị. Bẫy hay gặp: dừng ở bước hai và chỉ báo một giá trị.
Cực trị cục bộ và giá trị toàn cục Cực đại là f(x₀) ≥ f(x) với mọi x đủ gần x₀; giá trị lớn nhất là f(x₀) ≥ f(x) với mọi x trong cả tập xét. Mọi điểm đạt giá trị lớn nhất nằm bên trong tập là điểm cực đại, nhưng điều ngược lại không đúng. Ví dụ: f(x) = x³ − 3x có cực đại 2 tại x = −1, song trên [−2; 3] thì f(3) = 18 lớn hơn nhiều. Điều kiện: nêu rõ tập đang xét. Bẫy hay gặp: nói “giá trị lớn nhất là 2” chỉ vì thấy cực đại bằng 2.
Hàm đơn điệu trên đoạn Nếu f′ không đổi dấu trên (a; b) thì không có điểm tới hạn nào làm đổi chiều, nên hai giá trị cực trị nằm ở hai đầu mút: hàm tăng thì m = f(a) và M = f(b), hàm giảm thì ngược lại. Ví dụ: f(x) = x³ − 3x trên [1; 3] tăng vì f′ = 3(x² − 1) dương trong (1; 3), nên m = f(1) = −2 và M = f(3) = 18. Điều kiện: f′ giữ dấu trên khoảng mở. Bẫy hay gặp: bắt buộc phải tìm điểm “cực trị” rồi bối rối khi không có.
Khoảng mở, nửa khoảng và bất đẳng thức Cauchy Trên khoảng mở hoặc tập vô hạn không có bảo đảm tồn tại: phải lập bảng biến thiên có giới hạn ở đầu hở, hoặc dùng bất đẳng thức. Cauchy cho x + k/x ≥ 2√k với x dương, dấu bằng khi x = √k; cận ấy là giá trị nhỏ nhất của tập khi và chỉ khi √k thuộc tập. Ví dụ: f(x) = x + 4/x trên (0; +∞) có m = 4 tại x = 2 và không có M; trên [3; +∞) cận 4 không đạt, m = f(3) = 4,3333. Bẫy hay gặp: viết m = 2√k mà quên kiểm √k có thuộc tập.
Tham số và chia trường hợp theo vị trí điểm tới hạn Khi hàm chứa tham số, điểm tới hạn dời theo tham số, nên đáp án phụ thuộc vào việc nó nằm trong hay ngoài đoạn. Ví dụ: f(x) = x² − 2mx có đỉnh x = m; trên [a; b] giá trị nhỏ nhất là f(a) nếu m ≤ a, là −m² nếu m nằm giữa a và b, là f(b) nếu m ≥ b. Đồ thị của giá trị nhỏ nhất theo m gồm ba mảnh nối liền nhau tại m = a và m = b. Điều kiện: kiểm cả hai biên của từng trường hợp. Bẫy hay gặp: chỉ lấy −m² và quên đỉnh có thể nằm ngoài đoạn.
03
Phòng thực hành A
Danh sách ứng viên trên đoạn đóng: vì sao giá trị lớn nhất không phải lúc nào cũng là cực đại
Phòng chạy họ hàm bậc ba f(x) = x³ − 3s·x trên đoạn [a; a + L]. Hệ số s điều khiển vị trí hai điểm tới hạn x = ±√s: khi s bằng 0 chỉ còn điểm tới hạn x = 0 không phải cực trị. Sáu nút đặt sẵn các trạng thái để so sánh. Ba thanh trượt đổi đầu trái a từ −3 đến 1, độ dài đoạn L từ 1 đến 6 và hệ số s từ 0 đến 4. Hình trên vẽ đồ thị f: vùng xanh nhạt là đoạn đang xét, phần đậm xanh lục là đồ thị trên đoạn, vạch vàng đứt là giá trị lớn nhất, vạch xanh dương đứt là giá trị nhỏ nhất, chấm vàng và chấm xanh nhạt là nơi đạt hai giá trị ấy và chấm trắng là ứng viên còn lại. Hình dưới là cột giá trị của f tại từng ứng viên: cột vàng là lớn nhất và cột xanh nhạt là nhỏ nhất. Dưới hình là tám ô số: mẫu và đoạn, điểm tới hạn trong khoảng, giá trị tại ứng viên, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chênh lệch, nơi đạt và đánh giá. Bảng cuối kiểm tám điều bằng hai cách độc lập: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng so sánh ứng viên và bằng quét lưới 4001 điểm rồi tinh chỉnh, số điểm lưới vượt qua hai giá trị ấy (phải bằng 0), giá trị của f tại nơi đạt theo hai cách, số lần f đổi chiều khi quét lưới và số điểm tới hạn đổi dấu, hiệu f(b) − f(a) bằng trực tiếp và bằng tích phân Simpson của f′, và số lần f′ đổi dấu bằng quét lưới; mọi hàng phải khớp. Phòng chỉ xét họ hàm bậc ba có hai điểm tới hạn đối xứng, nên nó cho thấy quy luật về ứng viên chứ không thay cho việc xét mọi hàm.
Đoán trước khi chọn Mặc định: a = −2, L = 3, s = 1, tức f(x) = x³ − 3x trên đoạn [−2; 1]. (1) Có mấy điểm tới hạn nằm trong khoảng mở và danh sách ứng viên gồm những điểm nào? (2) Giá trị của f tại từng ứng viên là bao nhiêu? (3) Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là bao nhiêu và đạt ở đâu? (4) Bấm nút cực đại trong, giá trị lớn nhất ở đầu mút: M nằm ở đâu và cực đại 2 có còn là M không? (5) Bấm nút hàm đơn điệu trên đoạn: danh sách còn mấy ứng viên? (6) Bấm nút điểm tới hạn không cực trị (s = 0): thêm x = 0 vào danh sách thì đáp án có đổi không? (7) Bấm nút đoạn ôm cả hai cực trị: M và m đạt tại mấy điểm? (8) Bấm nút đoạn nhỏ quanh cực đại: m nằm ở đâu? (9) Giữ đoạn [−2; 1] và đặt s = 4: hai điểm tới hạn ±2 rơi đâu so với đoạn và đáp án thế nào?
Đầu trái a của đoạn (−3 đến 1) a = −2
Độ dài đoạn L (1 đến 6) L = 3 (b = 1)
Hệ số s của f(x) = x³ − 3s·x (0 đến 4) s = 1
■ đồ thị trên đoạn ■ giá trị lớn nhất ■ giá trị nhỏ nhất
Kiểm tra dự đoán (1) f′ = 3x² − 3 có nghiệm x = ±1; x = −1 nằm trong (−2; 1) còn x = 1 là đầu mút, nên chỉ có 1 điểm tới hạn trong khoảng và danh sách có 3 ứng viên: −2, −1, 1. (2) f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2. (3) M = 2 tại x = −1, là điểm trong; m = −2 đạt tại cả hai đầu mút x = −2 và x = 1, nên phải nêu cả hai nơi đạt. (4) Ở đoạn [−1; 3], f(−1) = 2, f(1) = −2, f(3) = 18: M = 18 tại đầu mút phải; cực đại 2 chỉ còn là giá trị tại đầu mút trái và hoàn toàn không phải M. (5) Ở đoạn [1; 3], x = 1 là đầu mút nên không có điểm tới hạn trong khoảng mở, danh sách chỉ còn hai ứng viên: f(1) = −2 và f(3) = 18, và f tăng trên đoạn. (6) Ở s = 0, f = x³ có f′ = 3x² bằng 0 tại x = 0 trong đoạn [−2; 1]: f(−2) = −8, f(0) = 0, f(1) = 1; thêm x = 0 vào danh sách không đổi đáp án vì 0 nằm giữa hai giá trị kia, tức điểm tới hạn không là cực trị thì vô hại nhưng vô ích. (7) Ở đoạn [−2; 2] có bốn ứng viên −2, −1, 1, 2 với giá trị −2, 2, −2, 2: M = 2 đạt tại x = −1 và x = 2, m = −2 đạt tại x = −2 và x = 1, mỗi giá trị đạt tại hai điểm. (8) Ở đoạn [−1,5; −0,5], f(−1,5) = 1,125, f(−1) = 2, f(−0,5) = 1,375: M = 2 tại điểm trong x = −1, và m = 1,125 ở đầu mút trái, chênh lệch 0,875; đoạn nhỏ thì chênh lệch nhỏ hơn hiệu cực đại và cực tiểu 4. (9) Ở s = 4, f = x³ − 12x có điểm tới hạn x = −2 trùng đầu mút trái và x = 2 nằm ngoài đoạn; trong (−2; 1) có f′ âm nên f giảm: M = f(−2) = 16 và m = f(1) = −11, cả hai ở đầu mút.