TOÁN 10 · HÀM SỐ LÀ GÌ — Chiếc máy chỉ có một ô ra: tập xác định, đồ thị, đồng biến nghịch biến, chẵn lẻ và biến đổi đồ thị
Bài khái niệm Toán 10 về hàm số, dựng quanh chiếc máy bán hàng tự động có một ô nhập và đúng một ô ra: tập xác định và tập giá trị là hai "bóng" của đồ thị…
TOÁN 10 · HÀM SỐ · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Hàm số là chiếc máy chỉ có một ô ra
Tập xác định, đồ thị, đồng biến và nghịch biến, chẵn và lẻ, biến đổi đồ thị
Máy bán hàng tự động có một ô nhập và một ô nhận hàng. Bấm một phím, máy nhả đúng một món; cùng một phím mà lúc ra kẹo, lúc ra nước thì máy hỏng. Hàm số là chiếc máy lí tưởng ấy: đưa vào số x, nhận về đúng một số y. Bài này hỏi: nếu hàm số là một cái máy, thì đồ thị, đồng biến nghịch biến, chẵn lẻ và biến đổi đồ thị cho em đọc ra điều gì về cái máy? Mọi tình huống tự đặt đều là hư cấu.
6 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 2 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Một chiếc máy, sáu cách đọc
Biết một hàm số là biết cả chiếc máy: nhận những số nào, nhả những số nào, theo quy luật gì. Đồ thị là bản ghi mọi việc máy đã làm. Ba công cụ: đường thẳng đứng (một x cắt đồ thị tối đa một điểm), dấu của tỉ số (f(x 2 ) − f(x 1 ))/(x 2 − x 1 ) (đồ thị đi lên hay xuống), và câu hỏi "điểm cũ đi đến đâu?" (biến đổi đồ thị).
Giả định. Bám chương trình Toán 10 hiện hành. Biến và giá trị đều thực. Chỉ cho công thức thì D là tập các số thực x làm biểu thức có nghĩa. Số thập phân dùng dấu phẩy, làm tròn nửa lên (2,675 → 2,68).
Về chữ "hư cấu". Mọi chiếc máy, bảng giá và hàm số do bài tự đặt mang nhãn hư cấu ; kết quả toán học chính xác. Phần ngoài chương trình bắt buộc mang nhãn MỞ RỘNG .
MỤC 1 · CÁI MÁY VÀ "ĐÚNG MỘT"
Hàm số là quy tắc cho mỗi ô nhập đúng một ô ra
"Đúng một" có hai nửa: có một giá trị (máy không im lặng) và chỉ một giá trị (máy không nhả hai món).
1.1 Máy bán nước hư cấu
Máy bán nước (hư cấu) nhận thể tích x lít với 0,5 ≤ x ≤ 3 và trả giá y nghìn đồng theo y = 6x + 2: nhập 0,5 lít ra 5, nhập 3 lít ra 20. Tập các số được phép nhập là tập xác định D = [0,5; 3]; nhập 4 lít, máy báo lỗi. Tập các y máy thực sự nhả khi x chạy khắp D là tập giá trị T = [5; 20].
Hàm số: quy tắc ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số thực y, viết y = f(x) D: tập xác định; T: tập giá trị
1.2 Cái gì bị cấm, cái gì được phép
Một x không được có hai y , nhưng một y được phép có nhiều x : máy y = x 2 nhập 2 hay −2 đều ra 4, vẫn bình thường. Hàm số còn gồm hai thứ: quy tắc và tập xác định . Cùng quy tắc x 2 − 2x, một máy nhận mọi số thực, một máy chỉ nhận năm số {−1; 0; 1; 2; 3}: đó là hai hàm khác nhau. Khi chỉ cho công thức, D là tập mọi x làm biểu thức có nghĩa: √(x + 2) có D = [−2; +∞).
1.3 Đường thẳng đứng: kiểm "đúng một" bằng mắt
Đường thẳng đứng x = c đi qua đúng những điểm của đồ thị có hoành độ c: một điểm nếu c thuộc D, không điểm nào nếu c không thuộc D. Vậy mọi đường thẳng đứng cắt đồ thị tối đa một điểm ; đường ngang được phép cắt nhiều lần.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Kiểm tra đường thẳng đứng. Trái: parabol y = x 2 là hàm số. Phải: đường tròn x 2 + y 2 = 1 không là hàm số (đường đứng cắt 2 điểm).
Nửa trên đường tròn, y = √(1 − x 2 ) với −1 ≤ x ≤ 1, lại là đồ thị của một hàm số: bỏ nửa dưới là bỏ chỗ có hai ô ra.
MỞ RỘNG Hàm số theo nghĩa tập hợp. Hàm số cũng có thể định nghĩa là tập các cặp (x; y) sao cho mỗi x xuất hiện ở đúng một cặp; khi đó đồ thị chính là hàm.
PHÒNG A Máy hàm: nhập x, đọc ô ra, thử đường thẳng đứng hư cấu
Chọn một quy tắc (năm hàm và hai "quy tắc" không phải hàm), kéo hoặc gõ x, bấm "Quét x" để máy chạy từ −4 đến 4. Lab hiện ô ra, đường thẳng đứng x = c (nét đứt đỏ) cùng các điểm nó cắt, và bảng giá trị.
Mẫu có sẵn
Quy tắc
Ô nhập x 2,00
x chính xác
Ô nhập
Ô ra
Đường thẳng đứng
Tập xác định và tập giá trị
Ngược lại: ô ra này đến từ những x nào?
x · Ô ra (các giá trị y)
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Chốt ý mục 1: hàm số = quy tắc + tập xác định, mỗi x thuộc D có đúng một y Cấm: một x hai y. Được phép: nhiều x cùng một y.
Một bảng (hư cấu) ghi các cặp (x; y): (1; 5), (2; 6), (3; 5), (2; 6). Bảng này có cho một hàm số không?
Giải thích. Có. Cặp (2; 6) viết hai lần vẫn là một cặp: x = 2 chỉ đi với y = 6; y = 5 ở x = 1 và x = 3 được phép. D = {1; 2; 3}, T = {5; 6}. Bảng chỉ hỏng nếu một x đi với hai y khác nhau , chẳng hạn thêm (2; 7).
MỤC 2 · ĐỒ THỊ VÀ CÁCH ĐỌC
Đồ thị là tấm giấy ghi lại mọi việc chiếc máy đã làm
Mỗi lần máy nhận x hợp lệ và nhả y, ta đánh dấu chấm (x; y); đồ thị là tất cả các chấm ấy. Máy nhận những số nào: nhìn xuống trục hoành; nhả những số nào: nhìn sang trục tung; nhả 0 ở đâu: chỗ chạm trục hoành.
2.1 Điểm nào thuộc đồ thị?
Điểm (a; b) thuộc đồ thị của f khi và chỉ khi a thuộc D và b = f(a) . Lấy f(x) = x 2 − 2x − 3 chỉ xét trên [−2; 4] (hư cấu). Điểm (3; 0) thuộc đồ thị vì f(3) = 0; điểm (2; −4) không, vì f(2) = −3; điểm (5; 12) cũng không, dù công thức cho f(5) = 12, vì 5 không nằm trong [−2; 4].
2.2 Tập xác định và tập giá trị là "bóng" của đồ thị
Chiếu đồ thị xuống trục hoành: phần trục bị phủ là tập xác định . Chiếu sang trục tung: phần bị phủ là tập giá trị .
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Đồ thị f(x) = x 2 − 2x − 3 trên [−2; 4] (hư cấu). Bóng trên trục hoành (cam) là D = [−2; 4]; bóng trên trục tung (lục) là T = [−4; 5]. Chấm đỏ là giao điểm với trục.
Tập giá trị không chỉ do hai đầu mút quyết định: đáy parabol tại x = 1 cho f(1) = −4 nằm giữa đoạn. Phải nhìn toàn bộ đồ thị.
2.3 Giao với các trục
Giao với Oy: nếu 0 thuộc D thì có đúng một giao điểm (0; f(0)), vì đó là đường thẳng đứng x = 0. Giao với Ox: giải f(x) = 0; ở hình 2, f(x) = (x − 3)(x + 1) = 0 cho x = −1 và x = 3. Đồ thị nằm trên Ox khi f(x) > 0, tức x < −1 hoặc x > 3 trong D: bất phương trình f(x) > 0 chỉ là câu hỏi "đồ thị nằm trên trục hoành ở đâu".
MỞ RỘNG Hàm Dirichlet. D(x) = 1 nếu x hữu tỉ, D(x) = 0 nếu x vô tỉ là hàm số trên R nhưng không vẽ được: định nghĩa là quy tắc "mỗi x một y", đồ thị chỉ là minh họa.
Chốt ý mục 2: (a; b) thuộc đồ thị ⇔ a thuộc D và b = f(a)
MỤC 3 · BIẾN THIÊN
Đi lên hay đi xuống: chuyện của một khoảng, không của một điểm
Khi tăng ô nhập, ô ra tăng hay giảm? Máy y = x 2 − 2x − 3 giảm rồi tăng, nên câu trả lời luôn đi kèm một khoảng .
3.1 Định nghĩa: mọi cặp, không chỉ vài cặp
Cho f xác định trên khoảng (a; b). f đồng biến trên (a; b) nếu với mọi x 1 < x 2 thuộc (a; b) ta có f(x 1 ) < f(x 2 ); f nghịch biến nếu với mọi x 1 < x 2 ta có f(x 1 ) > f(x 2 ). Định nghĩa dùng được cả cho nửa khoảng như [1; +∞) và đoạn [a; b]. Muốn chứng tỏ phải lập luận cho mọi cặp; muốn bác bỏ chỉ cần một cặp phản ví dụ.
3.2 Tốc độ thay đổi trung bình: dấu của một tỉ số
Với x 1 < x 2 , tỉ số (f(x 2 ) − f(x 1 ))/(x 2 − x 1 ) là tốc độ thay đổi trung bình của f trên [x 1 ; x 2 ], cũng là hệ số góc đoạn nối hai điểm của đồ thị. Mẫu dương nên đồng biến trên một khoảng khi tỉ số dương với mọi cặp trong khoảng, nghịch biến khi âm với mọi cặp.
Với f(x) = x 2 − 2x − 3 (hư cấu), tỉ số bằng x 1 + x 2 − 2 . Cả hai số lớn hơn 1: tỉ số dương, f đồng biến trên (1; +∞). Cả hai nhỏ hơn 1: tỉ số âm, f nghịch biến trên (−∞; 1). Một cặp điểm chỉ cho một con số: x 1 = 0, x 2 = 2 cho tỉ số 0, nhưng hàm giảm rồi tăng trong đoạn ấy.
3.3 Vì sao phải nói "trên một khoảng"
Hỏi "tại x = 1 hàm đồng biến hay nghịch biến" là câu hỏi không xác định được, vì định nghĩa cần hai điểm khác nhau trong một khoảng. Cái bẫy sâu hơn là ghép khoảng. Hàm f(x) = 1/x có D = R \ {0}, nghịch biến trên (−∞; 0) và cũng nghịch biến trên (0; +∞). Nhưng không thể nói nó nghịch biến trên R \ {0}: lấy −1 < 1 thì f(−1) = −1 < f(1) = 1, giá trị tăng chứ không giảm.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. f(x) = 1/x (hư cấu). Mỗi nhánh nghịch biến, nhưng cặp (−1; −1) và (1; 1) ở hai nhánh cho thấy hàm không nghịch biến trên cả D.
Hai tính chất đúng trên hai khoảng riêng không tự ghép thành tính chất đúng trên hợp của chúng: định nghĩa đòi mọi cặp, kể cả cặp bắc qua "lỗ hổng" tại 0.
Chốt ý mục 3: đồng biến trên (a; b) ⇔ mọi x 1 < x 2 trong (a; b) cho f(x 1 ) < f(x 2 )
Một hàm (hư cấu) đồng biến trên (0; 5) và cũng đồng biến trên (5; 10). Có chắc nó đồng biến trên (0; 10) \ {5} không?
Giải thích. Không chắc. Xét hàm (hư cấu) f(x) = x khi 0 < x < 5 và f(x) = x − 10 khi 5 < x < 10. Mỗi nửa đều đồng biến, nhưng 4 < 6 mà f(4) = 4 > f(6) = −4. Phải kiểm thêm các cặp bắc qua chỗ nối.
MỤC 4 · CHẴN VÀ LẺ
Đối xứng của đồ thị bắt đầu từ tấm biển ghi tập xác định
Có những chiếc máy đối xứng: nhập x và −x cho kết quả liên quan chặt chẽ. Nhưng trước khi so f(−x) với f(x), phải chắc −x cũng là ô nhập được phép.
4.1 Định nghĩa và ý nghĩa hình học
Cho f có tập xác định D đối xứng qua 0 (x thuộc D thì −x cũng thuộc D). Khi đó f là hàm chẵn nếu f(−x) = f(x) với mọi x thuộc D: hai điểm (x; f(x)) và (−x; f(x)) cùng độ cao, đồ thị đối xứng qua trục tung . f là hàm lẻ nếu f(−x) = −f(x) với mọi x thuộc D: hai điểm đối nhau qua gốc O, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ ; nếu 0 thuộc D thì f(0) = 0.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Trái: x 2 − 1 chẵn. Giữa: 1/x lẻ. Phải: √x có D = [0; +∞) không đối xứng nên không chẵn, không lẻ.
Tại sao? Đối xứng qua Oy biến (x; y) thành (−x; y), nên đồ thị tự trùng khi f(−x) = f(x); đối xứng qua O biến (x; y) thành (−x; −y), nên tự trùng khi f(−x) = −f(x).
4.2 Điều kiện đầu tiên là tập xác định
Hàm f(x) = √x không chẵn, không lẻ trước khi tính giá trị nào: x = 1 thuộc D = [0; +∞) nhưng −1 thì không, nên không có f(−1) để so. Hàm x 2 chỉ xét trên [−1; 2] (hư cấu) cũng không chẵn dù công thức rất "chẵn": 2 thuộc D còn −2 thì không. Chẵn lẻ là tính chất của cả chiếc máy gồm quy tắc và tập xác định.
4.3 Phần lớn hàm không chẵn cũng không lẻ
"Không chẵn, không lẻ" không có nghĩa là hàm "sai"; chỉ là đồ thị không có hai đối xứng ấy. Với f(x) = x 2 − 2x (hư cấu): f(1) = −1 và f(−1) = 3; 3 không bằng f(1) (loại chẵn) và không bằng −f(1) = 1 (loại lẻ). Chỉ một giá trị x như thế đủ để bác bỏ cả hai; để chứng tỏ chẵn hay lẻ phải biến đổi đại số cho mọi x thuộc D. Có cả "công thức lừa": √(x 2 ) = |x| nên là hàm chẵn.
Chốt ý mục 4: chẵn/lẻ cần D đối xứng; chẵn: f(−x) = f(x); lẻ: f(−x) = −f(x)
Hàm g(x) = x/(x 2 + 1), với D = R (hư cấu), chẵn, lẻ hay không chẵn không lẻ?
Giải thích. D = R đối xứng. Với mọi x: g(−x) = (−x)/((−x) 2 + 1) = −x/(x 2 + 1) = −g(x), nên g là hàm lẻ . Thử số: g(1) = 1/2, g(−1) = −1/2.
MỤC 5 · BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
Từ một đồ thị biết rồi, đọc ra đồ thị mới mà không phải vẽ lại
Gặp f(x) + 2 hay f(x − 2), chỉ cần hỏi: mỗi điểm của đồ thị cũ đi đến đâu? Đồ thị trong mục là hư cấu, dựng từ f(x) = x 2 − 2x có đỉnh P(1; −1).
5.1 Dời hình: cộng ngoài ngoặc, cộng trong ngoặc
Cộng ngoài: g(x) = f(x) + a. Điểm (x; y) thành (x; y + a): đồ thị dời lên a đơn vị nếu a > 0, xuống |a| đơn vị nếu a < 0. D giữ nguyên, T dời theo.
Cộng trong: g(x) = f(x − a). g nhận giá trị f(u) khi x − a = u, tức x = u + a. Điểm (u; y) thành (u + a; y): đồ thị dời sang phải a đơn vị nếu a > 0, sang trái |a| đơn vị nếu a < 0. Vậy f(x − 2) dời sang phải 2, còn f(x + 2) = f(x − (−2)) dời sang trái 2. T giữ nguyên, D dời theo.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Hai phép dời hình của f(x) = x 2 − 2x (hư cấu, xanh). Trái: f(x) + 2, đỉnh P(1; −1) thành Q(1; 1). Phải: f(x − 2), đỉnh P thành Q(3; −1).
Mẹo nhớ. Hỏi "x bằng bao nhiêu thì ngoặc bằng giá trị cũ?": f(x − 2) có ngoặc bằng 1 (nơi f có đỉnh) khi x = 3.
5.2 Lật, kéo giãn, trị tuyệt đối
- −f(x) : (x; y) thành (x; −y), đồ thị lật qua Ox . f(−x) : (x; y) thành (−x; y), lật qua Oy , tập xác định cũng lật.
- k·f(x) (k khác 0): (x; y) thành (x; k·y). Với k > 1 đồ thị kéo giãn dọc k lần; với 0 < k < 1 nó co lại ; với k < 0 nó lật qua Ox rồi giãn (|k| > 1) hoặc co (|k| < 1) theo hệ số |k|, k = −1 chỉ lật.
- |f(x)| : (x; y) thành (x; |y|): phần trên hoặc chạm Ox giữ nguyên , phần dưới Ox lật lên ; tập giá trị thuộc [0; +∞).
Hai phép dễ lẫn. |f(x)| lật phần dưới Ox lên; f(|x|) giữ phần ứng với x ≥ 0 rồi lấy đối xứng qua Oy, nên luôn chẵn. Với f(x) = x 2 − 2x: |f(x)| có giá trị nhỏ nhất 0 (tại x = 0 và x = 2), còn f(|x|) = x 2 − 2|x| có giá trị nhỏ nhất −1 (tại x = ±1). Phép tác động lên x đổi D, phép tác động lên y đổi T: f(x) = √x có D = [0; +∞), còn f(x − 3) = √(x − 3) có D = [3; +∞) và f(−x) = √(−x) có D = (−∞; 0]. Biến đổi cũng đổi tính chẵn lẻ: x 2 chẵn, nhưng (x − 1) 2 không chẵn không lẻ vì trục đối xứng đã dời sang x = 1.
MỞ RỘNG Hàm ngược. Nếu mỗi y của f đến từ đúng một x, ta chạy được máy ngược, và đồ thị hai hàm đối xứng nhau qua y = x. Ví dụ f(x) = 2x − 1 có hàm ngược g(x) = (x + 1)/2: (2; 3) của f ứng với (3; 2) của g. Hàm x 2 trên cả R không có hàm ngược, nhưng trên [0; +∞) có hàm ngược √x.