TOÁN 10 · VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG — Mũi tên tự do và phép đếm bước đi: từ cộng, trừ đến tích vô hướng
Bài khái niệm Toán 10 về vectơ trong mặt phẳng, dựng quanh một câu hỏi: vì sao một mũi tên “tự do” (chỉ có độ dài và hướng) lại cộng, trừ, nhân với số được…
TOÁN 10 · VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Mũi tên tự do và phép đếm bước đi
Vectơ là gì, vì sao cộng, trừ, nhân với một số được, tọa độ là cách đếm, và tích vô hướng đo "phần chiếu" chứ không cho ra một mũi tên
Một vectơ chỉ có hai thứ: độ dài và hướng . Nó không bị buộc vào chỗ nào trên mặt phẳng, em có thể nhấc nó lên và đặt ở bất kì đâu. Vậy tại sao thứ mũi tên "trôi nổi" ấy lại cộng được với nhau, nhân được với một số, và cuối cùng quy được về hai con số (x; y)? Bài này dùng một ẩn dụ duy nhất: vectơ là một bước đi . Cộng hai vectơ là đi hết bước này rồi đi tiếp bước kia; nhân với 2 là đi hai lần; tọa độ là đếm xem phải đi bao nhiêu bước theo hai hướng chuẩn. Từ đó em hiểu quy tắc ba điểm, trung điểm và trọng tâm, vì sao | a + b | chỉ nhỏ hơn hoặc bằng | a | + | b | , và vì sao tích vô hướng là một số chứ không phải một vectơ. Mọi tình huống và con số tự đặt đều là hư cấu.
12 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 3 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Một bước đi, bốn phép tính, ba kiểu kết quả
Hãy hình dung mỗi vectơ là một "bước đi": đi bao xa (độ dài) và đi về đâu (hướng), không cần biết xuất phát từ điểm nào. Với ẩn dụ ấy, mọi thứ trong bài đều tự nhiên: nối hai bước thành một bước (cộng), lặp lại một bước (nhân với số), đếm số bước theo hai hướng chuẩn (tọa độ), và hỏi "bước này đi được bao nhiêu theo hướng của bước kia" (tích vô hướng). Điều dễ nhầm nhất là kiểu của kết quả : vectơ cộng vectơ cho vectơ, số nhân vectơ cho vectơ, nhưng vectơ nhân vô hướng với vectơ cho một số .
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ bài: sáu mục đi từ "vectơ là một bước đi" đến tích vô hướng và ứng dụng; ba kiểu kết quả cần phân biệt (trong các hình, vectơ được ghi bằng chữ cái không có mũi tên, mũi tên vẽ ngay bên cạnh).
Bài này là nền vectơ trong mặt phẳng của Toán 10. Nó chỉ nhắc một câu tới bài tọa độ trong mặt phẳng (đường thẳng, đường tròn, conic) và không dạy các đường ấy; phần vectơ trong không gian của lớp 12 chỉ được nêu ở cuối như một bước mở rộng tự nhiên.
Câu hỏi · Ý then chốt · Ở mục
Vectơ là gì? Khi nào hai vectơ bằng nhau? Vì sao nói vectơ là "tự do"? · Độ dài + hướng; bằng nhau khi cùng độ dài, cùng hướng, đặt ở đâu cũng được · 1
Cộng, trừ hai vectơ nghĩa là gì? Độ dài của tổng so với tổng độ dài? · Nối bước (quy tắc ba điểm); trừ là cộng vectơ đối; | a + b | ≤ | a | + | b | · 2
Nhân vectơ với một số làm gì? Ba điểm thẳng hàng, trung điểm, trọng tâm? · Kéo giãn, lật hướng; AB = k·AC; MA + MB = 2MI · 3
Tọa độ của vectơ là gì và vì sao tính toán được? · Số bước theo hai hướng chuẩn i, j; các phép toán làm theo từng tọa độ · 4
Tích vô hướng là gì, dấu của nó nói lên điều gì, vì sao vuông góc ⇔ bằng 0? · a · b = | a | · | b | ·cos θ = xx′ + yy′: một số, đo phần chiếu · 5
Dùng vectơ vào đâu: lực, vận tốc, công, chứng minh hình học? · Hợp lực = tổng; vận tốc cộng; công = tích vô hướng; dùng được cả trong không gian · 6
Vuốt ngang để xem hết bảng
Công cụ A · Quy tắc ba điểm
AB + BC = AC với mọi ba điểm A, B, C: nối hai bước thành một bước. Từ đó có hiệu AB = OB − OA, trung điểm, trọng tâm.
Công cụ B · Phép đếm (tọa độ)
Chọn hai vectơ chuẩn i, j. Mỗi vectơ ứng với đúng một cặp (x; y), và các phép cộng, nhân số làm trên từng số.
Công cụ C · Tích vô hướng
a · b = | a | ·(độ dài đại số của hình chiếu của b lên a ): một con số cho biết hai bước "đồng ý" hay "cãi nhau" bao nhiêu.
Giả định của bài (dùng suốt bài). (a) Nội dung bám chương trình Toán 10 hiện hành (chương trình giáo dục phổ thông mới): vectơ, tổng và hiệu, tích với một số, tọa độ của vectơ, tích vô hướng; trong mặt phẳng (hình học phẳng thông thường). (b) Góc giữa hai vectơ khác vectơ-không nằm trong đoạn từ 0° đến 180°, đo khi hai vectơ cùng điểm đầu. (c) Trong văn bản, vectơ được ghi bằng chữ có mũi tên nhỏ phía trên (như AB , a ); trong các hình vẽ và phòng thí nghiệm, vectơ ghi bằng chữ cái thường hay hai chữ cái không có mũi tên, vì mũi tên đã được vẽ ngay bên cạnh. (d) Số thập phân dùng dấu phẩy; số hiển thị được làm tròn nửa lên (2,125 → 2,13).
Về chữ "hư cấu". Mọi robot, thuyền, lực, quãng đường và tọa độ trong các tình huống đều do bài tự đặt, được kiểm bằng máy tính (phân số chính xác, sympy), và mang nhãn hư cấu . Các kết quả toán học là chính xác; số thập phân được làm tròn và ghi rõ. Phần ngoài chương trình bắt buộc mang nhãn MỞ RỘNG .
MỤC 1 · VECTƠ LÀ MỘT BƯỚC ĐI
Một mũi tên chỉ cần độ dài và hướng
Đoạn thẳng AB không phân biệt A với B: AB và BA là một. Vectơ thì khác: nó nói rõ đi từ đâu tới đâu . Nhưng điều làm vectơ hữu ích lại là chuyện ngược lại: nó chỉ nhớ hai thứ (đi bao xa, đi về đâu) và quên hẳn chỗ xuất phát.
1.1 Định nghĩa: đoạn thẳng có hướng
Một vectơ là một đoạn thẳng có hướng: một đầu là điểm đầu , đầu kia là điểm cuối . Vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B kí hiệu là AB ; khi không cần nói rõ hai điểm thì kí hiệu bằng một chữ thường như a , b . Hình vẽ là một mũi tên đi từ A tới B.
- Độ dài của AB , kí hiệu | AB | , là độ dài đoạn thẳng AB.
- Giá của AB là đường thẳng đi qua A và B. Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng .
- Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng độ dài và cùng hướng. Ta viết a = b .
Hai chữ "cùng hướng" và "độ dài" là tất cả những gì có trong định nghĩa bằng nhau. Không có chữ nào nói về điểm đầu. Đó là lí do vectơ được gọi là tự do .
1.2 Vì sao nói vectơ "tự do"? hư cấu
Một robot (hư cấu) di chuyển từ M(2; 1) tới N(5; 3) trên sàn lưới ô vuông, tức đi 3 ô sang phải và 2 ô lên. Bước đi ấy là vectơ MN . Một robot thứ hai đứng ở P(−1; 4) và làm đúng cùng một bước : nó đi 3 ô sang phải, 2 ô lên và dừng ở Q(2; 6). Hai bước đi khác chỗ xuất phát, khác chỗ đến, nhưng là cùng một vectơ: PQ = MN .
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Vectơ a ("3 ô sang phải, 2 ô lên") đặt ở ba chỗ khác nhau vẫn là cùng một vectơ. Vectơ b (2 ô sang phải, 3 ô lên) có cùng độ dài √13 nhưng khác hướng nên khác a; vectơ đối −a có cùng độ dài và ngược hướng.
Hệ quả quan trọng: cho trước vectơ a và một điểm O bất kì, có đúng một điểm A sao cho OA = a . Nói cách khác, ta được phép "nhấc vectơ lên và đặt điểm đầu vào O". Mọi phép tính ở các mục sau (nối hai bước, so sánh hai vectơ) đều dựa vào quyền này.
Vectơ b trong hình 2 không bằng a. Hai mũi tên có độ dài bằng nhau (cùng √13, vì 3 2 + 2 2 = 2 2 + 3 2 ) nhưng hướng khác nhau. Bằng nhau đòi hỏi đồng thời cùng độ dài và cùng hướng; chỉ một điều kiện thì chưa đủ.
1.3 Vectơ-không và vectơ đối
Vectơ-không , kí hiệu 0 , là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối, như AA , BB . Nó có độ dài 0 và, theo quy ước của chương trình, cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ. Với bất kì điểm A, B: AB = 0 khi và chỉ khi A trùng B. Vectơ-không là "đứng yên": một bước đi không đi đâu cả.
Vectơ đối của a ≠ 0 , kí hiệu − a , là vectơ cùng độ dài, ngược hướng với a . Đi một bước rồi đi đúng bước ngược lại thì về chỗ cũ; vì thế vectơ đối của AB chính là BA : − AB = BA . Vectơ đối của 0 là 0 .
1.4 Khi nào "AB = DC" cho hình bình hành?
Với bốn điểm A, B, C, D, đẳng thức AB = DC nói rằng đi từ A tới B và đi từ D tới C là hai bước giống hệt nhau. Nếu A khác B và D không nằm trên đường thẳng AB thì ABCD là hình bình hành (cạnh đối AB và DC song song, cùng độ dài, và cùng hướng). Ngược lại, nếu bốn điểm cùng nằm trên một đường thẳng, đẳng thức vẫn có thể đúng nhưng không có hình bình hành nào: hình bị "ép phẳng" thành một đoạn. Và thứ tự chữ cái phải khớp: AB = CD cho hình bình hành ABDC, không phải ABCD.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Ba trường hợp. Trái: AB = DC, bốn điểm không thẳng hàng, ABCD là hình bình hành. Giữa: AB = CD, hình bình hành là ABDC (vẽ ABCD thì hai cạnh BC và DA cắt nhau). Phải: bốn điểm thẳng hàng, AB = DC vẫn đúng nhưng không có hình bình hành.
Hình 3 là lí do bài này dùng các từ "nếu D không nằm trên đường thẳng AB" thay vì khẳng định chung "AB = DC thì ABCD là hình bình hành". Đây là một trong sáu hiểu nhầm ở mục cuối.
MỞ RỘNG Vectơ như một phép tịnh tiến. Mỗi vectơ a ứng với đúng một phép tịnh tiến của mặt phẳng: dời mọi điểm O tới điểm A thỏa OA = a . Hai cặp điểm (A; B) và (C; D) cho cùng một vectơ khi và chỉ khi hai đoạn AD và BC có cùng trung điểm (đây cũng là lúc ABDC là hình bình hành, kể cả trường hợp suy biến). Nói theo ngôn ngữ đại số, vectơ là một "lớp tương đương" của các cặp điểm có thứ tự, và việc quên chỗ xuất phát chính là việc gộp chúng vào một lớp.
Chốt ý mục 1: vectơ = độ dài + hướng; bằng nhau không cần cùng điểm đầu Hai vectơ bằng nhau khi cùng độ dài và cùng hướng. Cho vectơ a và điểm O, có đúng một điểm A với OA = a . Vectơ-không có độ dài 0; vectơ đối của AB là BA . Đẳng thức AB = DC không tự động cho hình bình hành (có thể suy biến).
Robot X (hư cấu) đi từ (0; 0) tới (3; 2). Robot Y đi từ (4; 1) tới (7; 3). Hai vectơ chuyển dời của chúng có bằng nhau không?
Tìm xem mỗi robot đã đi bao nhiêu ô sang phải, bao nhiêu ô lên, rồi so hai bước đi chứ không so điểm xuất phát.
Giải thích. Có. X đi 3 ô sang phải, 2 ô lên; Y đi (7 − 4) = 3 ô sang phải và (3 − 1) = 2 ô lên. Hai bước giống hệt nhau (cùng độ dài √13, cùng hướng) nên hai vectơ bằng nhau, dù điểm đầu khác nhau (0; 0) và (4; 1). Hai vectơ chỉ khác nhau khi độ dài khác hoặc hướng khác.
MỤC 2 · NỐI BƯỚC
Cộng và trừ vectơ: đi hết bước này rồi bước kia
Vì vectơ là "tự do", ta luôn dời được bước thứ hai tới đúng chỗ bước thứ nhất kết thúc. Khi đó hai bước nối đuôi nhau, và đường đi thẳng từ chỗ bắt đầu tới chỗ kết thúc chính là tổng . Đây không phải một quy ước tùy tiện: "tổng hai bước" khớp đúng với việc đi thật.
2.1 Quy tắc ba điểm
Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A, dựng B sao cho AB = a , rồi dựng C sao cho BC = b . Vectơ AC gọi là tổng của a và b : a + b = AC . Chọn điểm A khác đi thì được cùng một vectơ tổng (vì hai bước vẫn giống hệt nhau), nên phép cộng được định nghĩa tốt.
AB + BC = AC với mọi ba điểm A, B, C quy tắc ba điểm (đẳng thức Chasles): điểm cuối của bước thứ nhất là điểm đầu của bước thứ hai
"Mọi ba điểm" nghĩa là mọi: kể cả ba điểm thẳng hàng, kể cả hai điểm trùng nhau. Nếu C trùng A thì AB + BA = AA = 0 : đi rồi quay lại thì về chỗ cũ. Từ đó có các tính chất quen thuộc: a + b = b + a ; ( a + b ) + c = a + ( b + c ); a + 0 = a ; a + (− a ) = 0 .
2.2 Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì AD = BC , nên AB + AD = AB + BC = AC . Vậy hai vectơ cùng điểm đầu A cộng lại cho đường chéo xuất phát từ A. Đây là quy tắc ba điểm khoác áo khác: tịnh tiến AD thành BC (cạnh nét đứt trong hình) thì hai bước nối đuôi nhau. Tính giao hoán của phép cộng cũng đọc được từ hình: đi AB rồi BC hay đi AD rồi DC đều tới C.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Trái: nối bước, AB + BC = AC. Phải: hình bình hành ABCD, hai vectơ cùng điểm đầu AB và AD cộng lại thành đường chéo AC (cạnh đối nét đứt là bản sao dời đi của AD và AB).
2.3 Hiệu: cộng với vectơ đối
Hiệu của a và b là a − b = a + (− b ): đi bước a rồi đi bước ngược của b . Đặt a và b cùng điểm đầu O, với OA = a , OB = b : khi đó BA = OA − OB = a − b , vì OB + BA = OA . Vậy hiệu là vectơ nối ngọn của vectơ trừ tới ngọn của vectơ bị trừ . Với mọi điểm O:
AB = OB − OA ("điểm cuối trừ điểm đầu") đây là quy tắc hiệu; ở mục 4 nó thành công thức tọa độ AB = (x B − x A ; y B − y A )
Ví dụ hư cấu : a = (3; 1) và b = (1; 3) (nghĩa là 3 ô sang phải 1 ô lên, và 1 ô sang phải 3 ô lên). Tổng là a + b = (4; 4), hiệu a − b = (2; −2). Hai vectơ này chính là hai đường chéo của hình bình hành dựng trên a và b (hình 5, trái); chúng vuông góc với nhau vì hình bình hành này là hình thoi ( | a | = | b | = √10).
2.4 Độ dài của tổng và tổng các độ dài
Với a = (3; 1) và b = (1; 3), mỗi vectơ có độ dài √10 ≈ 3,16 nên | a | + | b | ≈ 6,32, nhưng | a + b | = √32 ≈ 5,66. Tổng độ dài hai bước lớn hơn độ dài của bước tổng: đi chéo qua tam giác thì đi tắt được.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Trái: hai đường chéo của hình bình hành dựng trên a = (3; 1) và b = (1; 3), tổng a + b = (4; 4) và hiệu a − b = (2; −2). Phải: với |a| = 3 và |b| = 4, độ dài của tổng là 7, 5 hoặc 1 khi hai vectơ cùng hướng, vuông góc hoặc ngược hướng.
Quy luật chung là bất đẳng thức tam giác cho vectơ: trong tam giác ABC, một cạnh không dài hơn tổng hai cạnh kia, tức | AC | ≤ | AB | + | BC | . Viết bằng a = AB và b = BC (rồi a + b = AC ):