📈 Toán 12 · Ứng dụng đạo hàm 4 · Đọc đồ thị và ý nghĩa của đạo hàm: dấu các hệ số của hàm bậc ba, dấu của ad − bc ở hàm phân thức bậc nhất, và đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời với vận tốc, gia tốc, chi phí biên
Chuyên đề gom phần nhận dạng đồ thị và ý nghĩa của đạo hàm thành ba nguyên lí kiểm tra được. Một, đồ thị là hình ảnh của đạo hàm: dấu của f′ cho đoạn tăng và…
LUKATO AI · TOÁN 12 · ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Toán · Giải tích · Đọc đồ thị và ý nghĩa đạo hàm
Đồ thị và đạo hàm kể cùng một câu chuyện : dấu các hệ số của hàm bậc ba, dấu của ad − bc ở hàm phân thức, và đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời
Chuyên đề này gom phần nhận dạng đồ thị và ý nghĩa của đạo hàm thành ba nguyên lí kiểm tra được. Thứ nhất, đồ thị là hình ảnh của đạo hàm : dấu của f′ cho đoạn tăng và đoạn giảm, nghiệm đổi dấu của f′ cho cực trị, dấu của f″ cho chỗ lồi lõm và điểm uốn. Thứ hai, hệ số của hàm quy ra đặc trưng của đồ thị : với hàm bậc ba, dấu của a cho hướng hai đầu, d cho giao với trục tung, Δ′ = b² − 3ac cho việc có hai cực trị hay không, và −b/(3a) cho điểm uốn nằm giữa hai cực trị; với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, dấu của ad − bc cho chiều biến thiên, còn −d/c và a/c cho hai tiệm cận. Thứ ba, đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời : vận tốc là đạo hàm của vị trí, gia tốc là đạo hàm của vận tốc, chi phí biên là đạo hàm của chi phí, và vận tốc trung bình trên một khoảng bằng vận tốc tức thời tại ít nhất một thời điểm bên trong. Mọi hàm trong bài do bài tự đặt để minh họa; bài không chép lại một đề thi cụ thể.
Hệ số của hàm bậc ba đọc được từ hình dạng x³ − 3x có a dương nên đầu phải đi lên, Δ′ = 9 dương nên có hai cực trị tại x = ±1, và điểm uốn x = 0 nằm đúng giữa hai cực trị
Dấu của ad − bc quyết định chiều biến thiên (2x + 1)/(x − 1) có ad − bc = −3 âm nên giảm trên từng khoảng xác định, với tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 2 cắt nhau tại tâm đối xứng
Trung bình và tức thời là hai khái niệm khác nhau Với s = t³ − 6t² + 9t trên khoảng từ 0 đến 4, vận tốc trung bình chỉ là 1 nhưng vật đã đi quãng đường 12 vì nó đổi chiều hai lần
01
Khái niệm lõi
Từ dấu của đạo hàm đến hình dạng đồ thị, từ hệ số đến đặc trưng, và từ độ dốc đến tốc độ
Hãy hình dung một người lái xe nhìn đồng hồ tốc độ. Kim đồng hồ chỉ vận tốc tức thời, còn quãng đường đi được là những gì đồ thị vị trí ghi lại; nếu kim đang dương thì vị trí tăng, kim về 0 thì xe dừng, kim âm thì xe lùi. Nhiều người học nhớ máy móc “a dương thì đồ thị đi lên” rồi vấp khi gặp hàm có tham số, vấp khi nhìn đồ thị mà không biết suy ra dấu của b và c, vấp khi gặp hàm phân thức mà chỉ nhớ hai tiệm cận chứ quên dấu của ad − bc, hoặc vấp khi đề cho chuyển động hay chi phí mà không biết đạo hàm nghĩa là gì. Bài này không dạy thêm một mẹo mà dạy cách nhìn qua ba việc. Một là đạo hàm vẽ ra hình dạng: f′ dương thì f tăng, f′ âm thì f giảm, f′ đổi dấu thì có cực trị, f″ đổi dấu thì có điểm uốn; đọc được dấu thì vẽ được hình. Hai là hệ số quy ra đặc trưng: mỗi hệ số của hàm bậc ba hay của hàm phân thức bậc nhất chịu trách nhiệm một đặc trưng nhìn thấy được trên đồ thị, nên đọc đồ thị là đọc lại hệ số. Ba là đạo hàm là tốc độ: tỉ số Δs/Δt là tốc độ trung bình, giới hạn của nó là đạo hàm, tức tốc độ tức thời; dấu của vận tốc và của gia tốc nói vật đang tiến hay lùi, nhanh dần hay chậm dần, và chi phí biên là chính đạo hàm của hàm chi phí.
1 · Dấu của f′ Dương thì f tăng, âm thì f giảm, đổi dấu thì có cực trị
2 · Dấu của f″ Đổi dấu thì có điểm uốn; với bậc ba điểm uốn nằm giữa hai cực trị
3 · Hệ số quy ra đặc trưng a cho hai đầu, d cho trục tung, Δ′ cho cực trị, −b/(3a) cho điểm uốn
4 · Phân thức bậc nhất Dấu ad − bc cho chiều biến thiên, −d/c và a/c cho hai tiệm cận
5 · Đạo hàm là tốc độ v là đạo hàm của s, a là đạo hàm của v, chi phí biên là đạo hàm của chi phí
Đạo hàm và đạo hàm cấp hai của hàm bậc ba, cùng biệt thức quyết định số cực trị:
f^{\prime}(x)=3ax^{2}+2bx+c
f^{\prime\prime}(x)=6ax+2b
\Delta^{\prime}=b^{2}-3ac
Điểm uốn của hàm bậc ba và đạo hàm của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất:
x_{I}=-\dfrac{b}{3a}
y^{\prime}=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}
Vận tốc và gia tốc là đạo hàm theo thời gian:
v=\dfrac{ds}{dt},\quad a=\dfrac{dv}{dt}
Ba nguyên lí cần nhớ (1) Dấu của f′ quyết định tăng hay giảm và nghiệm đổi dấu của f′ là cực trị; dấu của f″ quyết định lồi hay lõm và nghiệm đổi dấu của f″ là điểm uốn. (2) Với hàm bậc ba: a dương thì đầu phải đi lên, f(0) = d, f′(0) = c, hai cực trị khi Δ′ = b² − 3ac dương, hoành độ điểm uốn −b/(3a) là trung điểm của hai hoành độ cực trị và là tâm đối xứng của đồ thị; với hàm phân thức bậc nhất: ad − bc dương thì tăng, âm thì giảm trên từng khoảng, tiệm cận đứng x = −d/c và tiệm cận ngang y = a/c, và ad − bc bằng 0 thì hàm suy biến thành hằng. (3) Vận tốc là đạo hàm của vị trí và gia tốc là đạo hàm của vận tốc; v và a cùng dấu thì nhanh dần, trái dấu thì chậm dần; vận tốc trung bình bằng vận tốc tức thời tại ít nhất một thời điểm bên trong khoảng, và chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí.
02
Hệ thống khái niệm
Tám khái niệm cần phân biệt
Hướng hai đầu của hàm bậc ba Với f(x) = ax³ + bx² + cx + d, khi x lớn thì số hạng ax³ áp đảo, nên dấu của a quyết định hai đầu: a dương thì đầu phải đi lên và đầu trái đi xuống, a âm thì ngược lại. Ví dụ: x³ − 3x có a = 1 dương, đồ thị đi từ dưới trái lên trên phải. Điều kiện: a khác 0. Bẫy hay gặp: đọc dấu của a từ vị trí cực đại hay cực tiểu chứ không từ hai đầu.
Giao với trục tung và hệ số góc tại gốc Tại x = 0 ta có f(0) = d và f′(0) = c, nên d là tung độ giao điểm với trục tung còn c là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm ấy. Ví dụ: x³ − 3x có d = 0 và c = −3, đồ thị đi qua gốc tọa độ với tiếp tuyến dốc xuống. Điều kiện: không cần thêm gì. Bẫy hay gặp: nhầm hệ số góc tại gốc với dấu của b.
Cực trị và biệt thức Δ′ f′(x) = 3ax² + 2bx + c là tam thức bậc hai có biệt thức rút gọn Δ′ = b² − 3ac. Δ′ dương thì f′ có hai nghiệm đổi dấu nên f có hai cực trị; Δ′ bằng 0 thì f′ chạm 0 mà không đổi dấu, không có cực trị; Δ′ âm thì f đơn điệu. Ví dụ: x³ + 3x có Δ′ = −9 âm nên luôn tăng. Điều kiện: dùng đúng biệt thức rút gọn của f′, không phải của f. Bẫy hay gặp: tưởng f′ bằng 0 là đủ để có cực trị.
Tổng và tích hoành độ hai cực trị Hai hoành độ cực trị là hai nghiệm của f′ nên theo hệ thức Vi-ét có tổng bằng −2b/(3a) và tích bằng c/(3a). Ví dụ: x³ + 3x² − 3x có tổng −2 và tích −1. Điều kiện: Δ′ dương. Bẫy hay gặp: dùng hệ thức Vi-ét cho hàm f thay vì cho f′, hoặc dùng khi Δ′ không dương.
Điểm uốn và tâm đối xứng f″(x) = 6ax + 2b đổi dấu tại x = −b/(3a), nên đó là hoành độ điểm uốn; nó bằng nửa tổng hai hoành độ cực trị, nên nằm đúng giữa chúng, và đồ thị đối xứng qua điểm uốn. Ví dụ: x³ − 3x có điểm uốn tại gốc tọa độ, đối xứng qua gốc. Điều kiện: hàm bậc ba luôn có đúng một điểm uốn. Bẫy hay gặp: nghĩ rằng điểm uốn là cực trị.
Số giao điểm với trục hoành Hàm bậc ba có từ một đến ba nghiệm thực. Biệt thức bậc ba D dương thì có ba nghiệm phân biệt, D âm thì một nghiệm, D bằng 0 thì có nghiệm bội. Khi có hai cực trị, ba nghiệm xảy ra khi hai giá trị cực trị trái dấu, nghiệm bội khi một giá trị cực trị bằng 0. Ví dụ: x³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2) có cực tiểu bằng 0 tại x = 1 nên chạm trục hoành. Điều kiện: hệ số đã cho. Bẫy hay gặp: đếm nghiệm chỉ bằng số cực trị.
Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất Với y = (ax + b)/(cx + d), đạo hàm y′ = (ad − bc)/(cx + d)² có dấu của ad − bc, nên hàm tăng trên từng khoảng xác định khi ad − bc dương và giảm khi âm; không có cực trị. Tiệm cận đứng x = −d/c, tiệm cận ngang y = a/c, và giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng. Ví dụ: (2x + 1)/(x − 1) có ad − bc = −3 nên giảm. Điều kiện: c khác 0 và ad − bc khác 0. Bẫy hay gặp: viết hai tiệm cận đúng nhưng đoán sai chiều biến thiên. Khi ad − bc bằng 0 hàm suy biến: tử và mẫu tỉ lệ nên f là hằng, nghiệm của mẫu chỉ còn là lỗ hổng.
Tốc độ thay đổi tức thời và tốc độ trung bình Vận tốc trung bình trên [t₁; t₂] là độ dời chia thời gian, hệ số góc của dây cung; vận tốc tức thời là đạo hàm s′(t), hệ số góc của tiếp tuyến. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc. Dấu của v cho hướng đi; v và a cùng dấu thì nhanh dần, trái dấu thì chậm dần. Quãng đường khác độ dời khi vật đổi chiều. Nếu s là chi phí theo số sản phẩm thì s′ là chi phí biên. Ví dụ: s = t³ − 6t² + 9t có v = 3(t − 1)(t − 3). Điều kiện: s khả vi. Bẫy hay gặp: dùng vận tốc trung bình thay cho vận tốc tức thời, hoặc lấy độ dời làm quãng đường.
03
Phòng thực hành A
Đọc đồ thị hàm bậc ba: từ bốn hệ số đến hai đầu, cực trị, điểm uốn và số giao điểm
Phòng chạy họ hàm f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Sáu nút đặt sẵn các trạng thái để so sánh. Bốn thanh trượt đổi hệ số a trong bốn giá trị −2, −1, 1, 2, hệ số b từ −3 đến 3, hệ số c từ −3 đến 3 và hệ số d từ −2 đến 2. Hình trên vẽ đồ thị f trong khung x từ −4 đến 4: nét xanh là đoạn f tăng, nét đỏ là đoạn f giảm, chấm vàng là cực trị, hình thoi là điểm uốn, chấm cam là giao với trục tung. Hình dưới vẽ đạo hàm f′, một parabol: phần xanh là nơi f′ dương, phần đỏ là nơi f′ âm, hai nghiệm của f′ là hoành độ hai cực trị, và đỉnh parabol rơi đúng hoành độ điểm uốn. Dưới hình là tám ô số: mẫu hàm, hai đầu và trục tung, số cực trị với biệt thức, hoành độ cực trị cùng tổng và tích, điểm uốn, giao với trục hoành, hệ số góc tại gốc và đánh giá. Bảng cuối kiểm tám điều bằng hai cách: số cực trị theo dấu của Δ′ và theo số lần f′ đổi dấu trên lưới, tổng và tích hoành độ cực trị theo hệ thức Vi-ét và theo hai nghiệm của f′ tìm bằng chia đôi, hoành độ điểm uốn theo −b/(3a) và theo nghiệm số của đạo hàm cấp hai, tâm đối xứng theo f(x + 1,7) + f(x − 1,7) quanh điểm uốn, hệ số góc tại gốc theo c và theo đạo hàm số, dấu của f khi x lớn theo dấu của a và theo f(±10⁶), và số nghiệm thực theo biệt thức bậc ba D và theo đổi dấu của f cộng điểm chạm; mọi hàng phải khớp. Phòng chỉ xét hàm bậc ba, nên nó cho thấy quy luật đọc hệ số chứ không thay cho việc xét mọi hàm.
Đoán trước khi chọn Mặc định: a = 1, b = 0, c = −3, d = 0, tức f(x) = x³ − 3x. (1) Hai đầu của đồ thị đi về đâu và f(0) bằng bao nhiêu? (2) Δ′ bằng bao nhiêu và có mấy cực trị? (3) Cực trị nằm ở đâu và có giá trị bao nhiêu? (4) Điểm uốn ở đâu? (5) Bấm nút Δ′ âm (f = x³ + 3x): có mấy cực trị, Δ′ bằng bao nhiêu? (6) Bấm nút Δ′ bằng 0 (f = x³): có cực trị không, tiếp tuyến tại gốc ra sao? (7) Bấm nút a âm (f = −x³ + 3x): hai đầu đảo thế nào và cực đại nằm ở bên nào? (8) Bấm nút một cực trị chạm trục Ox (f = x³ − 3x + 2): đồ thị có mấy giao điểm phân biệt với Ox? (9) Bấm nút điểm uốn lệch (f = x³ + 3x² − 3x): điểm uốn ở đâu, hai hoành độ cực trị là bao nhiêu và tổng, tích của chúng là gì?
Hệ số a (bốn giá trị: −2, −1, 1, 2) a = 1
Hệ số b (−3 đến 3) b = 0
Hệ số c (−3 đến 3) c = −3
Hệ số d (−2 đến 2) d = 0
■ f tăng ■ f giảm ● giao với trục tung ◇ điểm uốn
Kiểm tra dự đoán (1) a = 1 dương nên đầu trái đi xuống và đầu phải đi lên; f(0) = d = 0. (2) Δ′ = b² − 3ac = 0 − 3·1·(−3) = 9 dương, nên f′ = 3x² − 3 có hai nghiệm đổi dấu và f có hai cực trị. (3) f′ = 0 tại x = −1 và x = 1; f(−1) = 2 là cực đại và f(1) = −2 là cực tiểu. (4) Điểm uốn tại x = −b/(3a) = 0 với f(0) = 0, đúng là trung điểm của −1 và 1 và là tâm đối xứng của đồ thị. (5) Δ′ = −9 âm nên f′ = 3x² + 3 luôn dương: 0 cực trị, f luôn tăng. (6) Δ′ = 0 nên f′ = 3x² chạm 0 tại x = 0 mà không đổi dấu: không có cực trị; tiếp tuyến tại gốc nằm ngang vì c = 0, nhưng đồ thị vẫn đi xuyên qua nó, và đó chính là điểm uốn. (7) a = −1 âm nên đầu trái đi lên và đầu phải đi xuống; f′ = −3x² + 3 vẫn bằng 0 tại x = ±1, nhưng bây giờ cực đại f(1) = 2 nằm ở bên phải và cực tiểu f(−1) = −2 ở bên trái. (8) x³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2): đồ thị cắt Ox tại x = −2 và chạm Ox tại x = 1, nơi cực tiểu f(1) bằng 0; vậy có 2 giao điểm phân biệt và biệt thức bậc ba D bằng 0. (9) Điểm uốn tại x = −b/(3a) = −1 với f(−1) = 5; Δ′ = 9 + 9 = 18 nên hai hoành độ cực trị là x = −1 ± √2, tức khoảng −2,414 và 0,4142; tổng bằng −2b/(3a) = −2 và tích bằng c/(3a) = −1, đúng hai lần hoành độ điểm uốn là tổng.
04
Đoán trước, rồi kiểm
Năm tình huống: chọn đáp án trước khi xem giải thích
Mỗi câu có bốn đáp án; hãy tự suy luận trên giấy trước khi chọn. Sau khi chọn, lời giải nói rõ vì sao đúng, vì sao sai và cách kiểm bằng phòng thực hành tương ứng.
05
Phòng thực hành B
Đọc đồ thị hàm phân thức bậc nhất: dấu của ad − bc, hai tiệm cận và tâm đối xứng
Phòng chạy họ hàm f(x) = (ax + b)/(cx + d). Sáu nút đặt sẵn các trạng thái để so sánh. Bốn thanh trượt đổi hệ số a từ −3 đến 3, hệ số b từ −3 đến 3, hệ số c từ −2 đến 2 và hệ số d trong sáu giá trị −3, −2, −1, 1, 2, 3. Hình trên vẽ đồ thị f trong khung từ −8 đến 8: vạch đỏ đứt là tiệm cận đứng, vạch tím đứt là tiệm cận ngang, hình thoi là tâm đối xứng, chấm cam là giao với trục tung, chấm xanh nhạt là giao với trục hoành; nét xanh là hàm tăng, nét đỏ là hàm giảm. Hình dưới dời gốc về tâm đối xứng: mọi hàm trong họ này quy về Y = k/X với k = −(ad − bc)/c², nên chỉ dấu của ad − bc quyết định hai nhánh nằm ở góc phần tư nào. Dưới hình là tám ô số: mẫu hàm, dấu của ad − bc, tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, giao với hai trục, tâm đối xứng, cực trị và đánh giá. Bảng cuối kiểm tám điều bằng hai cách: chiều biến thiên theo dấu của ad − bc và theo đạo hàm số tại sáu điểm, tiệm cận đứng theo −d/c và theo điểm làm |f| lớn nhất trên lưới mịn, tiệm cận ngang theo a/c và theo f(±10⁷), giao trục tung theo b/d và theo f sát 0, số giao điểm với trục hoành theo a và theo đổi dấu của f, tâm đối xứng theo f(x tâm ± 1,7), số cực trị theo ad − bc và theo đổi dấu của đạo hàm số, và độ lệch so với tiệm cận ngang theo −(ad − bc)/(c(cx + d)) và theo f − a/c; mọi hàng phải khớp. Khi c bằng 0 hàm là đường thẳng, và khi ad − bc bằng 0 hàm suy biến thành hằng có lỗ hổng. Phòng chỉ xét họ hàm này, nên nó cho thấy quy luật chứ không thay cho việc xét mọi hàm.