📈 Toán 12 · Ứng dụng đạo hàm 1 · Đơn điệu và cực trị: dấu của f′ quyết định hình dạng đồ thị, bội của nghiệm vì sao f′ bằng 0 chưa đủ, và cách đếm cực trị của hàm bậc ba và hàm trùng phương
Chuyên đề gom phần đơn điệu và cực trị của ứng dụng đạo hàm thành ba nguyên lí kiểm tra được. Một, dấu của đạo hàm quyết định chiều biến thiên: f′ dương trên…
LUKATO AI · TOÁN 12 · ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Toán · Giải tích · Đơn điệu và cực trị
Đọc hình dạng đồ thị từ dấu của f′ : đơn điệu, cực trị, vì sao đạo hàm bằng 0 chưa đủ để có cực trị, và cách đếm cực trị của hàm bậc ba và hàm trùng phương
Chuyên đề này gom phần đơn điệu và cực trị của ứng dụng đạo hàm thành ba nguyên lí kiểm tra được. Thứ nhất, dấu của f′ quyết định chiều biến thiên : f′ dương trên một khoảng thì f tăng trên khoảng ấy, f′ âm thì f giảm, và bảng xét dấu f′ là toàn bộ bản đồ của đồ thị. Thứ hai, cực trị là nơi f′ đổi dấu, không phải nơi f′ bằng 0 : nghiệm bội lẻ của f′ làm f′ đổi dấu nên cho cực trị, nghiệm bội chẵn chỉ làm f′ chạm trục rồi đi tiếp cùng dấu nên không cho cực trị. Thứ ba, số cực trị của hàm bậc ba và hàm trùng phương đếm được bằng một điều kiện về dấu : Δ′ = b² − 3ac dương thì bậc ba có hai cực trị, còn a·b âm thì hàm trùng phương có ba cực trị. Mọi hàm trong bài do bài tự đặt để minh họa; bài không chép lại một đề thi cụ thể.
f′ bằng 0 chưa chắc là cực trị Với f′(x) = (x + 1)²(x − 2), điểm x = −1 có f′ = 0 nhưng f vẫn giảm qua nó; chỉ x = 2 là cực tiểu, với f(2) − f(−1) = −6,75
Bậc ba: Δ′ quyết định f(x) = x³ − 3x² − 9x có Δ′ = 36 nên có hai cực trị tại x = −1 và x = 3, giá trị 5 và −27; còn x³ + 3x² + 3x có Δ′ = 0 và không có cực trị nào
Trùng phương: a·b quyết định x⁴ − 2x² có a·b = −2 nên có ba cực trị tại x = −1, 0, 1; còn x⁴ + 2x² có a·b = 2 nên chỉ có một cực trị tại x = 0
01
Khái niệm lõi
Từ dấu của đạo hàm đến chiều biến thiên, từ đổi dấu đến cực trị, và từ hệ số đến số cực trị
Hãy hình dung một người đi bộ trên con đường lên xuống đồi: x là vị trí theo phương ngang, f(x) là độ cao, và f′(x) là độ dốc tại chỗ đang đứng. Nhìn bảng dốc, người ấy biết ngay khúc nào đang lên, khúc nào đang xuống, và đỉnh đồi hay đáy thung nằm ở đâu: đó là nơi dốc đổi từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương. Nhiều người học ghi nhớ máy móc “f′ = 0 thì có cực trị” rồi vấp khi gặp nghiệm kép, vấp khi đề hỏi hàm bậc ba có bao nhiêu cực trị mà quên kiểm biệt thức, hoặc vấp khi phép thử f″ cho kết quả bằng 0. Bài này không dạy thêm một mẹo mà dạy cách nhìn qua ba việc. Một là dấu của f′: khoảng nào f′ dương thì f tăng, khoảng nào f′ âm thì f giảm, và bảng biến thiên chỉ là bảng xét dấu f′ vẽ thêm mũi tên. Hai là sự đổi dấu: cực trị nằm ở điểm tới hạn mà f′ đổi dấu; f′ bằng 0 chỉ là điều kiện cần, còn đổi dấu mới là điều kiện đủ, và bội của nghiệm cho biết f′ có đổi dấu hay không. Ba là hệ số: với hàm bậc ba và hàm trùng phương, số điểm đổi dấu của f′ đọc được ngay từ hệ số qua biệt thức Δ′ và tích a·b.
1 · Đơn điệu f tăng hay giảm trên một khoảng, định nghĩa bằng so sánh giá trị của f
2 · Dấu của f′ f′ dương thì f tăng, f′ âm thì f giảm; bảng xét dấu là bản đồ của đồ thị
3 · Đổi dấu Cực trị nằm ở điểm tới hạn mà f′ đổi dấu, không phải mọi nơi f′ bằng 0
4 · Bội của nghiệm Nghiệm bội lẻ làm f′ đổi dấu, nghiệm bội chẵn làm f′ chạm trục
5 · Đếm cực trị Bậc ba: Δ′ = b² − 3ac; trùng phương: dấu của a·b
f'(x)\gt 0\ \text{trên}\ (a;b)\ \Rightarrow\ f\ \text{tăng trên}\ (a;b),\qquad f'(x)\lt 0\ \Rightarrow\ f\ \text{giảm}
f'(x)=k\,(x-p)^{e}\,(x-q):\quad e\ \text{lẻ}\Rightarrow f'\ \text{đổi dấu tại}\ p,\qquad e\ \text{chẵn}\Rightarrow f'\ \text{không đổi dấu tại}\ p
y=ax^3+bx^2+cx+d:\ \Delta'=b^2-3ac,\qquad y=ax^4+bx^2+c:\ \text{ba cực trị}\iff ab\lt 0
Ba nguyên lí cần nhớ (1) Dấu của f′ trên một khoảng quyết định chiều biến thiên của f trên khoảng ấy: dương thì tăng, âm thì giảm. (2) Cực trị là nơi f′ đổi dấu: đổi từ dương sang âm cho cực đại, từ âm sang dương cho cực tiểu; f′ bằng 0 mà không đổi dấu thì không có cực trị, như nghiệm kép hay nghiệm bội chẵn. (3) Số điểm đổi dấu của f′ với hàm bậc ba là hai khi Δ′ dương và không có khi Δ′ không dương; với hàm trùng phương là ba khi a·b âm và một khi a·b không âm.
02
Hệ thống khái niệm
Tám khái niệm cần phân biệt
Hàm số đồng biến và nghịch biến Hàm f đồng biến trên một khoảng nếu với mọi x₁ nhỏ hơn x₂ trong khoảng ấy ta có f(x₁) nhỏ hơn f(x₂); nghịch biến nếu bất đẳng thức đảo chiều. Đây là định nghĩa bằng so sánh giá trị, chưa nói gì tới đạo hàm. Ví dụ: f(x) = x³ đồng biến trên toàn trục số dù đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang tại x = 0. Điều kiện: phải nói rõ khoảng; một hàm có thể tăng trên khoảng này và giảm trên khoảng khác. Bẫy hay gặp: nói “hàm phân thức đồng biến trên tập xác định” trong khi nó chỉ đơn điệu trên từng khoảng của tập xác định.
Dấu của f′ và chiều biến thiên Nếu f′ dương trên một khoảng thì f đồng biến trên khoảng ấy; nếu f′ âm thì f nghịch biến. Chiều ngược lại chỉ đúng ở dạng yếu: f đồng biến thì f′ không âm, và f′ chỉ được bằng 0 tại một số hữu hạn điểm mà f vẫn đồng biến thật sự. Ví dụ: hàm bậc ba x³ + 3x² + 3x có f′(x) = 3(x + 1)² không âm và chỉ bằng 0 tại x = −1, nên đồng biến trên R. Điều kiện: f liên tục và có đạo hàm trên khoảng xét. Bẫy hay gặp: nghĩ rằng f′ bằng 0 ở đâu thì f phải ngừng tăng hay giảm ở đó.
Bảng xét dấu và bảng biến thiên Bảng xét dấu liệt kê các nghiệm của f′, dấu của f′ trên từng khoảng giữa các nghiệm, rồi cho biết f tăng hay giảm. Bảng biến thiên là bảng xét dấu ấy vẽ thêm mũi tên và giá trị của f tại các điểm đặc biệt. Ví dụ: f′(x) = (x + 1)(x − 2) mang dấu cộng, trừ, cộng trên ba khoảng, nên f tăng, giảm, tăng. Điều kiện: chọn một điểm thử trong mỗi khoảng, hoặc dùng quy tắc đổi dấu qua nghiệm bội lẻ. Bẫy hay gặp: đặt dấu xen kẽ qua mọi nghiệm mà quên nghiệm bội chẵn không đổi dấu.
Điểm tới hạn Điểm tới hạn của f là điểm x₀ thuộc tập xác định mà f′(x₀) = 0 hoặc f′ không tồn tại tại x₀. Cực trị nếu có chỉ xuất hiện ở điểm tới hạn, nhưng không phải điểm tới hạn nào cũng là cực trị. Ví dụ: f(x) = |x| không có đạo hàm tại 0 mà vẫn có cực tiểu ở đó; f(x) = x³ có f′(0) = 0 mà không có cực trị. Điều kiện: điểm phải nằm trong tập xác định. Bẫy hay gặp: tìm cực trị chỉ trong số nghiệm của f′ mà bỏ sót điểm f′ không tồn tại.
Cực đại và cực tiểu Hàm f đạt cực đại tại x₀ nếu f(x₀) lớn hơn hoặc bằng f(x) với mọi x đủ gần x₀, và cực tiểu nếu nhỏ hơn hoặc bằng. Đó là so sánh cục bộ, chỉ trong một lân cận nhỏ. Ví dụ: hàm x³ − 3x² − 9x có cực đại bằng 5 tại x = −1, nhưng giá trị f lớn hơn 5 xuất hiện khi x đủ lớn, nên cực đại không phải giá trị lớn nhất. Điều kiện: phân biệt hoành độ cực trị, giá trị cực trị và điểm cực trị (cặp hoành độ và giá trị). Bẫy hay gặp: lẫn cực đại với giá trị lớn nhất trên cả tập xác định.
Bội của nghiệm f′ Nghiệm p của f′ có bội e nếu f′ chia hết cho (x − p) e mà không chia hết cho (x − p) e+1 . Qua nghiệm bội lẻ thì f′ đổi dấu, qua nghiệm bội chẵn thì f′ giữ nguyên dấu và chỉ chạm trục. Ví dụ: f′(x) = (x + 1)²(x − 2) có nghiệm kép x = −1, nên f′ cùng âm ở hai phía của −1; nó đổi dấu duy nhất tại x = 2. Điều kiện: đọc bội từ dạng đã phân tích thành nhân tử. Bẫy hay gặp: thấy nghiệm là đánh dấu đổi dấu ngay, không kiểm bội.
Phép thử bằng f″ Nếu f′(x₀) = 0 và f″(x₀) dương thì f đạt cực tiểu tại x₀; nếu f″(x₀) âm thì cực đại. Khi f″(x₀) bằng 0 phép thử không kết luận, và phải quay về xét dấu f′ hai bên. Ví dụ: x⁴ và x³ đều có f′(0) = 0 và f″(0) = 0, nhưng x⁴ có cực tiểu còn x³ thì không có cực trị. Điều kiện: f có đạo hàm cấp hai tại x₀. Bẫy hay gặp: kết luận “f″ bằng 0 nên không có cực trị”.
Đếm cực trị theo hệ số Hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d có f′ là tam thức bậc hai, nên f′ đổi dấu hai lần khi Δ′ = b² − 3ac dương, và không đổi dấu khi Δ′ không dương; ở Δ′ = 0 hàm đơn điệu dù f′ chạm trục tại điểm uốn. Hàm trùng phương y = ax⁴ + bx² + c có f′ = 2x(2ax² + b), nên có ba cực trị khi a·b âm và một cực trị khi a·b không âm. Ví dụ: x³ − 3x² − 9x có Δ′ = 36 nên có hai cực trị; x³ + 3x² + 3x có Δ′ = 0 nên không có cực trị. Bẫy hay gặp: nói hàm bậc ba luôn có hai cực trị, hay hàm trùng phương luôn có ba cực trị.
03
Phòng thực hành A
Dấu của f′ và bội của nghiệm: vì sao f′ bằng 0 chưa đủ để có cực trị
Phòng chạy họ hàm có f′(x) = k·(x − p) e ·(x − q), trong đó nghiệm q luôn có bội 1 và nghiệm p có bội e tùy chọn; hàm f được lấy sao cho f(p) = 0. Sáu nút đặt sẵn các trạng thái để so sánh. Bốn thanh trượt đổi nghiệm p từ −3 đến 1, khoảng cách q − p từ 1 đến 4, bội e của nghiệm p từ 1 đến 4, và dấu k là −1 hoặc +1. Hình trên vẽ đồ thị f: đoạn xanh lục là f tăng, đoạn đỏ là f giảm, chấm là cực trị, hình thoi trắng là điểm có f′ bằng 0 mà không cực trị. Hình dưới vẽ đồ thị f′ của chính hàm ấy với vùng dương xanh lục và vùng âm đỏ, chấm đặc là nơi f′ đổi dấu và vòng trắng là nơi f′ chạm trục. Dưới hình là tám ô số: mẫu f′, điểm tới hạn, dấu của f′, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến, cực trị, phép thử f″ và đánh giá. Bảng cuối kiểm tám điều bằng hai cách độc lập: giá trị f(q) − f(p) bằng đa thức nguyên hàm và bằng tích phân số của f′, số lần f′ đổi dấu bằng quét lưới và bằng quy tắc bội lẻ, tích dấu hai phía của p, giá trị cực trị bằng tìm kiếm tỉ lệ vàng, số khoảng đơn điệu, f″(q), f′ tại một điểm bằng sai phân năm điểm, và định nghĩa cực trị bằng so sánh giá trị; mọi hàng phải khớp. Phòng chỉ xét họ hàm đa thức có hai nghiệm của f′, nên nó cho thấy quy luật về bội chứ không thay cho việc xét mọi hàm.
Đoán trước khi chọn Mặc định: p = −1, q = 2, e = 1, k = +1, tức f′(x) = (x + 1)(x − 2). (1) Có mấy điểm tới hạn và mấy điểm cực trị? (2) f đồng biến và nghịch biến trên những khoảng nào? (3) Giá trị cực đại và cực tiểu là bao nhiêu? (4) Bấm nút nghiệm kép tại p: x = p còn là cực trị không, và các khoảng đơn điệu đổi thế nào? (5) f″(p) bằng bao nhiêu ở trạng thái mặc định và ở nút nghiệm kép? (6) Bấm nút nghiệm bội ba: x = p có là cực trị không, dù f″(p) bằng bao nhiêu? (7) Bấm nút nghiệm bội bốn: kết luận ra sao? (8) Bấm nút đảo dấu k = −1: cực đại và cực tiểu đổi chỗ thế nào? (9) Bấm nút hai nghiệm sát nhau: f(q) − f(p) bằng bao nhiêu và vì sao nhỏ?
Nghiệm p của f′ (−3 đến 1) p = −1
Khoảng cách q − p (1 đến 4) q − p = 3 (q = 2)
Bội e của nghiệm p (1 đến 4) bội 1
Dấu k của f′ khi x rất lớn (−1 hoặc +1) k = +1
■ f tăng ■ f giảm ■ cực đại ■ cực tiểu
Kiểm tra dự đoán (1) Hai điểm tới hạn x = −1 và x = 2, cả hai đều đổi dấu f′ nên hai cực trị. (2) f đồng biến trên (−∞; −1) và (2; +∞), nghịch biến trên (−1; 2). (3) Cực đại f(−1) = 0 và cực tiểu f(2) = −4,5, hiệu f(q) − f(p) = −d³/6 = −4,5 với d = 3. (4) Với nghiệm kép, f′ không đổi dấu tại −1 nên chỉ còn một cực trị, cực tiểu tại x = 2 với f(2) = −6,75; f nghịch biến trên cả (−∞; 2) và đồng biến trên (2; +∞), hai khoảng gộp lại vì f′ chỉ chạm trục tại −1. (5) Ở trạng thái mặc định f″(−1) = −3 và f″(2) = 3; ở nút nghiệm kép f″(−1) = 0, phép thử f″ không kết luận. (6) Nghiệm bội ba có f′ đổi dấu nên x = −1 vẫn là cực đại với f(−1) = 0 và cực tiểu f(2) = −12,15, dù f″(−1) = 0: phép thử f″ không kết luận nhưng dấu của f′ vẫn quyết định. (7) Nghiệm bội bốn lại chạm trục như nghiệm kép: không cực trị tại −1, còn cực tiểu f(2) = −24,3. (8) Đảo k = −1 lật đồ thị qua trục hoành: x = −1 thành cực tiểu f = 0 và x = 2 thành cực đại f(2) = 4,5. (9) Với p = 0 và q = 1, f(q) − f(p) = −1/6 = −0,167; công thức tổng quát là −d e+2 /((e+1)(e+2)), nên nhỏ khi khoảng cách d nhỏ.
04
Đoán trước, rồi kiểm
Năm tình huống: chọn đáp án trước khi xem giải thích
Mỗi câu có bốn đáp án; hãy tự suy luận trên giấy trước khi chọn. Sau khi chọn, lời giải nói rõ vì sao đúng, vì sao sai và cách kiểm bằng phòng thực hành tương ứng.
05
Phòng thực hành B
Hàm bậc ba: biệt thức Δ′ quyết định có hai cực trị hay không có cực trị nào
Phòng chạy họ hàm bậc ba f(x) = ax³ + bx² + cx, với f′(x) = 3ax² + 2bx + c là một tam thức bậc hai; hằng số tự do chỉ nâng cả đồ thị lên xuống nên bài đặt bằng 0. Sáu nút đặt sẵn các trạng thái để so sánh. Ba thanh trượt đổi hệ số a trong bốn giá trị −2, −1, 1, 2, hệ số b từ −6 đến 6 và hệ số c từ −12 đến 12. Hình trên vẽ đồ thị f: đoạn xanh lục là f tăng, đoạn đỏ là f giảm, hai chấm là cực trị và hình thoi trắng U là điểm uốn. Hình dưới là lát cắt biệt thức Δ′ = b² − 3ac theo hệ số c khi a và b đang chọn: vùng Δ′ dương là hai cực trị, vùng âm là đơn điệu, và giao với trục là nơi f′ chỉ chạm trục. Dưới hình là tám ô số: mẫu, biệt thức, hoành độ cực trị, tổng và tích hai nghiệm, điểm uốn, giá trị cực trị, hiệu hai cực trị và đánh giá. Bảng cuối kiểm tám điều bằng hai cách: giá trị cực trị của f′ bằng công thức và bằng tìm kiếm tỉ lệ vàng, số lần f′ đổi dấu bằng quét lưới và bằng dấu Δ′, điểm uốn bằng chia đôi trên f″, tâm đối xứng bằng độ lệch số, số khoảng đơn điệu, tổng hai nghiệm, hiệu hai giá trị cực trị bằng tích phân số, và tích hai nghiệm; mọi hàng phải khớp. Ba hàng cuối chỉ có nghĩa khi Δ′ dương, ngược lại bảng báo không có hai nghiệm phân biệt.