TOÁN 11 · XÁC SUẤT — Đo “khả năng” bằng tỉ lệ diện tích: không gian mẫu, quy tắc cộng, độc lập khác xung khắc và luật số lớn
Bài khái niệm Toán 11 về xác suất, dựng quanh một hình ảnh: mọi phép thử là một tấm bản đồ có diện tích 1, biến cố là vùng tô và xác suất là diện tích của…
TOÁN 11 · XÁC SUẤT · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Bản đồ diện tích của "khả năng"
Xác suất là gì: đo "khả năng" bằng tỉ lệ, và vì sao quy tắc cộng, quy tắc nhân chỉ là chuyện các vùng chồng lên nhau
"Khả năng mưa 30%", "xác suất trúng 1/6": con số ấy nghĩa là gì, và từ đâu mà ra? Bài này trả lời bằng một hình ảnh duy nhất: mọi phép thử là một tấm bản đồ có diện tích 1, mỗi biến cố là một vùng tô trên đó, và xác suất chính là diện tích của vùng tô. Khi đã nhìn như vậy, quy tắc cộng chỉ là chuyện không đếm phần chồng hai lần, biến cố đối là phần còn lại của bản đồ, và quy tắc nhân là diện tích của một hình chữ nhật. Em cũng sẽ thấy vì sao "mọi kết quả đồng khả năng" là một giả thiết phải kiểm tra chứ không phải điều hiển nhiên, vì sao xung khắc và độc lập khác hẳn nhau, và vì sao tung ít lần thì tần suất dao động còn tung nhiều lần thì dồn về xác suất. Mọi tình huống và con số tự đặt đều là hư cấu.
12 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 3 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Một tấm bản đồ, một vùng tô, một con số
Mỗi lần tung xúc xắc, rút thẻ hay chọn ngẫu nhiên một người, ta có một tập hợp các kết quả có thể xảy ra. Hãy trải tập hợp ấy thành một tấm bản đồ có diện tích đúng bằng 1. Một biến cố là một vùng tô trên tấm bản đồ; xác suất của biến cố là phần bản đồ mà vùng tô chiếm. Từ hình ảnh này, ba quy tắc của bài tự hiện ra.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ bài: phép thử cho tấm bản đồ Ω, biến cố là vùng tô, xác suất đo vùng tô bằng tỉ lệ diện tích; ba quy tắc ở các mục 3, 4, 5 và cầu nối ở mục 6.
Câu hỏi · Ý then chốt · Ở mục
"Biến cố hợp", "biến cố giao", "biến cố đối", "xung khắc" nói gì trên bản đồ? · Hợp là vùng của A hoặc B; giao là vùng chung; đối là phần còn lại; xung khắc là hai vùng rời nhau · 1
Vì sao xác suất thường là số các kết quả thuận lợi chia cho tổng số kết quả? Khi nào cách chia đó sai? · Chỉ đúng khi mọi ô của bản đồ có diện tích bằng nhau (đồng khả năng) · 2
Vì sao phải trừ P(A∩B) khi cộng xác suất? Vì sao "ít nhất một" nên tính qua biến cố đối? · Phần chồng bị đếm hai lần; phần "không có gì xảy ra" dễ đo hơn phần "ít nhất một" · 3
Độc lập là gì, và vì sao khác xung khắc? · Độc lập: giao bằng tích, tỉ lệ không đổi; xung khắc: giao rỗng. Hai ý gần như đối lập nhau · 4
Xác suất có liên hệ gì với tần suất khi thí nghiệm lặp lại? · Tần suất dồn về xác suất khi số lần thử rất lớn; ít lần thì dao động mạnh · 5
Hai quy tắc này dẫn tới đâu? · Cầu nối sang xác suất có điều kiện: thu bản đồ vào một vùng rồi chia lại cho diện tích 1 · 6
Vuốt ngang để xem hết bảng
Công cụ A · Bản đồ diện tích
Ω là tấm bản đồ diện tích 1. Biến cố A là vùng tô, P(A) là diện tích của nó, nên 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Công cụ B · Đếm ô
Khi bản đồ chia thành các ô bằng nhau, diện tích bằng số ô thuận lợi chia cho tổng số ô: P(A) = n(A)/n(Ω).
Công cụ C · Tần suất
Làm thí nghiệm nhiều lần: tần suất là tỉ lệ số lần A xảy ra, một cách "đo" diện tích của vùng tô bằng thực nghiệm.
Giả định của bài (dùng suốt bài). (a) Nội dung bám chương trình giáo dục phổ thông 2018 của Việt Nam: không gian mẫu, biến cố, xác suất cổ điển; biến cố hợp, giao, đối, độc lập; công thức cộng và công thức nhân cho hai biến cố độc lập. Bài tổng hợp khái niệm xác suất của lớp 10 (không gian mẫu, biến cố, định nghĩa cổ điển) và lớp 11 (biến cố hợp, giao, độc lập, công thức cộng, công thức nhân), nên nhắc lại phần nền của lớp 10 khi cần. Xác suất có điều kiện được học kĩ ở lớp 12, mục 6 chỉ nêu cầu nối. (b) Phép thử luôn có hữu hạn kết quả (trừ phần MỞ RỘNG). (c) Xúc xắc và đồng xu "cân đối" nghĩa là các mặt đồng khả năng và các lần tung độc lập với nhau: đó là giả thiết của mô hình, không phải điều quan sát được. (d) Số thập phân dùng dấu phẩy; các số trong lab được tính chính xác từ số nguyên, số làm tròn có dấu "≈".
Về chữ "hư cấu". Mọi đồng xu, xúc xắc, nhóm người, máy móc và số liệu thí nghiệm trong bài đều do bài tự đặt, được kiểm bằng máy tính, và mang nhãn hư cấu . Bộ sinh số ngẫu nhiên của Phòng C có hạt giống cố định nên chạy lại cho đúng cùng một kết quả. Chỉ có hằng số toán học (như π) mới là số thật. Phần ngoài chương trình bắt buộc mang nhãn MỞ RỘNG .
MỤC 1 · PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ
Trải mọi kết quả thành một bản đồ, rồi tô vùng em quan tâm
Trước khi đo bất cứ điều gì, ta phải nói rõ đang đo cái gì. Xác suất bắt đầu bằng ba việc: kể ra mọi kết quả có thể xảy ra, gom chúng thành một tập hợp, rồi gọi tên các tập con. Ngôn ngữ tập hợp (hợp, giao, phần bù) và ngôn ngữ biến cố ("hoặc", "và", "không") là một: học bảng dịch giữa chúng là xong mục này.
1.1 Phép thử và không gian mẫu hư cấu
Một phép thử ngẫu nhiên là một việc làm (tung, rút, chọn…) mà em chưa đoán chắc được kết quả trước khi làm, nhưng biết trước mọi kết quả có thể xảy ra. Không gian mẫu , kí hiệu Ω, là tập hợp mọi kết quả có thể. Trong bài này Ω luôn có hữu hạn phần tử, kí hiệu số phần tử là n(Ω).
- Tung một đồng xu (hư cấu): Ω = {S, N}, S là sấp, N là ngửa; n(Ω) = 2.
- Tung hai xúc xắc (hư cấu), phân biệt xúc xắc thứ nhất (X1) và thứ hai (X2): mỗi kết quả là một cặp có thứ tự (X1; X2), n(Ω) = 6 × 6 = 36. Cặp (2; 5) và cặp (5; 2) là hai kết quả khác nhau.
Chọn Ω là một quyết định mô hình hóa. Cùng một phép thử có thể mô tả bằng nhiều không gian mẫu: với hai đồng xu, em có thể lấy Ω = {SS, SN, NS, NN} (bốn kết quả) hoặc chỉ ghi "số mặt ngửa" Ω' = {0, 1, 2} (ba giá trị). Hai cách này không ngang nhau về khả năng: mục 2 sẽ cho thấy chỉ cách thứ nhất chia bản đồ thành các ô bằng nhau.
1.2 Biến cố là một vùng tô
Một biến cố A là một tập con của Ω, tức một vùng tô trên tấm bản đồ. Các kết quả thuộc A gọi là kết quả thuận lợi cho A. Ta nói "A xảy ra" khi kết quả của phép thử nằm trong vùng tô A. Có hai biến cố đặc biệt: Ω (vùng tô là cả bản đồ, luôn xảy ra, gọi là biến cố chắc chắn ) và ∅ (không tô gì, không bao giờ xảy ra, gọi là biến cố không thể ).
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Sáu cách đọc trên bản đồ: hợp A ∪ B, giao A ∩ B, biến cố đối Ā, hai biến cố xung khắc, A là một phần của B, và hai biến cố đặc biệt Ω, ∅. Vùng tô vàng là biến cố ở mỗi ô.
Ngôn ngữ biến cố · Kí hiệu · Trên bản đồ
A hoặc B xảy ra (hoặc cả hai) · A ∪ B (biến cố hợp) · vùng gộp của hai vùng tô
A và B cùng xảy ra · A ∩ B (biến cố giao) · vùng chung của hai vùng tô
A không xảy ra · Ā (biến cố đối của A) · phần còn lại của bản đồ
A và B không thể cùng xảy ra · A ∩ B = ∅ (xung khắc) · hai vùng rời nhau
A xảy ra thì B chắc chắn xảy ra · A ⊂ B · vùng A nằm trọn trong vùng B
Vuốt ngang để xem hết bảng
Đối nhau và xung khắc. Hai biến cố A và Ā vừa xung khắc (không có phần chung) vừa phủ kín bản đồ (A ∪ Ā = Ω): ta gọi chúng là hai biến cố đối nhau. Hai biến cố đối nhau luôn xung khắc, nhưng hai biến cố xung khắc chưa chắc đối nhau: hai vùng rời nhau vẫn có thể để chừa ra một phần bản đồ không thuộc vùng nào.
1.3 Một ví dụ đọc được trên lưới hư cấu
Với hai xúc xắc cân đối, 36 kết quả xếp thành lưới 6 × 6. Gọi A là biến cố "tổng hai mặt bằng 7" và B là biến cố "X1 ra số chẵn". Đọc trên lưới: A gồm 6 ô nằm trên một đường chéo; B gồm ba hàng (X1 = 2, 4, 6), tức 18 ô; giao A ∩ B gồm 3 ô, đó là các cặp (2; 5), (4; 3), (6; 1). Còn A ∪ B gồm 6 + 18 − 3 = 21 ô (vì sao phải trừ 3, mục 3 sẽ giải thích).
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Lưới 6 × 6 của hai xúc xắc cân đối (hư cấu). Số trong ô là tổng X1 + X2. Ô xanh dương: tổng bằng 7 (A); ô cam: X1 chẵn (B); ô xanh lá: cả hai (A ∩ B).
Đây chính là lí do ta dựng bản đồ: các câu hỏi như "A và B có chung kết quả nào không?" hay "A có nằm trong B không?" đều trả lời bằng cách nhìn vùng tô, không cần công thức.
Chốt ý mục 1: biến cố là vùng tô trên bản đồ Ω; hợp, giao, đối là ba phép toán trên vùng tô A ∪ B: "A hoặc B"; A ∩ B: "A và B"; Ā: "không A"; xung khắc: A ∩ B = ∅. Chọn không gian mẫu là một quyết định, và nó quyết định các ô có bằng nhau hay không (mục 2).
Tung một xúc xắc cân đối (hư cấu). A: "ra số chẵn", B: "ra số lớn hơn 3". Hãy viết A ∪ B, A ∩ B, Ā dưới dạng tập hợp, và nói A, B có xung khắc không.
Liệt kê Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} rồi tô từng vùng.
Giải thích. A = {2; 4; 6}, B = {4; 5; 6}. Hợp: A ∪ B = {2; 4; 5; 6}. Giao: A ∩ B = {4; 6}. Biến cố đối: Ā = {1; 3; 5} ("ra số lẻ"). Hai vùng có chung hai kết quả 4 và 6 nên A, B không xung khắc: có thể cùng xảy ra, chẳng hạn khi ra mặt 4.
MỤC 2 · XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN
Đếm ô: khi nào diện tích bằng "thuận lợi chia tổng"
Diện tích của một vùng tô dễ đo nhất khi tấm bản đồ đã được chia thành các ô bằng nhau: khi đó chỉ việc đếm ô. Công thức xác suất cổ điển chính là phép đếm ấy. Nhưng điều kiện "các ô bằng nhau" thường bị quên, và chính nó là chỗ nhiều lập luận sai.
2.1 Công thức và lí do của nó
Giả sử Ω có n(Ω) kết quả và các kết quả đồng khả năng (mỗi kết quả có cùng khả năng xảy ra). Khi đó mỗi kết quả là một ô chiếm 1/n(Ω) diện tích bản đồ. Một biến cố A gồm n(A) ô nên có diện tích n(A)/n(Ω):
P(A) = n(A) / n(Ω) chỉ dùng khi n(Ω) hữu hạn và các kết quả của Ω đồng khả năng; n(A) là số kết quả thuận lợi cho A
Ví dụ (hư cấu): tung một xúc xắc cân đối, P("ra số chẵn") = 3/6 = 1/2. Với hai xúc xắc cân đối, P("tổng bằng 7") = 6/36 = 1/6 (hình 3). Từ công thức rút ra ngay: 0 ≤ P(A) ≤ 1, vì 0 ≤ n(A) ≤ n(Ω); P(Ω) = 1 và P(∅) = 0.
2.2 Đồng khả năng là một giả thiết, không phải điều hiển nhiên hư cấu
Hai đồng xu cân đối được tung cùng lúc. Nếu lấy Ω' = {0 ngửa, 1 ngửa, 2 ngửa} thì có ba kết quả, và dễ nghĩ P("1 ngửa") = 1/3. Nhưng ba kết quả này không đồng khả năng. Hãy chia bản đồ theo các cặp có thứ tự: Ω = {SS, SN, NS, NN} gồm bốn ô bằng nhau. "1 ngửa" là hai ô (SN và NS), nên P("1 ngửa") = 2/4 = 1/2; "0 ngửa" và "2 ngửa" mỗi cái chỉ một ô, P = 1/4.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Trên: cùng một bản đồ chia theo hai cách; ba giá trị "số mặt ngửa" chiếm 1/4, 1/2, 1/4 chứ không đều nhau. Dưới: tổng hai xúc xắc cân đối có 11 giá trị 2, 3, …, 12 nhưng số ô ở mỗi cột là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
Cùng một lỗi xuất hiện ở tổng hai xúc xắc: có 11 giá trị 2, 3, …, 12 nhưng P("tổng bằng 7") = 6/36 = 1/6, chứ không phải 1/11, vì giá trị 7 chiếm 6 ô còn giá trị 2 chỉ chiếm 1 ô. Quy tắc an toàn: để dùng n(A)/n(Ω), hãy chọn Ω thật "mịn" (thường là các cặp, các bộ có thứ tự, có phân biệt từng vật) sao cho mọi ô đều bằng nhau; các con số gom nhóm như "tổng" hay "số mặt ngửa" chỉ là các biến cố trên Ω mịn ấy.
Khi các ô không bằng nhau (chẳng hạn một xúc xắc nặng một bên, hư cấu) công thức đếm ô không còn đúng; ta vẫn dùng ý tưởng diện tích: P(A) là tổng "diện tích" của các ô thuộc A, và diện tích mỗi ô phải được cho hoặc đo (mục 5 sẽ đo bằng thực nghiệm). Xác suất cổ điển chỉ là trường hợp đặc biệt khi mọi ô cùng diện tích.
2.3 Xác suất bằng 0 và bằng 1: nói đúng phạm vi
Trong mô hình của bài này (hữu hạn kết quả đồng khả năng), P(A) = 0 khi và chỉ khi n(A) = 0, tức A = ∅: biến cố "không thể". Tương tự P(A) = 1 khi và chỉ khi A = Ω: biến cố "chắc chắn". Hai câu ấy đúng trong mô hình này ; ngoài mô hình hữu hạn (khung dưới) thì chúng cần được phát biểu lại.
Mở rộng MỞ RỘNG · xác suất hình học. Nếu ta chọn một điểm "ngẫu nhiên đều" trong một hình vuông cạnh 2r (hư cấu), thì xác suất điểm rơi vào hình tròn nội tiếp bằng tỉ số diện tích πr² : (2r)² = π/4 ≈ 0,7854. Ở mô hình liên tục này, mỗi điểm riêng lẻ có diện tích 0 nên xác suất "rơi đúng vào điểm ấy" bằng 0, thế mà một điểm nào đó chắc chắn được chọn. Vậy ở đây "xác suất bằng 0" không có nghĩa là "không thể" (hiểu nhầm 5).
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. MỞ RỘNG: xác suất hình học. Vùng tô là hình tròn nội tiếp trong hình vuông Ω; xác suất bằng tỉ số diện tích, π/4 ≈ 0,7854. Một điểm có diện tích 0.
Chốt ý mục 2: P(A) = n(A)/n(Ω) chỉ đúng khi các ô của Ω bằng nhau Muốn dùng công thức: chọn Ω mịn (cặp, bộ có thứ tự), đếm n(A) và n(Ω) trên cùng Ω. "Ít kết quả" không có nghĩa là "đồng khả năng"; "có hai khả năng" không có nghĩa là mỗi khả năng 1/2.
Một túi (hư cấu) đựng 3 thẻ đỏ và 2 thẻ xanh, các thẻ giống hệt nhau về hình dạng và đã trộn đều; rút ngẫu nhiên một thẻ. Bạn An nói "chỉ có hai màu nên xác suất rút được thẻ đỏ là 1/2". Sai ở đâu?
Hãy xem mỗi thẻ là một ô của bản đồ.
Giải thích. Hai màu không phải hai ô bằng nhau. Các ô đồng khả năng là năm tấm thẻ (mỗi thẻ có cùng khả năng bị rút), trong đó 3 thẻ thuận lợi, nên P("đỏ") = 3/5 = 0,6. An đã coi "đỏ" và "xanh" là hai kết quả đồng khả năng, trong khi "đỏ" chiếm 3 ô còn "xanh" chiếm 2 ô.