TOÁN 11 · THỐNG KÊ MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM — Khi chỉ còn thấy các ô: số trung bình, mốt, trung vị, tứ phân vị được ước lượng thế nào và sai ở đâu
Bài khái niệm Toán 11 về mẫu số liệu ghép nhóm, dựng quanh một hình ảnh: bảng ghép nhóm là bức ảnh bị làm mờ thành các ô, mỗi số đặc trưng là một cách đoán…
TOÁN 11 · THỐNG KÊ · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Khi chỉ còn thấy các ô: đoán lại tâm của dữ liệu
Mẫu số liệu ghép nhóm: số trung bình, mốt, trung vị, tứ phân vị được ước lượng thế nào, dựa trên giả thiết gì và sai ở đâu
Hãy tưởng tượng một bức ảnh bị làm mờ thành các ô vuông lớn. Em không còn thấy từng điểm ảnh, chỉ biết mỗi ô sáng hay tối bao nhiêu. Mẫu số liệu ghép nhóm cũng vậy: từng giá trị đã biến mất, chỉ còn lại số giá trị trong mỗi nhóm. Mọi công thức của bài, từ số trung bình đến tứ phân vị, đều là một cách đoán lại vị trí trong ô . Hiểu mỗi cách đoán dựa trên giả thiết nào, em sẽ biết khi nào con số đáng tin, khi nào nó lệch, và nên chọn con số nào để kể đúng câu chuyện của dữ liệu. Có sơ đồ, câu "em thử xem" và ba phòng thí nghiệm. Mọi tình huống và con số tự đặt đều là hư cấu.
12 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 3 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Một bức ảnh mờ, bốn cách đoán lại
Cả bài dùng chung một bộ số liệu hư cấu: thời gian đi từ nhà đến trường (phút) của 40 học sinh. Ta biết đủ 40 giá trị gốc, nên có thể làm điều mà người đọc một bảng ghép nhóm không làm được: đặt ảnh mờ cạnh ảnh rõ và đo xem mỗi cách đoán lệch bao nhiêu.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ bài: 40 giá trị gốc (ảnh rõ) bị gom vào 6 ô rộng 10 phút (ảnh mờ); từ các ô, ta ước lượng tâm và các mốc vị trí của dữ liệu. Số liệu hư cấu.
Câu hỏi · Cách đoán lại vị trí trong ô · Ở mục
Ghép nhóm làm mất gì, giữ lại gì? Đọc bảng tần số, tần số tương đối, tần số tích lũy thế nào? · Chưa đoán: chỉ đếm số giá trị trong mỗi ô · 1
Trung bình của dữ liệu khoảng bao nhiêu, và sai tối đa bao nhiêu? · Dồn mọi giá trị trong ô về giữa ô · 2
Dữ liệu dày nhất ở đâu? · Tìm ô đông nhất, rồi lệch về phía ô kề đông hơn · 3
Mức nào chia đôi dữ liệu? · Đếm dồn tới vị trí n/2, rải đều các giá trị trong ô rồi đọc · 4
Các mốc 25%, 50%, 75% ở đâu? Dữ liệu lệch về phía nào? · Như trung vị, tại các vị trí n/4, n/2, 3n/4 · 5
Nên báo cáo con số nào? Con số nào bị ngoại lệ hoặc cách chia nhóm "đánh lừa"? · So sánh độ bền của từng cách đoán · 6
Vuốt ngang để xem hết bảng
Công cụ A · Giá trị đại diện
Nhóm [a; b) được đại diện bởi điểm giữa c = (a + b) : 2. Dùng cho số trung bình.
Công cụ B · Tần số tích lũy
cf i = m 1 + m 2 + … + m i : số giá trị nhỏ hơn đầu mút phải của nhóm thứ i. Dùng để tìm nhóm chứa trung vị, nhóm chứa tứ phân vị.
Công cụ C · Nội suy tuyến tính
Giả thiết các giá trị trong một nhóm rải đều; vị trí thứ t trong nhóm ứng với giá trị a + (t − cf trước) : m · h.
Giả định của bài (dùng suốt bài). (a) Nhóm có dạng nửa khoảng [a; b): giá trị đúng bằng b thuộc nhóm sau. (b) Các nhóm cùng độ rộng h (như phần lớn ví dụ trong sách giáo khoa), trừ một khung MỞ RỘNG ở mục 1. (c) Khi nội suy, các giá trị trong một nhóm được coi là rải đều. (d) Số thập phân hữu hạn có không quá 4 chữ số sau dấu phẩy được ghi đủ (25,625); số dài hơn hoặc vô hạn được làm tròn đến hàng phần trăm theo quy tắc nửa lên, và trong phép tính có dấu "≈" báo đã làm tròn (35,714… ≈ 35,71). Một số ô kết quả trong các phòng thí nghiệm luôn làm tròn đến hàng phần trăm (10,125 hiện là ≈ 10,13). (e) Nội dung bám chương trình Toán 11 (Chương trình giáo dục phổ thông 2018). Các số đo độ phân tán của mẫu ghép nhóm (phương sai, độ lệch chuẩn) thuộc một bài khác đã có trong thư viện; bài này chỉ nhắc khoảng tứ phân vị ở mức gọi tên.
Về chữ "hư cấu". Mọi bộ số liệu, tình huống và nhân vật trong bài đều do bài tự đặt, được kiểm bằng máy tính, và mang nhãn hư cấu . Chúng chỉ dùng để hiểu khái niệm, không phải số liệu điều tra thật. Phần vượt chương trình bắt buộc mang nhãn MỞ RỘNG .
MỤC 1 · GHÉP NHÓM
Làm mờ có quy tắc: mất vị trí, giữ số lượng
Bốn mươi con số viết liền nhau khó đọc. Gom chúng vào vài nhóm, em thấy ngay dữ liệu dồn về đâu, trải rộng tới đâu. Cái giá phải trả: trong mỗi nhóm, em không còn biết các giá trị nằm ở đâu. Mọi khó khăn của các mục sau đều bắt nguồn từ đúng một mất mát này.
1.1 Vì sao người ta ghép nhóm?
Dữ liệu đo liên tục. Thời gian, chiều cao, cân nặng, nhiệt độ có thể nhận vô số giá trị khác nhau; bảng tần số từng giá trị sẽ dài mà hầu hết tần số bằng 1. Dữ liệu rất nhiều. Một cuộc khảo sát hàng nghìn người cần một bản tóm tắt đọc được trong vài giây. Dữ liệu chỉ được công bố theo nhóm. Nhiều báo cáo chỉ cho biết "bao nhiêu người trong khoảng này", không công bố từng giá trị. Trong cả ba trường hợp, thứ ta cầm trong tay chỉ là bảng ghép nhóm.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Làm mờ có quy tắc: trên là biểu đồ chấm của 40 giá trị gốc (hư cấu), dưới là biểu đồ tần số dạng cột của 6 nhóm rộng 10 phút. Ba chấm cam nằm đúng trên biên 10, 20, 30 được xếp vào nhóm bên phải.
Mất gì, còn gì? Nhóm [10; 20) có 12 học sinh. Bảng không cho biết 12 em ấy đi mất 10 phút hay 19 phút. Đó là lí do mọi số đặc trưng tính từ bảng ghép nhóm chỉ là ước lượng , và mỗi công thức phải "đoán" các giá trị nằm đâu trong nhóm.
1.2 Ngôn ngữ của một bảng ghép nhóm
Ta chia khoảng chứa dữ liệu thành k nhóm [a 1 ; a 2 ), [a 2 ; a 3 ), …, [a k ; a k+1 ). Với nhóm thứ i:
- Độ rộng (độ dài) h = a i+1 − a i ; trong bài các nhóm cùng độ rộng.
- Giá trị đại diện c i = (a i + a i+1 ) : 2, điểm giữa của nhóm.
- Tần số m i : số giá trị thuộc nhóm; tổng các tần số là cỡ mẫu n.
- Tần số tương đối f i = m i : n, thường ghi dạng phần trăm; tổng các tần số tương đối bằng 100%.
- Tần số tích lũy cf i = m 1 + … + m i : số giá trị nhỏ hơn a i+1 . Tần số tích lũy của nhóm cuối bằng n.
Thời gian (phút) · [0; 10) · [10; 20) · [20; 30) · [30; 40) · [40; 50) · [50; 60)
Giá trị đại diện c i · 5 · 15 · 25 · 35 · 45 · 55
Tần số m i · 4 · 12 · 10 · 7 · 4 · 3
Tần số tương đối · 10% · 30% · 25% · 17,5% · 10% · 7,5%
Tần số tích lũy cf i · 4 · 16 · 26 · 33 · 37 · 40
Vuốt ngang để xem hết bảng
Bảng của bộ số liệu chung (40 học sinh, hư cấu). Đọc dòng cuối: "16 học sinh đi mất dưới 20 phút", "26 học sinh đi mất dưới 30 phút".
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Giải phẫu bảng ghép nhóm: độ rộng, tần số, giá trị đại diện của nhóm [10; 20) (trái) và tần số tích lũy cộng dồn tới n = 40 (phải); đường n/2 = 20 sẽ dùng ở mục 4.
Vì sao nửa khoảng [a; b)? Nếu viết các nhóm là đoạn [0; 10], [10; 20], giá trị 10 thuộc cả hai nhóm và bị đếm hai lần. Quy ước nửa khoảng bảo đảm mỗi giá trị thuộc đúng một nhóm . Khi số liệu là số nguyên và nhóm được ghi kiểu "10–19", người ta thường hiệu chỉnh thành [9,5; 19,5) để các nhóm nối liền nhau; mục 2 sẽ cho thấy vì sao việc hiệu chỉnh này không chỉ là hình thức.
Biểu đồ tần số dạng cột (histogram) vẽ các cột sát nhau, không có khe hở, vì các nhóm nối liền nhau trên trục số. Đáy mỗi cột là một nhóm, chiều cao là tần số (hoặc tần số tương đối).
MỞ RỘNG Khi các nhóm rộng hẹp khác nhau. Nếu một nhóm rộng gấp đôi các nhóm khác, nó "hứng" được nhiều giá trị hơn chỉ vì rộng. Khi đó, để biểu đồ không đánh lừa mắt, chiều cao cột nên là mật độ = tần số : độ rộng, để diện tích cột tỉ lệ với tần số. So sánh tần số giữa hai nhóm rộng hẹp khác nhau để tìm "chỗ dày nhất" cũng dễ sai vì lí do ấy. Bài này chỉ xét các nhóm cùng độ rộng.
Chọn bao nhiêu nhóm? Ít nhóm quá, ảnh mờ đến mức mọi chi tiết biến mất; nhiều nhóm quá, mỗi nhóm chỉ còn vài giá trị và biểu đồ lởm chởm vì ngẫu nhiên. Không có số nhóm đúng duy nhất; người ta chọn sao cho mỗi nhóm còn đủ nhiều giá trị mà hình dạng chung vẫn hiện rõ. Phòng B ở mục 6 cho em tự đổi độ rộng và quan sát hậu quả.
Chốt ý mục 1: ghép nhóm giữ số lượng trong từng nhóm, làm mất vị trí bên trong nhóm Nhóm [a; b), độ rộng h, giá trị đại diện (a + b) : 2, tần số m, tần số tương đối m : n, tần số tích lũy cộng dồn tới n. Mọi số đặc trưng tính từ bảng ghép nhóm là ước lượng.
trong bảng trên, một học sinh đi mất đúng 30 phút được đếm vào nhóm nào? Có thể đếm vào cả hai nhóm [20; 30) và [30; 40) không?
Nhớ lại quy ước về hai đầu mút của mỗi nhóm.
Giải thích. Nhóm [20; 30) chứa các giá trị x thỏa 20 ≤ x < 30, nên không chứa 30. Giá trị 30 thuộc [30; 40). Mỗi giá trị chỉ thuộc một nhóm; nếu đếm hai lần, tổng tần số sẽ lớn hơn n và mọi số đặc trưng phía sau đều sai.
MỤC 2 · SỐ TRUNG BÌNH
Dồn mỗi ô về giữa ô: ước lượng có bảo hành
Để tính trung bình, ta cần tổng các giá trị. Nhưng trong mỗi nhóm ta chỉ biết có bao nhiêu giá trị, không biết chúng bằng bao nhiêu. Cách đoán đơn giản nhất: coi mọi giá trị trong nhóm đều nằm ở chính giữa nhóm.
2.1 Công thức và ý nghĩa
x = (m 1 c 1 + m 2 c 2 + … + m k c k ) : n
Mỗi giá trị đại diện c i được nhân với tần số m i : nhóm đông "nặng" hơn nhóm thưa. Với bộ số liệu chung: (4·5 + 12·15 + 10·25 + 7·35 + 4·45 + 3·55) : 40 = 1040 : 40 = 26 phút . Trung bình thật của 40 giá trị gốc là 1025 : 40 = 25,625 phút . Ước lượng lệch 0,375 phút .
Vì sao chọn điểm giữa? Nếu không biết gì về vị trí các giá trị trong nhóm, điểm giữa là lựa chọn "an toàn" nhất: dù giá trị thật nằm đâu trong [a; a + h), nó cách điểm giữa không quá h/2. Chọn đầu mút trái hay phải thì sai lệch xấu nhất lên tới gần h. Thêm nữa, nếu các giá trị trải tương đối đều hai bên điểm giữa, phần dư bên này bù phần thiếu bên kia.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Trong mỗi nhóm, các giá trị gốc (chấm) được thay bằng giá trị đại diện (vạch đỏ). Cột "chênh" cho biết nhóm nào bị đoán dư, nhóm nào đoán thiếu; cộng lại dư 15 phút cho cả 40 học sinh (hư cấu).
Hình 4 cho thấy sai số không đến từ một chỗ: nhóm [0; 10) bị đoán thiếu 6 phút vì các giá trị dồn về nửa phải nhóm; nhóm [20; 30) bị đoán dư 11 phút vì các giá trị lệch về nửa trái. Các phần dư thiếu bù trừ một phần, còn dư 15 phút, chia cho 40 học sinh thành 0,375 phút.
2.2 Số trung bình là điểm cân bằng
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Đặt mỗi nhóm thành một quả nặng bằng tần số tại giá trị đại diện; thanh cân bằng tại điểm tựa 26 phút, đúng bằng số trung bình ghép nhóm (hư cấu).
Nếu đặt lên một thanh nhẹ các quả nặng m i tại vị trí c i , thanh cân bằng đúng tại x , vì tổng m i (c i − x ) bằng 0. Hình ảnh này giải thích một tính chất quan trọng ở mục 6: một quả nặng nhỏ đặt rất xa cũng kéo được điểm cân bằng đi đáng kể , vì "đòn bẩy" của nó dài. Đó là lí do số trung bình nhạy với giá trị ngoại lệ.
MỞ RỘNG Bảo hành sai số: | x ghép − x thật | ≤ h/2. Mỗi giá trị x trong nhóm [a; a + h) thỏa a ≤ x < a + h, nên cách giá trị đại diện c = a + h/2 không quá h/2. Tổng n độ lệch như vậy không vượt quá n · h/2; chia cho n, hai số trung bình chênh nhau không quá h/2. Với bộ số liệu chung, bảo hành là 5 phút; sai số thật chỉ 0,375 phút vì các độ lệch bù trừ. Dấu bằng xảy ra trong trường hợp "xấu nhất": mọi giá trị đều nằm ngay đầu mút trái của nhóm chứa nó.
MỞ RỘNG Số liệu nguyên làm lệch có hệ thống. Ở Phòng B (mục 6), cả 35 cách chia nhóm đều cho trung bình ghép nhóm lớn hơn trung bình thật, sai số từ 0,175 đến 1 phút. Không phải tình cờ: khi a và h là số nguyên, nhóm [a; a + h) chỉ chứa các số nguyên a, a + 1, …, a + h − 1, mà "tâm" của chúng là a + (h − 1)/2, thấp hơn giá trị đại diện đúng 0,5. Hiệu chỉnh nhóm thành [a − 0,5; a + h − 0,5) như ở mục 1 chính là để xóa độ lệch 0,5 này.
Chốt ý mục 2: x = (Σ m i c i ) : n là ước lượng; sai lệch so với trung bình thật không quá h/2 Giá trị đại diện là điểm giữa nhóm, nhân với tần số làm trọng số. Số trung bình là điểm cân bằng, nên bị giá trị ở xa kéo mạnh. Nhóm càng hẹp, giới hạn sai số càng nhỏ, nhưng sai số không tự bằng 0.
giả sử trong mọi nhóm, các giá trị gốc đều nằm sát đầu mút trái. Số trung bình ghép nhóm lớn hơn hay nhỏ hơn số trung bình thật, và lệch khoảng bao nhiêu?
So từng giá trị gốc với giá trị đại diện của nhóm chứa nó.
Giải thích. Mỗi giá trị nằm ở a, còn giá trị đại diện là a + h/2: ước lượng dư h/2 cho từng giá trị, nên số trung bình ghép nhóm lớn hơn số trung bình thật gần đúng h/2. Đây là trường hợp xấu nhất của "bảo hành" h/2. Nếu các giá trị dồn về đầu mút phải, ta được điều ngược lại: ước lượng nhỏ hơn, lệch gần h/2.
MỤC 3 · MỐT
Chỗ dày nhất: tìm ô đông nhất, rồi nghiêng về phía hàng xóm đông hơn
Với số liệu chưa ghép nhóm, mốt là giá trị xuất hiện nhiều lần nhất. Trong 40 giá trị gốc, ba giá trị 15, 18 và 22 cùng xuất hiện 2 lần, các giá trị khác 1 lần: mốt "từng giá trị" gần như vô nghĩa với dữ liệu đo liên tục. Ghép nhóm cho một câu hỏi tốt hơn: dữ liệu dày đặc nhất ở vùng nào?