TOÁN 11 · ĐẠO HÀM — Tốc độ thay đổi tức thời và tiếp tuyến: từ cát tuyến đến đồng hồ tốc độ
Bài khái niệm Toán 11 về đạo hàm, dựng quanh một câu hỏi: làm sao đo “nhanh bao nhiêu ngay lúc này” khi mọi phép đo đều cần một khoảng? Từ tốc độ trung bình…
TOÁN 11 · ĐẠO HÀM · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Đồng hồ tốc độ của mọi hàm số
Đạo hàm là gì: tốc độ thay đổi tức thời, cát tuyến quay thành tiếp tuyến, và vì sao một con số "ngay lúc này" lại đọc được cả đồ thị
Chia quãng đường cho thời gian của cả chuyến đi, em được một con số. Nhìn đồng hồ tốc độ, em được một con số khác, và nó thay đổi từng giây. Bài này trả lời một câu hỏi tưởng như nghịch lí: làm sao đo "nhanh bao nhiêu ngay lúc này" khi mọi phép đo đều cần một khoảng thời gian? Câu trả lời là co khoảng ấy lại mãi, và xem tỉ số dồn về đâu. Con số ấy là đạo hàm; nhìn trên đồ thị, nó là độ dốc của tiếp tuyến. Từ đó em sẽ hiểu vận tốc và gia tốc, phương trình tiếp tuyến, phép xấp xỉ tuyến tính, vì sao hàm liên tục chưa chắc có đạo hàm, vì sao quy tắc tích không phải "tích các đạo hàm", và cách đọc chiều đi lên, đi xuống của đồ thị từ dấu của đạo hàm. Mọi tình huống và con số tự đặt đều là hư cấu.
12 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 3 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Một câu hỏi, ba khuôn mặt, ba hệ quả
Mọi phép đo "nhanh hay chậm" đều là một tỉ số: thay đổi bao nhiêu, chia cho trong bao lâu. Tỉ số trên một khoảng chỉ cho em mức trung bình của cả khoảng. Đạo hàm ra đời từ một ý rất đơn giản: thu khoảng ấy nhỏ dần về một điểm và hỏi tỉ số tiến tới số nào. Con số đó có ba khuôn mặt (số, hình, xấp xỉ), và ba khuôn mặt ấy sinh ra mọi điều còn lại của bài.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ bài: từ tỉ số trên một khoảng, co khoảng lại (giới hạn) để được đạo hàm f'(a); ba khuôn mặt của f'(a) và ba hệ quả ở các mục 4, 5, 6.
Bài Giới hạn – liên tục đã có trong thư viện; ở đây giới hạn chỉ được dùng như một công cụ: "tỉ số tiến gần một số cố định khi h tiến gần 0, với h khác 0".
Câu hỏi · Ý then chốt · Ở mục
Vì sao quãng đường chia thời gian không phải số đồng hồ tốc độ chỉ? · Trung bình trên khoảng khác tức thời; co khoảng lại thì tỉ số dồn về một số · 1
Đạo hàm được định nghĩa chính xác thế nào? Đạo hàm một phía là gì? · f'(a) là giới hạn của tỉ số gia tăng khi h → 0, từ cả hai phía · 2
Đạo hàm dùng để làm gì: vận tốc, gia tốc, tiếp tuyến, ước lượng nhanh? · Ba khuôn mặt: tốc độ tức thời, hệ số góc, xấp xỉ tuyến tính · 3
Hàm liên tục thì có đạo hàm không? · Có đạo hàm ⇒ liên tục; ngược lại sai (góc nhọn, tiếp tuyến thẳng đứng) · 4
Vì sao (uv)' = u'v + uv' mà không phải u'v'? Vì sao quy tắc hợp là phép nhân? · Diện tích hình chữ nhật; hai khâu phóng đại nối tiếp · 5
Nhìn dấu của f' có biết đồ thị đi lên hay đi xuống? f'(a) = 0 có chắc là cực trị? · Dấu f' cho chiều đồ thị; f' đổi dấu khi qua a thì có cực trị, f'(a) = 0 thôi chưa đủ · 6
Vuốt ngang để xem hết bảng
Công cụ A · Tỉ số gia tăng
Δy/Δx = (f(a + h) − f(a))/h: tốc độ thay đổi trung bình trên đoạn từ a đến a + h, cũng là hệ số góc của cát tuyến.
Công cụ B · Cho h → 0
Không bao giờ thay h = 0 (tỉ số thành 0/0). Rút gọn khi h ≠ 0, rồi xem biểu thức dồn về đâu khi h nhỏ dần từ hai phía.
Công cụ C · Tiếp tuyến
Tại điểm (a; f(a)), tiếp tuyến có hệ số góc f'(a): y = f'(a)(x − a) + f(a). Gần a, đồ thị gần như trùng tiếp tuyến.
Giả định của bài (dùng suốt bài). (a) Nội dung bám chương trình Toán 11 hiện hành (chương trình giáo dục phổ thông mới): định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm, các quy tắc tính, đạo hàm cấp hai. Mối liên hệ giữa dấu đạo hàm với chiều biến thiên và cực trị được học kĩ ở lớp 12; mục 6 chỉ nêu mối liên hệ. (b) Hàm số luôn xét trên một khoảng chứa điểm a. (c) Trong các tình huống chuyển động: đơn vị SI, g = 9,8 m/s 2 , bỏ qua sức cản không khí, chuyển động thẳng với chiều dương nêu rõ. (d) Số thập phân dùng dấu phẩy; số hiển thị được làm tròn nửa lên (2,0025 → 2,003).
Về chữ "hư cấu". Mọi chiếc xe, quả bóng, chi phí, nhiệt độ và các hàm số mô tả chúng trong bài đều do bài tự đặt, được kiểm bằng máy tính, và mang nhãn hư cấu . Các kết quả toán học (giới hạn, đạo hàm, giá trị của √x) là chính xác; số thập phân được làm tròn và ghi rõ. Phần ngoài chương trình bắt buộc mang nhãn MỞ RỘNG .
MỤC 1 · TỪ TRUNG BÌNH ĐẾN TỨC THỜI
Quãng đường chia thời gian không phải là số đồng hồ tốc độ chỉ
Một con số trung bình gói cả một khoảng thời gian vào làm một: nó không cho biết lúc nào nhanh, lúc nào chậm. Muốn biết "ngay lúc này", ta không bỏ phép chia, mà thu khoảng thời gian lại thật ngắn quanh thời điểm cần xét, rồi xem các tỉ số ấy tiến về đâu.
1.1 Hai con số khác nhau hư cấu
Một ô tô xuất phát từ trạng thái đứng yên trên đường thẳng; quãng đường đi được sau t giây là s(t) = 2t 2 (mét), với 0 ≤ t ≤ 5. Sau 3 giây, xe đi được s(3) = 18 m.
- Tốc độ trung bình trong 3 giây đầu: 18 : 3 = 6 m/s. Đó là "quãng đường chia thời gian cả chuyến".
- Đồng hồ tốc độ lúc t = 3 s lại chỉ 12 m/s, tức 43,2 km/h, gấp đôi con số trên. Lí do: xe tăng tốc liên tục, lúc đầu chậm, về sau nhanh; con số trung bình đã "san phẳng" sự thay đổi ấy.
Con số 12 m/s đến từ đâu? Ta chưa có công thức nào cho "tốc độ tại một khoảnh khắc". Thứ duy nhất đo được là tốc độ trung bình trên một khoảng [3; 3 + h]:
m(h) = (s(3 + h) − s(3))/h = (2(3 + h) 2 − 18)/h = (12h + 2h 2 )/h = 12 + 2h (h ≠ 0) phép rút gọn chỉ hợp lệ khi h ≠ 0; với h = 0, tỉ số ban đầu có dạng 0/0 và không tính được
1.2 Co khoảng lại từ cả hai phía
Cho h nhỏ dần. h > 0 nghĩa là khoảng [3; 3 + h] nằm sau thời điểm 3; h < 0 nghĩa là khoảng [3 + h; 3] nằm trước (tỉ số vẫn viết như cũ).
h · Tốc độ trung bình, h > 0 (m/s) · h · Tốc độ trung bình, h < 0 (m/s)
1 · 14 · −1 · 10
0,5 · 13 · −0,5 · 11
0,1 · 12,2 · −0,1 · 11,8
0,01 · 12,02 · −0,01 · 11,98
0,001 · 12,002 · −0,001 · 11,998
Vuốt ngang để xem hết bảng
Hai cột kẹp dần lấy số 12: bên phải luôn hơn 12 một lượng 2h, bên trái kém 12 một lượng 2|h|. Không có bảng số nào chứa đúng "h = 0", nhưng xu hướng thì rõ ràng: m(h) dồn về 12 khi h tiến về 0 . Ta nói vận tốc tức thời tại t = 3 là 12 m/s. Đồng hồ tốc độ của bài này chính là "máy đọc giới hạn" ấy.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Tốc độ trung bình m(h) = 12 + 2h vẽ theo h: đường thẳng bị thủng một lỗ tại h = 0 (m(0) không xác định), nhưng các giá trị hai phía cùng dồn về 12.
Vì sao không đơn giản là thay h = 0? Vì phép chia cho 0 không có nghĩa. Giới hạn không hỏi "tại h = 0 bằng bao nhiêu", mà hỏi "khi h đủ gần 0 (nhưng khác 0), tỉ số gần số nào". Lỗ thủng ở hình 2 nhắc em điều đó.
1.3 Nhìn bằng hình: cát tuyến quay thành tiếp tuyến
Trên đồ thị của s(t), lấy A(3; 18) và B(3 + h; s(3 + h)). Tốc độ trung bình (s(3 + h) − s(3))/h chính là độ dốc (hệ số góc) của đường thẳng AB, gọi là cát tuyến . Cho h → 0, điểm B trượt dọc đồ thị về A và cát tuyến quay quanh A. Vị trí giới hạn của nó là tiếp tuyến tại A, có hệ số góc 12.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Đồ thị s(t) = 2t 2 (hư cấu) và ba cát tuyến AB với h = 2; 1; 0,5 (hệ số góc 16; 14; 13). Tiếp tuyến tại A(3; 18), nét đứt, có hệ số góc 12.
Hai câu hỏi tưởng khác nhau hóa ra là một: "nhanh bao nhiêu ngay lúc này?" (vật lí) và "tiếp tuyến dốc bao nhiêu?" (hình học) có chung câu trả lời, vì cả hai đều là giới hạn của cùng một tỉ số. Đây là lí do đạo hàm vừa là công cụ của vật lí, vừa là công cụ của hình học.
Tiếp tuyến không phải "đường chạm đồ thị một điểm". Ở bậc này, tiếp tuyến tại A được định nghĩa là vị trí giới hạn của cát tuyến AB khi B tiến về A. Định nghĩa "chỉ có một điểm chung" là của tiếp tuyến đường tròn, không dùng được cho đồ thị bất kì (mục 3 và hiểu nhầm 2).
Chốt ý mục 1: tức thời = giới hạn của trung bình khi khoảng co về 0 Tốc độ trung bình trên [3; 3 + h] là hệ số góc cát tuyến; khi h → 0 từ hai phía, nó dồn về vận tốc tức thời, cũng là hệ số góc tiếp tuyến. Không thay h = 0: phải dùng giới hạn.
Một xe khách (hư cấu) đi 120 km trong 2 giờ. Có phải lúc nào đồng hồ tốc độ cũng chỉ 60 km/h?
Phân biệt con số của cả chuyến với con số của từng khoảnh khắc.
Giải thích. Không. 60 km/h là tốc độ trung bình của cả 2 giờ; xe có thể dừng đèn đỏ (đồng hồ chỉ 0) rồi chạy 80 km/h trên đoạn đường vắng, miễn tổng quãng đường là 120 km. Chỉ khi xe đi đều thì hai con số mới trùng nhau. MỞ RỘNG Nếu vận tốc thay đổi liên tục, chắc chắn có ít nhất một khoảnh khắc đồng hồ chỉ đúng 60 km/h: đó là nội dung của định lí giá trị trung bình (Lagrange).
MỤC 2 · ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
Một giới hạn, đọc từ hai phía
Mục 1 làm với một chiếc xe cụ thể. Bây giờ ta bỏ chiếc xe đi, giữ lại đúng cái khung: một hàm số f, một điểm a, một tỉ số gia tăng và một giới hạn. Định nghĩa dưới đây dùng được cho mọi đại lượng thay đổi theo một đại lượng khác.
2.1 Đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng chứa a. Khi x đổi từ a sang a + h (h ≠ 0), ta có số gia của đối số Δx = h và số gia của hàm số Δy = f(a + h) − f(a).
f'(a) = lim h→0 (f(a + h) − f(a))/h nếu giới hạn này tồn tại và là một số hữu hạn, ta nói f có đạo hàm (khả vi) tại a; viết theo x = a + h: f'(a) = lim x→a (f(x) − f(a))/(x − a)
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Giải phẫu tỉ số gia tăng (hàm hư cấu f(x) = 1 + x 2 /4, a = 1, h = 2): Δx = h là cạnh ngang, Δy là cạnh đứng, Δy/h là độ dốc cát tuyến AB. Khi h → 0, B trượt về A và độ dốc ấy tiến về f'(a), độ dốc tiếp tuyến.
Định nghĩa có ba chữ quan trọng. "h ≠ 0" : tỉ số chỉ được xét khi h khác 0. "tồn tại" : không phải hàm nào, điểm nào cũng có đạo hàm (mục 4). "hữu hạn" : nếu tỉ số lớn vô hạn thì cũng không có đạo hàm.
Ví dụ khung. Với f(x) = x 2 và một điểm a bất kì: Δy/h = ((a + h) 2 − a 2 )/h = (2ah + h 2 )/h = 2a + h (h ≠ 0), dồn về 2a khi h → 0. Vậy f'(a) = 2a: tại a = 3, độ dốc là 6; tại a = −1, độ dốc là −2. Vì a chạy tùy ý, ta được một hàm số mới : mỗi x ứng với f'(x) = 2x, gọi là đạo hàm của f . Đạo hàm là một "bảng độ dốc": mỗi x cho biết tại đó đồ thị dốc bao nhiêu.
Đơn vị của đạo hàm luôn là "đơn vị của y chia đơn vị của x": quãng đường theo thời gian cho m/s; nhiệt độ theo giờ cho °C/giờ; chi phí theo số sản phẩm cho nghìn đồng/sản phẩm. Kiểm đơn vị là một cách nhanh để biết mình đang hiểu đúng đại lượng.
2.2 Đạo hàm một phía
Cho h → 0 chỉ với h > 0 ta được đạo hàm bên phải f'(a + ); chỉ với h < 0 ta được đạo hàm bên trái f'(a − ). Giới hạn hai phía tồn tại khi và chỉ khi hai giới hạn một phía cùng tồn tại và bằng nhau (mục này giúp kiểm tra tại điểm nối; không phải nội dung bắt buộc):
f có đạo hàm tại a ⇔ f'(a − ) và f'(a + ) tồn tại, hữu hạn và bằng nhau đây là cách kiểm tra tự nhiên tại các điểm "nối" của hàm cho bởi nhiều công thức
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Hai hàm ghép tại x = 1, cùng liên tục tại đó. Nối trơn (x 2 rồi 2x − 1): trái 2, phải 2, nên f'(1) = 2. Nối gãy (x 2 rồi 2 − x): trái 2, phải −1, nên không có đạo hàm tại 1.
Hãy đọc hình 5 như một người đi xe đạp trên đồ thị: nối trơn thì đi qua điểm nối không cảm thấy gì; nối gãy thì đang leo dốc (độ dốc 2) bỗng phải đổ dốc (độ dốc −1). Đường vẫn liền (liên tục), nhưng "đồng hồ độ dốc" nhảy giá trị: tại đúng điểm nối không có một con số duy nhất cho độ dốc.
2.3 Đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến
Mỗi tỉ số Δy/h là hệ số góc của một cát tuyến qua A(a; f(a)). Giới hạn của chúng, f'(a), là hệ số góc của tiếp tuyến tại A. Nếu α là góc tính từ chiều dương trục Ox, quay ngược chiều kim đồng hồ đến tiếp tuyến (0° ≤ α < 180°, α ≠ 90°), thì f'(a) = tan α: f'(a) > 0 thì tiếp tuyến đi lên từ trái sang phải, f'(a) < 0 thì đi xuống, f'(a) = 0 thì nằm ngang.
Phòng A dưới đây cho em tự co h. Hãy thử bốn hàm: hai hàm "hiền" (x 2 , x 3 − 3x), hàm √x tại 0 (chỉ xét được bên phải; tỉ số 1/√h lớn vô hạn) và hàm |x| tại 0 (hai phía không khớp).
PHÒNG A Co h lại: cát tuyến quay thành tiếp tuyến hư cấu
Chọn hàm số, điểm a và số gia h. Lab vẽ cát tuyến AB (cam), tiếp tuyến tại A (đỏ, nét đứt), tính hệ số góc cát tuyến Δy/h và so với f'(a). Bảng bên dưới cho tỉ số với h = ±1; ±0,1; ±0,01; ±0,001 để em thấy hai phía cùng dồn về đâu. Giới hạn của lab: a trong một đoạn cho trước, 0,0001 ≤ |h| ≤ 2 (hoặc h = 0 để thấy vì sao không chia được).
Mẫu có sẵn
Hàm số
Điểm a 1,00
Số gia h
h chính xác
Hai điểm A, B
Hệ số góc cát tuyến AB
Hệ số góc tiếp tuyến tại A
|h| · Δy/h với h > 0 · Δy/h với h < 0
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Chốt ý mục 2: f'(a) = lim h→0 (f(a + h) − f(a))/h, nếu hữu hạn Đạo hàm tồn tại khi hai đạo hàm một phía tồn tại và bằng nhau. f'(a) là hệ số góc tiếp tuyến tại (a; f(a)); đơn vị của f' là đơn vị của y chia đơn vị của x. Cho a chạy, ta được hàm số mới f'.