TOÁN 11 · GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC — Tiến tới không phải là bằng: giới hạn dãy số, giới hạn một phía, so tốc độ tăng, ba điều kiện liên tục và định lí giá trị trung gian
Bài khái niệm Toán 11 về giới hạn và hàm số liên tục, dựng quanh một hình ảnh: chiếc kính hiển vi thu nhỏ dần cửa sổ quanh điểm đích. Giới hạn dãy số qua dải…
TOÁN 11 · GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Tiến tới không phải là bằng
Khi x (hay n) tiến tới một đích, giá trị đi đâu, và khi nào "tiến tới" vẫn khác "bằng"? Dãy số, giới hạn một phía, so tốc độ tăng, ba điều kiện liên tục và định lí giá trị trung gian
Hãy tưởng tượng em có một chiếc kính hiển vi đặt ngay trên điểm đích. Em không bao giờ đặt mắt đúng vào điểm ấy; em chỉ thu nhỏ dần cửa sổ quanh nó và hỏi: trong cửa sổ càng lúc càng hẹp, các giá trị dồn về đâu? Câu trả lời cho câu hỏi đó gọi là giới hạn . Nó có thể khác giá trị tại chính điểm đích, có thể không tồn tại, có thể là "lớn vô cùng". Cả chương chỉ là học cách dùng chiếc kính ấy cho đúng: với dãy số, với hàm số tại một điểm, tại vô cực, rồi dùng nó để định nghĩa tính liên tục, chứng tỏ một phương trình có nghiệm và đọc các đường tiệm cận. Có sơ đồ, câu "em thử xem" và ba phòng thí nghiệm. Mọi tình huống và con số tự đặt đều là hư cấu.
12 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 3 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Một chiếc kính hiển vi, sáu cách dùng
Mọi khái niệm của chương đều trả lời cùng một câu hỏi: khi biến tiến tới một đích, giá trị dồn về đâu? Đích có thể là n → +∞ (dãy số), x → a (một điểm), x → ±∞ (rất xa). "Dồn về" được đo bằng một dải sai số quanh kết quả: dải hẹp bao nhiêu, chỉ cần thu nhỏ cửa sổ quanh đích đủ nhiều là mọi giá trị (không xét chính tại đích) nằm gọn trong dải.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ bài: cửa sổ quanh x = a thu nhỏ dần (cam → tím → đỏ), đồ thị trong cửa sổ dồn về L dù tại a có một lỗ; sáu mục là sáu cách dùng cùng một chiếc kính.
Câu hỏi · Kính hiển vi đặt ở đâu? · Ở mục
Dãy 1; 1/2; 1/3; … không bao giờ bằng 0, sao lại nói giới hạn là 0? Vì sao 0,999… = 1? · Đích n → +∞; dải quanh L · 1
Hàm không xác định tại a (hoặc có giá trị "lạc") thì giới hạn tại a là gì? Khi nào không có? · Đích x → a; nhìn riêng hai phía · 2
Phân thức, căn, mũ "chạy đua" khi x rất lớn: ai thắng? Vì sao 0/0 hay ∞ − ∞ chưa có đáp số sẵn? · Đích x → ±∞; so tốc độ tăng · 3
Thế nào là "liên tục", và vì sao với đa thức ta được "thế số" để tính giới hạn? · Giới hạn tại a so với giá trị tại a · 4
Vì sao "đổi dấu" thì phương trình có nghiệm? Tìm nghiệm gần đúng ra sao? · Liên tục trên cả một đoạn · 5
Đường tiệm cận đứng, ngang, xiên đến từ đâu? · Giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực · 6
Vuốt ngang để xem hết bảng
Công cụ A · Dải và cửa sổ
Kết luận "giới hạn là L" nghĩa là: dải (L − ε; L + ε) hẹp bao nhiêu cũng có một cửa sổ quanh đích mà mọi giá trị trong đó (trừ chính đích) nằm trong dải.
Công cụ B · So tốc độ
Khi x rất lớn, số hạng "tăng nhanh nhất" quyết định: lũy thừa bậc cao thắng bậc thấp; với các dạng vô định phải biến đổi để lộ ra số hạng trội.
Công cụ C · Ba điều kiện
Liên tục tại a: f(a) xác định, lim x→a f(x) tồn tại, và hai số bằng nhau. Liên tục trên đoạn + đổi dấu ⇒ có nghiệm.
Bài Đạo hàm (học tiếp sau) chỉ được nhắc ngắn ở bảng 6.3 và sơ đồ tư duy; đường tiệm cận được học kĩ ở lớp 12, ở đây chỉ đọc nó như một hệ quả của giới hạn.
Giả định và quy ước của bài. (a) Nội dung bám chương trình Toán 11 (chương trình giáo dục phổ thông hiện hành), chương Giới hạn và Hàm số liên tục; định nghĩa được phát biểu lại bằng lời của bài, giữ đúng nội dung sách giáo khoa. (b) Kí hiệu +∞, −∞ không phải là số: "lim = +∞" là cách nói ngắn gọn rằng giá trị lớn vượt mọi mốc; khi đó không có giới hạn hữu hạn. (c) Số thập phân viết bằng dấu phẩy; các giá trị gần đúng được làm tròn theo quy tắc nửa lên và ghi bằng dấu ≈ hoặc chữ "khoảng". (d) Trong bài, x < a, x > a là "bên trái", "bên phải" của a trên trục số.
Về chữ "hư cấu". Mọi hàm số mẫu tự đặt, bảng giá trị minh họa, tình huống đo đạc (nhiệt độ, chiều cao) và mọi số trong các phòng thí nghiệm đều do bài tự đặt, được kiểm bằng máy tính, và mang nhãn hư cấu . Các kết quả toán học (giới hạn, định lí, hằng số e ≈ 2,71828) là thật. Phần ngoài chương trình bắt buộc mang nhãn MỞ RỘNG .
MỤC 1 · GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Vào mãi trong một dải, không cần chạm đích
Với dãy số, đích là n → +∞: số thứ tự lớn mãi. Kính hiển vi không nhìn vào "số hạng cuối cùng" (không có số hạng nào như thế), mà nhìn đuôi của dãy: bỏ đi bao nhiêu số hạng đầu cũng được, miễn là phần còn lại nằm gọn trong dải quanh L.
1.1 "Nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi"
Sách giáo khoa nói: dãy (u n ) có giới hạn 0 khi n → +∞ nếu |u n | có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi; và lim u n = L nghĩa là lim (u n − L) = 0. Đọc chậm từng cụm:
- "bé tùy ý" : em chọn một bán kính dải ε > 0 (dải là (L − ε; L + ε)), nhỏ bao nhiêu cũng được (0,1; 0,001; 10 −9 …).
- "kể từ một số hạng nào đó trở đi" : với dải ấy, có một chỉ số N sao cho mọi số hạng từ u N trở đi đều thỏa |u n − L| < ε. Dải càng hẹp, N thường càng lớn, nhưng luôn tìm được .
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Dãy u n = 1 + (−1) n /n nhảy trên, dưới số 1. Từ n = 11 mọi số hạng nằm trong dải 0,9 < u n < 1,1; với dải hẹp hơn 0,95 < u n < 1,05 phải đợi tới n = 21. Ba khung nhỏ: ba "số phận" khác của một dãy.
Với dãy ở hình 2, |u n − 1| = 1/n. Dải ε = 0,1 cần 1/n < 0,1, tức n > 10: từ n = 11. Dải 0,05 cần n > 20: từ n = 21. Dải 0,01 cần n > 100: từ n = 101. Không có dải nào mà dãy "không bao giờ vào hẳn": vì vậy lim u n = 1. Hãy để ý ba điều mà định nghĩa không đòi hỏi:
Không cần chạm L. Ở hình 2 không số hạng nào bằng 1. Dãy 1/n cũng không bao giờ bằng 0, vậy mà lim 1/n = 0.
Không cần đơn điệu. Dãy được phép vượt qua vượt lại L, miễn là biên độ co về 0 (khung phải của hình 2).
Không quan tâm phần đầu. Thay 1000 số hạng đầu bằng bất kì số nào, giới hạn không đổi: định nghĩa chỉ nói về đuôi của dãy.
Số phận của dãy khi n → +∞ · Ví dụ · Cách nói
Dồn về một số L (giới hạn hữu hạn) · 1/n → 0; (−0,8) n → 0; 1 + (−1) n /n → 1 · lim u n = L
Lớn vượt mọi mốc dương · n 2 ; √n; 2 n · lim u n = +∞ (không có giới hạn hữu hạn)
Nhỏ vượt mọi mốc âm · −n; −3n 2 · lim u n = −∞
Không dồn về đâu cả · (−1) n : −1; 1; −1; 1; … · dãy không có giới hạn
Vuốt ngang để xem hết bảng
Những giới hạn nền. lim 1/n = 0; lim 1/n k = 0 (k nguyên dương); lim q n = 0 khi |q| < 1; lim c = c với c là hằng số. Rất nhiều giới hạn khác được dựng từ các viên gạch này bằng các quy tắc : nếu lim u n = a và lim v n = b (hai số hữu hạn) thì lim (u n ± v n ) = a ± b, lim (u n ·v n ) = a·b, lim (u n /v n ) = a/b khi b ≠ 0, và lim √u n = √a khi u n ≥ 0. Chú ý chữ "hữu hạn": các quy tắc này không áp dụng cho ∞, đó là gốc của các dạng vô định ở mục 3.
1.2 Tổng vô hạn: cấp số nhân lùi vô hạn
Cộng vô hạn số hạng nghe như không bao giờ xong. Toán học trả lời bằng kính hiển vi: tổng vô hạn là giới hạn của các tổng riêng S n = u 1 + u 2 + … + u n , nếu giới hạn ấy tồn tại.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Cấp số nhân lùi vô hạn: lấp dần hình vuông diện tích 1 bằng các phần 1/2, 1/4, 1/8, …; tổng riêng S n = 1 − 1/2 n không bao giờ bằng 1 nhưng dồn về 1.
Với cấp số nhân có công bội q (q ≠ 1), S n = u 1 (1 − q n )/(1 − q). Nếu |q| < 1 thì q n → 0, nên S n → u 1 /(1 − q). Cấp số nhân như vậy gọi là cấp số nhân lùi vô hạn , và tổng của nó là
S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = u 1 /(1 − q) (|q| < 1) Hình 3: u 1 = 1/2, q = 1/2 ⇒ S = (1/2)/(1 − 1/2) = 1; S 10 = 1023/1024 ≈ 0,9990.
Vì sao bắt buộc |q| < 1? Nếu q = 1, các tổng riêng là u 1 , 2u 1 , 3u 1 , … lớn mãi (khi u 1 > 0). Nếu q = −1 và u 1 = 1, tổng riêng nhảy 1; 0; 1; 0; … không dồn về đâu. Nếu |q| > 1 (và u 1 ≠ 0), độ lớn các số hạng còn tăng dần. Với cấp số nhân, chỉ khi |q| < 1 thì các số hạng co về 0 đủ nhanh để tổng "đóng lại" được.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn chính là tổng vô hạn: 0,333… = 0,3 + 0,03 + 0,003 + … = 0,3/(1 − 0,1) = 1/3, và 0,999… = 0,9/(1 − 0,1) = 1. Khoảng cách giữa 1 và tổng riêng 0,99…9 (k chữ số 9) là 10 −k , nhỏ hơn mọi số dương khi k đủ lớn, nên giới hạn đúng bằng 1 (xem hiểu nhầm 3).
MỞ RỘNG Số e là một giới hạn. Dãy u n = (1 + 1/n) n tăng dần nhưng luôn nhỏ hơn 3; một dãy tăng và bị chặn trên thì có giới hạn (tính chất này ngoài chương trình). Giới hạn ấy là số e ≈ 2,71828, cơ số của lôgarit tự nhiên.
n · 1 · 2 · 10 · 100 · 1000 · 10 6
(1 + 1/n) n ≈ · 2,000000 · 2,250000 · 2,593742 · 2,704814 · 2,716924 · 2,718280
Vuốt ngang để xem hết bảng
Cùng một dạng "1 mũ vô cực" (cơ số → 1, số mũ → +∞) nhưng kết quả không phải 1: thêm một ví dụ rằng phải nhìn tốc độ chứ không nhìn dạng.
Chốt ý mục 1: lim u n = L ⇔ dải quanh L hẹp bao nhiêu, đuôi của dãy cũng nằm gọn trong dải Không cần chạm L, không cần đơn điệu, không quan tâm phần đầu. +∞ không phải số. Tổng vô hạn là giới hạn của tổng riêng; |q| < 1 ⇒ S = u 1 /(1 − q); 0,999… = 1.
dãy 1; 0; 1/2; 0; 1/3; 0; 1/4; 0; … (xen kẽ số 0) có giới hạn bằng 0 không? Dãy "chạm" 0 rất nhiều lần có làm hỏng điều gì không?
Chọn một dải ε bất kì quanh 0 và hỏi: từ đâu trở đi mọi số hạng nằm trong dải?
Giải thích. Có, giới hạn bằng 0. Các số hạng khác 0 là 1/k; với dải ε, chỉ cần 1/k < ε là đủ, mà từ một chỗ nào đó trở đi mọi số hạng dạng 1/k đều thỏa. Các số 0 thì luôn nằm trong dải. Việc chạm đúng L không cấm cũng không bắt buộc: định nghĩa chỉ hỏi "có nằm trong dải không".
MỤC 2 · GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Giới hạn hỏi "dồn về đâu", không hỏi "tại đó bằng mấy"
Bây giờ đích là một điểm a trên trục số. Kính hiển vi nhìn các x gần a nhưng khác a . Chính điểm a bị che đi: hàm có thể không xác định tại a, hoặc có một giá trị "lạc" tại a, giới hạn vẫn không bị ảnh hưởng.
2.1 Định nghĩa qua dãy: mọi con đường dẫn tới a
Theo sách giáo khoa: cho khoảng K chứa a và hàm số f xác định trên K hoặc trên K \ {a}. Hàm f có giới hạn là số L khi x dần tới a nếu với mọi dãy (x n ) trong K, x n ≠ a và x n → a, ta đều có f(x n ) → L . Kí hiệu lim x→a f(x) = L. Hai chữ quan trọng:
- "mọi dãy" : đi tới a từ bên trái, từ bên phải, nhảy qua nhảy lại… con đường nào cũng phải dẫn f(x n ) về cùng một L. Chỉ cần hai con đường cho hai kết quả khác nhau là không có giới hạn.
- "x n ≠ a" : giá trị f(a), nếu có, không bao giờ được dùng. Đó là lí do giới hạn có thể khác f(a).
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Hàm g(x) = (x 2 − 1)/(x − 1) khi x ≠ 1 và g(1) = 3 (hàm hư cấu): đồ thị là đường thẳng y = x + 1 thủng một lỗ tại (1; 2) và một chấm "lạc" tại (1; 3). Bảng giá trị gần 1 cho thấy lim x→1 g(x) = 2, khác g(1) = 3.
Với x ≠ 1, (x 2 − 1)/(x − 1) = (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1. Phép rút gọn hợp lệ vì x ≠ 1, và đó đúng là những x mà giới hạn quan tâm. Vì vậy hàm f(x) = (x 2 − 1)/(x − 1) (không xác định tại 1) và hàm g ở hình 4 (có g(1) = 3) có cùng giới hạn 2 tại x = 1: chúng chỉ khác nhau đúng tại điểm mà kính hiển vi không nhìn.
2.2 Giới hạn một phía
Nếu chỉ cho x tiến tới a từ bên phải (x > a), ta có giới hạn bên phải lim x→a + f(x); chỉ từ bên trái (x < a) là giới hạn bên trái lim x→a − f(x). Định lí nối hai khái niệm:
lim x→a f(x) = L ⇔ lim x→a − f(x) = lim x→a + f(x) = L Có giới hạn ⇔ có giới hạn trái, có giới hạn phải, và hai số đó bằng nhau.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Trái: f(x) = x + 1 khi x < 1, f(x) = x 2 khi x ≥ 1: bên trái dồn về 2, bên phải dồn về 1, nên không có giới hạn tại 1 (dù f(1) = 1 xác định). Phải: y = |x|/x có giới hạn trái −1, phải 1 tại 0.
Giới hạn một phía là công cụ tự nhiên cho hàm cho bởi nhiều công thức, hàm chứa |x|, và cho các điểm mà hai bên hành xử khác nhau (như 1/x ở mục 3). Nó cũng cần ở đầu mút một đoạn: tại a của đoạn [a; b] chỉ có thể tiến tới từ bên phải.
2.3 Quy tắc giới hạn, và vì sao "thế số" thường đúng
Nếu lim x→a f(x) = L và lim x→a g(x) = M (hai số hữu hạn) thì giới hạn của f ± g, f·g lần lượt là L ± M, L·M; của f/g là L/M khi M ≠ 0; của √f là √L khi f(x) ≥ 0. Từ hai viên gạch lim x→a x = a và lim x→a c = c, các quy tắc cho ngay: với đa thức P, lim x→a P(x) = P(a); với phân thức P/Q và Q(a) ≠ 0, giới hạn bằng P(a)/Q(a). Nghĩa là "thế số" đúng khi các quy tắc áp dụng được .
Với (x 2 − 1)/(x − 1) tại 1, mẫu dồn về 0 nên quy tắc thương không dùng được: thế số cho 0/0, một dạng chưa có kết quả (mục 3). Lúc ấy phải biến đổi (ở đây rút gọn nhân tử x − 1) để đưa về trường hợp quy tắc dùng được. Mục 4 sẽ đặt tên cho tình huống "thế số đúng": đó là tính liên tục .
PHÒNG A Kính hiển vi giới hạn hư cấu
Chọn hàm và điểm đích a, kéo thanh δ để thu nhỏ cửa sổ 0 < |x − a| < δ (hoặc bấm "Tự thu nhỏ dần"), nhập bán kính dải ε (dải là (L − ε; L + ε)). Khung trái là toàn cảnh, khung phải là cửa sổ dưới kính hiển vi (không lấy x = a). Lab lấy 40 điểm cách đều mỗi phía, x = a ± δ·j/41 (j = 1, …, 40), đều nằm trong cửa sổ, rồi báo khoảng giá trị mỗi phía, độ trải và kiểm "mọi điểm mẫu cho giá trị cách L dưới ε". Giới hạn: lab chỉ xét các điểm mẫu, không thay cho chứng minh.