Thống kê ghép nhóm: ba thước, bốn nhịp cho khoảng biến thiên, tứ phân vị và độ lệch chuẩn
Chuyên đề Toán 12 về mẫu số liệu ghép nhóm với khung ba thước và bốn nhịp: thước đầu mút cho khoảng biến thiên, thước rải đều cho tứ phân vị và khoảng tứ…
LUKATO AI · TOÁN 12 · THỐNG KÊ GHÉP NHÓM
THAY BẰNG ĐẠI DIỆN · ĐẶT VỊ TRÍ · TÍNH · KIỂM
Ba thước và bốn nhịp :
cách đọc một bảng ghép nhóm
cho sáu số đo của mẫu
Khi số liệu được gom thành các nhóm, bảng chỉ còn các đầu mút a_{i} và số lượng m_{i} của mỗi nhóm. Khoảng biến thiên R, hai tứ phân vị Q_{1}, Q_{3}, khoảng tứ phân vị \Delta_{Q}, số trung bình \bar{x}, phương sai s^{2} và độ lệch chuẩn s khi ấy được đọc bằng ba thước, và việc đầu tiên của mỗi bài là chọn đúng thước cho câu hỏi . Thước đầu mút chỉ cần hai biên của dữ liệu, thước rải đều nội suy trong nhóm, thước trung điểm dồn mỗi nhóm về trung điểm của nó. Bốn nhịp đọc, đặt, tính, kiểm đi qua cả ba thước, giúp em không rơi vào các bẫy về nhóm rỗng, ranh giới nhóm, tần số tích lũy và cách gộp hai bảng.
- ① Thước đầu mút: R=a_{k+1}-a_{1}, tính từ nhóm đầu tiên đến nhóm cuối cùng có số liệu
- ② Thước rải đều: Q_{j}=a_{p}+\dfrac{\frac{jn}{4}-C}{m_{p}}\,(a_{p+1}-a_{p}) và \Delta_{Q}=Q_{3}-Q_{1}
- ③ Thước trung điểm: \bar{x}=\dfrac1n\sum m_{i}x_{i}, s^{2}=\dfrac1n\sum m_{i}x_{i}^{2}-\bar{x}^{2} và s=\sqrt{s^{2}}
3 thước đọc
đầu mút, rải đều, trung điểm
7 phòng lab
kéo tần số, thêm giá trị bất thường, so và gộp hai bảng
16 bài
8 chọn đáp án, 4 đúng sai, 4 trả lời ngắn
01
Bản đồ chuyên đề
Ba thước đọc, bốn nhịp: đọc, đặt, tính, kiểm
Một bảng thống kê ghép nhóm cho biết nhóm nào có bao nhiêu giá trị, không cho biết từng giá trị. Vì thế mỗi con số em tính từ bảng, từ khoảng biến thiên đến độ lệch chuẩn, đều dựa trên một thước đọc nhất định: dùng hai đầu mút, rải đều trong nhóm, hoặc dồn về trung điểm. Học sinh thường học sáu công thức như sáu việc rời nhau và dễ nhầm khi đề đổi bảng. Chuyên đề này làm ngược lại: với mỗi câu hỏi, chọn thước trước , rồi để công thức tự sinh ra từ thước ấy và kiểm lại bằng bốn nhịp.
Vuốt ngang để xem cả hình.
Bản đồ chuyên đề: bảng ghép nhóm cho các nhóm và số lượng m_{i} ở mỗi nhóm, không cho từng giá trị. Từ đó đi ba hướng: hai đầu mút cho khoảng biến thiên; các mốc \dfrac{n}{4}, \dfrac{n}{2}, \dfrac{3n}{4} trên dãy cộng dồn cho tứ phân vị bằng cách rải đều trong nhóm; độ lệch so với tâm cho số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn bằng cách dồn về trung điểm. Bốn nhịp đọc, đặt, tính, kiểm chạy qua cả ba hướng.
Sáu số đo và thước đọc của từng số
Số đo
Thước đọc
Giả định về vị trí
Công thức
Mục
Khoảng biến thiên R
① Đầu mút
chỉ biết hai biên ngoài cùng của dữ liệu
R=a_{k+1}-a_{1}
Tứ phân vị Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}
② Rải đều
các giá trị cách đều nhau trong nhóm
Q_{j}=a_{p}+\dfrac{\frac{jn}{4}-C}{m_{p}}\,h
3, 4
Khoảng tứ phân vị \Delta_{Q}
② Rải đều
hiệu của hai tứ phân vị đã nội suy
\Delta_{Q}=Q_{3}-Q_{1}
Số trung bình \bar{x}
③ Trung điểm
mỗi giá trị đặt đúng tại trung điểm nhóm
\bar{x}=\dfrac1n\sum m_{i}x_{i}
Phương sai s^{2}
③ Trung điểm
như trên; đo độ lệch bình phương trung bình
s^{2}=\dfrac1n\sum m_{i}(x_{i}-\bar{x})^{2}
Độ lệch chuẩn s
③ Trung điểm
như trên; đưa về đơn vị của số liệu
s=\sqrt{s^{2}}
Vì sao ba thước thì ít sai hơn sáu công thức
Khi học thuộc sáu công thức rời, em phải nhớ công thức nào đi với bảng nào, và đề chỉ cần đổi độ rộng nhóm, thêm một nhóm rỗng hoặc cho tần số tương đối là em lạc đường. Khi hiểu ba thước, các tình huống ấy đều có câu trả lời ngay: nhóm rỗng không có giá trị để đặt nên không tham gia khoảng biến thiên; độ rộng nhóm là thước đo để đổi phần đã đi được trong nhóm thành giá trị thật; trọng số của trung điểm là số giá trị của nhóm nên tần suất dùng được thay cho tần số. Bước kiểm cuối cùng cũng đến từ chính giả định: kết quả phải nằm trong phạm vi hợp lí của nhóm đã đặt.
Ba cách đặt các giá trị trong cùng một nhóm
Vuốt ngang để xem cả hình.
Nhóm [30;40) có 21 giá trị (số liệu minh họa). Thước ① chỉ biết hai đầu mút nên không đoán được vị trí từng giá trị. Thước ② cho 21 giá trị cách đều nhau và dùng để cắt tại một thứ tự cho trước. Thước ③ dồn cả 21 giá trị về trung điểm 35. Hai cách đặt sau cho cùng trung bình của nhóm bằng 35, nhưng khác nhau ở mức độ phân tán bên trong nhóm.
Hai thước ② và ③ nghe như mâu thuẫn: một bên cho giá trị rải khắp nhóm, một bên dồn về một điểm. Chúng không mâu thuẫn vì được dùng cho hai việc khác nhau . Muốn biết giá trị thứ r trong nhóm nằm ở đâu, ta cần giả định rải đều, vì chỉ khi các giá trị phân bố khắp nhóm thì vị trí theo thứ tự mới có nghĩa. Muốn biết tổng và độ lệch của cả nhóm, ta chỉ cần một đại diện, và trung điểm là đại diện hợp lí nhất khi không biết gì thêm: nó chính là trung bình của các giá trị rải đều. Vì thế các con số tính từ bảng chỉ là xấp xỉ của con số tính từ dữ liệu gốc (bẫy 10).
Quy ước ký hiệu dùng suốt chuyên đề
nhóm thứ i là [a_{i};a_{i+1}), bảng có k nhóm, độ rộng h=a_{i+1}-a_{i} khi các nhóm bằng nhau m_{i} là tần số của nhóm i và n=m_{1}+\dots+m_{k} là cỡ mẫu x_{i}=\dfrac{a_{i}+a_{i+1}}{2} là trung điểm (giá trị đại diện) nhóm chứa Q_{j} là nhóm thứ p; C=m_{1}+\dots+m_{p-1} thập phân viết dấu phẩy: 31{,}43 nhãn mở rộng dành cho nội dung ngoài phần bắt buộc của chương trình hiện hành (hệ số biến thiên, phần giữa hai tâm của phương sai gộp)
Bảng minh họa dùng xuyên suốt: sáu mươi chuyến giao hàng
Một cửa hàng giao hàng nội thành ghi lại thời gian của 60 chuyến (đơn vị: phút) rồi gom thành sáu nhóm rộng 10 phút. Đây là số liệu minh họa do LUKATO tự lập; các con số bên dưới đã tính đủ chữ số rồi mới làm tròn.
Nhóm (phút)
Tần số m_{i}
Trung điểm x_{i}
Tần số tích lũy
[10;20)
15
[20;30)
25
12
[30;40)
21
35
33
[40;50)
15
45
48
[50;60)
55
57
[60;70)
65
60
Từ bảng này, các mục sau lần lượt đọc ra: R=60 (mục 2); Q_{1}=\dfrac{220}{7}\approx31{,}43, Q_{2}=\dfrac{270}{7}\approx38{,}57, Q_{3}=48 (mục 3 và 4); \Delta_{Q}=\dfrac{116}{7}\approx16{,}57 (mục 5); \bar{x}=39{,}5 (mục 6); s^{2}=144{,}75 và s\approx12{,}03 (mục 7). Em chưa cần nhớ các số này, chỉ cần biết chúng cùng sinh ra từ một bảng.
Bốn nhịp chung cho các bài
NHỊP 1 · ĐỌC Đề cho nhóm nào, tần số nào, đơn vị gì? Có nhóm rỗng, tần số tương đối hay hai bảng cần so sánh không?
NHỊP 2 · ĐẶT Câu hỏi dùng thước nào: đầu mút, rải đều hay trung điểm? Từ đó chọn công thức.
NHỊP 3 · TÍNH Lập cột tần số tích lũy hoặc cột trung điểm, tính bằng phân số, làm tròn ở bước cuối.
NHỊP 4 · KIỂM Kết quả nằm trong nhóm đã chọn không? Thứ tự Q_{1}\le Q_{2}\le Q_{3} đúng không? Đơn vị của s khớp với số liệu không?
Đoán trước khi học
Đề hỏi: «Một nửa số chuyến ở giữa của bảng trải rộng bao nhiêu phút?». Em dùng thước nào?
Từ đây đến hết chuyên đề, mỗi câu hỏi đều bắt đầu bằng việc chọn thước, rồi mới đến công thức, tính và kiểm.
02
Thước ① · Đầu mút
Khoảng biến thiên: chỉ biết hai biên của dữ liệu, và nhóm rỗng thì không có giá trị để tính
Với số liệu gốc, khoảng biến thiên là hiệu của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Bảng ghép nhóm không còn hai giá trị ấy, nhưng chắc chắn giá trị nhỏ nhất nằm trong nhóm đầu tiên có số liệu và giá trị lớn nhất nằm trong nhóm cuối cùng có số liệu . Thước ① vì thế chỉ dùng hai đầu mút của đoạn chứa dữ liệu:
R=a_{k+1}-a_{1}. Mỗi giá trị thật đều nằm trong đoạn đó, nên R tính từ bảng không nhỏ hơn R của số liệu gốc.
Vuốt ngang để xem cả hình.
Bảng 60 chuyến (số liệu minh họa): đầu mút trái của nhóm đầu là 10, đầu mút phải của nhóm cuối là 70, nên R=70-10=60 (nét xanh lục). Nét đỏ đứt nối hai trung điểm 15 và 65 cho 50: đó là lỗi hay gặp, vì trung điểm là giá trị đại diện chứ không phải đầu mút.
Bẫy 1 · Lấy hiệu hai trung điểm thay cho hiệu hai đầu mút
Đã quen cột trung điểm x_{i} (dùng cho \bar{x} ở mục 6), học sinh dễ viết R=x_{6}-x_{1}=65-15=50, thiếu đúng một độ rộng nhóm h=10 so với R=60. Khi đề chỉ cho bảng, cách kiểm là đối chiếu với định nghĩa: R phải là hiệu của hai đầu mút a_{k+1}-a_{1}, và 50 không phải hiệu của hai đầu mút nào của bảng. Với số liệu gốc minh họa dùng để lập bảng này (nhỏ nhất 14, lớn nhất 68, nên R gốc là 54) ta thấy 54\le60, hợp với việc các giá trị thật đều nằm trong đoạn [10;70); đó chỉ là minh họa khi đã có số liệu gốc, chưa phải phép kiểm khi đề chỉ cho bảng. Phòng lab 1 cho em đo đồng thời ba cách tính; bài 1 và bài 10 ở mục 10 gài đúng lỗi này.
Nhóm rỗng ở hai đầu: không có giá trị thì không có biên
Một bảng lập từ số liệu thì nhóm đầu và nhóm cuối đều có giá trị. Nhưng đề thường cho sẵn một khung nhóm chung (để so hai mẫu) rồi để vài ô là 0 ở hai đầu. Một nhóm có tần số 0 không chứa giá trị nào, nên nó không thể là nơi chứa giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất. Quy ước dùng thống nhất trong chuyên đề: R tính từ đầu mút trái của nhóm đầu tiên có số liệu đến đầu mút phải của nhóm cuối cùng có số liệu . Các nhóm rỗng nằm giữa hai nhóm có số liệu vẫn nằm trong đoạn, nên không đổi gì.
Vuốt ngang để xem cả hình.
Sáu nhóm rộng 5 với tần số 0, 6, 18, 12, 4, 0 (số liệu minh họa). Hai nhóm ngoài cùng rỗng nên R=25-5=20 (nét xanh lục), không phải 30-0=30 (nét đỏ đứt).
Bẫy 2 · Tính cả nhóm rỗng ở hai đầu bảng
Với hai mẫu cùng khung nhóm nhưng một mẫu có nhóm cuối rỗng, nếu cứ lấy đầu mút phải của nhóm cuối trong khung thì hai mẫu bỗng có cùng khoảng biến thiên, dù một mẫu ngắn hơn rõ rệt. Hãy tự hỏi: giá trị lớn nhất nằm ở nhóm nào? Nhóm đó phải có ít nhất một giá trị. Cách làm an toàn là gạch bỏ các nhóm có m_{i}=0 ở hai đầu trước khi đọc đầu mút. Lỗi hay gặp ở các đề cho hai lớp trên cùng một khung nhóm (Phòng lab 1 và các bài 2, 3, 4 ở mục 10).
Ranh giới nhóm: giá trị nằm đúng trên biên thuộc nhóm bên phải
Khi lập bảng từ số liệu gốc, giá trị trùng với một đầu mút phải xếp vào nhóm nào? Sách giáo khoa dùng các nhóm dạng [a_{i};a_{i+1}) (đóng ở trái, mở ở phải), nên giá trị đúng bằng a_{i+1} thuộc nhóm kế tiếp . Điều này ảnh hưởng tần số, và qua đó ảnh hưởng đến các số đo ở các mục sau.
Vuốt ngang để xem cả hình.
Mười lăm số liệu minh họa từ 0 đến 25. Các giá trị 0, 5, 10, 15, 20, 25 nằm đúng trên biên: 5 thuộc [5;10) chứ không thuộc [0;5). Tần số các nhóm là 2, 4, 4, 2, 2, 1 và n=15.
Thử tay: hai tuyến xe buýt, cùng khung nhóm
Thời gian chờ xe buýt (phút, số liệu minh họa) ở hai tuyến được gom vào cùng khung năm nhóm rộng 5 như sau. Tuyến A có tần số 0, 7, 15, 9, 0 cho các nhóm [0;5), [5;10), [10;15), [15;20), [20;25). Tuyến B có tần số 4, 11, 10, 0, 0 cho cùng các nhóm. Tính khoảng biến thiên của từng tuyến và cho biết kết quả nói gì.
Gợi ý 1 · Tìm nhóm đầu tiên và nhóm cuối cùng có số liệu
Với tuyến A, nhóm [0;5) có tần số bao nhiêu? Nhóm [20;25) thì sao? Hãy gạch bỏ các nhóm rỗng ở hai đầu trước khi đọc đầu mút.
Gợi ý 2 · Tuyến B
Tuyến B rỗng ở nhóm nào? Có nhóm rỗng nằm giữa hai nhóm có số liệu không?
Đáp án
Tuyến A: nhóm đầu tiên có số liệu là [5;10), nhóm cuối cùng có số liệu là [15;20), nên R_{A}=20-5=15. Tuyến B: nhóm đầu tiên có số liệu là [0;5), nhóm cuối cùng có số liệu là [10;15), nên R_{B}=15-0=15. Hai tuyến có cùng khoảng biến thiên 15 phút dù khung nhóm cho thấy hai hình dạng khác nhau (A lệch về giữa, B dồn về bên trái). Nếu tính cả khung (25-0=25) thì hai tuyến cùng ra 25 và hoàn toàn sai (bẫy 2). Khoảng biến thiên chỉ cho biết bề rộng, không cho biết các giá trị nằm ở đâu trong bề rộng ấy, nên chưa đủ để so sánh độ phân tán (xem bẫy 8, mục 5).
Phòng lab 1: máy đo khoảng biến thiên
Đoán trước: bảng có sáu nhóm rộng h, bốn nhóm giữa đã có số liệu. Nếu nhóm đầu và nhóm cuối đều rỗng thì khoảng biến thiên đúng ngắn hơn cách tính cả bảng bao nhiêu? Nếu cả hai nhóm đều có số liệu thì cách tính cả bảng và cách tính đúng khác nhau không, và hiệu hai trung điểm lệch bao nhiêu? Hãy kéo hai thanh trượt về 0 rồi đổi dần độ rộng nhóm để kiểm.
Phòng lab 1 · máy đo khoảng biến thiên: nhóm rỗng ở hai đầu KÉO ĐỂ THỬ
Vuốt ngang để xem cả hình.
Tần số của nhóm đầu = 0
Tần số của nhóm cuối = 0
Khoảng biến thiên đúng R
Cách tính cả bảng
Cách lấy hiệu hai trung điểm
Chênh lệch so với đúng
Cách dùng phòng lab 1
Nét xanh lục bám sát nhóm đầu tiên và nhóm cuối cùng có số liệu; nét đỏ đứt dài thêm đúng h cho mỗi nhóm rỗng ở đầu hoặc cuối; nét cam đứt ngắn hơn nét xanh lục đúng h (bẫy 1). Đổi độ rộng nhóm để thấy các chênh lệch co giãn theo h.
03
Thước ② · Rải đều, bước một
Tần số tích lũy: đếm từ nhỏ lên để tìm nhóm chứa tứ phân vị
Tứ phân vị Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} là các giá trị ở vị trí khoảng \dfrac{n}{4}, \dfrac{n}{2}, \dfrac{3n}{4} khi đếm từ nhỏ lên. Bảng ghép nhóm không cho từng giá trị, nhưng cho biết đếm đến hết nhóm này thì đã qua bao nhiêu giá trị : đó là tần số tích lũy. Vì thế việc đầu tiên là lập cột tần số tích lũy và tìm xem mốc \dfrac{jn}{4} rơi vào nhóm nào; việc còn lại (mục 4) chỉ là nội suy trong nhóm ấy.