Chuyên đề Toán 12: Nguyên hàm - tích phân: đọc đề thành phép tính, chọn kỹ thuật và kiểm bằng đạo hàm
Ba quy tắc đạo hàm đọc ngược thành ba kỹ thuật: bảng và biến đổi đại số, đổi biến, từng phần. Đọc mặt hàm, chọn bằng phép thử u', tính rồi kiểm bằng đạo hàm…
LUKATO AI · TOÁN 12 · NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
ĐỌC MẶT HÀM · CHỌN KỸ THUẬT · TÍNH · KIỂM BẰNG ĐẠO HÀM
Tính nguyên hàm là đọc ngược
ba quy tắc đạo hàm:
nhìn mặt hàm, chọn kỹ thuật, rồi kiểm
Nhiều học sinh học nguyên hàm như một danh sách mẹo rời rạc: đa thức làm thế này, có \ln làm thế kia, thấy căn thì đổi biến, thấy tích thì từng phần. Chuyên đề này gom tất cả về một ý: ba quy tắc đạo hàm đọc ngược . Bảng đạo hàm và tính tuyến tính đọc ngược thành bảng nguyên hàm cùng các phép biến đổi đại số; đạo hàm hàm hợp đọc ngược thành đổi biến; đạo hàm của tích đọc ngược thành từng phần. Để chọn đúng kỹ thuật, em chỉ cần đọc mặt hàm và làm một phép thử ngắn, phép thử u'. Với tích phân xác định, chuyên đề đi tiếp qua tính chất, tách đoạn, giá trị tuyệt đối, hàm nhiều công thức, đọc đồ thị và các bài cho điều kiện rồi tìm hệ số hay tham số. Ứng dụng hình học của tích phân (diện tích, thể tích) thuộc chuyên đề khác.
- ① Bảng đạo hàm và tính tuyến tính đọc ngược thành bảng nguyên hàm; chia đa thức, hạ bậc là cách đưa hàm về dạng bảng
- ② \left[G(u(x))\right]'=g(u)\,u' đọc ngược: thấy g(u)\,u' thì đổi biến u=u(x), nhớ đổi cả vi phân và cận
- ③ (uv)'=u'v+uv' đọc ngược: \displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du, chỉ có lợi khi tích phân mới nhẹ hơn
3 quy tắc
đạo hàm đọc ngược thành 3 kỹ thuật
7 phòng lab
kiểm đạo hàm, chọn kỹ thuật, đổi cận, cân từng phần
16 bài
8 chọn đáp án, 4 đúng sai, 4 trả lời ngắn
01
Bản đồ chuyên đề
Ba quy tắc đạo hàm, ba kỹ thuật, bốn nhịp: đọc, chọn, tính, kiểm
Đề thi hỏi bằng nhiều giọng: «tìm nguyên hàm», «tính tích phân», «cho điều kiện, tìm hệ số», «cho đồ thị, tính g(x)». Học sinh thường học mỗi giọng một bộ mẹo và lúng túng khi một bài trộn hai giọng. Thật ra hầu hết các bài đều là đạo hàm đọc ngược , và đạo hàm chỉ có ba quy tắc cần nhớ: bảng cùng tính tuyến tính, đạo hàm hàm hợp, đạo hàm của tích. Mỗi quy tắc đọc ngược cho đúng một kỹ thuật. Việc còn lại là nhìn mặt hàm để biết quy tắc nào đang ẩn trong biểu thức, và bước cuối cùng là kiểm lại bằng đạo hàm (với nguyên hàm) hoặc bằng cận (với tích phân).
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Bản đồ chuyên đề: ba quy tắc đạo hàm ở bên trên, ba kỹ thuật tương ứng ở giữa, các mặt hàm thường gặp ở bên dưới, và bốn nhịp đọc, chọn, tính, kiểm chạy qua tất cả.
Tám mặt hàm quen thuộc và kỹ thuật tương ứng
Mặt hàm
Kỹ thuật
Dấu hiệu nhận ra
Mục
Lũy thừa, \dfrac{1}{ax+b}, e^{ax+b}, \sin(ax+b)
bảng và tuyến tính, nhớ hệ số \dfrac1a
đối số là biểu thức bậc nhất
Phân thức có bậc tử không nhỏ hơn bậc mẫu
chia đa thức rồi dùng bảng
\dfrac{x^{2}+3x+5}{x+1}
\sin^{2}x, \cos^{2}x, \sin x\cos x, \tan^{2}x
biến đổi lượng giác rồi dùng bảng
bình phương hoặc tích của hai hàm lượng giác
x^{2}e^{-x^{3}}, \dfrac{\ln x}{x}, \cos x\,e^{\sin x}
đổi biến u= ruột của hàm hợp
một nhân tử là đạo hàm của ruột
Đa thức nhân e^{ax}, \sin ax, \cos ax
từng phần, u là đa thức
đạo hàm làm đa thức hạ bậc
Đa thức nhân \ln x
từng phần, u=\ln x
đạo hàm làm \ln x biến mất
Tích phân có |f| hoặc hàm cho bằng nhiều công thức
tách đoạn tại nghiệm hoặc tại điểm đổi công thức
dấu giá trị tuyệt đối, chữ «nếu»
Đề cho giá trị, hệ thức hay đồ thị thay vì công thức
tính chất tích phân, đối xứng, đồng nhất hệ số
F(a)=\ldots, f(x)+f(-x)=\ldots, hình vẽ
6, 7, 8
Vì sao đọc ngược thì ít sai hơn
Khi mỗi dạng bài có một bộ mẹo riêng, em phải nhớ dạng nào đi với mẹo nào, và đề chỉ cần đổi mặt hàm là em lạc đường. Khi chỉ có ba quy tắc, câu hỏi đầu tiên của hầu hết các bài đều giống nhau: biểu thức này đang giấu đạo hàm của quy tắc nào? Nếu là đạo hàm của một hàm quen trong bảng, dùng bảng. Nếu có một ruột và đạo hàm của ruột, đổi biến. Nếu là tích mà một nhân tử đơn giản đi khi lấy đạo hàm, từng phần. Và vì cả ba đều là đạo hàm đọc ngược, bước kiểm lấy đạo hàm dùng được cho cả ba.
Ba quy tắc đạo hàm, đọc ngược
Quy tắc ①
Bảng và tuyến tính
Bảng đạo hàm đọc từ phải sang trái là bảng nguyên hàm. Tính chất (af+bg)'=af'+bg' cho phép tách tổng và rút hằng số ra ngoài. Các phép biến đổi đại số (chia đa thức, hạ bậc, khai triển) chỉ nhằm đưa hàm về dạng bảng.
Quy tắc ②
Đạo hàm hàm hợp
\left[G(u(x))\right]'=g(u(x))\,u'(x) với G'=g. Đọc ngược: gặp g(u)\,u' thì \displaystyle\int g(u(x))\,u'(x)\,dx=G(u(x))+C. Đây là đổi biến, kỹ thuật làm biến mất cả một ruột phức tạp. Mở rộng khi u không bậc nhất.
Quy tắc ③
Đạo hàm của tích
(uv)'=u'v+uv'. Đọc ngược: \displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du. Từng phần chỉ có ích khi tích phân mới \displaystyle\int v\,du nhẹ hơn tích phân ban đầu. Mở rộng , nhưng xuất hiện nhiều trong đề luyện tập.
Bốn nhịp chung cho các bài
NHỊP 1 · ĐỌC Đề cho công thức, cho hệ thức, hay cho đồ thị? Mặt hàm thuộc nhóm nào trong bảng trên?
NHỊP 2 · CHỌN Biến đổi đại số, đổi biến hay từng phần? Chốt bằng phép thử u' (mục 3).
NHỊP 3 · TÍNH Thực hiện kỹ thuật đã chọn, nhớ đổi cận khi đổi biến và thế uv khi từng phần.
NHỊP 4 · KIỂM Đạo hàm kết quả có về f không? Cận đã đổi đủ chưa? Dấu của phần âm đã xử lí chưa?
Phạm vi và quy ước dùng suốt chuyên đề
F'(x)=f(x): F là nguyên hàm của f trên khoảng đang xét \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) khi f liên tục trên [a,b] «mở rộng»: kỹ thuật ngoài phần bắt buộc của chương trình hiện hành (đổi biến không bậc nhất, từng phần), vẫn xuất hiện trong nhiều đề luyện tập thập phân viết dấu phẩy: 0{,}5 không có bài diện tích hình phẳng và thể tích; hai chủ đề ấy có chuyên đề riêng
Đoán trước khi tính
Trong bốn tích phân bất định sau, tích phân nào không thể đổi biến cho gọn?
Ba tích phân còn lại có mặt «tích» nhưng thật ra là một hàm hợp nhân với đạo hàm của ruột. Tích phân x\,e^{x} là tích thật sự của hai họ hàm khác nhau.
Thử tay: chọn kỹ thuật cho hai tích phân trông giống nhau
Tìm \displaystyle\int\dfrac{2x}{x^{2}+3}dx và \displaystyle\int\dfrac{x}{x+2}dx. Với mỗi bài, nói rõ dùng kỹ thuật nào rồi kiểm bằng đạo hàm.
Gợi ý 1 · Phép thử u' cho bài thứ nhất
Mẫu x^{2}+3 có đạo hàm 2x. Tử số 2x có đúng là đạo hàm của mẫu không?
Gợi ý 2 · Bài thứ hai
Bậc tử bằng bậc mẫu (đều là 1). Hãy thử viết x=(x+2)-2 trong tử số rồi chia từng hạng tử cho x+2.
Đáp án
Bài thứ nhất: tử là đúng u' với u=x^{2}+3, nên \displaystyle\int\dfrac{u'}{u}dx=\ln|u|+C=\ln(x^{2}+3)+C (đổi biến; đây là trường hợp «tử là đạo hàm của mẫu»). Bài thứ hai: \dfrac{x}{x+2}=1-\dfrac{2}{x+2} nên nguyên hàm là x-2\ln|x+2|+C (chia đa thức rồi bảng). Kiểm: \left(x-2\ln|x+2|\right)'=1-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{x}{x+2}, và \left(\ln(x^{2}+3)\right)'=\dfrac{2x}{x^{2}+3}. Hai bài cùng có phân thức nhưng thuộc hai quy tắc khác nhau: bài đầu là đạo hàm hàm hợp, bài sau là bảng cộng biến đổi đại số.
02
Quy tắc ① · Bảng và tuyến tính
Nguyên hàm là đạo hàm đọc ngược: một họ hàm, hơn kém hằng số, kiểm bằng đạo hàm
Hàm số F là một nguyên hàm của f trên khoảng K khi F'(x)=f(x) với mọi x\in K. Định nghĩa này chứa trọn bộ máy kiểm tra của cả chuyên đề: cho một biểu thức, ta không cần tin vào mặt chữ mà chỉ cần lấy đạo hàm và so với f. Từ định nghĩa suy ra hai điều. Một là nguyên hàm không phải một hàm riêng lẻ mà là cả một họ, ghi \displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C. Hai là hai nguyên hàm của cùng một hàm trên một khoảng chỉ hơn kém nhau một hằng số , vì hiệu của chúng có đạo hàm bằng 0 trên khoảng ấy.
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Trái: ba nguyên hàm \sin x-1{,}4, \sin x, \sin x+1{,}4 của \cos x là ba bản tịnh tiến theo phương thẳng đứng của nhau; tiếp tuyến tại x=1 của cả ba song song vì cùng có độ dốc \cos 1. Phải: đồ thị f=\cos x và điểm f(1)\approx0{,}54 chính là độ dốc chung ấy.
Bẫy 1 · Kết quả khác đáp án chưa chắc là sai
Nguyên hàm của \sin x\cos x có thể viết là \dfrac12\sin^{2}x, hoặc -\dfrac12\cos^{2}x, hoặc -\dfrac14\cos 2x: ba biểu thức nhìn rất khác nhau, nhưng hiệu của chúng là hằng số (\dfrac12\sin^{2}x-\left(-\dfrac12\cos^{2}x\right)=\dfrac12 và \dfrac12\sin^{2}x-\left(-\dfrac14\cos 2x\right)=\dfrac14). Học sinh gặp đáp án -\dfrac12\cos^{2}x khi mình ra \dfrac12\sin^{2}x thường kết luận mình sai. Cách đúng: đạo hàm cả hai biểu thức và so với f. Lỗi ngược lại cũng xảy ra: hai đáp án hơn kém nhau một biểu thức (không phải hằng số) thì tối đa một trong hai đúng.
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Ba nguyên hàm của f=\sin x\cos x: F_{1}=\dfrac12\sin^{2}x, F_{2}=-\dfrac12\cos^{2}x và F_{3}=-\dfrac14\cos 2x. Các đoạn thẳng đứng màu đỏ có độ dài \dfrac12 và \dfrac14 tại mọi x: ba đường là ba bản tịnh tiến của nhau.
Bảng nguyên hàm: đọc ngược bảng đạo hàm
Hàm f(x)
Một nguyên hàm F(x)
Đọc ngược từ đạo hàm
x^{\alpha} với \alpha\not=-1
\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}
\left(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right)'=x^{\alpha}
\dfrac1x
\ln|x|
(\ln|x|)'=\dfrac1x trên mỗi khoảng không chứa 0
e^{x}
(e^{x})'=e^{x}
a^{x} với 0<a\not=1
\dfrac{a^{x}}{\ln a}
(a^{x})'=a^{x}\ln a
\sin x
-\cos x
(\cos x)'=-\sin x
\cos x
\sin x
(\sin x)'=\cos x
\dfrac{1}{\cos^{2}x}
\tan x
(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}
\dfrac{1}{\sin^{2}x}
-\cot x
(\cot x)'=-\dfrac{1}{\sin^{2}x}
Cùng với bảng là tính tuyến tính : \displaystyle\int\left[\alpha f(x)+\beta g(x)\right]dx=\alpha\int f(x)\,dx+\beta\int g(x)\,dx. Hằng số nhân đi ra ngoài được và tổng tách được; tích và thương của hai hàm thì không tách được theo cách tương tự (bẫy 4, mục 3).
Nguyên hàm của f(ax+b): nhân tử \dfrac1a
Đạo hàm hàm hợp cho \left[F(ax+b)\right]'=a\,F'(ax+b)=a\,f(ax+b). Đạo hàm sinh thêm một nhân tử a, nên để quay về đúng f(ax+b) ta phải chia cho a:
\int f(ax+b)\,dx=\frac1a\,F(ax+b)+C\qquad(a\not=0).
Ví dụ: \displaystyle\int\cos 3x\,dx=\dfrac{\sin3x}{3}+C; \displaystyle\int e^{2x+1}dx=\dfrac12e^{2x+1}+C; \displaystyle\int\dfrac{dx}{2x+1}=\dfrac12\ln|2x+1|+C. Đây là phần của «đổi biến» nằm trong yêu cầu bắt buộc của chương trình hiện hành, và đây là chỗ sinh ra bẫy 2.
Bẫy 2 · Quên hệ số \dfrac1a khi đối số là ax+b
Học sinh viết \displaystyle\int\cos 3x\,dx=\sin 3x vì «nguyên hàm của \cos là \sin». Đạo hàm của \sin 3x là 3\cos 3x, gấp ba lần f. Một cách kiểm không cần tính nhiều: cho đối số mang hệ số a thì đạo hàm của kết quả mang hệ số a, nên kết quả phải chia a. Lỗi biến thể: nhân a thay vì chia (cho 9\cos 3x khi đạo hàm). Phòng lab 1 cho em thử cả hai lỗi và đo tỉ số \dfrac{F'}{f}.
Biến đổi đại số trước khi nguyên hàm
Phần lớn mặt hàm không có trong bảng, nhưng một vài phép biến đổi đại số đưa chúng về dạng bảng. Đó là cách dùng quy tắc ① cho những hàm chưa «lộ mặt».
Mặt hàm
Biến đổi
Nguyên hàm
Phân thức, bậc tử không nhỏ hơn bậc mẫu
chia đa thức: \dfrac{x^{2}+3x+5}{x+1}=x+2+\dfrac{3}{x+1}
\dfrac{x^{2}}{2}+2x+3\ln|x+1|+C
\cos^{2}x, \sin^{2}x
hạ bậc: \cos^{2}x=\dfrac{1+\cos2x}{2}
\dfrac x2+\dfrac{\sin2x}{4}+C
\sin x\cos x
tích thành tổng: \sin x\cos x=\dfrac12\sin2x
-\dfrac14\cos2x+C
\tan^{2}x
\tan^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}-1
\tan x-x+C
Tích đa thức, lũy thừa của nhị thức
khai triển rồi tách từng hạng tử
cộng các nguyên hàm lũy thừa
Bẫy 3 · Phân thức: đừng chia nguyên hàm, hãy chia đa thức
Với \dfrac{x^{2}+3x+5}{x+1} có em lấy nguyên hàm tử, nguyên hàm mẫu rồi chia hai kết quả cho nhau. Nguyên hàm của thương không bằng thương các nguyên hàm; một dấu hiệu cho biết cách đó sai là đạo hàm của kết quả thường không ra lại f. Khi bậc tử không nhỏ hơn bậc mẫu, hãy chia đa thức trước: x^{2}+3x+5=(x+1)(x+2)+3 nên thương là x+2 và số dư 3 đặt trên mẫu. Chỉ phần \dfrac{3}{x+1} cho ra \ln, và dấu của số dư giữ nguyên.
Đoán trước khi tính
Ba bạn tìm một nguyên hàm của f(x)=\sin x\cos x và được: bạn An \dfrac12\sin^{2}x, bạn Bình -\dfrac12\cos^{2}x, bạn Chi -\dfrac14\cos2x. Phát biểu nào đúng?
Phòng lab 1: máy kiểm đạo hàm
Đoán trước: chọn hàm số 1 (\cos3x) và nhìn bốn biểu thức Thử A đến Thử D. Em hãy nhẩm xem biểu thức nào có đạo hàm bằng \cos3x trước khi bấm. Sau đó đổi sang các hàm khác và để ý ba điều: (a) đường xanh nét đứt (đạo hàm số của F) có trùng đường cam (f) không; (b) hiệu F-F_{0} ở ba điểm có bằng nhau không; (c) tiếp tuyến màu cam có song song với đường nào. Với hàm số 3 (\sin x\cos x) có tới ba biểu thức đúng.
Phòng lab 1 · máy kiểm đạo hàm: biểu thức này có phải nguyên hàm không KÉO ĐỂ THỬ
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Số thứ tự hàm = 1
Điểm kiểm x0 = 1,5
Hàm f(x)
Biểu thức đang thử F(x)
F'(x_{0}) và f(x_{0})
F(x)-F_{0}(x) tại 0{,}7; 1{,}4; 2{,}3
Thử ba thao tác
(1) Hàm 1: chọn các Thử để thấy \sin3x cho tỉ số F'/f=3 (bẫy 2). (2) Hàm 3: ba biểu thức đúng có hiệu bằng hằng số, còn biểu thức sai có hiệu thay đổi theo x (bẫy 1). (3) Hàm 4 (phân thức): thấy lỗi dấu của số dư và lỗi lấy thương hai nguyên hàm (bẫy 3).