TOÁN 10 · PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG — Một phương trình là một hình: đường thẳng, đường tròn và ba đường conic
Bài khái niệm Toán 10 về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, dựng quanh một ý: mỗi hình có một "chứng minh thư" và dịch được thành một phương trình. Vectơ…
TOÁN 10 · PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Một phương trình là một hình
Đường thẳng, đường tròn và ba đường conic: đổi hình học thành những phép đo đại số
Đặt lên mặt phẳng một hệ trục Oxy, em có một tấm bản đồ có thước: mỗi điểm có một địa chỉ (x; y), mỗi khoảng cách đo được bằng số. Từ đó, mỗi hình chỉ cần một "chứng minh thư", tức vài dữ kiện gốc như một điểm và một hướng, một tâm và một bán kính, hai tiêu điểm và một tổng khoảng cách, là dịch được thành một phương trình. Ngược lại, mỗi quan hệ hình học (vuông góc, song song, tiếp xúc, nằm trên hình) trở thành một phép tính. Bài này dạy em đọc hai chiều của bản dịch ấy, và trả lời câu hỏi tại sao các công thức có dạng như vậy. Có sơ đồ, câu "em thử xem" và ba phòng thí nghiệm kéo thả được. Mọi tình huống và con số tự đặt đều là hư cấu.
12 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 3 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Bản đồ có thước và những tấm chứng minh thư
Trên một tấm bản đồ không có thước, em chỉ nói được "điểm này gần điểm kia". Có hệ trục Oxy, em nói được "điểm này cách đường kia 12/√10 ≈ 3,795 đơn vị". Cả bài chỉ làm một việc lặp đi lặp lại: tìm dữ kiện gốc của hình (chứng minh thư), viết điều kiện "M thuộc hình" thành một đẳng thức giữa x và y, rồi đọc ngược đẳng thức ấy ra hình.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ bài: năm hình, mỗi hình có một chứng minh thư và một phương trình; dải dưới cùng là các quan hệ hình học được đo bằng đại số.
Câu hỏi · Phép đo đại số trả lời nó · Ở mục
Vì sao phương trình đường thẳng luôn có dạng ax + by + c = 0? · M thuộc d ⇔ M 0 M vuông góc với vectơ pháp tuyến n ⇔ tích vô hướng bằng 0 · 1
Đường thẳng nào không có hệ số góc? · Đường thẳng đứng: vectơ chỉ phương có hoành độ bằng 0 · 1
Hai đường cắt, song song hay trùng? Góc giữa chúng bao nhiêu? · Biểu thức D = a 1 b 2 − a 2 b 1 ; cos φ = | n 1 · n 2 | / (| n 1 |·| n 2 |) · 2
Vì sao khoảng cách là |ax 0 + by 0 + c| / √(a 2 + b 2 )? · f(x; y) = ax + by + c là một "máy đo" tăng đều theo hướng n · 2
Phương trình x 2 + y 2 + … = 0 có chắc là đường tròn? · Gom về (x − a) 2 + (y − b) 2 = k rồi xét dấu k · 3
Đường thẳng cắt đường tròn tại mấy điểm? · So khoảng cách d(I, Δ) với bán kính R · 3
Elip, hypebol, parabol là gì, và vì sao phương trình của chúng như thế? · Tổng, hiệu khoảng cách tới tiêu điểm; khoảng cách tới đường chuẩn · 4, 5
Ba đường conic có họ hàng với nhau không? · Lát cắt của mặt nón; một con số chung là tâm sai e · 6
Vuốt ngang để xem hết bảng
Công cụ A · Khoảng cách hai điểm
AB = √((x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 ): định lí Pythagore trên lưới tọa độ. Đường tròn và cả ba conic đều bắt đầu từ đây.
Công cụ B · Tích vô hướng
u · v = u 1 v 1 + u 2 v 2 ; hai vectơ khác 0 vuông góc ⇔ tích vô hướng bằng 0. Đây là "phép thử vuông góc" của cả bài.
Công cụ C · Thay tọa độ vào vế trái
Điểm thuộc hình ⇔ tọa độ thỏa phương trình. Giá trị của vế trái còn cho biết điểm ở phía nào và cách bao xa.
Thư viện đã có bài "Bất phương trình hai ẩn" (dấu của ax + by + c chia mặt phẳng thành hai nửa) và bài "Conic là quỹ tích" (đường chuẩn, tâm sai, định nghĩa conic bằng quỹ tích). Ở đây hai ý ấy chỉ được nhắc ngắn khi cần, không dạy lại; bài này tập trung vào việc dịch chứng minh thư thành phương trình chính tắc.
Quy ước của bài (dùng suốt bài). (a) Hệ trục Oxy vuông góc, cùng một đơn vị đo trên hai trục. (b) Tọa độ điểm viết (x; y), dấu chấm phẩy ngăn hai tọa độ; số thập phân dùng dấu phẩy. (c) Vectơ viết có mũi tên: u = (u 1 ; u 2 ). (d) Số ghi "≈" là đã làm tròn (nửa lên). (e) Elip, hypebol, parabol được xét ở dạng chính tắc: tiêu điểm đặt trên trục Ox, tâm (hoặc đỉnh của parabol) ở gốc O; riêng vài ví dụ ghi rõ ở mục 4.3, mục 5.3, hiểu nhầm số 4 và câu trắc nghiệm 6 đặt tiêu điểm trên Oy để luyện đọc ngược phương trình.
Về chữ "hư cấu". Mọi phương trình mẫu, tọa độ, bán kính và tình huống trong bài đều do bài tự đặt, được kiểm bằng máy tính và mang nhãn hư cấu . Chúng chỉ dùng để thấy cơ chế, không phải số liệu đo đạc. Phần ngoài chương trình bắt buộc mang nhãn MỞ RỘNG .
MỤC 1 · VECTƠ CHỈ PHƯƠNG, VECTƠ PHÁP TUYẾN, PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Một điểm và một hướng là đủ để viết cả đường thẳng
Muốn chỉ đường cho ai đó trên bản đồ, em nói: "đi qua chỗ này, theo hướng kia". Đường thẳng cũng vậy: chứng minh thư của nó gồm một điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) và một hướng . Hướng có hai cách nói, và mỗi cách sinh ra một dạng phương trình.
1.1 Hai cách chỉ hướng: dọc theo, hoặc vuông góc với
Vectơ chỉ phương u = (u 1 ; u 2 ) là vectơ khác 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d: nó chỉ hướng "đi dọc d". Vectơ pháp tuyến n = (a; b) là vectơ khác 0 có giá vuông góc với d: nó chỉ hướng "rời khỏi d nhanh nhất".
Hai vectơ ấy luôn vuông góc, nên biết một cái là suy ra cái kia: nếu n = (a; b) thì u = (−b; a) là một vectơ chỉ phương, vì tích vô hướng a·(−b) + b·a = 0. Ngược lại, nếu u = (u 1 ; u 2 ) thì n = (u 2 ; −u 1 ) là một vectơ pháp tuyến. Mẹo nhớ: đổi chỗ hai tọa độ, đổi dấu một tọa độ .
Không duy nhất. Nếu n là vectơ pháp tuyến thì 2 n , − n , hay mọi λ n với λ ≠ 0 cũng là vectơ pháp tuyến: chúng cùng phương, chỉ khác độ dài hoặc chiều. Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến và vô số vectơ chỉ phương; vì thế ta luôn nói "một" vectơ pháp tuyến, không nói "vectơ pháp tuyến duy nhất".
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Chứng minh thư của đường thẳng d (hư cấu): điểm M 0 (1; 2), vectơ chỉ phương u = (3; −1), vectơ pháp tuyến n = (1; 3). Một điểm M thuộc d khi và chỉ khi M 0 M vuông góc với n , hay cùng phương với u .
1.2 Phương trình tổng quát: "vuông góc với n " viết thành một tích vô hướng
Lấy một điểm M(x; y) bất kì. M nằm trên d khi và chỉ khi vectơ M 0 M = (x − x 0 ; y − y 0 ) nằm dọc d, tức vuông góc với n = (a; b). Dùng phép thử vuông góc:
a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) = 0 ⇔ ax + by + c = 0, với c = −(ax 0 + by 0 ) a và b không đồng thời bằng 0 (vì n ≠ 0 ). Đây là lí do mọi đường thẳng đều có dạng "bậc nhất theo x và y".
Chiều ngược lại cũng đúng. Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a, b không đồng thời bằng 0) là một đường thẳng nhận n = (a; b) làm vectơ pháp tuyến: chỉ cần tìm một điểm thỏa nó (chẳng hạn khi b ≠ 0, lấy x = 0 rồi tính y) là viết lại được thành a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) = 0. Vậy hệ số của x và y chính là tọa độ vectơ pháp tuyến : đọc thẳng từ phương trình, không cần tính.
Ví dụ (hư cấu). Với M 0 (1; 2) và n = (1; 3): 1(x − 1) + 3(y − 2) = 0 ⇔ x + 3y − 7 = 0. Kiểm tra: điểm (4; 1) có 4 + 3 − 7 = 0 nên nằm trên d.
Phương trình · Vectơ pháp tuyến đọc được · Hình dạng
by + c = 0 (a = 0) · (0; b): thẳng đứng · đường thẳng nằm ngang, song song hoặc trùng Ox
ax + c = 0 (b = 0) · (a; 0): nằm ngang · đường thẳng đứng, song song hoặc trùng Oy
ax + by = 0 (c = 0) · (a; b) · đi qua gốc O, vì (0; 0) thỏa phương trình
Vuốt ngang để xem hết bảng
1.3 Phương trình tham số: "đi dọc u " viết thành một chiếc đồng hồ
M thuộc d khi và chỉ khi M 0 M cùng phương với u , tức có một số thực t để M 0 M = t u . Viết theo tọa độ:
x = x 0 + t·u 1 ; y = y 0 + t·u 2 (t ∈ ℝ) Hãy hình dung một con kiến xuất phát từ M 0 lúc t = 0 và bò đều với "vận tốc" u : tại mỗi thời điểm t nó ở đúng một điểm của d, và mọi điểm của d đều được nó đi qua.
Ví dụ (hư cấu). Với M 0 (1; 2), u = (3; −1): x = 1 + 3t; y = 2 − t. Lúc t = 0 kiến ở (1; 2); t = 1 ở (4; 1); t = −1 ở (−2; 3), chính là điểm M trong hình 2. Đổi điểm xuất phát hoặc đổi u thành 2 u là được một phương trình tham số khác của cùng đường thẳng: tham số không duy nhất, đường thẳng thì duy nhất.
MỞ RỘNG Dạng chính tắc (ngoài chương trình bắt buộc lớp 10, chỉ để tham khảo). Khi u 1 ≠ 0 và u 2 ≠ 0, rút t từ hai phương trình rồi cho bằng nhau: (x − 1)/3 = (y − 2)/(−1). Nếu một tọa độ của u bằng 0 thì không viết được dạng này (không chia cho 0). Trong mặt phẳng dạng này ít dùng; lên lớp 12 em sẽ dùng nhiều trong không gian Oxyz.
Chuyển dạng. Từ tham số sang tổng quát: lấy n = (u 2 ; −u 1 ). Từ tổng quát sang tham số: lấy u = (−b; a) và một điểm thỏa phương trình. Phòng A ở cuối mục 2 làm việc này tức thì khi em kéo điểm hoặc vectơ.
1.4 Hệ số góc: độ dốc, và vì sao đường thẳng đứng không có nó
Với đường thẳng không thẳng đứng , gọi α là góc từ tia Ox (quay ngược chiều kim đồng hồ) tới đường thẳng, 0° ≤ α < 180°. Số k = tan α là hệ số góc : đi ngang sang phải 1 đơn vị thì đường thẳng lên k đơn vị (xuống nếu k âm). Khi đó phương trình viết được dạng y = kx + m.
Từ vectơ chỉ phương u = (u 1 ; u 2 ) với u 1 ≠ 0: đi ngang u 1 thì lên u 2 , nên k = u 2 /u 1 . Từ phương trình tổng quát với b ≠ 0: k = −a/b. Ví dụ (hư cấu): u = (3; −1) cho k = −1/3, góc α ≈ 161,57°.
Đường thẳng đứng x = x 0 có u = (0; 1): đi ngang được 0 đơn vị, nên "lên bao nhiêu khi đi ngang 1" là câu hỏi vô nghĩa; α = 90° và tan 90° không xác định. Nó vẫn là đường thẳng hoàn chỉnh với phương trình tổng quát x − x 0 = 0. Đó là lí do phương trình tổng quát mạnh hơn dạng y = kx + m : nó viết được mọi đường thẳng, kể cả đường thẳng đứng.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Bên trái: hệ số góc k = tan α đo độ dốc; đường thẳng đứng x = −3 có α = 90° nên không có hệ số góc (hư cấu). Bên phải: cùng một đường thẳng nhận (1; 3), (2; 6), (−1; −3) đều làm vectơ pháp tuyến.
Chốt ý mục 1: chứng minh thư của đường thẳng = một điểm + một hướng ( u hoặc n ) n = (a; b) thì u = (−b; a). Tổng quát a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) = 0: hệ số của x, y là vectơ pháp tuyến. Tham số x = x 0 + tu 1 , y = y 0 + tu 2 . Vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và phương trình tham số đều không duy nhất. Hệ số góc k = u 2 /u 1 chỉ tồn tại khi u 1 ≠ 0.
Đường thẳng 2x − 5y + 1 = 0 có những vectơ chỉ phương nào, và hệ số góc bằng bao nhiêu? hư cấu
Đọc vectơ pháp tuyến ngay từ phương trình, rồi "đổi chỗ, đổi dấu".
Giải thích. n = (2; −5) nên u = (5; 2) là một vectơ chỉ phương (kiểm tra: 2·5 + (−5)·2 = 0). Mọi bội khác 0 như (−5; −2), (10; 4) cũng đúng. Vì u 1 = 5 ≠ 0, hệ số góc k = 2/5 (cũng bằng −a/b = −2/(−5)).
MỤC 2 · VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI, GÓC, KHOẢNG CÁCH
Quan hệ giữa hai đường thẳng là một phép đo trên hai chứng minh thư
Đặt hai đường thẳng d 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 và d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 cạnh nhau. Mọi câu hỏi "chúng cắt nhau không, nghiêng nhau bao nhiêu, cách nhau bao xa" đều trả lời được chỉ bằng hai vectơ pháp tuyến n 1 = (a 1 ; b 1 ), n 2 = (a 2 ; b 2 ) và vài phép tính, không cần vẽ.
2.1 Cắt nhau, song song hay trùng nhau: hai vectơ pháp tuyến có cùng phương không?
Giao điểm của hai đường là nghiệm của hệ hai phương trình. Hệ có đúng một nghiệm khi và chỉ khi D = a 1 b 2 − a 2 b 1 ≠ 0 . Ý nghĩa hình học: D = 0 đúng khi n 1 và n 2 cùng phương, tức hai đường "cùng hướng". Khi đó chúng song song (không có điểm chung) hoặc trùng nhau (cả ba hệ số tỉ lệ, mọi điểm đều chung).
d 2 (so với d 1 : x + 3y − 7 = 0), hư cấu · D = a 1 b 2 − a 2 b 1 · Kết luận
3x − y + 2 = 0 · 1·(−1) − 3·3 = −10 ≠ 0 · cắt nhau tại (0,1; 2,3); thêm nữa n 1 · n 2 = 3 − 3 = 0 nên vuông góc
2x + 6y + 1 = 0 · 1·6 − 2·3 = 0 · song song: a, b tỉ lệ 1 : 2 nhưng c thì không (−7 và 1)
2x + 6y − 14 = 0 · 1·6 − 2·3 = 0 · trùng nhau: cả ba hệ số tỉ lệ 1 : 2
Vuốt ngang để xem hết bảng
Vuông góc là trường hợp riêng của cắt nhau: d 1 ⊥ d 2 ⇔ n 1 ⊥ n 2 ⇔ a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0. Với hai đường có hệ số góc, điều này tương đương k 1 ·k 2 = −1; nhưng phép thử tích vô hướng dùng được cả khi một đường thẳng đứng.
2.2 Góc giữa hai đường thẳng: vì sao phải lấy trị tuyệt đối
Hai đường cắt nhau tạo ra bốn góc, từng cặp bằng nhau: φ và 180° − φ. Quy ước góc giữa hai đường thẳng là góc không tù , 0° ≤ φ ≤ 90° (hai đường song song hoặc trùng thì φ = 0°). Góc giữa hai vectơ pháp tuyến có thể là φ hoặc 180° − φ, tùy em chọn n hay − n , nên ta lấy trị tuyệt đối của cosin:
cos φ = | n 1 · n 2 | / (| n 1 |·| n 2 |) = |a 1 a 2 + b 1 b 2 | / (√(a 1 2 + b 1 2 )·√(a 2 2 + b 2 2 )) Dùng hai vectơ chỉ phương cũng được cùng kết quả, vì u chỉ là n quay đi 90°.
Ví dụ (hư cấu). d 1 : x + 3y − 7 = 0 và d 2 : x − 2y + 3 = 0. Tích vô hướng 1·1 + 3·(−2) = −5; | n 1 | = √10, | n 2 | = √5. Vậy cos φ = 5/√50 ≈ 0,707 và φ = 45°. Nếu quên trị tuyệt đối, em được cos = −0,707, tức 135°: đó là góc giữa hai vectơ , không phải góc giữa hai đường thẳng .
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Trên: ba vị trí tương đối, đọc từ D = a 1 b 2 − a 2 b 1 . Dưới: hai đường cắt nhau tạo góc 45° và 135°; góc giữa hai đường thẳng là 45° (hư cấu).